4. MAJANDUSES KASUTATAVAID FUNKTSIOONE

1

4. MAJANDUSES KASUTATAVAID FUNKTSIOONE.

Sissejuhatus

Majandustegevuses tuleb pidevalt analüüsida eksisteerivat majandusolukorda, teha prognoose

tuleviku kohta ning langetada mitmesuguseid otsuseid. Eesmärgiks võib olla efektiivne

tegutsemine piiratud ressursside tingimustes, suurima võimaliku kasumi või tulu teenimine,

suurema turuosa hõivamine, kapitali võimalikult kasulik investeerimine jne. Majandusteaduses

on eesmärgiks ka majanduses toimuvate protsesside parem mõistmine ja kirjeldamine.

Õpetamise eesmärgid, õpitulemused ja teema olulisuse kirjeldus:

Eesmärgiks on õpilastele selgitada, kuidas majanduses esinevaid olulisi seoseid ja seaduspärasusi

on võimalik mitmesuguste funktsioonide abil kirjeldada. Lahendades erinevaid ülesandeid, õpib

õpilane tundma olulisemate majandusfunktsioonide omadusi ning omavahelisi seoseid.

1. Õpilane teab nõudluse ja pakkumise ning turutasakaalu mõisteid, tunneb nõudlus- ja

pakkumisfunktsiooni olulisi omadusi

2. Õpilane oskab lahendada lihtsamate (eriti lineaarsete) nõudlus- ja pakkumisfunktsioonide

ning turutasakaaluga seotud ülesandeid.

3. Õpilane tunneb kulu-, tulu- ja kasumifunktsiooni mõisteid ja nende funktsioonide olulisi

omadusi.

4. Õpilane eristab püsikulu, muutuvkulu ja kogukulu mõisteid.

5. Õpilane teab keskmise kogukulu, keskmise muutuvkulu ning keskmise püsikulu mõisteid

ning omadusi.

6. Õpilane tunneb keskmise kogutulu ja keskmise kasumi mõisteid ning omadusi.

7. Õpilane oskab lahendada kogukulu-, kogutulu- ning kasumifunktsiooni koostamise

ülesandeid.

2

8. Õpilane oskab lahendada erinevat tüüpi keskmiste kulude, keskmiste tulude ning kesk-

mise kasumi leidmise ülesandeid.

9. Õpilane tunneb kasumiläve mõistet ning oskab seda erinevate lähteandmete korral

arvutada

10. Õpilane oskab leida optimaalset tulu ja optimaalset kasumit, kui tulu- ja

kasumifunktsioonid on ruutfunktsioonid.

11. Laiale matemaatikale baseeruva kursuse läbinu teab eelarvejoone mõistet ning oskab

lahendada lihtsamaid selle mõiste kasutamisega seotud ülesandeid.

Vajalike eelteadmiste kirjeldus ja põhimõisted: funktsiooni mõiste ja selle erinevad esitusviisid;

lineaar- ja ruutvõrrandi ning lineaar- ja ruutvõrratuse lahendamine, kahe tundmatuga lineaar-

võrrandisüsteemi lahendamine, sirge võrrandi koostamine kahe punkti koordinaatide abil. Sirge

ja ruutfunktsiooni graafiku joonestamine.

Soovitused hindamise osas: vastavaid teadmisi ja oskusi kontrollitakse koduse kontrolltööga.

Soovitatav tunnijaotus:

Kitsale matemaatikale baseeruv protsentarvutuse osa tunnijaotus:

1. tund Nõudlus- ja pakkumisfunktsioonid ning turutasakaal

2. tund Modelleerimine arvutiklassis

3. tund Individuaalne või paaristöö ülesannete lahendamisel

4. tund Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioonid ning tasuvuspunkt

5. tund Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioonid ning tasuvuspunkt (ülesannete lahendamine)


3

Laiale matemaatikale baseeruv protsentarvutuse osa tunnijaotus:

1. tund Nõudlus- ja pakkumisfunktsioonid ning turutasakaal

2. tund Modelleerimine arvutiklassis


4. tund Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioonid ning tasuvuspunkt

5. tund Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioonid ning tasuvuspunkt (ülesannete lahendamine)

6. tund Eelarvejooned ja eelarve tasakaal


Õppesisu:

4.1. Funktsiooni mõiste, selle esitusviisid

Antud alapunkti eesmärgiks on meelde tuletada funktsiooni mõistet ning esitusviise. Tutvustada

ka selliseid esitusviise, mida võib-olla pole matemaatikatunnis käsitletud, kuid on olulised just

majandusprobleemide käsitlemisel.

Ülesannete lahendused.

4.1.1. a) Olgu firmade A, B ja C maksumused vastavalt MA, MB ja MC ning läbisõidetud tee-

pikkus kilomeetrites s. Siis ( ) 2,88 0,65 ,AM s s ( ) 1,99 0,49 ,BM s s ( ) 2,50 0,42 .AM s s

b) 30 km pikkune sõit maksab firma A taksoga (30) 2,88 0,65 30 22,3AM EURi , firma B

taksoga (30) 1,99 0,49 30 16,69BM EURi, firma C taksoga (30) 2,5 0,42 30 15,1CM

EURi. Analoogiliselt arvutame, et 7 km pikkune sõit maksab firma A taksoga (7) 7,43AM

EURi, firma B taksoga (7) 5,42BM EURi, firma C taksoga (7) 4,44CM EURi ning 14 km

pikkune sõit firma A taksoga (14) 11,98AM EURi, firma B taksoga (14) 8,85BM EURi,

firma C taksoga (14) 8,38CM EURi.

4

4.1.2. a) 52,5

212,5

kuud, b) 2,5R t (vt joonis 4.1.1).

Joonis 4.1.1. Ülesande 4.1.2 joonis.

4.2. Nõudlus- ja pakkumisfunktsioonid. Turutasakaal

Esitame nõudluse ja nõutava koguse ning pakkumise ja pakutava koguse mõisted. Defineerida

nõudlus- ja pakkumisfunktsiooni ning turutasakaalu mõisted. Selgitada, mis on nõudlus- ja

pakkumiskõver; samuti selgitada, miks märgitakse graafilisel kujutamisel nõutav ja pakutav

kogus horisontaalteljele ning hind verikaalteljele, kuigi matematilise traditsiooni järgi oleks

loogilisem vastupidine tähistusviis. Rõhutada erinevust nõudluse ja nõutava koguse ning

pakkumise ja pakutava koguse vahel: nõudlus on just konkreetne nõudlusfunktsioon või selle

graafikuks olev nõudluskõver, nõutav kogus on aga antud nõudlusjoone kindla punkti (q; p)

kogust väljendav koordinaat q. Pöörata erilist tähelepanu lineaarsetele nõudlus- ja

pakkumisfunktsioonidele; selgitada, et kuigi neil on sama kuju, määrab nende erinevuse ära

arvulise kordaja märk q või p ees.


4.2.1. Nõudlus eksisteerib, kui 0,q st kui 600 3 0p ehk 200p EURi.

5

4.2.2. Võib, sest hinna p suurenemisel nõutav kogus q kahaneb; nõudlus eksisteerib, kui 0q

ehk 2625 0,p millest järeldub, et 25p EURi (siin muidugi arvestame, et hind p saab

omandada ainult mittenegatiivseid väärtusi).

4.2.3. Kuna ruutjuure märgi all saab olla vaid mittenegatiivne arv, siis pakkumine eksisteerib kui

4 0p ehk 4.p

4.2.4. Võib, sest hinna p suurenemisel pakutav kogus q suureneb; pakkumine eksisteerib, kui

0q ehk 3 8 0,p millest järeldub, et 2.p

4.2.5. Joonised 1 ja 5 võivad kirjeldada nõudlusfunktsiooni, sest p suurenemisel nõutav kogus q

kahaneb; Joonised 2, 3 ja 4 võivad kirjeldada pakkumisfunktsiooni, sest p suurenemisel pakutav

kogus q suureneb; joonisel 6 olev joon ei saa esitada ei pakkumist ega nõudlust, sest ühegi p

väärtuse korral pole q positiivne.

4.2.6. a) võib olla nõudlusfunktsioon, sest p suurenemisel nõutav kogus q kahaneb; b) võib olla

pakkumisfunktsioon, sest p suurenemisel pakutav kogus q suureneb; c) ei saa esitada ei

pakkumist ega nõudlust, sest ühegi p väärtuse korral pole q positiivne.

4.2.7. a) max 3300q (kui hind 0p ), b)

330066

50p EURi, c) tasakaluhinna saame

võrrandist 3300 50p 500 ,p mille lahendiks on * 6p EURi, tasakalukogus on

* 500 6 3000,q d) juhul i) hind 2 *,p p mistõttu müügimaht ühtib pakutava kogusega

500 2 1000,q sest tegelikult nõutav kogus 3300 50 2 3200 ületab tunduvalt pakutavat

kogust 1000;q juhul ii) hind 10 *,p p mistõttu müügimaht ühtib nõutava kogusega

3300 50 10 2800,q mis on väiksem, kui tegelikult pakutav kogus 500 10 5000q .

4.2.8. Otsime funktsiooni kujul .q b a p Ülesande tingimusi kasutades võime siis välja

kirjutada võrrandisüsteemi

10 = b + 30a

12 = b + 25a,

mille lahendamisel saame a = 0,4 ja b = 22. Järelikult 22 0,4q p ehk 55 2,5 .p q

4.2.9. Ülesande tingimuste kohaselt summaarne nõudlus on 600M Nq q ehk

2800 2,5 p 2700 2,5 5500 5 600,p p

6

millest saame autojuhu kuupalgaks 980p EURi. Siis 350,Mq 250.Nq

4.2.10. Nõudlusfunktsiooni p b a q tõusu a arvutamiseks kasutame valemit (4.2.2), võttes

selles (q1; p1) = (10 000; 4,75) ja (q2; p2) = (9000;5):

5 4,750,00025.

9000 10 000a

Kuna ,b p a q siis võttes (q; p) = (10 000; 4,75), saame b = 4,75 – ( 0,00025 )∙10 000 =

7,25. Seega nõudlusfunktsiooniks on 7,25 0,00025 .p q Saadud funktsioonist näeme, et

nõudlus kaob, kui hind 7,25p eurot. Nõudlus kasvab 20 000 pakini kuus, kui hind

7,25 0,00025 20 000 2,25p eurot.

4.2.11. Kuna tasakaluhind * 30,p siis nõudlusfunktsioonist arvutame tasakaalukoguse

2* 380 0.2 30 200.q Seepärast, otsides pakkumisfunktsiooni kujul ,q b a p võime

kirjutada: 200 30 .b a Kuna hinna 15 puhul on pakutav kogus 110 ühikut, siis saame võrduse

110 15 .b a Oleme saanud võrrandisüsteemi

200 = b + 30a

110 = b + 15a,

mille lahendamisel saame a = 6 ja b = 20. Järelikult otsitav funktsioon on 20 6 .q p

4.2.12. Peale käibemaksu kehtestamist pakkumishind Sp moodustab nõudlushinnast Dp 80%, st

0,8 .S Dp p Avaldades nõudlus- ja pakkumishinna vastavalt antud nõudlus- ja pakkumis-

funktsioonist, saame

12,

3

DD

qp

2.

4

SS

qp

Kuna turutasakaalu korral nõutav ja pakutav kogus on omavahel võrdsed, st ,D Sq q q siis

võime kirjutada

2 120,8

4 3

q q

3 (2 ) 3,2 (12 )q q

6,2 32,4q

5,225806q tuhat tonni.

7

Järelikult 1000 tonni toodangut realiseeritakse turul hinnaga12 5,225806

2,258073

Dp

tuhat

EURi. Seepärast kogutav 20% käibemaks on K = 0,2 2,25807 5,225806 2,36004 tuhat

EURi ehk 2360,04 EURi.

Kasutades 20% käibemaksu asemel 15% maksumäära, saame ülaltoodud lahenduskäiku korrates

kogutavaks käibemaksutuluks 1784,18 EURi. Järelikult kaotab riik käibemaksumäära

langetamise korral 2360,04 - 1784,18 = 575,86 EURi.

Käibemaksu puudumisel peab tasakaaluhind p* rahuldama võrrandit 12 3p 4 2,p .millest

leiame, et * 2p tuhat EURi ja müüdud kogus 12 3 2 6Q tuhat tonni.

4.2.13. Tasakaluhinna leiame võrrandi D Sq q ehk 25 2p 5 3p lahendina, milleks on

* 6;p siis tasakalukogus on * 25 2 6 13.q Peale maksustamist jaguneb tarbija makstav

hind Dp kaheks: ühe osa Sp saab tootja, teise osa ehk ühe rahaühiku saab valitsus maksutuluna

endale, st saame võrduse 1.D Sp p Nüüd turutasakaalu võrrandiks on

25 2 1Sp 5 3 ,Sp

mille lahendiks on 5,6.Sp Siis 6,6.Dp Seega turul realiseeritakse nüüd kaupa hinnaga 6,6

rahaühikut. Siit näeme, et lisatud ühe ühikulisest käibemaksust 0,6 ühikut ehk 60% lisandus

esialgsele realiseerimishinnale.

4.2.14. Sarnaselt näitele 4.2.7 arvutame nõutava kogus q, nõudlushinna p ning laekuva

käibemaksu kogusuuruse K järgmiselt:

2 12(1 )

4 3

q qk

6 3 48 4 48 4q q k k q

(7 4 ) 6 (7 8 )k q k

(7 8 )6 ,

7 4

kq

k

(7 8 )12 6

147 4 ,3 7 4

D

k

kpk

8

K =

2

(7 8 ) 14 (7 8 )6 84

7 4 7 4 7 4

k k kk

k k k

Arvutame q, Dp ja K tuletised k järgi:

2

168

7 4q

k

,

'

2

56

7 4Dp

k

,

3

49 8484

7 4

kK

k

.

Kuna 0 1,k

siis 7 4 0,k mistõttu 0q ja ' 0Dp . Järelikult käibemaksumäära k

suurendamine toob endaga kaasa nõutava koguse (ehk läbimüügi) ˇq vähenemise ning

nõudlushinna Dp suurenemise. Edasi paneme tähele, et 0,K kui 49 84 0k ehk

490 0,5833

84k ning 0,K kui 0,5833 1.k Seega suurendades käibemaksu kuni 58,33

protsendini, laekuv käibemaksusumma suureneb, kuid edasine käibemaksu suurendamine

põhjustab käibemaksu laekumise kahanemise.

4.3. Kulu- tulu- ja kasumifunktsioon. Tasuvuspunkt

Toome sisse kulu-, tulu- ja kasumifunktsiooni, samuti püsikulu, muutuvkulu, kogukulu ning

keskmise kogukulu, keskmise muutuvkulu, keskmise püsikulu ning keskmise kogutulu ja

keskmise kasumi mõisteid ja selgitada nende funktsioonide olulisi omadusi. Pöörata tähelepanu

sellele, milliste omadustega funktsioon saab olla kas kulu-, tulu- või kasumifunktsiooniks,

samuti selgitada keskmise tulu ja toote hinna seost sõltuvalt turu tüübist (kas on tegemist täieliku

konkurentsi turuga või mitte), selgitada keskmiste tootmiskulude muutumist tootmismahu

suurenemisel. Selgitada, mis on tasuvuspunkt ja lahendada selle kohta ülesandeid.

Selgitada tulu ka kasumit optimeeriva tootmiskoguse leidmist, kui tulu- ja

kasumifunktsioonideks on ruutfunktsioonid.


4.3.1. q särgi valmistamise kogukulu ( ) 10 39 000,C q q kogutulufunktsioon on ( ) 40 .R q q

Kuna ( ) ( ),R q C q ehk 40 10 39 000,q q kui 1300,q siis kasumiläveks on 1300 särgi

tootmine (vt ka joonis 4.3.1).

9

4.3.2. a) ( ) 40 5500,C q q b) 45 500 eurot.

4.3.3. a) muutuvkulu ei saa olla negatiivne, b) püsikulu ei saa olla negatiivne.

4.3.4. a) ( ) ( ) ( )C n f n g n ehk ( ) 500 7000,C n n b) (150)C 82000 eurot.

4.3.5. a) Ühe tellimuse koordineerimise ja vormistamise kulu on 15 10 150 EURI. Kuna 50

tellimuse kohta kulus 1450 eurot paberi, postikulude ja telefonikõnede peale, siis ühe tellimuse


kohta teeb see 1450:50 29 EURi. Järelikult ühe partii summaarne hankekulu on

150 29 50 229 EURi.

b) ( ) 5 229,C n n .kus n on partiis olevate kaupade hulk.

4.3.6. a) 2 3

2700 50 3 0,4 700( ) 50 3 0,4 .

q q qAC q q q

q q

b) 2 3( ) 50 3 0,4 .VC q q q q

c) 700

( ) .AFC qq

d) 2( ) 50 3 0,4 .AVC q q q

10

g)

q AC VC AFC AVC

5 185 225 140 45

10 130 600 70 60

15 141,67 1425 46,67 95

20 185 3000 35 150

25 253 5625 28 225

4.3.7. ( ) 25 .R q q

4.3.8. a) Kuna ( ) ( ) ( ),q R q C q siis ( ) 2 10 000;q q b) (40 000) 70 000 EURi.

4.3.9. 2( ) 1800 20 .R q q q

4.3.10. Kuna ( ) ( ) ( ),q p q q C q siis 2( ) 2 25 25.q q q

4.3.11. Kuna summaarne püsikulu on 1500 900 2400, siis ( ) 4 2400.C q q

4.3.12. ( ) 8 ,R t t kus t on tundide arv.

4.3.13. Tootmise kogukulufunktsioon on ( ) 10 300,C q q tulufunktsioon aga ( ) 30 .R q q

Kasumiläve leiame võrrandi ( ) ( )R q C q ehk 30 10 300q q lahendina, milleks on 15.q

Järelikult ettevõte saab kasumit, kui toodetakse vähemalt 16 palli.

4.3.14. Ülesande tingimuste kohaselt saame, et muutuvkulu eurodes on

esimese tooteühiku kohta 50,

teise tooteühiku kohta 50 10 1,

3-nda tooteühiku kohta 50 10 2,

…………………………………….

n-nda tooteühiku kohta 50 10 ( 1),n

……………………………………………

11

Näeme, et nimetatud muutuvkulud moodustavad geomeetrilise jada, mille n esimese liikme

summa (see on ka summaarne muutuvkulu n tooteühiku tootmiseks) avaldub kujul

250 50 10 ( 1)

5 45 .2

nn n n

Seega kogukulufunktsioon on 2( ) 5 45 1000,C n n n kus n tähistab tooteühikute arvu.

4.3.15. a) Seosest 1000 500 q r avaldame r:

2 2100 5000 0,01 +50. q r r q

Kui toodetakse q tooteühikut, siis vajatakse selleks r ühikut toorainet. Kuna tooraineühiku hind

on 1 EUR, siis q tooteühiku tootmise muutuvkulu EURides on 21 0,01 +50.r q Järelikult

tootmise kogukulufunktsioon on 2( ) 0,01 +1000.C q q

b) kogutulufunktsioon on ( ) 8 ,R q q kasumifunktsioon 2( ) 8 0,01 1000.q q q

Funktsioonide C(q), R(q) ja π(q) graafikud on esitatud joonisel 4.3.2.


4.3.16. Et nõudlusfunktsioonist saame avaldada 100 0,8 ,p q võib ettevõtte tulufunktsiooni

esitada kujul 2( ) 100 0,8 .R q q q Ettevõte on kasumis, kui ( ) ( )R q C q ehk

2 2 2100 0,8 0,8 16 310,4 1,6 84 310,4 0.q q q q q q

12

Lahendades saadud võrratuse, saame 4 48,5.q

4.3.17. a) Leiame tasakaluhinna: 2 400 49 20p p * 8,24.p Tasakalukogus on siis

* 2 8,24 400 383,52;q tulu 383,52 8,24R 3160 rahaühikut.

b) Antud juhul pakutav kogus ületab kahekordselt nõutavat kogust, st

49 20 2 ( 2 400)p p 15,47.p

c) Antud juhul 2 400 2 (49 20)p p .6,3p

4.3.18. Kuna ( )

( ) ,C q

AC qq

siis ( ) ( ),C q q AC q mistõttu 2( ) 3 .C q q Et nõudlus-

funktsioonist saame 49 4 ,p q siis tulufunktsioon on 2( ) 49 4R q q q ning kasumi-

funktsioon seega 2( ) 7 49 .q q q

2( ) 7 49q q q

4.3.19. Kuna ( ) ( )C q q AC q (vt ülesande 4.3.18 lahendust), siis 2( ) 2 5 80.C q q q

Arvestades, et tulufunktsiooniks saame funktsiooni 2( ) 65 8 ,R q q q siis kasumifunktsioon on

2( ) 10 60 80.q q q Ettevõte saab majanduskasumit, kui ( ) 0q ehk

210 60 80 0.q q Selle ruutvõrratuse lahendiks saame 2 4.q

4.3.20. a) Kuna ( ) 300 2000C q q ja 500 2 ,p q siis tulufunktsioon on 2( ) 500 2R q q q

ning kasumifunktsioon2( ) 2 200 2000;q q q

b) ;2800)40( ;2000)100(

c) Võttes valemis (4.3.2) 0 200p ja 2,b saame 50,optq .3000)50(

4.3.21. a) ei sobi kasumifunktsiooniks, sest (0) 7000, st mitte midagi tootes on võimalik

saada majanduskasumit, mis pole loogiline. Sobivad b) ja c).

4.3.22. a) Kuna siin keskmine muutuvkulu ( ) 500AVC q ning ( )

( ) ,VC q

AVC qq

siis

( ) ( )VC q q AVC q , mistõttu muutuvkulu ( ) 500 .VC q q Et nüüd kogukulufunktsioon on

( ) 500 8000C q q ja tulufunktsiooniks saame 2( ) 1000 0,71 ,R q q q siis kasumifunktsioon

on 2( ) 0,71 500 8000;q q q

b) 10078)300( eurot nädalas;

13

c) Võttes valemis (4.3.2) 0 500p ja 0,71,b saame 352,optq .02880)352(

Documents

4. MAJANDUSES KASUTATAVAID FUNKTSIOONE