Embed Size (px)
Citation preview
56
4. NESTACIONARAN PRENOS TOPLOTE KONDUKCIJOM
Temperatura nestacionarnog sistema sa raspodeljenim parametrima je funkcija vremena i jedne ili više koordinata, recimo: ),,,( tzyxT . Za funkciju ),,,( tzyxT se koriste termini: temperaturno polje i temperaturni profil. Matematički modeli nestacionarnog prenosa toplote u sistemu sa raspodeljnim parametrima, čijim se rešavanjem dobija temperaturno polje, imaju oblik parcijalnih diferencijalnih jedna čina. Oni se mogu izvesti formulisanjem bilansa energije, čija je opšta forma data jednačinom (1.1):
za element (deo) sistema čije su dimenzije besknačno male u u onim pravcima duž kojih se temperatura menja, a u ostalim pravcima element se prostire do granica sistema. To je, za slučaj sistema pravougaone geometrije (kvadar), dimenzija Lx×Ly×Lz, ilustrovano na slici 4.1.
Slika 4.1. Elementi sistema sa raspodeljenim parametrima koji se bilansiraju: a) Temperatura se menja samo u x – pravcu, ),( txT ;
b) Temperatura se menja u x i y pravcu, ),,( tyxT ; c) Temperatura se menja u sva tri pravca, ),,,( tzyxT
4.1 Jednodimenzioni prenos toplote
Najjednostavniji slučaj nestacionarnog prenosa je da se temperatura menja samo u jednom od pravaca koordinatnog sistema i on se naziva jednodimenzioni prenos. U slučaju pravougaone geometrije, kao i cilindrične geometrije pri čemu se temperatura menja samo u aksijalnom pravcu (podužno), u pitanju je funkcija ),( txT . U praksi se sreću i
Ulaz - Izlaz + Generisanje = Akumulacija u sistemu u sistemu
57
jednodimenzioni prenos u radijalnom pravcu (duž radijalne koordinate), r kroz telo cilindričnog oblika i kroz telo sfernog oblika, odnosno temperaturni profil ),( trT .
Prenos toplote kroz ravan zid
Skica tela pravougaonog oblika (ravan zid ili sloj) po čijoj debljini (x – pravac) se menja temperaturno polje, te u tom pravcu postoji fluks toplote, data je na Sl. 4.2a). Radi izvođenja jednačine prenosa, posmatra se, kao element tela, sloj beskonačno male debljine dx, normalan na pravac prenosa toplote (Sl. 4.2b)
Slika 4.2. a) Sistem; b) Element sistema, koji se bilansira, u projekciji Pretpostavimo da postoji i generisanje toplote u sistemu. Praktični primeri generisanja su:
• stvaranje toplote pri proticanju električne struje kroz sistem,
• oslobađanje ili trošenje toplote zbog neke egzotermne ili endotermne reakcije u sistemu,
• oslobađanje ili trošenje latentne toplote pri faznim transformacijama (recimo oslobađanje latentne toplote zamrzavanja vode pri zamrzavanju hrane).
Označimo brzinu generisanja toplote po jedinici zapremine sistema sa )( 3mWgT . Radi pojednostavljenja modela, pretpostavimo da su fizička svojstva
medijuma: gustina ρ , specifična toplota vc i koeficijent provodljivosti toplot λ
konstantna (zanemarujemo uticaj promene temperature). Uz to, usvojićemo uobičajenu aproksimaciju za čvrste supstance:
)( kgKJcc pv =
Sa navedenim pretpostavkama, članovi u energetskom bilansu (koji svi imaju dimenziju WsJ = ), posmatranog elementa čija je zapremina: AdxdV = , su:
,Ax
TQul ∂
∂λ−== Ulaz
0
L
A
x +dx x x
(a)
izQ ulQ
dxx+ x x 0
o
(b)
58
dxAx
TA
x
TdA
x
TddQdQQQ uliz 2
2
, ∂∂λ−=
∂∂λ−=
∂∂λ−=+==Izlaz
Generisanje = AdxgdVg TT =
Akumulacija = Adxt
TcdV
t
Tc
t
Tdmcpp
v
∂∂ρ=∂
∂ρ=∆∆
Tako je energetski bilans:
Adxt
TcAdxgAdx
x
TpT ∂∂ρ=+∂
∂λ2
2
i očigledno je da možemo da ga podelimo sa Adx(zapremina elementa), pa je konačna jednačina:
)(),( 32
2
mWt
Tctxg
x
TpT ∂∂ρ=+∂
∂λ (4.1)
U slučaju da nema generisanja toplote, jednačina (4.1) se svodi na:
)(2
2
sKt
T
x
Ta
∂∂=
∂∂
(4.2)
gde je, pca ρλ= , toplotna difuzivnost.
Prenos toplote u radijalnom pravcu kroz cilindar
Element cilindra, za koga formiramo energetski bilans da bi izveli diferencijalnu jednačinu je cilindri čna ljuska beskonačno male debljine, dr (Sl. 4.3)
Slika 4.3. a) Sistem; b) Element sistema, koji se bilansira, u projekciji
o
r
r +dr
r
L
ulA
izQ
ulQ r + dr
r
izA
59
Zapremina posmatranog elementa je jednaka proizvodu površine njegove osnove i njegove visine, tj. površine kružnog prstena širine dr i dužine cilindra, L. Površina posmatranog kružnog prstena, beskonačno male širine je:
[ ] ( )drdrrrdrr +π=−+π 2)( 22
Beskonačno malu veličinu, dr koja figuriše u zbiru, u zagradi, možemo da zanemarimo u odnosu na r, pa je površina osnove jednaka rdrπ2 , a zapremina elementa:
rLdrdV π= 2
Uz iste pretpostavke kao i u slučaju ravnog zida, pojedini članovi bilansa su:
,Izlaz
2 Ulaz
dQQQ
rLr
TA
r
TQ
uliz
ulul
+==
π∂∂λ−=
∂∂λ−==
drr
Tr
rL
r
TrdLrL
r
TddQ
∂∂
∂∂⋅πλ−=
∂∂⋅πλ−=
π∂
∂λ−= 222
Generisanje = dVgT
Akumulacija = dVt
Tc
t
Tdmcp
v
∂∂ρ=∆
∆
Tako je energetski bilans:
)(2 WdVt
TcdVgdr
r
Tr
rL pT ∂
∂ρ=+
∂∂
∂∂⋅πλ
i posle deljenja sa zapreminom elementa, rLdrdV π= 2 :
)(),(1 3mW
t
Tctrg
r
Tr
rr pT ∂∂ρ=+
∂∂
∂∂⋅λ (4.3)
Ako izvršimo i naznačeno diferenciranje, jednačina glasi:
)(1 3
2
2
mWt
Tcg
r
T
rr
TpT ∂∂ρ=+
∂∂⋅+∂
∂λ (4.4)
Prenos toplote u radijalnom pravcu kroz sferu
Element sfere je sferna ljuska, beskonačno male debljine dr, data u projekciji na Sl.4.4. Zapremina elementa je:
60
[ ] drdrrdrrrdrrdV )33(3
4)(
3
4 2233 ++π=−+π=
Beskonačno male veličine 2 i drrdr zanemarujemo u odnosu ne 2r , pa za dV uzimamo:
drrdV 24π=
ulA
izQ
ulQ r + dr
r
izA
Slika 4.4. Sferna ljuska
Članovi u energetskom bilansu posmatranog elementa su:
,Izlaz
4 Ulaz 2
dQQQ
rr
TA
r
TQ
uliz
ulul
+==
π∂∂λ−=
∂∂λ−==
drr
Tr
rr
Trdr
r
TddQ
∂∂
∂∂πλ−=
∂∂⋅πλ−=
π∂
∂λ−= 222 444
Generisanje = dVgT
Akumulacija = dVt
TcdV
t
Tc
t
TdmCpp
v
∂∂ρ=∂
∂ρ=∆∆
Energetski bilans, nakon deljenja sa dV glasi:
)(1 322 mW
t
Tcg
r
Tr
rr pT ∂∂ρ=+
∂∂
∂∂⋅λ (4.5)
odnosno, nakon diferenciranja:
)(2 3
2
2
mWt
Tcg
r
T
rr
TpT ∂∂ρ=+
∂∂⋅+∂
∂λ (4.6)
61
4.2 Granični uslovi
Za dobijanje temperaturnog polja (tj. partikularnog rešenja dif. jednačine prenosa toplote) neophodni su i granični uslovi. Pošto u jednačinama (4.1), (4.4) i (4.6) figuriše prvi izvod po vremenu i drugi izvod po prostornoj koordinati, prema pravilu izloženom u pogl. 1.3, potreban nam je :
• jedan granični uslov po vremenu, koji se naziva početni uslov
• dva granična uslova po prostornoj koordinati
Neophodnost početnog uslova je fizički jasna, jer da bi mogli da predvidimo kako će se menjati temperatura tokom vremena u posmatranom telu (ravan zid, cilindar ili lopta), moramo da znamo početno stanje, tj početni temperaturni profil (ili raspodelu temperature) u telu:
)()0,(:0 xfxTt == (ravan zid) (4.7a)
)()0,(:0 rfrTt == (cilindar ili sfera) (4.7b)
Jednačine (4.7a,b) daju, u opštem obliku, potreban početni uslov. Ako je početni temperaturni profil uniforman, funkcije na desnim stranama jedn. 4.7a,b postaju konstante.
Da bi smo predvideli promene temperature u telu, nije dovoljan samo početni uslov, već je neophodno da znamo kako okolina deluje, tj. uslove na graničnoj površini tela sa okolinom. Oni su opisani graničnim uslovima. Tako, u slučaju ravnog zida, u pitanju su dve granične površine, pa se moraju definisati uslovi na granicama 0=x i Lx = (vidi Sl.4.2). U slučaju cilindra ili sfere, postoji samo jedna granična površina sa okolinom, na desnoj granici vrednosti prostorne promenljive, Rr = , gde je R poluprečnik cilindra ili sfere (vidi Sl.4.3). Drugi granični uslov se odnosi na levu granicu, 0=r (osa cilindra, tj. centar sfere).
U pogledu matematičke forme, razlikovaćemo tri tipa grani čnih uslova za obične i parcijalne diferencijalne jednačine:
1. Dirihleov (Dirichlet)
2. Nojmanov (Neuman)
3. Robinov (Robin)
Dirihleov uslov je najjednostavniji po formi i daje vrednost funkcije koja se traži (ovde temperaturno polje), na granici. U problemu prenosa toplote, to znači da je poznata temperatura na dodirnoj površini sa okolinom. Neka je recimo poznata temperatura ( 1TT = ) na levoj površini zida ( 0=x ). To zapisujemo kao:
)0(),0(:0 1 >== tTtTx (4.8a)
Ako je u pitanju spoljna površina cilindra ili sfere, onda imamo:
)0(),(: 1 >== tTtRTRr (4.8b)
Nojmanov uslov daje vrednost izvoda funkcije (ovde temperature) na granici. Prenos toplote kroz telo cilindričnog ili sfernog oblika ćemo imati kada se ono hladi ili
62
zagreva pod uticajem okoline. Ako je u pitanju hlađenje (temperatura okoline je niža od početne temperature tela), tokom vremena će temperatura na granici 0=r (osa cilndra ili centar sfere) da opada, ali će u bilo kom momentu biti najveća u celom radijalnom preseku tela. U slučaju zagrevanja pak, u osi cilindra (centru sfere), 0=r temperatura će imati minimum. Jasno je onda da će granični uslov na granici 0=r biti matematički uslov ekstremuma:
)0(0),(
:0 >=∂
∂= tr
trTr (4.9)
PRIMER 4.1 Posmatrajmo cilindar uniformne temperature, pT , čije su obe osnove
idealno izolovane.U jednom momentu (0=t ), cilindar stavimo u medijum niže temperature pTT <0 . Pošto imamo dejstvo okoline samo u radijalnom, a ne i u aksijalnom
pravcu (osnove cilindra su izolovane) uspostavljaju se samo radijalni gradijenti temperature u cilindru, tj. imaćemo jednodimenzioni prenos toplote. Uzećemo da je temperatura spoljnje površine cilindra jednaka temperaturi okoline 0T . Temperaturni
profili, ),( trT cilindra u raznim momentima od početka hlađenja su skicirani na slici Oni se dobijaju rešavanjem dif. jednačine (4.4) bez člana generisanja (nema generisanja toplote u telu):
)(1 3
2
2
mWt
T
r
T
rr
Ta ∂
∂=
∂∂⋅+∂
∂ (4.10)
sa graničnim uslovima:
)0(),(:
)0(0),(
:0
)0()0,(:0
0 >==
>=∂
∂=
≤≤==
tTtRTRr
tr
trTr
RrTrTt p
(4.10a)
0 R
∞=t 2t
1t pT
0T
r
0=t 12 tt >
Slika uz Primer 4.1. Temperaturni profili u toku hlađenja cilindra.
63
Dakle, u posmatranom problemu, na levoj granici imamo Nojmanov, a na desnoj, Dirihleov granični uslov.
Granični uslov: nulti parcijalni izvod po prostornoj promenljivoj (jedn. 4.9) imamo i u slučaju da je posmatrana granična površina idealno toplotno izolovana, i sledi iz Furijeovog zakona, što ilustruje sledeći primer.
PRIMER 4.2 Početna temperatura ravnog zida, debljine L , čija je leva površina( 0=x ) idealno izolovana, je pT . U jednom momentu ( 0=t ), temperatura desne površine ( Lx = )
se poveća na pTT >2 .Formulisati dif. jednačinu i granične uslove koji definišu
temperatno polje zida i skicirati temperaturne profile u različitim momentima.
Diferencijalna jednačina je data jednačinom (4.2). Početni uslov je:
)0(,),(:0 LxTtxTt p ≤≤== (4.11a)
Prepoznajemo Dirihleov granični uslov na desnoj granici.
)0(,),(: 2 >== tTtLTLx (4.11b)
Kako opisati uslov na levoj granici? Pošto je leva površina zida idealno izolovana, kroz nju ne postoji toplotni fluks, q )0( =q . Iz Furijeovog zakona ,
x
Tq
∂∂λ−=
onda sledi uslov Nojmanovog tipa:
)0(,0),(
:0 >=∂
∂= tx
txTx (4.11c)
0=t
∞=t
2T
x L 0
pT
1t
2t
3t
0< 321 ttt <<
Slika uz Primer 4. 2. Temperaturni profili zida
64
Preostaje da definišemo i najkomplikovaniji, Robinov granični uslov, koji ima oblik: linearna kombinacija funkcije i njenog izvoda ima zadatu vrednost. U primeru 4.1. smo pretpostavili da je temperatura omotača cilindra, koja je u dodiru sa okolinom, jednaka temperaturi okoline. Takva pretpostavka ima osnove samo ako je zanemarljiv pad temperature u graničnom sloju fluida uz površinu, što će biti slučaj ako je otpor prelazu toplote sa zida na fluid zanemarljiv u odnosu na otpor provođenju toplote kroz cilindar. Odnos veličina ta dva otpora, vezana na red, dat je bezdimenzionim Bajotovim (Biot) kriterijumom :
αλ=
λα=
1 Bi
LL (4.12)
L – karakteristična dimenzija, u slučaju cilindra : RL = pa uslov da temperatura površine bude jednaka temperaturi fluida glasi:
∞→>> Bi ili1 Bi (4.13)
Šta ako taj uslov nije zadovoljen (Bajotov broj je male ili umerene veličine)? U posmatranom slučaju hlađenja cilindra, temperatura površine je veća od temperature okoline:
0),( TtRT >
pa se ne može formulisati Dirihleov granični uslov. Da bi došli do neophodnog uslova, primenjujemo princip neprekidnosti toplotnog fluksa na graničnoj površini, koji u opštem slučaju glasi:
Ukupni fluks do granične povšine = Ukupni fluks od te površine (4.14)
jer ne postoji akumulacija toplote na samoj površini (toplotni kapacitet površine je jednak nuli, jer je njena masa jednaka nuli). Pod ukupnim fluksem se podrazumeva zbir specifičnih flukseva ( 2mW ) u slučaju da se toplota do ili od površine prenosi paralelno na više načina, napr. konvekcijom (prelaz toplote) i zračenjem. U posmatranom slučaju hlađenja cilindra,
Ukupni fluks toplote do površine = fluks provođenja toplote
Ukupni fluks toplote od površine = fluks prelaza toplote + fluks zračenja toplote
pa , ako zanemarimo zračenje, traženi uslov glasi:
[ ]0),(),(
: TtRTr
trTRr −α=
∂∂λ−= (4.15)
Treba da kažemo da u opštem slučaju, fluks provođenja figuriše u uslovu neprekidnosti fluksa (4.14), uvek sa negativnim predznakom (kao u jedn. 4.15). Međutim, fluks prelaza figuriše:
• sa pozitivnim predznakom, kao u jedn. (4.15), ako je smer prostorne koordinatne ose na posmatranoj granici od tela prema okolini, a
65
• ako je smer ose od okoline prema telu, taj izraz treba uzeti sa negativnim predznakom.
PRIMER 4.3 Početna temperatura ravnog zida, debljine L je jednaka temperaturi okoline,
0T . Od momenta 0=t , njegova desna površina )( Lx = se zagreva električnim toplotnim
izvorom, koji odaje toplotu zidu sa konstantnim fluksom, q. Formulisati odgovarajuće granične uslove za problem nestacionarnog prenosa toplote kroz posmatrani zid.
Pošto je leva granična površina )0( =x izložena dejstvu okoline, temperature 0T ,
za nju, važi uslov:
Fluks provođenja toplote do površine = Fluks prelaza toplote od površine u okolinu
Budući da je na posmatranoj površini smer x ose od okoline ka telu, izrazu za fluks prelaza datom u jedn. (4.15) treba dodati negativan predznak. Tako, granični uslov za levu površinu zida glasi:
[ ]x
txTTtTx
∂∂λ−=−α−= ),(
),0(:0 0 , ili
[ ]x
txTtTTx
∂∂λ−=−α= ),(
),0(:0 0 (4.16a)
Na desnoj granici je zadat fluks, pa je u pitanju Nojmanov granični uslov:
qx
txTLx =
∂∂λ−= ),(
: (4.16b)
gde se q dobija deljenjem snage električnog izvora (W) veličinom desne površine zida.
PRIMER 4.4 Usijana metalna lopta, temperature pT se od momenta 0=t hladi u
atmosferi, temperature 0T . Formulisati dif. jednačinu i granične uslove, koji definišu
temperaturno polje lopte.
Diferencijalna jednačina je data jednačinom (4.6), bez člana generisanja:
)(2
2
2
sKt
T
r
T
rr
Ta ∂
∂=
∂∂⋅+∂
∂ (4.17)
Početni uslov je:
pTrTt == )0,(:0 (4.17a)
Pošto je lopta usijana, mora se uzeti u obzir i zračenje, pa granični uslovi glase:
0),(
:0 =∂
∂=r
trTr (4.17b)
66
[ ] [ ]40
40 ),(),(
),(: TtRTTtRT
r
trTRr −εσ+−α=
∂∂λ−= (4.17c)
Treba da napomenemo da i za fluks zračenja u uslovu neprekidnosti fluksa važi isto pravilo kao za fluks prelaza toplote.
4.3. Višedimenzioni prenos toplote
Ako se temperatura u sistemu (nekom telu) menja duž dva ili tri koordinatna pravca, kažemo da se radi o dvo – ili trodimenzionom temperaturnom polju, odnosno o dvo – ili trodimenzionom prenosu toplote. Radi izvođenja jednačine prenosa, formira se energetski bilans za element čije su dimenzije beskonačno male u dva ili sva tri pravca (Vidi Sl. 4.1).
Analognim postupkom onom za ravan zid, za trodimenzioni prenos toplote u pravouglim koordinatama izvodi se :
)(),,,(),,,(),,,(),,,( 3
2
2
2
2
2
2
mWt
tzyxTcg
z
tzyxT
y
tzyxT
x
tzyxTpT ∂∂ρ=+
∂∂+∂
∂+∂∂λ
(4.18)
Od praktičnog interesa za modelovanje toplotnih operacija u prehrambenoj industiji je i dvodimenzioni prenos toplote, u aksijalnom (z) i radijalnom (r) pravcu, kroz cilindar . Jednačina prenosa glasi:
)(1 3
2
2
2
2
mWt
Tcg
z
T
r
T
rr
TpT ∂∂ρ=+
∂∂+∂
∂⋅+∂∂λ (4.19)
a njenim rešavanjem, uz odgovarajuće granične uslove, dobija se dvodimenziono, nestacionarno temperaturno polje cilindra: ),,( tzrT
PRIMER 4.5 Donja osnova cilindričnog tela, poluprečnika R i dužine L je idealno izolovana. Njegova početna temperatura je Tp. U jednom momentu telo se stavi u atmosferu, čija je temperatura, T0 niža od početne temperature cilindra. Formulisati diferencijalnu jednačinu i granične uslove, koji definišu temperaturno polje tela u toku njegovog hlađenja.
z
r R
LL
0
67
Pošto je cilindrično telo izloženo dejstvu okoline i u radijalnom i u aksijalnom pravcu, imamo dvodimenzioni prenos toplote, pa važi jednačina (4.19), bez člana generisanja.
t
T
z
T
r
T
rr
Ta ∂
∂=
∂∂+∂
∂⋅+∂∂
2
2
2
2 1 (4.20)
Pored početnog uslova:
)0,0()0,,(:0 LzRrTzrTt p ≤≤≤≤== (4.20a)
neophodna su još četiri granična uslova, po dva za svaku od prostornih koordinata:
[ ])0,0(
,),,(:
,0),,(
:0
0
>≤≤
−α=∂∂λ−=
=∂
∂=tLz
TtzRTr
TRr
r
tzrTr
(4.20b)
[ ])0,0(
,),,(:
,0),,(
:0
0
>≤≤
−α=∂∂λ−=
=∂
∂=tRr
TtLrTz
TLz
z
tzrTz
(4.20c)
4.4. Primena modela jednodimenzionog prenosa toplot e za približno rešavanje prakti čnih problema
Pri približnom modelovanju procesa termičke sterilizacije, rashlađivanja i zamrzavanja namirnica u prehrambenoj industriji, koristi se jednodimenzioni model prenosa bez generisanja toplote kroz telo pravilnog geometrijskog oblika (kvadar, cilindar ili lopta), jer za taj model postoji relativno jednostavno analitičko rešenje. Pri tom se primenjuju sledeće (glavne) aproksimacije (uprošćenja):
• idealizacija geometrijskog oblika sistema;
• aproksimacija višedimenzionog prenosa toplote, jednodimenzionim;
• zanemarivanje člana generisanja toplote u jednačini prenosa u slučajevima kada postoje fazne transformacije;
• zanemarivanje uticaja temperature na termofizička svojstva sistema: λρ ,, pC i
njihovo uprošćeno procenjivanje za hranu, kao složeni medijum
Za primenu rešenja modela jedno- ili višedimezionog prenosa toplote, neophodna je idealizacija stvarnog oblika tela. Tako se jaja, dinje, jabuke itd. aproksimiraju loptama, neke konzerve i peciva kvadrima, a neka peciva, viršle i banane cilindrima.
68
U stvarnosti je najčešće u pitanju dvo ili trodimenzioni prenos toplote. On se u nekim slučajevima može aproksimirati jednodimenzionim. Tako, ako je cilindri čno telo dugačko u odnosu na prečnik (praktičan kriterijum za to je: RL 6> ) ukupna površina osnova je znatno manja od površine omotača pa je uticaj okoline (koji je proporcionalan površini dodira) znatno manji u aksijalnom, nego u radijalnom pravcu. To daje osnovu da se posmatra prenos toplote, tj. promene temperature u telu, samo u radijalnom pravcu : ),( trT . Primer za ovaj slučaj su viršle ili banane. Ako je pak telo pljosnatog oblika, sa velikim površinama osnova u odnosu na debljinu (naprimer: testo za picu, pogača, biftek) onda se zanemaruje uticaj okoline kroz bočnu površinu tela i primenjuje se model jednodimenzionog prenosa kroz ravan zid.
Ako su prisutne fazne transformacije, na primer zamrzavanje vode i otapanje leda pri zamrzavanju hrane i otapanju zamrznute hrane, jednačina prenosa bi morala da sadrži član generisanja toplote. Kod približnog modelovanja on se zanemaruje, a greška može da se smanji odgovarajućim korigovanjem specifične toplote medijuma (smanjenje kod zamrzavanja i povećanje kod otapanja)
Poseban problem predstavlja procenjivanje neophodnih fizičkih parametara λρ ,, pC , s obzirom da je hrana vrlo složen medijum i da se tokom termičke obrade često
menja konzistencija i sastav. U literaturi (Toledo, 2007), postoje jednačine za procenjivanje potrebnih svojstava sa zadovoljavajućom tačnošću za potrebe projektovanja i inženjerske analize termičkih procesa u prehrambenoj industriji.
PRIMER 4.6 Jaje se može aproksimirati sferom prečnika cm5 . Pošto je sadržaj vode u jajetu visok, oko 74% , toplotna difuzivnost jajeta, a se može aproksimirati onom za vodu. Jaje, čija je početna temperatura C05 treba skuvati u ključaloj vodi temperature 95C0 . Koeficijent prelaza toplote sa ključale vode na jaje je KmW 21200=α . Treba proceniti
neophodno vreme kuvanja jajeta da bi temperatura centra dostigla C070 . Formulisati odgovarajući model i predložiti postupak rešavanja postavljenog problema.
Za rešavanje problema je neophodno temperaturno polje u jajetu u toku kuvanja, tj. funkcija ),( trT . Ona se dobija kao rešenje sledećeg matematičkog modela (dif. jednačina i granični uslovi):
t
T
r
T
rr
Ta ∂
∂=
∂∂⋅+∂
∂ 22
2
)5()0,(:0 0CTrTt p ===
0),(
:0 =∂
∂=r
trTr
[ ] )95(),(),(
: 000 CTTtRT
r
trTRr =−α=
∂∂λ−=
Potrebne parametre λ i a nalazimo iz tablica za vodu, za srednju temperaturu: ( ) C05.372705 =+ . Rešenje, tj. funkcija ),( trT se može naći u literaturi. Da bismo dobili traženo vreme kuvanja, rešićemo po t jednačinu:
69
70),0( =tT
4.5. Temperaturni profil u ravnom zidu vrlo velike površine
Posmatrajmo prenos toplote kroz zid debljine 2L i vrlo velike površine (pa se prenos toplote može aproksimirati jednodimenzionim), koji je na početku imao temperaturu Tp, i od jednog momenta ( 0=t ) je, sa obe strane, izložen uticaju okoline, temperature 0T (Sl.
4.5). Neka je koeficijent prelaza toplote sa zida na okolni fluid jednak α. Na Sl.4.5 su skicirani temperaturni profili u zidu u momentima: ∞=∞<<= ttt i 0,0 . Uočljiva je njihova simetričnost, što navodi na ideju da se posmatra samo desna polovina zida, tj. da se početak ose x postavi u centralnu ravan zida. Na osnovu iskustva, stečenog kroz prethodne primere, nije teško formulisati matematički model (diferencijalnu jednačinu i granične uslove), koji opisuje temperaturno polje ),( txT zida:
)0(2
2
Lxt
T
x
Ta <<
∂∂=
∂∂
(4.21)
pTxTt == )0,(:0 (4.21a)
0:0 =∂∂=
x
Tx (4.21b)
[ ]0),(: TtLTx
TLx −α=
∂∂λ−= (4.21c)
Slika 4.5. Temperaturni profil zida debljine 2L
Prevođenje matemati čkog modela u bezdimenzioni oblik
Pre no što se pristupa rešavanju matematičkog modela, korisno je da se on prevede u bezdimenzioni oblik, smenom promenljivih. Uvešćemo bezdimenzionu temperaturu, θ i bezdimenzionu prostornu koordinatu, z kao:
∞<< t0
0 L
∞=t
pT
0T
x
0=t
70
θ=−−
0
0
TT
TT
p
(4.22a)
zL
x= (4.22b)
odnosno,
00 )( TTTT p +θ−= (4.23a)
Lzx = (4.23b)
Da bi uveli smenu promenljivih u jednačinu (4.21), potrebno je izvod originalne zavisno promenljive, T po vremenu, izraziti preko izvoda nove zavisno promenljive θ , po vremenu. Takođe, treba drugi izvod 22 xT ∂∂ izraziti preko izvoda 22 z∂θ∂ . To nije teško izvesti,
• primenjujući pravilo diferenciranja složene funkcije - podsetimo se, da ako je y funkcija promenljive u, a u funkcija od x, sledi da je y (složena) funkcija od x:
)()(),( xFyxuufy =⇒ϕ==
i ako nas zanima izvod od y po x, on se dobija kao:
dx
xd
du
udf
dx
du
du
dy
dx
dy )()( ϕ⋅==
• formalno posmatrajući v∂ , gde je v bilo koja promenljiva, kao njen priraštaj i imajući u vidu da je količnik priraštaja dve promenljive jednak izvodu prve po drugoj. Tako se priraštaj jedne od dve promenljive dobija kao proizvod izvoda po drugoj promenljivoj i priraštaja te, druge promenljive.
Tako, ako u izvodu tT ∂∂ brojilac T∂ posmatramo kao priraštaj temperature, on je
prema (4.23a) jednak θ∂− )( 0TTp (jer je 0TTddT p −=θ ), i smenom u tT ∂∂ dobijamo:
t
TTt
Tp ∂
θ∂−=∂∂
)( 0 (4.24a)
Da bi smo našli 22 xT ∂∂ , moramo prvo da nađemo prvi izvod, xT ∂∂ . Njega lako
dobijamo tako što priraštaj T∂ zamenjujemo sa θ∂− )( 0TTp , a priraštaj x∂ sa zL∂
(prema 4.23b). Dakle,
zL
TT
x
T p
∂θ∂−
=∂∂ 0 (4.24b)
Da bi smo našli drugi izvod po x, primenićemo pravilo diferenciranja složene funkcije:
71
dx
dz
zzL
TT
zxL
TT
x
T
xx
T pp
∂θ∂
∂∂−=
∂θ∂
∂∂−=
∂∂
∂∂=∂
∂ 00
2
2
Pošto je prema (22b) : Ldxdz 1= , konačno dobijamo:
2
2
2
0
2
2
zL
TT
x
T p
∂θ∂−
=∂∂
(4.24c)
Preostalo je da uvedemo izraze (4.24a) i (4.24c) u diferencijalnu jednačinu i u granične uslove. Tako dif. jednačina dobija oblik:
)( 12
2
2−
∂θ∂=
∂θ∂
stzL
a (4.25)
Očigledno je da nismo jednačinu preveli u bezdimenzionu i za to je neophodno izvšiti smenu i druge nezavisno promenljive – vremena t, nekom bezdimenzionom promenljivom τ - bezdimenzionim vremenom. Smena koja pojednostavljuje jednačinu (4.25) je :
2L
at=τ (4.26)
U literaturi se bezdimenziona grupa (4.26) zove Furijeov broj (Fourier) i može se interpretirati kao odnos brzine provođenja toplote (fluksa provođenja) i brzine akumulacije toplote u zidu. Zaista,
Da bi uveli bezdimenziono vreme τ u jednačinu, priraštaj t∂ u izvodu t∂θ∂
zamenjujemo sa τ∂)( 2 aL (prema 4.26), što daje:
τ∂θ∂=
∂θ∂
2L
a
t
i smena dobijenog izvoda u jed. (4.25) konačno daje bezdimenzionu jednačinu prenosa toplote kroz zid:
Brzina akumulacije
Fluks provođenja
Zapremina
Površina Gradijent temperature
}
=∆ρ
∆λ=∆
∆ρλ==τ
3
2
22
Lt
TC
LL
T
L
L
T
T
LC
t
L
at
pp
43421
Akumulacija po jed. zapremine
72
)10(2
2
<<τ∂θ∂=
∂θ∂
zz
(4.27)
čijim rešavanjem, uz granične uslove, dobijamo bezdimenzioni temperaturni profil ),( τθ z . Preostalo je još da smene (4.22a, b i 4.26) uvedemo i u granične uslove (21a-c).
Ako je 0=t , onda je, prema (4.26) i 0=τ , a ako je pTT = , iz (4.22a) sledi 1=θ . Tako
za početni uslov dobijamo:
1)0,(:0 =θ=τ z (4.27a)
Granici 0=x odgovara 0=z , a ako je 0=∂∂ xT , iz (4.24b) sledi 0=∂θ∂ z , pa iz uslova (4.21b) sledi bezdimenzioni uslov:
0:0 =∂θ∂=z
z (4.27b)
Uvodeći izraz (4.24a) u levu stranu graničnog uslova (4.21c), a smenu (4.22a) u desnu stranu, dobijamo:
θλα=
∂θ∂−⇒θ−α=
∂θ∂−
λ− L
zTT
zL
TTp
p )( 00
Tako, uslov na desnoj granici za bezdimenzioni temperaturni profil ),( τθ z glasi:
),1(Bi:1 τθ⋅=∂θ∂−=z
z (4.27c)
gde je Bi Bajotov broj, koga smo definisali jednačinom (4.12) i dali njegovu fizičku interpretaciju. Parcijalna diferencijalna jednačina (4.27) sa graničnim uslovima (4.27a – c) ima vrlo kompleksno rešenje u obliku beskonačnog reda (Sissom i Pitts, 1972):
iii
ii
i
zez i
δδ+δδδ=τθ ∑
∞
=
τδ−
cossin
sincos2),(
1
2
(4.28)
gde su iδ redom svi koreni, poređani po veličini (ima ih beskonačno mnogo- vidi Sl.4.6)
karakteristi čne jednačine:
0Bi,tan >δ=δδ (4.28a)
i očigledno zavise od veličine Bajotovog broja. Srećom, za 2.0>τ , suma (4.28) je približno jednaka njenom prvom sabirku (sabirci u zbiru 4.28 brzo opadaju), pa se približan temperaturni profil dobija kao:
2.0),cos(),(
),( 110
0 21 >τδ=
−−=τθ τδ− LxeATT
TtxTx
p
(4.29)
gde su: L – poludebljina zida;
73
−δ1 najmanji pozitivan koren jednačine (4.28a) – vidi Sl. 4.6;
111
11 cossin
sin2
δ⋅δ+δδ=A (4.29a)
U literaturi (Çengel, 1998) se mogu naći vrednosti parametara 1 1 i Aδ tabelirani za različite vrednosti Bi (Tabela 4.1.).
Slika 4.6. Koreni jedn. (4.28a), za 1Bi = kao preseci krivih x1 i xtan
Slučaj vrlo velikog Bajotovog broja
Ako je Bajotov broj (4.12) vrlo veliki, što znači da je zanemarljiv otpor prenosu toplote kroz granični sloj uz površinu zida (prelaz toplote), u odnosu na otpor provođenju toplote kroz zid granični uslov na površini zida (4.27c) se pojednostavljuje:
( )0),(0),1(:1 TtLTz ==τθ= (4.30)
što nije teško izvesti, imajući u vidu da prozvod čiji jedan faktor teži beskonačnosti (kao u jedn. 4.27c) može biti konačan samo ako drugi činioc istovremeno teži nuli. Rezultat jednostavnijeg graničnog uslova je i jednostavnije rešenje:
( ) [ ] ])5.0cos[()5.0(exp5.0
)1(2),(
0
22 ziii
zi
i
π+τπ+−π+
−=τθ ∑∞
=
(4.31)
Beskonačni red (4.31) se pri rešavanju praktičnih problema zamenjuje sumom prvih nekoliko sabiraka, jer sabirci u posmatranoj sumi brzo opadaju.
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
1
x
tan x( )
x
74
Temperatura centra zida
Od praktičnog je interesa temperatura u centru (centralnoj ravni) zida i za 2.0>τ se sa dovoljnom tačnošću dobija iz formule koju dobijamo kada u jedn (4.29) zamenimo:
0=z
2.0,),0(
),0(21
10
0 >τ=−−=τθ τδ−eATT
TtT
p
(4.32)
U slučaju 1Bi >> , temperaturu centra zida dobijamo iz rešenja (4.31), uzimajući samo jedan sabirak (za veće vrednosti τ ) ili nekoliko sabiraka, recimo tri:
( ) [ ]( ) ( ) ( )
τπ−+τπ−−τπ−π=
=τπ+−π+−=τθ ∑
=
222222
2
0
22
5.2exp5.2
15.1exp
5.1
15.0exp
5.0
12
)5.0(exp5.0
)1(2),0(
i
i
ii
(4.32a)
PRIMER 4.7 Početna temperatura velike mesingane ploče, debljine 2cm, je C020 . Ona se zagreva dok prolazi kroz peć u kojoj je temperatura C0500 . U peći ostaje 7min. Kombinovani koeficijent prelaza toplote i zračenja u peći je : KmW 2120=α . Za
termofizička svojstva mesinga uzeti: kgKJcmkgmKW p 380,8530,110 3 ==ρ=λ
a) Izračunati temperaturu površine ploče i temperaturu u njenom centru, neposredno po izlasku ploče iz peći. b) Nacrtati temperaturni profil ploče, neposredno po izlasku iz peći (Rešenje u Mathcad-u, P 4.7) PRIMER 4.8 Potrebno je rashladiti šnicle, debljine 1in, početne temperature F075 , u zamrzivaču u kome se temperatura održava na F05 , tako da nijedan deo šnicle ne bude ohlađen na temperaturu nižu od F035 ( C02 ) (izbegavanje zamrzavanja). Koeficijent prelaza toplote pri hlađenju je )(9.3 02 FfthrBTU ⋅
a) Izračunati potrebno vreme rashlađivanja.
b) Proveriti da li je temperatura u sredini šnicle nakon rashlađivanja spala ispod propisane gornje granice, koja iznosi F045
c) Ispitati, pod uslovom da je zadovoljen dati uslov nezamrzavanja, kako promena intenziteta rashlađivanja, tj. vrednosti koeficijenta prelaza toplote utiče na temperaturu sredine šnicle i na ispunjavanje drugog uslova – maksimalno dozvoljene temperature. Dati inženjersko tumačenje zapaženog.
Za šniclu uzeti sledeće vrednosti termofizičkih parametara:
FlbBTUcftlbFfthBTU p030 98.0,9.74),(26.0 ==ρ⋅⋅=λ
(Rešenje u Mathcad-u, P 4.8)
75
Tabela 4.1 - Parametri 11 i Aδ u izrazu za temperaturni profil
Ravan zid Cilindar Sfera Bi
1δ A1 1δ A1 1δ A1 0.01 0.0998 1.0017 0.1412 1.0025 0.1730 1.0030 0.02 0.1410 1.0033 0.1995 1.0050 0.2445 1.0060 0.04 0.1987 1.0066 0.2814 1.0099 0.3450 1.0120 0.06 0.2425 1.0098 0.3438 1.0148 0.4217 1.0179 0.08 0.2791 1.0130 0.3960 1.0197 0.4860 1.0239 0.1 0.3111 1.0161 0.4417 1.0246 0.5423 1.0298 0.2 0.4328 1.0311 0.6170 1.0483 0.7593 1.0592 0.3 0.5218 1.0450 0.7465 1.0712 0.9208 1.0880 0.4 0.5932 1.0580 0.8516 1.0931 1.0528 1.1164 0.5 0.6533 1.0701 0.9408 1.1143 1.1656 1.1441 0.6 0.7051 1.0814 1.0184 1.1345 1.2644 1.1713 0.7 0.7506 1.0918 1.0873 1.1539 1.3525 1.1978 0.8 0.7910 1.1016 1.1490 1.1724 1.4320 1.2236 0.9 0.8274 1.1107 1.2048 1.1902 1.5044 1.2488 1.0 0.8603 1.1191 1.2558 1.2071 1.5708 1.2732 2.0 1.0769 1.1785 1.5995 1.3384 2.0288 1.4793 3.0 1.1925 1.2102 1.7887 1.4191 2.2889 1.6227 4.0 1.2646 1.2287 1.9081 1.4698 2.4556 1.7202 5.0 1.3138 1.2403 1.9898 1.5029 2.5704 1.7870 6.0 1.3496 1.2479 2.0490 1.5253 2.6537 1.8338 7.0 1.3766 1.2532 2.0937 1.5411 2.7165 1.8673 8.0 1.3978 1.2570 2.1286 1.5526 2.7654 1.8920 9.0 1.4149 1.2598 2.1566 1.5611 2.8044 1.9106 10.0 1.4289 1.2620 2.1795 1.5677 2.8363 1.9249 20.0 1.4961 1.2699 2.2880 1.5919 2.9857 1.9781 30.0 1.5202 1.2717 2.3261 1.5973 3.0372 1.9898 40.0 1.5325 1.2723 2.3455 1.5993 3.0632 1.9942 50.0 1.5400 1.2727 2.3572 1.6002 3.0788 1.9962 100.0 1.5552 1.2731 2.3809 1.6015 3.1102 1.9990 ∞ 1.5708 1.2732 2.4048 1.6021 3.1416 2.000
4.6. Temperaturni profil u sloju vrlo velike površi ne i debljine (polu-beskona čan medijum)
Neka su poznati uslovi na površini kontakta sloja vrlo velikih dimenzija sa okolinom - temperatura okoline i koeficijent prelaza toplote (vidi Sl. 4.7) i njegova početna temperatura.. Potrebno je odrediti temperaturno polje ),( txT sloja. Opisan problem je u literaturi poznat kao problem jednodimenzionog prenosa toplote kroz polu-beskonačan medijum. Njegovo rešenje ima prakti čnu primenu i kod slojeva (zidova) konačne debljine u kraćim vremenskim intervalima, tj u problemima u kojima je dejstvo okoline - hlađenje ili zagrevanje, prodrlo do relativno malog rastojanja (u odnosu na debljinu sloja) od granične površine. Da bi našli temperaturno polje ),( txT polubeskonačnog
76
medijuma, rešavamo dif, jednačinu jednodimenzionog prenosa toplote, sa odgovarajućim graničnim uslovima:
)0(2
2
∞<<∂∂=
∂∂
xt
T
x
Ta (4.33)
pTxTt == )0,(:0 (4.33a)
[ ]),0(:0 0 tTTx
Tx −α=
∂∂λ−= (4.33b)
pTtxTx →∞→ ),(: (4.33c)
Slika 4.7. Skica polubeskonačnog medijuma
Uvešćemo bezdimenzionu temperaturu:
000
0 )(, TTTTTT
TTp
p
+θ−=−−=θ
Imamo:
t
TTt
Tp ∂
θ∂−=∂∂
)( 0
2
2
02
2
0 )(,)(x
TTx
T
xTT
x
Tpp ∂
θ∂−=∂∂
∂θ∂−=
∂∂
i nakon smene u jednačinu i u granične uslove, model dobija oblik:
77
tx
a∂θ∂=
∂θ∂2
2
(4.34)
1)0,(:0 =θ= xt (4.34a)
),0(:0 tx
x αθ=∂θ∂λ= (4.34b)
1),(: →θ∞→ txx (4.34c)
Rešenje modela glasi (Çengel, 1998):
λα+⋅
λα+λ
α+
=−−=θ at
at
xat
x
at
x
TT
TtxTtx
p 2erf-1exp
2erf
),(),(
2
0
0 (4.35)
gde je erf funkcija greške, definisana kao:
∫ −
π=
xz dzex
0
22)(erf (4.36)
U literaturi (Toledo, 2007) se može naći uslov za primenu jednačine (4.35) za procenjivanje temperatura u blizini granične površine zida, konačne debljine, umesto egzaktne jednačine (4.28):
02.0Bi00756.0 3.02
+<=τ −
L
at (4.37)
PRIMER 4.9 Komad govedine, debljine 20cm, temperature C038 je unet u hladan prostor, temperature C05 .Proceniti temperaturu na rastojanju 2cm od površine, nakon 20min. Podaci:
KmWkgKJcmKWmkg p23 20,3558,44.0,1042 =α==λ=ρ
(Rešenje u Mathcad-u, P 4.9)
4.7 Temperaturni profil dugog cilindra
Kao što smo već napomenuli, prenos toplote u dugom cilindru ( RL 6> ), može se aproksimirati jednodimenzionim. Temperaturni profil dugog cilindra, ),( trT početne
temperature pT , izloženog dejstvu okoline temperature 0T , dobijamo kao rešenje sledećeg
matematičkog modela:
t
T
r
T
rr
Ta ∂
∂=
∂∂⋅+∂
∂ 12
2
78
[ ]0),(),(
:
0),(
:0
)0()0,(:0
TtRTr
trTRr
r
trTr
RrTrTt p
−α=∂
∂λ−=
=∂
∂=
≤≤==
On se smenama promenljivih (4.22a, 4.26) i
R
r
L
rz == ,
pri čemu se za karakterističnu dimenziju L uzima poluprečnik cilindra R, prevodi u bezdimenzioni oblik:
)10(,1
2
2
<<τ∂θ∂=
∂θ∂⋅+
∂θ∂
zzzz
(4.38)
1)0,(:0 =θ=τ z (4.38a)
0:0 =∂θ∂=z
z (4.38b)
),1(Bi:1 τθ=∂θ∂−=z
z (4.38c)
pri čemu je Bajotov broj definisan jednačinom (4.12), uz RL = .
Rešenje bezdimenzionog modela (Sissom i Pitts, 1972) ima oblik beskonačnog reda, koji je još složeniji od onog u problemu zida (jedn. 4.28) jer umesto trigonometrijskih funkcija u njemu figurišu specijalne funkcije pod nazivom Beselove, koje su i same definisane beskonačnim redovima. Za veće vrednosti Furijeovog broja τ , suma se može aproksimirati samo njenim prvim sabirkom, pa približno rešenje glasi:
2.0),(),(
),(2101
0
0 21 >=τδ=
−−=τθ τδ−
R
atRrJeA
TT
TtrTr
p
(4.39)
Vrednosti parametara 11 i δA zavise od Bajotovog broja i nalaze se u tabeli, Tab. 4.1.
)(0 xJ je Beselova funkcija prve vrste, nultog reda i definisana je beskonačnim redom:
L+−+−+−=
−=∑∞
=28
8
026
6
24
4
2
22
20)!4(2)!3(2)!2(22
12)!(
)1()(
xxxxx
nxJ
n
nn
(4.40)
U Mathcad-u postoji odgovarajuća funkcija za dobijanje njenih vrednosti.
79
Temperatura u osi cilindra
Iz (4.39) dobijamo formulu za približno izračunavanje temperature u osi cilindra ( 0=r ):
2.0,),0(
),0(21
0
0 21 >=τ=
−−=τθ τδ−
R
ateA
TT
TtT
p
(4.41)
PRIMER 4.10 Treba proceniti vreme potrebno da se temperatura u centru krastavca smanji sa F080 na F040 u hladnjači u kojoj se temperatura održava na F035 . Poluprečnik krastavca je cmR 9.1= , a dugačak je cmL 16= . Koeficijent prelaza toplote u hladnjači ima vrednost KmW 2180=α .Termofizička svojstva krastavca
su: smamKW 271046.1,62.0 −×==λ . (Rešenje u Mathcad-u, P 4.10)
4.8 Temperaturni profil sfere
Bezdimenzioni temperaturni profil sfere, ),( τθ r se dobija kao rešenje modela:
)10(,2
2
2
<<τ∂θ∂=
∂θ∂⋅+
∂θ∂
zzzz
(4.42)
1)0,(:0 =θ=τ z (4.42a)
0:0 =∂θ∂=z
z (4.42b)
),1(Bi:1 τθ=∂θ∂−=z
z (4.42c)
Rešenje bezdimenzionog modela se dobija u obliku beskonačnog reda (Sissom i Pitts, 1972):
Rr
Rrer
i
i
i iii
iii
δδ
δ⋅δ−δδδ−δ=τθ τδ−
∞
=∑ )sin(
cossin
cossin2),(
21
1
(4.42d)
gde su iδ pozitivni koreni karakteristi čne jednačine:
δ=−δ
tanBi1
(4.42e)
Za veće vrednosti Furijeovog broja τ , suma se može aproksimirati samo njenim prvim sabirkom, pa približno rešenje glasi:
80
2.0,)sin(),(
),(2
1
11
0
0 21 >=τ
δδ=
−−=τθ τδ−
R
at
Rr
RreA
TT
TtrTr
p
(4.43)
gde je,
111
1111 cossin
cos)sin(2
δ⋅δ−δδδ−δ=A (4.43a)
Temperatura u centru sfere
Iz (4.43) dobijamo:
2.0,),0(
),0(21
0
0 21 >=τ=
−−=τθ τδ−
R
ateA
TT
TtT
p
(4.44)
PRIMER 4.11 Jaje se može aproksimirati sferom prečnika cm5 . Pošto je sadržaj vode u jajetu visok, oko 74% , za termofizičke parametre λ i a, mogu se uzeti oni za vodu: na srednjoj temperaturi C05.372)705( =+ smamKW 2610151.0,627.0 −×==λ . Jaje,
čija je početna temperatura C05 , treba skuvati u ključaloj vodi temperature 95C0 . Koeficijent prelaza toplote sa ključale vode na jaje je KmW 21200=α . Proceniti vreme,
potrebno da se jaje skuva, tj. da temperatura u centru dostigne C070 . (Rešenje u Mathcad-u, P 4.11)
PRIMER 4.12 U poznatom kuvaru Betty Crocker’s Cookbook, piše da je za pečenje krmenadle od 3.2 kg, početne temperature F040 , u rerni, na temperaturi
F0325 potrebno minh 452 . Krmenadla je meko pečena, kada temperatura u centru
dostigne C060 . Krmenadla se može aproksimirati homogenim sfernim objektom sa svojstvima:
mKWkgKkJcmkg p 45.0,1.4,1200 3 =λ==ρ .
Na osnovu datih podataka,
a) Proceniti koeficijent prelaza toplote u rerni, imajući u vidu da se njegove vrednosti kreću u intervalu KmW 230050− ,
b) Izračunati temperaturu spoljnje površine krmenadle, kada je pečena.
(Rešenje u Mathcad-u, P 4.12)
81
4.9 Dobijanje višedimenzionih temperaturnih prof ila iz jednodimenzionih
U prethodnim izlaganjima smo objasnili kako se izračunavaju jednodimenzioni nestacionarni temperaturni profili, ),( txT , koji su rezultat nestacionarnog prenosa toplote bez generisanja, u koordinatnom pravcu x, kroz:
• zid (sloj) velike površine
• polubeskonačan medijum
• dugi cilindar
• sferu
i ilustrovali praktičnu primenu u nekim problemima zagrevanja i hlađenja u prehrambenoj tehnologiji. U praksi se suočavamo sa problemom definisanja dvo- i tro- dimenzionih temperaturnih profila, naprimer u:
• kratkom cilindru, ),,( trxT
• telu oblika kvadra, ),,,( tzyxT
U teoriji je izveden princip superpozicije jednodimenzionih profila, prema kome se višedimenzioni profil, u odsustvu generisanja toplote, dobija kao proizvod rešenja jednodimenzionih problema prenosa toplote ( tj. jednodimenzionih temperaturnih profila) za tela čijim presekom se dobija posmatrano telo, a koja su izložena dejstvu iste okoline, temperature 0T . Treba naglasiti da se opisani princip primenjuje na profile u
bezdimenzionom obliku, koje smo označavali slovom θ .
Posmatrajmo na primer kratki cilindar visine H i poluprečnika R , temperature
pT , koji se u momentu 0=t izloži dejstvu okoline, temperature 0T . Kao rezultat dejstva
okoline, temperatura u cilindru će se menjati i u aksijalnom (x) i u radijalnom (r) pravcu , dakle uspostavlja se dvodimenziono temperaturno polje ),,( trxT . Posmatrani cilindar se dobija kao presek ravnog sloja vrlo velike površine, debljine H i dugog cilindra, poluprečnika R (vidi Sl.4.8) , pa u skladu sa opisanim principom superpozicije, važi:
cilindardugi0
0
sloj0
0
cilkindarkratak0
0 ),(),(),,(
−−
−−=
−−
TT
TtrT
TT
TtxT
TT
TtrxT
ppp
(4.45)
ili, kraće:
),(),(),,(
cilsloj
cilkindarkratak0
0 trtxTT
TtrxT
p
θ⋅θ=
−−
(4.46)
gde je u slučaju 2.0>τ , funkcija ),(sloj txθ definisana jednačinom (4.29), pri čemu je
2HL = , a funkcija ),(cil trθ jednačinom (4.39).Kao drugi primer uzmimo vrlo dug štap
82
pravougaonog preseka, dimenzija ba× . On se dobija u preseku dva ravna sloja, jednog debljine a i drugog debljine b (Sl. 4.9), pa njegov temperaturni profil, ),,( tyxT dobijamo kao:
),(),(),,(
slojsloj
stapdugi0
0 tytxTT
TtyxT
p
θ⋅θ=
−−
(4.47)
Slika 4.8. Kratki cilindar, kao presek ravnog sloja i dugog cilindra
gde se funkcija ),(sloj txθ dobija (za 2.0>τ ) iz jedn. (4.29), uz 2aL = , a ),(sloj tyθ iz
iste jednačine, nakon smene: 2, bLyx == .
Slika 4.9. Dugi štap, kao pesek dva ravna sloja
PRIMER 4.13 Treba izračunati temperaturu u centru komada govedine, pravougaonog oblika, dimenzija cm20123 ×× , nakon polučasovnog zagrevanja u rerni. Termofizička svojstva govedine su : kgKJcmkgmKW p 3225,1008,45.0 3 ==ρ=λ . Za koeficijent
prelaza toplote u rerni uzeti KmW 220=α . Pre no što je stavljeno u rernu, meso je bilo
na temperaturi C05 . Temperatura rerne se održava na C0135 . (Rešenje u Mathcad-u, P 4.13)
PRIMER 4.14 Za izračunato vreme hlađenja u Primeru 4.10 proveriti temperaturu centra krastavca posmatrajući ga kao kratak cilindar. (Rešenje u Mathcad-u, P 4.14).
83
4.10 Izračunavanje koeficijenta prelaza toplote iz krive zagrevanja (hla đenja)
U Primeru 4.12 smo pokazali, kako se na osnovu izmerene temperature u centru tela i vremena da se ona zagrevanjem postigne, može izračunati koeficijent prelaza toplote α . Pouzdanije procene α se dobijaju iz više merenja temperature centra, za različita vremena zagrevanja (hlađenja). Ako su vremena zagrevanja (hlađenja) duža, tako da je zadovoljen uslov 2.0>τ , bezdimenzioni temperaturni profil tela se može dobiti aproksimiraju ći sumu beskonačnog reda u egzaktnom rešenju modela nestacionarnog prenosa toplote njenim prvim sabirkom, pa se za procenjivanje temperature centra cT
koristi jednačina, koja ima isti oblik za ravan sloj velike površine (4.29), dugi cilindar (4.41) i sferu (4.44):
δ−=−
−=θ tL
aA
TT
TtTt
p
cc 2
21
10
0 exp)(
)( (4.48)
L – karakteristična dimenzija tela
Logaritmovanjem te jednačine dobijamo:
tL
aAc ⋅δ−=θ
321
nagib
2
21
odsecak1lnln (4.49a)
ili,
teL
aAc ⋅δ−=θ
43421
nagib
2
21
odsecak1 logloglog (4.49b)
pa se iz nagiba prave u dijagramu ct θ− ln ili ct θ− log može izračunati parametar 1δ .
Koristeći Tab. 4.1, iz 1δ dobijamo Bajotov broj Bi i konačno iz njega računamo α .
PRIMER 4.15 Merena je temperatura centra zrna grožđa prečnika 22mm, u toku hlađenja (tabela) u hladnjaku na temperaturi C04 (Middleman, 1998, P11.31). Zrno je prethodno bilo na sobnoj temperaturi 21.5C0 . Termofizička svojstva grožđa su: ,55.0 mKW=λ
sma 271035.1 −×= . Proceniti koeficijent prelaza toplote α pri hlađenju.
Tabela uz Primer 4.15
st, 112 224 448 672 896 1120
sX 16.8 15 10 7.4 5.8 5.0
84
4.11 Procenjivanje termofizi čkih svojstava namirnica
Toplotna provodljivost i specifična toplota namirnica zavise od sastava, temperature, a u nekim slučajevima, λ zavisi i od fizičke orijentacije komponenata (Toledo, 2007). Zavisnost od sastava nekog termofizičkog parametra, p se opisuje metodom doprinosa (aditivno) pojedinih komponenata hrane, pri čemu se za doprinos neke komponente uzima proizvod termofizičkog parametra ip i njenog zapreminskog udela ivx , u
posmatranoj namirnici (Choi i Okos, 1987):
( ) pivi cpxpp ,,, λ==∑ (4.50)
Zapreminski udeo komponente se određuje iz njenog masenog udela imx , , njene gustine
iρ i gustine posmatrane namirnice, kao:
i
imiv
xx
ρρ
= ,, (4.51)
a gustina namirnice iz masenih udela komponenata i njihovih gustina:
( )∑ ρ=ρ
iimx ,
1 (4.52)
Toplotna provodljivost
Temperaturna zavisnost toplotne provodljivosti λ opisuje se kvadratnim polinomom:
mK
WCTcTbTai ),u (, 02++=λ (4.53)
Parametri empirijske formule (4.53) dati su u Tabeli 4.2 (Toledo, 2007)
Tabela 4.2.- Parametri u temp.zavisnosti toplotne provodljivosti (4.53)
a
310×b 610×c
voda 0.57109 1.7625 -6.7306
led 2.2196 -6.2489 101.54
proteini 0.1788 1.1958 -2.7178
masti 0.1807 -2.7604 -0.17749
ugljeni hidrati 0.2014 1.3874 -4.3312
vlakna 0.18331 1.2497 -3.1683
pepeo 0.3296 1.401 -2.9069
85
Gustina
Za temperaturnu zavisnost gustine komponente, uzima se kvadratna zavisnost:
3
02 ),u (,m
kgCTcTbTai ++=ρ (4.54)
a parametri ca− su dati u Tab. 4.3 Tabela 4.3. – Parametri u temperaturnoj zavisnosti gustine (4.54)
a b 310×c
voda 997.18 0.0031439 -0.0037574
led 916.89 -0.13071 0
proteini 1329.9 -0.51814 0
masti 925.59 -0.41757 0
ugljeni hidrati 1599.1 -0.31046 0
vlakna 1311.5 -0.36589 0
pepeo 2423.8 -0.28063 0
PRIMER 4.16 a) Izračunati toplotnu provodljivost mleka sastava: 87.5% vode, 3.7% proteina 3.7% masti, 4.6% laktoze i 0.5% pepela, na 10 oC. b) Nacrtati grafik )(Tλ za mleko datog sastava u intervalu [5, 60 oC]. (Rešenje Mathcad, P 4.16)
Specifi čna toplota
Kao temperaturna funkcija specifične toplote, uzima se kvadratna zavisnost:
kgK
JCTcTbTac ip ),u (, 02
, ++= (4.55)
a koeficijenti su dati u Tab.4.4.
Tabela 4.4. Parametri u temperaturnoj zavisnosti specifične toplote (4.55)
a 310×b 610×c
voda 4.1762 -0.090864 5.4731
led - - -
proteini 2.0082 1.2089 -1.3129
masti 1.9842 1.4733 -4.8008
ugljeni hidrati 1.5488 1.9625 -5.9399
vlakna 1.8459 1.8306 -4.6509
pepeo 1.0926 1.8896 -3.6817
86
ZADACI
4.1. Koji je kriterijum da se neki cilindar može smatrati dugim? U kom smislu se razlikuje njegovo temperaturno polje pri zagrevanju (hlađenju) pod uticajem okoline, od temperaturnog polja kratkog cilindra? Šta je praktičan kriterijum da se neki cilindar smatra dugim? Da li je korektno model dugog cilindra koristiti u problemima određivanja temperatura u blizini njegovih osnova? Obrazložiti.
4.2. Može li se i kako postupak, koga smo primenjivali za procenjivanje temperaturnih polja primeniti na specijalan slučaj, kada je temperatura spoljnje površine tela jednaka temperaturi okoline? Obrazložiti.
4.3. Može li se postupak koji smo primenjivali za procenjivanje temperaturnog polja u sloju (zidu) velike površine, primeniti za problem u kome je jedna površina zida izložena uticaju okoline, a druga je idealno izolovana ? Obrazložiti.
4.4. Jaje se može aproksimirati sferom prečnika 5.5cm čija su termofizička svojstva približno jednaka onima za vodu na sobnoj temperaturi: (λ = 0,6W/mK, a = 0,14·10-6m2/s). Jaje se prvobitno nalazi na temperaturi 80C i ubaci se u ključalu vodu, temperature 970C. Ako je koeficijent prelaza toplote sa ključale vode, α = 1400 W/m2K, proceniti vreme neophodno da centar jajeta dostigne temperaturu700C.
4.5. Izvesti tačniji proračun za problem u Primeru 4.9.
4.6. U pogonu za preradu mesa, šnicle debljine 2cm (λ = 0,45W/mK, a = 0,91·10-7m2/s), temperature 250C, treba ohladiti u rashladnoj komori (α = 9W/m2K) , tako da se spoljnja površina šnicle ohladi na 30C.Temperatura u komori za hlađenje se održava na – 100C.
a) Proceniti potrebno vreme boravka šnicli u komori.
b) Sa kojom temperaturom u sredini šnicle izlaze iz komore ?
4.7. Ponoviti proračun za problem u Primeru 4.12, za slučaj da se želi dobro ispečena krmenadla. Tada je, prema preporuci kuvara, neophodno da temperatura sredine dostigne 77 0C, a potrebno vreme pečenja je 4h 15min.
4.8. Analizirajmo problem u Primeru 4.8 i njegovo rešenje.
a) Proceniti, na osnovu rezultata dobijenih u c) vrednost koeficijenta prelaza toplote, koja obezbeđuje postizanje zadatih temperatura površine (35 0F) i sredine (45 0F) šnicle.
b) Predložiti u Mathcadu- postupak, koristeći root funkciju za preciznije i brže nalaženje one vrednosti α , koja obezbeđuje zadate temperature površine i centra.
4.9. Domaćica je stavila nekoliko jabuka u zamrzivač, temperature -150C, da bi ih brzo ohladila za goste. Prvobitno su jabuke bile na sobnoj temperaturi od C020 . Za termofizičke parametre jabuka uzeti: λ = 0,45W/mK, cp = 3,6kJ/kgK, ρ = 840kg/m3. Prečnik jabuka je 9cm. Koeficijent prelaza toplote u zamrzivaču je α = 8W/m2K.
a) Nacrtati temperaturni profil jabuka nakon vremena od 1h u zamrzivaču.
b) Proceniti vreme hlađenja da bi se površina jabuka ohladila na 50C i temperaturu u centru jabuke, neposredno nakon hlađenja.
4.10. Citrusi su vrlo osetljivi na zamrzavanje. Uzmimo pomorandžu, prečnika 8cm, početne temperature 150C. Zbog hladnog talasa u toku noći, temperatura sredine naglo opadne na -60C i ostaje tako niska u toku 4h. Proveriti da li će doći do zamrzavanja, ako je
87
koeficijent prelaza toplote u posmatranoj sredini, α = 15W/m2K. Za termofizičke parametre pomorandže uzeti: λ = 0,523W/mK, cp = 3,8kJ/kgK, ρ = 970kg/m3.
4.11. Krompir (λ = 0,6W/mK, cp = 3,9kJ/kgK, ρ = 1100kg/m3) prečnika 6 cm, temperature C015 , stavi se u rernu da se peče, na temperaturi 1700C.
a) Izračunati vreme pečenja, ako se krompir smatra pečenim kada mu temperatura centra dostigne 700C.
b) Kolika je temperatura površine krompira, kada je pečen?
c) Ako se krompir, neposredno po vađenju iz rerne uvije, tako da se može zanemariti njegovo hlađenje, izvesti sledeću formulu za konačnu, uniformnu, temperaturu krompira:
∫=
R
r drtrTrR
T0
23
),(3
),( trT - temperaturni profil krompira u momentu t, nakon stavljanja u rernu
R – poluprečnik krompira
−rt vreme pečenja
i izračunati je.Pretpostaviti za α vrednost 25 W/m2K. (uputstvo: izjednačiti ukupne sadržaje toplote sfere u nekom momentu (integral) i nakon uniformisanja temperature)
4.12. Egzaktno rešenje modela dvodimenzionog prenosa toplote u dugom cilindru (jedn. 4.38-38c) glasi:
( ) ( )( ) ( )∑
∞
= δ+δδτδ−=τ
1i 022
02
Bi
expBi2),(
ii
ii
J
RrJrQ
gde su iδ pozitivni koreni jednačine:
0)(Bi)( 01 =⋅−⋅ δδδ JJ
poređani po veličini, a )(1 xJ je Beselova funkcija prve vrste, prvog reda (Definisana je u
Mathcad-u). Izvesti približno rešenje (4.39) i izračunati parametre 11 i Aδ za 1Bi = .
4.13. Izvesti približan temperaturni profil sfere (4.43) i izračunati parametre 11 i Aδ za: a) 1Bi = , b) 5.1Bi = .
4.14. Merena je temperatura centra lubenice, poluprečnika 0.1m u toku hlađenja (tabela) u hladnjaku na temperaturi C04 (Middleman, 1998, P11.34). Početna temperatura lubenice je 250C. Za termofizička svojstva lubenice uzeti: λ = 0,6 W/mK, a = 1,4·10-7 m2/s. Proceniti koeficijent prelaza toplote α pri hlađenju.
Tabela uz Primer 4.13
st ,10 3−× 3.81 5.27 6.82 8.36 10.22 12.71 15.38 20.10
CTc0, 23.1 21.0 18.5 16.2 14.3 12.4 10.7 8.2
88
4.15. Izračunati specifičnu toplotu mleka, čiji je sastav dat u Primeru 4.16, na temperaturi 250C.
4.16. Izračunati toplotnu provodljivost posne svinjetine, koja sadrži 7.8% masti, 1.5% pepela, 19% proteina i 71.7% vode, na 19 oC i nacrtati je u zavisnosti od temperature, u opsegu [0, 700C].
