1

4. 조합회로설계

목표• 부울 표현식에 대한 논리도 그린다.

• 진리표로부터 부울 표현식을 구하고, 이를 AND-OR 형식의 논리도를작성

• 카르노 맵을 이용하여 부울 표현식을 간략화한다.

• NAND 게이트들을 이용하여 논리 회로를 간략화한다.

• 컴퓨터 시뮬레이션 프로그램을 이용하여 부울 표현식을 진리표나논리도로 변환한다.

• 데이터 선택기를 이용하여 논리 문제를 해결한다.

• PLD(programmable logic device)

2

v 기본적인 불 대수식은 AND, OR, NOT을 이용하여 표현

v AND 식은 곱셈의 형식으로 표현하고, OR 식은 덧셈의 형식으로 표현

v NOT 식은 또는 으로 표현

v 완전한 논리식은 입력 항목들의 상태에 따른 출력을 결정하는 식

Ø X=0 and Y=1일때출력을 1로만들려는경우출력논리식

Ø X=0 or Y=1일때출력을 1로만들려는경우출력논리식

Ø (X=0 and Y=1 ) or (X=1 and Y=0 ) 일 때 출력을 1로 만들려는 경우 출력논리식 :

YXF =

YXF +=

YXYXF +=

기본 논리식의 표현

• 1입력 논리식, 2입력 논리식, 3입력 논리식

입력 출력

X Y F0 00 11 01 1

2입력 논리식

입력 출력

X Y Z F

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

3입력 논리식

입력 출력

X F01

1입력 논리식

YXF =

YXF =

YXF =

YXF =

ZYXF =

ZYXF =

ZYXF =

ZYXF =

ZYXF =

ZYXF =

ZYXF =

ZYXF =

XF =XF =

3

2입력 논리식 예

3입력 논리식 예

입력 출력X Y F0 0 10 1 11 0 11 1 0

입력 출력

X Y Z X=1 Z0 0 0 1 00 0 1 1 1 1 10 1 0 00 1 1 1 01 0 0 1 1 11 0 1 1 1 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1 1

YXF +=X=0 또는 Y=0일때, 1을출력하는논리식

ZYXF +=

X=1이거나 Y=0이고 Z=1일때, 1을출력하는논리식

논리회로의 논리식 변환

v 원래의 회로에 게이트를 거칠 때마다 게이트의 출력을 적어주면서 한단계씩 출력 쪽으로 나아가면 된다.

논리회로 논리식 유도 과정

4

• 논리식 유도 예1

• 논리식 유도 예2

• 논리식 유도 예3

5

논리식의 회로 구성AND, OR, NOT을 이용하여 논리식으로부터 회로를 구성.

(AND-OR로 구성된 회로) yzyxyx ++

보수 입력 사용 NOT 게이트 사용

회로 예

xyzzyxzyxyzxzyxzyxf ++++=),,(

))(( zyxyxf +++=

AND-OR

OR- AND

6

회로 예

)( wxzvyxwzf +++=

다단계논리회로

불 대수식의 표현 형태곱의 합(Sum of Product, SOP)

v SOP의 구성은 1 단계는 AND항(곱의 항, product term)으로 구성되고, 2단계는 OR항(합의 항, sum term)으로 만들어진 논리식.

최소항(Minterm)

v 최소항 : 표준 곱의 항

v 표준 곱의 항이란 함수에 모든 변수를 포함하고 있음.

cadbbcaf ++=

ZXYW WXYZ minterm YXW ZXW Non minterm

7

진리표Input OutputABC Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 0 1 1 1 1

최소항 부울표현식:

A • B • C A • B • C = Y+

A B C A B C = Y+

진리표Input OutputABC Y0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 0 1 1 1 1

최소항 부울표현식:

A • B • C A • B • C = Y+

A B C A B C = Y+

8

q 2변수 최소항의 표현 방법

a b 최소항 기호

0 0 m0

0 1 m1

1 0 m2

1 1 m3

babababa

å=++=++=

)3,2,1(

),(

321

m

mmmabbababaf

• 3변수 최소항의 표현 방법

x y z f 최소항 기호

0 0 0 10 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 1

0mzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx

1m

2m

3m

4m

5m

6m

7m

xyzzyxyzxzyxzyx

mzyxf

++++=

=å

),,,,(),,( 75310

zxyzyxzyx

mzyxf

++=

=å

)6,4,2(),,(

zyxzyxzyxmzyxf

xyzzyxyzxzyxzyxmzyxf

++===

++++==

åå

)6,4,2(),,(

)7,5,3,1,0(),,(

xyzzyxyzxzyxzyxm

zyxzyxzyxmzyxf

++++==

++==

åå

)7,5,3,1,0(

)6,4,2(),,(

9

a b c f0 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 1 01 0 1 1 01 1 0 0 11 1 1 0 1

f

cbacbabcacbacba

mcbaf

++++=

=å

)5,4,3,2,1(),,(

abccabcba

mcbaf

++=

=å

)7,6,0(),,(

• 4변수 최소항의 표현 방법

a b c d 최소항 기호 a b c d 최소항 기호

0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 1 0 1 10 1 0 0 1 1 0 00 1 0 1 1 1 0 10 1 1 0 1 1 1 00 1 1 1 1 1 1 1

0m

1m

2m

3m

4m

5m

6m

7m

8m

9m

10m

11m

12m

13m

14m15m

dcbadcbadcbadcbadcbadcbadcbadcba

dcbadcbadcbadcbadcbadcbadcbadcba

[Example]

abcdcdbadcbadcbadcbadcba

mdcbaf

+++++=

=å

)15,11,9,5,1,0(),,,(

10

합의 곱과 최대항

v 합의 곱 구성 : 1 단계는 OR항(합의 항, sum term)으로 구성되고, 2단계는 AND항(곱의 항, product term)으로 만들어진 논리식.

v 모든 변수를 포함하는 OR항을 맥스텀(maxterm) 또는 최대항이라 한다.

zyxw +++

zyxw +++

[최대항의 예]

))(( ywxw ++)( yww +

wxw +

))(( zyxwzyxw ++++++

[합의 곱의 예 ]

• 최대항 표현 방법

a b c 최대항 기호

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

0M

cba ++cba ++cba ++cba ++cba ++cba ++cba ++cba ++

1M

2M

3M4M

5M

6M

7M

a b 최대항 기호

0 00 11 01 1

ba +ba +ba +ba +

0M

1M

2M

3M

2변수인 경우

3변수인 경우

11

a b c d 최대항 기호 a b c d 최대항 기호

0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 1 0 1 10 1 0 0 1 1 0 00 1 0 1 1 1 0 10 1 1 0 1 1 1 00 1 1 1 1 1 1 1

0M

1M

2M

3M

4M

5M

6M

7m

8M

9M

10M

11M

12M

13M

14M

15Mdcba +++dcba +++

dcba +++

dcba +++

dcba +++

dcba +++

dcba +++

dcba +++

dcba +++dcba +++dcba +++

dcba +++

dcba +++

dcba +++

dcba +++

dcba +++

4변수인 경우

입력 출력

a b f0 0 00 1 01 0 01 1 1

Õ=++=

+++=

)2 1, 0,(

))()((),(

210

MMMM

babababaf

12

x y z f 최대항 기호

0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 0

0M

zyx ++

zyx ++

zyx ++

zyx ++

zyx ++

zyx ++

zyx ++

zyx ++

1M

2M

3M4M

5M

6M

7M

))()()()((

)7 5, 3, 1, 0,(),,(

zyxzyxzyxzyxzyx

Mzyxf

++++++++++=

=Õ

Õ= )7 5, 3, 1, 0,(),,( Mzyxf

최소항과 최대항과의 관계

v 최소항은 출력이 1인 항을 SOP로 나타낸 것이고, 최대항은 출력이 0인항을 POS로 나타낸 것이다.

v 최소항과 최대항은 반대의 성질을 가진다.

a b c f 최소항 기호 최대항 기호 관 계

0 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 1 01 0 1 1 01 1 0 0 11 1 1 0 1

0mcbacbacbacbacbacbacbacba

1m

2m

3m

4m

5m

6m

7m

f

cba ++cba ++cba ++cba ++cba ++cba ++cba ++cba ++ 0M

1M

2M

3M

4M

5M

6M

7M

00 mM =

11 mM =

22 mM =

33 mM =

44 mM =

55 mM =

66 mM =

77 mM =

13

åÕÕå

==

==

)7 ,6 ,0()7 ,6 ,0(

)5 4, 3, 2, 1,( )5 4, 3, 2, 1,(),,(

mM

Mmcbaf

Õ

å

=

++++++++++=

××××=++++=

++++==

)5 4, 3, 2, 1,(

))()()()((

)5 4, 3, 2, 1,(),,(

M

cbacbacbacbacba

cbacbabcacbacbacbacbabcacbacba

cbacbabcacbacbamcbaf

Þ

Õ

å

=

++++++=××=++=

++==

)7 6, 0,(

))()((

)7 6, 0,(),,(

M

cbacbacbaabccabcbaabccabcba

abccabcbamcbaf

åÕÕå==

==

)5 4, ,3 ,2 ,1()5 4, ,3 ,2 ,1(

)7 6, 0,( )7 6, 0,(),,(

mM

MmcbafÞ

최소항을부정하면

최대항

최대항을부정하면

최소항

이 행은 묶지 않는다이 행은 묶지 않는다.이 행은 묶지 않는다.이 행은 묶지 않는다.

부울표현식

부울표현식의 간략화진리표

입력 출력ABC Y

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

00

0

0

11

1

1

규칙:묶음 안의 항과 그 보수항이 포함 된 항을 소거하여 간략화 한다.

A•B•C A•B•CA•B•C = Y++A•B•C +

간략화 된 부울표현식 A•BA•C = Y+

14

2변수 카르노 맵

• 2변수 카르노 맵 표현 방법

v 무관항(don't care) : 입력이 결과에 영향을 미치지 않는 민텀항.

v X로 표시하거나 d로 표시한다.

• 일반항과 무관항 표현

å= )3,0(),( mBAF

åå += )1()3,0(),( dmBAF

• 카르노맵을 이용한 간소화 방법

① 1, 2, 4, 8, 16개로 그룹을 지어 묶는다.

② 바로 이웃해 있는 항들끼리 묶는다.

③ 반드시 직사각형이나, 정사각형의 형태로 묶어야만 한다.

• 간소화 예

0 1

0 1 1

1

AB

AF =

AABBA

BABAF

=×=+=

+=

1)(

a b f

0 00 11 01 1

1110

0 1

0 1 1

1 1

ab

babaaabbba

bababamf

+=

×+×=+++=

++=å=

11)()(

)2,1,0(

baf +=

중복하여묶어도된다.

15

3변수 카르노 맵

• 3변수 카르노 맵 표현 방법

• 간소화 예

ABBAF += CAF =

ABC

ABC

CF = AF =

CF =

양쪽 끝은연결되어 있다.

ABC

ABC

ABC

양쪽 끝은연결되어 있다.

16

간소화 예(Cont’d)

CAF += CCAF +=

ABC

가능한 크게묶는다.

ABC

• 간소화 예(Cont’d)

a b c f0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1

acbcabmf ++==å )7,6,5,3(

abc

00

0 1

01 11 10

1 111

세번중복하여묶었다.

17

• 4변수 카르노 맵 표현 방법

상하 좌우는연결되어 있다.

여러 가지 4변수 카르노 맵의 예제

BCAF = DABF = DCBF =

CD

1

1 1 1

1 1 1

1

AB 00 01 11 10

00

01

11

10

CD

1 1

1 1

1 1

1 1

AB 00 01 11 10

00

01

11

10

BCDCF += DBF =DBBDF +=

CDAB

18

CDDCABBAF +++= DBF +=

CF = BF = CAF +=

CBCADABAF +++=

CD

1 1 1

1 1

1 1

AB 00 01 11 10

00

01

11

10

CD

1 1 1

1 1

1 1

1 1

AB 00 01 11 10

00

01

11

10

CD

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

AB 00 01 11 10

00

01

11

10

CDBDCBCBACBAF +++= CDBDCBACBAF +++=

DCACAF ++=

19

무관항이 있을 경우 카르노 맵을 이용하여 간소화

CD

1 x 1 1

1 1 x

x

x 1

AB 00 01 11 10

00

01

11

10

CACDBAF ++= BADF += BAF +=

)15,9,7,1()11,5,4,3,2,0( åå += dmF

å å+= )14,12,0()10,8,6,4,3,2,1( dmF

åå += )12,10,7,6,5,1()11,9,8,4,3,2,0( dmF

DBCDCBAF ++=

A B C D F

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

x1x1x11100000110

CD

x 1 1 x

x 1 1 1

1 1

AB 00 01 11 10

00

01

11

10

20

선택적 카르노 맵

xzyxyxf ++= yzyxyxf ++=

ACDDBAABF ++= CDBDBAABF ++=

논리식의 카르노 맵 작성논리식에서 생략된 부분을 찾아서 Minterm으로 변경

å=++++=

++++=

++=

)7 3, 2, 1, 0,(

)()(

),,(

mzyxzyxzyxyzxxyz

zzyxzzyxxyz

yxyxxyzzyxf

yzxzyxf +=),,(

21

å=+++++++++=

++++=

)15 14, 13, 12, 7, 6, 5, 3, 1,( )()()())((

),,,(

mzxywzyxxwyzxxwzzwxyzzyywx

zxywzywyzwwxywxzyxwf

yz

1 1

1 1 1

1 1 1 1

wx 00 01 11 10

00

01

11

10

xyzwwxzyxwf ++=),,,(

DCBABAF ++=

A B DCBA

00 01 11 10

11

00

01

11

10 1

CDAB

1

1

1

1

1

11 11

1

DCBAF ++=

최소항으로 바꾸지 않고간소화의 반대방법으로

카르노 맵 작성

22

DACDABACDCBABF ++++=

AB CB ACD

CBABF +=

00 01 11 10

1

00

01

11

10

CDAB

1

1 1 1

1

11

DACDAB

8의 1 데이터 선택기(data selector)

데이터 선택기

01234567 C B A

W

데이터입력단자

데이터 선택기 입력단자

출력단자

23

1 의 8데이터 셀렉터

데이터선택기를 이용하여 진리표의 논리문제 해결

01234567 C B A

W

1

1

11

00

0

0

0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

진리표

C B A Y

?

0 1 10 0 1

HIGHHIGHLOWLOWHIGHHIGH

1 1 0

PLD

• PLD(Programmable Logic Device) 는사용자가 복잡한 논리함수를 실행하기 위해프로그램할 수 있는 IC이다.

• PLD는 많은 입력과 다수의 출력을 가진다. PLD는 AND-OR 논리를 사용하여 최소항부울표현식으로 구현 할 수도 있다. 더 복잡한PLD는 래치와 메모리 특성을 가지고 있다.

• PLD는 저렴하고 사용자가 직접 프로그램할 수있고, 매우 신뢰성이 높은 소자이다.

24

PLDPLD라는 용어는 Programmable Logic Device, 즉프로그램 할 수 있는 IC의 통칭이며, 다음과 같은 다양한종류가 있다.

• PAL - programmable array logic

• GAL - generic array logic

• FPL - fuse-programmable logic

• PLA - programmable logic array

• PEEL - programmable electrically erasable logic

• FPGA - field programmable logic array

• CPLD - complex programmable logic device