4. Построение компьютерных моделей ...icm.muctr.ru/study/modelling/T4.pdfРХТУ им. Д.И. Менделеева Кафедра информатики

РХТУ им. Д.И. Менделеева Кафедра информатики и компьютерного проектирования Лекционный материал «Компьютерное моделирование ХТП» © MMXII Клушин Д.В., Советин Ф.С. / под ред. проф. Гартмана Т.Н.

4. Построение

компьютерных

моделей

теплообменников


III.2. Математические модели стационарных режимов

процессов в поверхностных теплообменниках

Математическая модель стационарного режима процесса в

теплообменниках типа «смешение – вытеснение»

Построение компьютерной модели теплообменника

включает следующие этапы:

• изучение и/или ознакомление с теорией процесса

теплообмена для данного типа теплообменных аппаратов

• построение математического описания (МО)

конкретного процесса теплообмена

• выбор и реализация алгоритма (моделирующего

алгоритма – МА) решения уравнений МО модели данного

теплообменника

2


III.2.1. Математическая модель стационарного режима

процесса в теплообменнике типа «смешение – вытеснение»

0

1T

0

2T )(2 LT

1T11 pCv

22 pCvL0

Змеевик

Резервуар

3


Для построения математического описания данной

модели примем следующие допущения:

• поток, проходящий через резервуар, описывается

гидродинамической моделью идеального смешения

• поток в змеевике описывается гидродинамической

моделью идеального вытеснения….

4


• рассматривается стационарный режим работы

теплообменника

• коэффициент теплопередачи считается постоянным

• никаких процессов кроме теплопередачи не происходит

• теплоѐмкости теплоносителей одинаковы и не меняются

с изменением температуры

5


6

Класс

уравнений В

ид

мод

ел

и С сосредоточенными

параметрами С распределенными параметрами

Модель идеального

смешения

Модель идеального

вытеснения

Однопараметрическая

диффузионная модель

Поко

мпоне

нтн

ого

бал

анса

Динам.

Статич.

Об

щего

бал

анса

массы

Динам.

Статич.

Тепл

ового

бал

анса

Динам.

Статич.

Уравнения балансов гидродинамических моделей

ni

Gvxxvdt

xVdiii

i

R

...,,1

)( )0()0(

ni

Gvx

t

xV

Li

ii

R

...,,1

)()(1)(

ni

GvxxV

L

D

t

xV

Li

ii

R

i

R

...,,1

)()()(1)(2

2

ni

Gvxxv iii

...,,1

0)0()0(

ni

Gd

vxdi

i

...,,1

)()(

ni

Gd

vxd

d

xVd

L

Di

ii

R

...,,1

0)()(

)(2

2

n

i

i

R

Gvvdt

dV

1

)0(

n

i

i

R

Gv

t

V

L 1

)(

1

n

i

i

RR

GvV

L

D

t

V

L 1

)(2

21

01

)0(

n

i

iGvv

n

i

iGd

dv

1

)(

01

)(2

2

n

i

i

R

Gd

dv

d

Vd

L

D

QTvCTCvdt

TCVdpp

p

R

)0()0()0()(

)(

)()(1

Q

TvC

t

TCV

L

pp

R

)(2

2 )()()(1

Q

TvCTCV

L

D

t

TCV

L

pp

R

p

R

0)0()0()0( QTvCTCv pp )(

)(

Q

d

TvCd p0

)()()(2

2

Qd

TvCd

d

TCVd

L

D pp

R


7

Источники

Элементарные

процессы

Тип

Интенсивность в зоне

С сосредоточенными

параметрами

С распределенными

параметрами Локальная

Массопередача

через

поверхность

FM

Тепла

Изменение

агрегатного

состояния при

фазовом

равновесии

Компо

нента

Тепла

Теплопередача

через

поверхность FT

Тепла

Теплоизлучение

с поверхности FИ Тепла

Основные интенсивности источников элементарных

процессов в потоках

MMM qFQ MM

M qL

FQ )(

n

i

M

i

M

i

M gHq1

)(

ni

xvG i

A

i

...,,1

~~

ni

xL

vG i

A

i

...,,1

~~

)(

ni

yx ii

...,,1

~

AA HvQ~~ AA H

L

vQ

~~

)(

n

i

i

A

i

A yHH1

)~

(~

TTT qFQ TT

T qL

FQ )( )

~( TTKq TT

ИИИ qFQ ИИ

И qL

FQ )(

)~

( 44 TTKq ИИ


0.1 1121

)0(

1

)0(

1

)0(

1 TT

pp qFTCvTCv

121.2 TTKq TT

TT

p qL

F

d

dTCv 2

222.3

212.4 TTKq TT

8


С учетом справедливости равенств:

TTT qqq 21

0][ cp11

0

1

0

1

0

1 TT

pp qFTCvTCv

выведем уравнение общего теплового баланса:

9


Произведение представляет собой

усреднѐнное по длине змеевика значение. ср][ TT qF

Чтобы определить скорость теплопередачи в

рассматриваемой модели теплообменника, необходимо

проинтегрировать функцию по длине

змеевика и разделить на длину змеевика ср][ TT qF

10


L

TTTT dqFL

qF0

cp

1][

0

][

2222

0

222cp

TLTCv

dd

dTCvqF

p

L

p

TT

11


Система уравнений МО рассматриваемой модели

теплообменника, таким образом, будет состоять из

следующих уравнений:

• уравнения общего теплового баланса:

00.1 111

0

1

0

1

0

12222

1f

ppp TCvTCvTLTCv

12


• обыкновенного дифференциального уравнения в явном

виде для потока теплоносителя в змеевике:

2

22

2.2 fqCLv

F

d

dT T

p

T

• выражения для локальной скорости теплопередачи:

12.3 TTKq TT

13


Для решения дифференциального уравнения 2

(вычисления частного решения на компьютере), к данной

системе уравнений МО необходимо добавить начальное

условие:

0

22 0.2 TT

14


В данном случае дополнительное условие 2′ задаѐтся

при одном значении независимой переменной, то есть

решается задача Коши.

0

22 0 TT 1

2T 2

2T

L0L

T

15


Для решения системы уравнений производную в

уравнении 2 целесообразно представить в конечно-

разностном виде, в результате чего получается система

уравнений с начальным условием для

дифференциального уравнения:

00.1

1

111

0

1

0

1

0

12222

f

ppp TCvTCvTLTCv

16


12.3 TTKq TT

0

22 0.2 TT

2

22

22 0.2 fq

CLv

FTLT T

p

T

17


Информационная матрица системы уравнений

математического описания стационарного режима процесса в

теплообменнике типа «смешение – вытеснение»

p

n

.1

.2 3

2

4

1

.3

'.2

Диф. ур.

1T )0(2T Tq)(2 LT

Кор.ур.

oN

18


Блок-схема алгоритма поверочно-оценочного расчѐта

стационарного режима процесса в теплообменнике типа

«смешение – вытеснение»

Tq

T

T

2

1

L 0

Tq2

0

2T

1

~T

3 f2 1 f1 2

)0(2T

)(2 T

)(2 LT

1T

1T

Ста

рт

Ввод

LFK

Cv

T

T

Cv

TCv

TT

p

p

p

,,

,

~

,

,,

22

0

2

1

11

0

1

0

1

0

1

Вывод

Сто

п

19



процесса в прямоточном теплообменнике типа «труба в

трубе» (решение задачи Коши)

0

1T

0

2T

11 pCv

22 pCvTT KF

)(2 LTL0

)(1 LT

20


Для построения системы уравнений математического

описания процесса в прямоточном теплообменнике типа

«труба в трубе» принимаются следующие допущения:

• рассматривается стационарный режим процесса

теплопередачи

• кроме процесса теплопередачи не происходит никаких

других процессов

• коэффициент теплопередачи постоянен и известен

(решение прямой задачи)

21


• теплоѐмкость потоков теплоносителей постоянна

• поверхность теплообмена равномерно распределена

вдоль участка длины теплообменника

• движение первого и второго потоков теплоносителей

описывается гидродинамической моделью идеального

вытеснения

22


TT

p qL

F

d

dTCv 1

111.1

121.2 TTKq TT

TT

p qL

F

d

dTCv 2

222.3

212.4 TTKq TT

23



TTT qqq 21

система уравнений МО модели прямоточного

теплообменника типа «труба в трубе» записывается как

СОДУ в конечно-разностном представлении с

начальными условиями, заданными при : 0

24


1

11

11 0.1 fq

CLv

FTLT T

p

T

2

22

22 0.2 fq

CLv

FTLT T

p

T

25


12.3 TTKq TT

0

0

0

0

22

0

11

TT

TT

2

1

Поскольку начальные условия задаются при одном и том

же значении независимой переменной, в данном случае

решается задача Коши.

26


Задание начальных условий и изменение температур

теплоносителей по длине теплообменника типа «труба в

трубе»:

)0(

1T

)0(

2T

1T

2T

L

21, TT

1

2

0

LT1

LT2

27




прямоточном теплообменнике типа «труба в трубе»

p

n

1

3

2

4

1

3

01T Tq)(2 LT 02T)(1 LT

52

'1

'2

Диф. ур.

Диф. ур.

oN

28



стационарного режима процесса в прямоточном

теплообменнике типа «труба в трубе»

Ста

рт

Ввод

T

T

p

p

K

F

T

T

Cv

Cv

0

2

0

1

22

11

,

,

3

Вывод

Сто

п

)0(1T

f1

Tq

)(2 T

)0(2T

0

1T

0

2T

f2

)(1 LT

)(2 LT

)(1 T

)(

)(

)(

2

1

Tq

T

T

L 0

1

2 2

1

29



процесса в противоточном теплообменнике типа «труба в

трубе» (решение краевой задачи)

01T

)0(2T

11 pCv

22 pCvTT KF

02TL0

)(1 LT

'

30


T

p

T

qCLv

F

d

dT1

11

1.1

121.2 TTKq TT

T

p

T

qCLv

F

d

dT2

22

'

2.3

212.4 TTKq TT

L'

dd '

31



TTT qqq 21

Система уравнений МО теплообменника типа «труба в

трубе» записывается как СОДУ в конечно-разностном

представлении с краевыми условиями, заданными при

разных значениях пространственной координаты

32


1

11

11 0.1 fq

CLv

FTLT T

p

T

2

22

22 0.2 fq

CLv

FTLT T

p

T

33


12.3 TTKq TT

011 0.1 TT

022.2 TLT

Задача получения частного решения системы

обыкновенных дифференциальных уравнений, если

дополнительные условия заданы при разных значениях

пространственной координаты, называется краевой

задачей.

34


Задание краевых условий и изменение температур

теплоносителей по длине теплообменника «труба в

трубе» (противоток):

)0(1T

)0(2T

1T

2T

1

2

0 L

0~

2T

)(2 LT

)(1 LT

21, TT

35


Процедура решения краевой задачи

1. Задается приближение для температуры при

, отсутствующее в исходной постановке задачи )0(

~2T

0

2. Решается система двух дифференциальных уравнений

(1) и (2) с учетом дополнительных условий и

, в результате чего при получаются

приближенные значения:

01T

)0(~

21 TLT

)0(~

2T L

)0(~

22 TLT

36


3. В том случае, когда краевое условие 2′ не

превращается в равенство, оно используется для

коррекции приближения до тех пор, пока не

будет получено решение получаемого уравнения 2′

следующего вида:

)0(~

2T

0)0(~

)0(222 TTLT

Решение последнего уравнения во внешнем цикле с

учетом получаемых зависимостей и

при финальном значении

приближения - означает решение краевой

задачи

1T 2T

)0(~

2T)0( L

)0(2

T

37




противоточном теплообменнике типа «труба в трубе»

p

n

3

2

4

1

3

5

1

2

01T Tq)(2 LT 02T)(1 LT

1

2Диф. ур.

Диф. ур.

Кор.ур.

№

38



стационарного режима в противоточном теплообменнике типа

«труба в трубе»

Ста

рт

Ввод

T

T

p

p

K

F

T

T

T

Cv

Cv

)0(~

,

,

2

)0(2

)0(1

22

11

3

Вывод

Сто

п

)0(1T

f1

Tq

)(2 T)0(2T

01T

0~

2T

f2

)(1 LT

)(1 T

)(

)(

)(

2

1

Tq

T

T

L 0

f2’ )(2 LT

)0(2T

)0(2

T

11

2 2

39


Вопросы для контроля знаний

• Постройте математическое описание (МО) стационарного режима процесса в

теплообменнике, в котором движение обоих потоков теплоносителей

представляется моделями идеального перемешивания. Составьте

информационную матрицу системы уравнений МО этого процесса и блок-

схему алгоритма его поверочно-оценочного расчета.

• Как меняется система уравнений МО и алгоритм расчета стационарного

режима процесса в теплообменнике, в котором движение обоих потоков

теплоносителей представляется моделями идеального перемешивания,

когда вместо постоянных значений коэффициентов теплопередачи и

теплоемкостей потоков учитывается их зависимости от температуры и других

физико-химических свойств потоков теплоносителей?

• Постройте МО стационарного режима процесса теплопередачи в

змеевиковом теплообменнике, в котором движение одного потока

теплоносителя представляется моделью идеального перемешивания, а

другого – моделью идеального вытеснения. Составьте информационную

матрицу системы уравнений МО этого процесса и блок-схему алгоритма его

поверочно-оценочного расчета.

40


4. Как при составлении уравнений МО процессов в теплообменниках решается

проблема обеспечения постоянства физико-химических свойств потоков

теплоносителей, перемещение которых описывается моделями идеального

смешения, (когда они контактируют через поверхность теплопередачи с

потоками, движение которых представляется моделями идеального

вытеснения)?

5. Постройте МО стационарного режима процесса в прямоточном

теплообменнике типа «труба в трубе», в котором движение обоих потоков

теплоносителей представляется моделями идеального вытеснения.

Составьте информационную матрицу системы уравнений МО этого процесса

и блок-схему алгоритма его поверочно-оценочного расчета.

6. Постройте МО стационарного режима процесса теплопередачи в

противоточном теплообменнике типа «труба в трубе», в котором движение

обоих потоков теплоносителей представляется моделями идеального

вытеснения. Составьте информационную матрицу системы уравнений МО

этого процесса и блок-схему алгоритма его поверочно-оценочного расчета.

41


7. Как при составлении уравнений МО процесса в противоточных

теплообменниках типа «труба в трубе» решается задача построения

системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) в единой

системе пространственных координат?

8. Почему поверочно-оценочный расчѐт прямоточного трубчатого

теплообменника сводится к решению задачи Коши при интегрировании

системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а расчѐт

противоточного трубчатого теплообменника – к решению краевой задачи?

9. Почему при разработке алгоритма поверочно-оценочного расчѐта

стационарных режимов процесса в теплообменниках производные в

системах уравнений их математического описания целесообразно

представлять в конечно-разностном виде, и как это отражается в

информационной матрице системы уравнений и блок-схеме алгоритма

расчѐта?

42

Documents

4. Построение компьютерных моделей ...icm.muctr.ru/study/modelling/T4.pdfРХТУ им. Д.И. Менделеева Кафедра информатики