4-TrasfZ Filtri AC PSD I

8/18/2019 4-TrasfZ Filtri AC PSD I

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SISTEMI LINEARI

(a) Il segnale x(t) iningresso passa attraverso

la trasformazione F{·} e

produce l’uscita y(t)

(b)L’uscita y(t) è

rappresentata dalla

convoluzione

dell’ingresso x(t) e della

risposta impulsiva del

sistema h(t)

(c) La trasformatadell’uscita è data dal

prodotto della

trasformata dell’ingresso

e della funzione di

trasferimento

RAPPRESENTAZIONE NEL DOMINIO DEL TEMPO

RAPPRESENTAZIONE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

SCHEMA A BLOCCHI DI UN SISTEMA (LINEARE)

F F


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RISPOSTA IMPULSIVA

0k0

0k1)k()k(x

Per il sistema lineare, causale (le uscite non possono precedere gliingressi), DT:

Si consideri l’ingresso

(impulso unitario):

L’uscita è data da: )k(h)]k([F)]k(x[F)k(y

Dove h(k) è definita come la risposta impulsiva (risposta all’impulso

unitario) del sistema.

Sistema (filtro) FIR (Finite Impulse Response): h(k)=0 k>K, |K|


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CONVOLUZIONE

Si consideri un ingresso arbitrario x(k), che si può scrivere come:

Poiché y(k)=F[x(k)], e per la linearità: F[x(i)(k-i)]=x(i)F[(k-i)], si ha:

E per definizione di h(k):

)ik(x)i(h)ik(h)i(x)k(y SOMMA DICONVOLUZIONE

Quindi l’unico

termine 0 si

ha per i=k


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OSSERVAZIONI• L’operatore convoluzione gode delle proprietà: associativa, commutativa e

distributiva.

• La risposta impulsiva è un modo di esprimere la memoria di unsistema, analogamente all’ autocorrelazione (AC).

• Si può mostrare che l’AC di una funzione di risposta impulsiva è ancora unafunzione di risposta impulsiva, quindi (k) è scorrelata e non ha memoria.

• I valori dell’ingresso di un sistema sono pesati dai valori della rispostaimpulsiva e sommati per generare l’uscita.

• Poiché la risposta impulsiva è la soluzione “a stato zero” di un sistemadescritto da un’equazione differenziale con in ingresso una funzioneimpulsiva, i parametri della risposta impulsiva si ottengono daicoefficienti dell’equazione differenziale (particolarmente utile perequazioni del 1° e 2° ordine).


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CONVOLUZIONE E FILTRAGGIO

• Il processo di convoluzione fra la risposta impulsiva di unsistema lineare ed un segnale di ingresso, è larappresentazione del filtraggio nel dominio del tempo.

• La conoscenza della risposta di un sistema al gradino (impulso)unitario consente un’indagine quantomeno qualitativa della suarisposta impulsiva, da cui si può stimare la risposta ad unqualunque ingresso.

• Si noti che non è necessario conoscere l’equazione differenziale

del sistema per predire il suo comportamento, se è possibiledeterminarne la risposta impulsiva.


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SISTEMI LINEARI DTOgni successione discreta (DT=Discrete-Time) f(n) si può scrivere come:

L’uscita g(n) corrispondente ad un ingresso arbitrario f(n) è data dalla

convoluzione discreta:

Per sistemi causali (l’uscita non può precedere l’ingresso) g(n) dipende solo

da f(k), kn, da cui: h(k)=0 per k


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TRASFORMATA ZE’ essenzialmente una variante della DFT, ma di uso più semplice in molteapplicazioni. E’ l’equivalente TD della trasformata di Laplace per sistemi TC.Data una successione discreta xk la sua trasformata z, X(z) è:

. .

2

2

0

1

1

k

k

N.B.: La trasformata z si ottiene dalla DFT per N→ e z=exp(-j2πm/N).

Nella maggior parte dei sistemi biologici, la trasformata z del segnale

(campionato) è stimata solo per k=0,1,2,…, N-1.

Per un segnale x(t) campionato con periodo T, si ha la successione

x=[x(0), x(T), x(2T), …, x(kT)]

Dalla (1) la sua trasformata z è quindi:

X(z)=x(0)+ x(T)z-1+ x(2T)z-2+…+ x(kT)z-k

z-k può quindi essere visto come l’operatore di “shift”, che “ritarda” un

campione di segnale di esattamente k intervalli di campionamento, kT.


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TRASFORMATA Z

Proprietà della trasformata Z (*=trasposto coniugato)


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FUNZIONI RAZIONALI IN ZClasse importante per le applicazioni sia nel dominio del tempo che della frequenza

(analisi spettrale). L’ingresso x(n) e l’uscita y(n) sono legati dalla relazione:

La trasformata Z è:

La funzione I/O del sistema è quindi un polinomio razionale in z:

Zeri = radici del numeratore; Poli = radici del denominatore

La forma fattorizzata mette in evidenza zeri (zk) e poli (pk). I poli complessi coniugaticostituiscono le risonanze del sistema

F o r m a p o l i n o m

i a l e

F or

m af a t t or i z z a t a

x(n) y(n)

h(n)


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FILTRI ANALOGICISi possono considerare una classe disistemi lineari usata frequentemente perl’analisi di sistemi biologici.

I filtri si usano per rimuoverecomponenti di rumore indesiderate dalsegnale, che possono causaredistorsioni e rendere difficile o

addirittura errata la diagnosi.Si possono distinguere tre classiprincipali di filtri: passa-basso, passa-banda, passa-alto.

A-Passa-basso: eliminano le altefrequenze ed eventualmenteamplificano le basse;

B-Passa-alto: svolgono la funzioneopposta dei passa-basso;

C-Passa-banda: rimuovono sia le alteche le basse frequenze, preservandouna banda opportuna.


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FILTRI ANALOGICI

Essendo sistemi lineari, nel dominio del tempo l’uscita del filtro è datadalla convoluzione fra l’ingresso e la risposta impulsiva del filtro stesso.

Nel dominio della frequenza la trasformata dell’uscita è data dal

prodotto della trasformata dell’ingresso e quella del filtro. In figura è

mostrato il caso del filtro ideale passa-basso:

Risposta impulsiva h(t) del filtro:hLP(t)=Wcsinc(Wct)/π, dove Wc=2πfc è

la frequenza di cutoff.

Funzione di trasferimento H(ω) del filtroideale passa-basso. HLP(ω)=1 per |ω|


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FILTRI DIGITALI

Sono descritti da equazioni alle differenze (essenzialmente equazionidifferenziali discretizzate). La forma generale è:

Dove x(k)=ingresso, y(k)=uscita. Ad esempio, per M=2, N=2, si ha:

I filtri digitali possono essere definiti dalla risposta impulsiva e dalla

somma di convoluzione:

Filtri FIR: la risposta impulsiva ha un numero finito di valori diversi da zero;

Filtri IIR: la risposta impulsiva ha un numero infinito di valori diversi da zero.

Utili per simulare filtri analogici utilizzando pochi parametri.


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DA FILTRO DIGITALE A FUNZIONE

DI TRASFERIMENTOLa funzione di trasferimento per il sistema (filtro) digitale H(z) si può

ottenere dall’equazione alle differenze vista per la trasformata z. H(z) è il

rapporto fra la trasformata z dell’uscita, Y(z) e quella dell’ingresso X(z):


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ESEMPI

1

2

ES.1: Trovare la risposta impulsiva del filtro FIR: y(k)=1/3x(k)+1/3x(k-1)+1/3x(k-2)

ES.2: Trovare la funzione di trasferimento del filtro IIR: y(k)-1/2y(k-1)=1/2x(k)

Entrambi i filtri sono passa-basso, ma con prestazioni molto inferiori a quelle delfiltro ideale mostrato in figura.


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FILTRAGGIO DEL RUMORELe misure dei segnali biologici sono spesso “mescolate” a rumore di

misura. Molte classi di segnali biologici sono modellizzate come la somma

di una componente ideale priva di rumore, x(t) e un termine indipendente di

rumore n(t):

xi(t) = x(t) + ni(t)

Il segnale xi(t) corrisponde alla i-ma “prova” o “misura” del segnale.

Benché la componente deterministica x(t) sia fissa per ogni misura, il

termine di rumore n(t) rappresenta la variabilità intrinseca del segnale, che

può avere origini diverse.

Ad esempio, una elettrodo in una misura di ECG può registrare segnali

estranei a quello in esame, provenienti dai muscoli, polmoni ed anche

dall’elettronica interna allo strumento (ad es., un rumore a 60 Hz dovuto

all’alimentatore). Questi segnali costituiscono quindi il rumore presente sul

segnale ECG.


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FILTRAGGIO DEL RUMORETramite i filtri visti, possiamo separare il segnale dal rumore, a patto che irispettivi spettri non si sovrappongano. Questo in genere non accade con isegnali biologici.

I segnali biologici sono in maggior parte periodici, ma, per la loro intrinsecavariabilità, è da prevedere la presenza di una qualche forma di rumore.

Un modo per calcolare le variabili cliniche di interesse è quello di riferirsi

alla media aritmetica, ma questo è spesso impossibile a causa del rumorepresente sulle singole misure.

In alternativa, si può calcolare la media delle misure effettuate in N provedistinte xi:

N

1

i

1

N

1

i

1

TC

TD


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FILTRAGGIO DEL RUMORE

per N grande, e ε(t) 0.

Questo risultato ci dice quindi che possiamo eliminare il rumore con unasemplice operazione di media su un numero elevato di prove. Molti sistemi dimisura per segnali biologici sono progettati per effettuare la media mentrevengono raccolti i dati.

Per segnali intrinsecamente aleatori in genere è consigliabile effettuarel’operazione di media in frequenza.

N

1

i

N

1

Se il termine di rumore n(t) è puramente aleatorio si dimostra che ε(t), checontiene il contributo del rumore, tende a 0 per N. Per cui

Sostituendo nell’equazione precedente: xi(t)=x(t)+ni(t), si ha:


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MEDIA DI VALORI DI PRESSIONE

Operazione di

media sul

segnale di

pressionesanguigna del

bambino di 4

anni visto


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MEDIA DI VALORI DI RISPOSTA

UDITIVARisposta uditiva

(segnale EEG) ad un

breve impulso sonoro

misurata sul lobo

temporale (Auditory

Breinstem Response, ABR).

E’ evidente la

presenza di rumore

che maschera il

segnale reale. La

media su 1000 segnali

mostra invece

chiaramente la

componente di

risposta uditiva allo

stimolo.


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SINUSOIDE + RUMORE

Dato il segnale:

x(k)=sin(π /4k)+n(k)

Scrivere una funzioneMATLAB che mostri

come l’operazione di

media (1, 10, 100 medie)

rimuova la componente

rumorosa e riveli il

segnale deterministicosottostante.


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Script MATLAB

noise_removal.m

k=1:64; %discrete time axis

x=zeros(100,64);

for i=1:100 %generating 100 signal trials

x(i,k)=sin(pi/4*k)+randn(1,64); %i-th trial

endX1=x(1,:); %1 Averages

X10=mean(x(1:10,:)); %10 Averages

X100=mean(x); %100 Averages

subplot(311) %Plotting results - 1 Average

plot(k,X1,'k')

axis([1 64 -3 3])title('1 Average')

ylabel('Amplitude')

subplot(312) %Plotting results - 10 Averages

plot(k,X10,'k')

axis([1 64 -3 3])

title('10 Averages')ylabel('Amplitude')

subplot(313) %Plotting results - 100 Averages

plot(k,X100,'k')

axis([1 64 -3 3])

title('100 Average')

ylabel('Amplitude')

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