sect41 力学量随时间的演化 sect42 波包的运动 Ehrenfest 定理sect43 Schroumldinger 图像与 Heisenberg图像 sect44 守恒量与对称性的关系sect45 全同粒子体系与波函数的交换对称性

第 4 章 力学量随时间的演化与对称性

sect41 力学量随时间的演化411 守恒量1 经典物理中的守恒量

动量守恒 质点受的合外力为零机械能守恒外力和内非保守力不做功角动量守恒质点所受到的合外力矩为零

2 量子力学中的守恒量

)()()( tAttA ψψ

守恒量在任意态下力学量的平均值不随时间变化

守恒量力学量的值不随时间变化

在任意量子态 Ψ 下力学量 A 的平均值为

守恒的条件

t

AHA

t

AHA

t

AAHHA

t

A

tAA

H

t

A

tAA

ttA

t

][i

1)][(

i

1

)(i

1

i

1

i

)(d

d

][i

1 )(

d

dHAtA

t

0][ HA 0 )(d

dtA

t

若力学量不显含时间即 0t

A

则

若

ψψ

Ht

i

Note

kkkkkk AAEH ψψψψ

))(()( )( )( ttatat kkk

kk ψψψψ

可见若力学量 A 与体系的哈密顿量对易则 A 为守恒量

选包括 H和 A 在内的一组力学量完全集则

体系的任意量子态可表示为

3 守恒量的性质

在 Ψ 态下测力学量 A 的 Ak 的概率为2

)(tak

则该概率随时间的变化为

0))((i

))()()((i

1

))((i

)(

))(()(

d

d )(

d

d

2

2

复共轭项

复共轭项

复共轭项

复共轭项

复共轭项

kk

kk

kk

kk

kk

k

tE

tHt

ttH

tt

t

at

ata

t

ψψ

ψψψψ

ψψψψ

ψψψψ

结论 如果力学量 A 不含时间若 [A H]=0( 即为守恒量 ) 则无论体系处于什么状态 A 的平均值和测值概率均不随时间变化

4 经典与量子力学中的守恒量间的关系

5 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态即能量本征态而守恒量则 是一种特殊的力学量与体系的 Hamilton 量对易 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变

(1) 与经典力学中的守恒量不同量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值 若初始时刻体系处于守恒量 A 的本征态则体系 将保持在该本征态此态对应的量子数将伴随终生因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数(2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值

例题 1 判断下列说法的正误

(1) 在非定态下力学量的平均值随时间变化 ( 错 )(2) 设体系处在定态则不含时力学量测值的概率不随时间变化 ( 对 )(3) 设哈密顿量为守恒量则体系处在定态（错）(4) 中心力场中的粒子处于定态则角动量取确定的数值（错）(5) 自由粒子处于定态则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6) 一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）

证明 对于属于能量 E 的任何两个束缚态波函数有 1221 ψψψψ

则 2211

两边同时积分得 21 ψψ C

412 能级简并与守恒量的关系

定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量 F和 G 即 [FH]=0[GH]=0[FG]ne0 则体系能级一般是简并的

证明 [F H]=0 则 F H 有共同的本征函数 Ψ

FFEH ˆ ˆ

又因为 [G H]=0 则

ψψψψ GEEGHGGH ˆˆˆˆˆˆ

即 GΨ 也是 H 的本征函数对应的本征值也是 E 即体系的能级是简并的

推论 如果体系有一守恒量 F 而体系的某条能级并不 简并即对应某个能量本征值 E 只有一个本征态 ΨE 则 ΨE 必为 F 的本征态

EEEE FEEFHFFH ψψψψ ˆˆˆˆˆˆ

证明设ΨE 是一能量本征态因 F 是守恒量则 [F H]=0

即 FΨE 也是一个能量本征态对应的本征值也是 E 根据假定能级不简并则必有

EE FF ψψ ˆ

即ΨE 也是 F 的本征态对应的本征值是 Frsquo

例如 一维谐振子势中粒子的能级并不简并空间反射算符 P 为守恒量 [PH]=0 则能量本征态必为 P 的本征态即有确定的宇称事实上也确是如此

)()1()()( xxxP nn

nn ψψψ

结论 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系在一般情况下当能级出现简并时可以根据体系的对称性找出其守恒量

)(22 rVmpH

Vrm

p

rVprpprm

Hprprt

2

2

i

)]([][2

1][

d

di

Vrpm

21 VrT

2

位力定理 设粒子处于势场 V(r) 其哈密顿为

rp 的平均值随时间的变化为

对定态有 0 d

dpr

t

则

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

sect41 力学量随时间的演化411 守恒量1 经典物理中的守恒量

动量守恒 质点受的合外力为零机械能守恒外力和内非保守力不做功角动量守恒质点所受到的合外力矩为零

2 量子力学中的守恒量

)()()( tAttA ψψ

守恒量在任意态下力学量的平均值不随时间变化

守恒量力学量的值不随时间变化

在任意量子态 Ψ 下力学量 A 的平均值为

守恒的条件

t

AHA

t

AHA

t

AAHHA

t

A

tAA

H

t

A

tAA

ttA

t

][i

1)][(

i

1

)(i

1

i

1

i

)(d

d

][i

1 )(

d

dHAtA

t

0][ HA 0 )(d

dtA

t

若力学量不显含时间即 0t

A

则

若

ψψ

Ht

i

Note

kkkkkk AAEH ψψψψ

))(()( )( )( ttatat kkk

kk ψψψψ

可见若力学量 A 与体系的哈密顿量对易则 A 为守恒量

选包括 H和 A 在内的一组力学量完全集则

体系的任意量子态可表示为

3 守恒量的性质

在 Ψ 态下测力学量 A 的 Ak 的概率为2

)(tak

则该概率随时间的变化为

0))((i

))()()((i

1

))((i

)(

))(()(

d

d )(

d

d

2

2

复共轭项

复共轭项

复共轭项

复共轭项

复共轭项

kk

kk

kk

kk

kk

k

tE

tHt

ttH

tt

t

at

ata

t

ψψ

ψψψψ

ψψψψ

ψψψψ

结论 如果力学量 A 不含时间若 [A H]=0( 即为守恒量 ) 则无论体系处于什么状态 A 的平均值和测值概率均不随时间变化

4 经典与量子力学中的守恒量间的关系

5 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态即能量本征态而守恒量则 是一种特殊的力学量与体系的 Hamilton 量对易 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变

(1) 与经典力学中的守恒量不同量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值 若初始时刻体系处于守恒量 A 的本征态则体系 将保持在该本征态此态对应的量子数将伴随终生因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数(2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值

例题 1 判断下列说法的正误

(1) 在非定态下力学量的平均值随时间变化 ( 错 )(2) 设体系处在定态则不含时力学量测值的概率不随时间变化 ( 对 )(3) 设哈密顿量为守恒量则体系处在定态（错）(4) 中心力场中的粒子处于定态则角动量取确定的数值（错）(5) 自由粒子处于定态则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6) 一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）

证明 对于属于能量 E 的任何两个束缚态波函数有 1221 ψψψψ

则 2211

两边同时积分得 21 ψψ C

412 能级简并与守恒量的关系

定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量 F和 G 即 [FH]=0[GH]=0[FG]ne0 则体系能级一般是简并的

证明 [F H]=0 则 F H 有共同的本征函数 Ψ

FFEH ˆ ˆ

又因为 [G H]=0 则

ψψψψ GEEGHGGH ˆˆˆˆˆˆ

即 GΨ 也是 H 的本征函数对应的本征值也是 E 即体系的能级是简并的

推论 如果体系有一守恒量 F 而体系的某条能级并不 简并即对应某个能量本征值 E 只有一个本征态 ΨE 则 ΨE 必为 F 的本征态

EEEE FEEFHFFH ψψψψ ˆˆˆˆˆˆ

证明设ΨE 是一能量本征态因 F 是守恒量则 [F H]=0

即 FΨE 也是一个能量本征态对应的本征值也是 E 根据假定能级不简并则必有

EE FF ψψ ˆ

即ΨE 也是 F 的本征态对应的本征值是 Frsquo

例如 一维谐振子势中粒子的能级并不简并空间反射算符 P 为守恒量 [PH]=0 则能量本征态必为 P 的本征态即有确定的宇称事实上也确是如此

)()1()()( xxxP nn

nn ψψψ

结论 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系在一般情况下当能级出现简并时可以根据体系的对称性找出其守恒量

)(22 rVmpH

Vrm

p

rVprpprm

Hprprt

2

2

i

)]([][2

1][

d

di

Vrpm

21 VrT

2

位力定理 设粒子处于势场 V(r) 其哈密顿为

rp 的平均值随时间的变化为

对定态有 0 d

dpr

t

则

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

t

AHA

t

AHA

t

AAHHA

t

A

tAA

H

t

A

tAA

ttA

t

][i

1)][(

i

1

)(i

1

i

1

i

)(d

d

][i

1 )(

d

dHAtA

t

0][ HA 0 )(d

dtA

t

若力学量不显含时间即 0t

A

则

若

ψψ

Ht

i

Note

kkkkkk AAEH ψψψψ

))(()( )( )( ttatat kkk

kk ψψψψ

可见若力学量 A 与体系的哈密顿量对易则 A 为守恒量

选包括 H和 A 在内的一组力学量完全集则

体系的任意量子态可表示为

3 守恒量的性质

在 Ψ 态下测力学量 A 的 Ak 的概率为2

)(tak

则该概率随时间的变化为

0))((i

))()()((i

1

))((i

)(

))(()(

d

d )(

d

d

2

2

复共轭项

复共轭项

复共轭项

复共轭项

复共轭项

kk

kk

kk

kk

kk

k

tE

tHt

ttH

tt

t

at

ata

t

ψψ

ψψψψ

ψψψψ

ψψψψ

结论 如果力学量 A 不含时间若 [A H]=0( 即为守恒量 ) 则无论体系处于什么状态 A 的平均值和测值概率均不随时间变化

4 经典与量子力学中的守恒量间的关系

5 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态即能量本征态而守恒量则 是一种特殊的力学量与体系的 Hamilton 量对易 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变

(1) 与经典力学中的守恒量不同量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值 若初始时刻体系处于守恒量 A 的本征态则体系 将保持在该本征态此态对应的量子数将伴随终生因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数(2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值

例题 1 判断下列说法的正误

(1) 在非定态下力学量的平均值随时间变化 ( 错 )(2) 设体系处在定态则不含时力学量测值的概率不随时间变化 ( 对 )(3) 设哈密顿量为守恒量则体系处在定态（错）(4) 中心力场中的粒子处于定态则角动量取确定的数值（错）(5) 自由粒子处于定态则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6) 一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）

证明 对于属于能量 E 的任何两个束缚态波函数有 1221 ψψψψ

则 2211

两边同时积分得 21 ψψ C

412 能级简并与守恒量的关系

定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量 F和 G 即 [FH]=0[GH]=0[FG]ne0 则体系能级一般是简并的

证明 [F H]=0 则 F H 有共同的本征函数 Ψ

FFEH ˆ ˆ

又因为 [G H]=0 则

ψψψψ GEEGHGGH ˆˆˆˆˆˆ

即 GΨ 也是 H 的本征函数对应的本征值也是 E 即体系的能级是简并的

推论 如果体系有一守恒量 F 而体系的某条能级并不 简并即对应某个能量本征值 E 只有一个本征态 ΨE 则 ΨE 必为 F 的本征态

EEEE FEEFHFFH ψψψψ ˆˆˆˆˆˆ

证明设ΨE 是一能量本征态因 F 是守恒量则 [F H]=0

即 FΨE 也是一个能量本征态对应的本征值也是 E 根据假定能级不简并则必有

EE FF ψψ ˆ

即ΨE 也是 F 的本征态对应的本征值是 Frsquo

例如 一维谐振子势中粒子的能级并不简并空间反射算符 P 为守恒量 [PH]=0 则能量本征态必为 P 的本征态即有确定的宇称事实上也确是如此

)()1()()( xxxP nn

nn ψψψ

结论 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系在一般情况下当能级出现简并时可以根据体系的对称性找出其守恒量

)(22 rVmpH

Vrm

p

rVprpprm

Hprprt

2

2

i

)]([][2

1][

d

di

Vrpm

21 VrT

2

位力定理 设粒子处于势场 V(r) 其哈密顿为

rp 的平均值随时间的变化为

对定态有 0 d

dpr

t

则

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

kkkkkk AAEH ψψψψ

))(()( )( )( ttatat kkk

kk ψψψψ

可见若力学量 A 与体系的哈密顿量对易则 A 为守恒量

选包括 H和 A 在内的一组力学量完全集则

体系的任意量子态可表示为

3 守恒量的性质

在 Ψ 态下测力学量 A 的 Ak 的概率为2

)(tak

则该概率随时间的变化为

0))((i

))()()((i

1

))((i

)(

))(()(

d

d )(

d

d

2

2

复共轭项

复共轭项

复共轭项

复共轭项

复共轭项

kk

kk

kk

kk

kk

k

tE

tHt

ttH

tt

t

at

ata

t

ψψ

ψψψψ

ψψψψ

ψψψψ

结论 如果力学量 A 不含时间若 [A H]=0( 即为守恒量 ) 则无论体系处于什么状态 A 的平均值和测值概率均不随时间变化

4 经典与量子力学中的守恒量间的关系

5 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态即能量本征态而守恒量则 是一种特殊的力学量与体系的 Hamilton 量对易 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变

(1) 与经典力学中的守恒量不同量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值 若初始时刻体系处于守恒量 A 的本征态则体系 将保持在该本征态此态对应的量子数将伴随终生因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数(2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值

例题 1 判断下列说法的正误

(1) 在非定态下力学量的平均值随时间变化 ( 错 )(2) 设体系处在定态则不含时力学量测值的概率不随时间变化 ( 对 )(3) 设哈密顿量为守恒量则体系处在定态（错）(4) 中心力场中的粒子处于定态则角动量取确定的数值（错）(5) 自由粒子处于定态则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6) 一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）

证明 对于属于能量 E 的任何两个束缚态波函数有 1221 ψψψψ

则 2211

两边同时积分得 21 ψψ C

412 能级简并与守恒量的关系

定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量 F和 G 即 [FH]=0[GH]=0[FG]ne0 则体系能级一般是简并的

证明 [F H]=0 则 F H 有共同的本征函数 Ψ

FFEH ˆ ˆ

又因为 [G H]=0 则

ψψψψ GEEGHGGH ˆˆˆˆˆˆ

即 GΨ 也是 H 的本征函数对应的本征值也是 E 即体系的能级是简并的

推论 如果体系有一守恒量 F 而体系的某条能级并不 简并即对应某个能量本征值 E 只有一个本征态 ΨE 则 ΨE 必为 F 的本征态

EEEE FEEFHFFH ψψψψ ˆˆˆˆˆˆ

证明设ΨE 是一能量本征态因 F 是守恒量则 [F H]=0

即 FΨE 也是一个能量本征态对应的本征值也是 E 根据假定能级不简并则必有

EE FF ψψ ˆ

即ΨE 也是 F 的本征态对应的本征值是 Frsquo

例如 一维谐振子势中粒子的能级并不简并空间反射算符 P 为守恒量 [PH]=0 则能量本征态必为 P 的本征态即有确定的宇称事实上也确是如此

)()1()()( xxxP nn

nn ψψψ

结论 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系在一般情况下当能级出现简并时可以根据体系的对称性找出其守恒量

)(22 rVmpH

Vrm

p

rVprpprm

Hprprt

2

2

i

)]([][2

1][

d

di

Vrpm

21 VrT

2

位力定理 设粒子处于势场 V(r) 其哈密顿为

rp 的平均值随时间的变化为

对定态有 0 d

dpr

t

则

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

0))((i

))()()((i

1

))((i

)(

))(()(

d

d )(

d

d

2

2

复共轭项

复共轭项

复共轭项

复共轭项

复共轭项

kk

kk

kk

kk

kk

k

tE

tHt

ttH

tt

t

at

ata

t

ψψ

ψψψψ

ψψψψ

ψψψψ

结论 如果力学量 A 不含时间若 [A H]=0( 即为守恒量 ) 则无论体系处于什么状态 A 的平均值和测值概率均不随时间变化

4 经典与量子力学中的守恒量间的关系

5 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态即能量本征态而守恒量则 是一种特殊的力学量与体系的 Hamilton 量对易 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变

(1) 与经典力学中的守恒量不同量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值 若初始时刻体系处于守恒量 A 的本征态则体系 将保持在该本征态此态对应的量子数将伴随终生因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数(2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值

例题 1 判断下列说法的正误

(1) 在非定态下力学量的平均值随时间变化 ( 错 )(2) 设体系处在定态则不含时力学量测值的概率不随时间变化 ( 对 )(3) 设哈密顿量为守恒量则体系处在定态（错）(4) 中心力场中的粒子处于定态则角动量取确定的数值（错）(5) 自由粒子处于定态则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6) 一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）

证明 对于属于能量 E 的任何两个束缚态波函数有 1221 ψψψψ

则 2211

两边同时积分得 21 ψψ C

412 能级简并与守恒量的关系

定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量 F和 G 即 [FH]=0[GH]=0[FG]ne0 则体系能级一般是简并的

证明 [F H]=0 则 F H 有共同的本征函数 Ψ

FFEH ˆ ˆ

又因为 [G H]=0 则

ψψψψ GEEGHGGH ˆˆˆˆˆˆ

即 GΨ 也是 H 的本征函数对应的本征值也是 E 即体系的能级是简并的

推论 如果体系有一守恒量 F 而体系的某条能级并不 简并即对应某个能量本征值 E 只有一个本征态 ΨE 则 ΨE 必为 F 的本征态

EEEE FEEFHFFH ψψψψ ˆˆˆˆˆˆ

证明设ΨE 是一能量本征态因 F 是守恒量则 [F H]=0

即 FΨE 也是一个能量本征态对应的本征值也是 E 根据假定能级不简并则必有

EE FF ψψ ˆ

即ΨE 也是 F 的本征态对应的本征值是 Frsquo

例如 一维谐振子势中粒子的能级并不简并空间反射算符 P 为守恒量 [PH]=0 则能量本征态必为 P 的本征态即有确定的宇称事实上也确是如此

)()1()()( xxxP nn

nn ψψψ

结论 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系在一般情况下当能级出现简并时可以根据体系的对称性找出其守恒量

)(22 rVmpH

Vrm

p

rVprpprm

Hprprt

2

2

i

)]([][2

1][

d

di

Vrpm

21 VrT

2

位力定理 设粒子处于势场 V(r) 其哈密顿为

rp 的平均值随时间的变化为

对定态有 0 d

dpr

t

则

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

4 经典与量子力学中的守恒量间的关系

5 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态即能量本征态而守恒量则 是一种特殊的力学量与体系的 Hamilton 量对易 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变

(1) 与经典力学中的守恒量不同量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值 若初始时刻体系处于守恒量 A 的本征态则体系 将保持在该本征态此态对应的量子数将伴随终生因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数(2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值

例题 1 判断下列说法的正误

(1) 在非定态下力学量的平均值随时间变化 ( 错 )(2) 设体系处在定态则不含时力学量测值的概率不随时间变化 ( 对 )(3) 设哈密顿量为守恒量则体系处在定态（错）(4) 中心力场中的粒子处于定态则角动量取确定的数值（错）(5) 自由粒子处于定态则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6) 一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）

证明 对于属于能量 E 的任何两个束缚态波函数有 1221 ψψψψ

则 2211

两边同时积分得 21 ψψ C

412 能级简并与守恒量的关系

定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量 F和 G 即 [FH]=0[GH]=0[FG]ne0 则体系能级一般是简并的

证明 [F H]=0 则 F H 有共同的本征函数 Ψ

FFEH ˆ ˆ

又因为 [G H]=0 则

ψψψψ GEEGHGGH ˆˆˆˆˆˆ

即 GΨ 也是 H 的本征函数对应的本征值也是 E 即体系的能级是简并的

推论 如果体系有一守恒量 F 而体系的某条能级并不 简并即对应某个能量本征值 E 只有一个本征态 ΨE 则 ΨE 必为 F 的本征态

EEEE FEEFHFFH ψψψψ ˆˆˆˆˆˆ

证明设ΨE 是一能量本征态因 F 是守恒量则 [F H]=0

即 FΨE 也是一个能量本征态对应的本征值也是 E 根据假定能级不简并则必有

EE FF ψψ ˆ

即ΨE 也是 F 的本征态对应的本征值是 Frsquo

例如 一维谐振子势中粒子的能级并不简并空间反射算符 P 为守恒量 [PH]=0 则能量本征态必为 P 的本征态即有确定的宇称事实上也确是如此

)()1()()( xxxP nn

nn ψψψ

结论 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系在一般情况下当能级出现简并时可以根据体系的对称性找出其守恒量

)(22 rVmpH

Vrm

p

rVprpprm

Hprprt

2

2

i

)]([][2

1][

d

di

Vrpm

21 VrT

2

位力定理 设粒子处于势场 V(r) 其哈密顿为

rp 的平均值随时间的变化为

对定态有 0 d

dpr

t

则

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

例题 1 判断下列说法的正误

(1) 在非定态下力学量的平均值随时间变化 ( 错 )(2) 设体系处在定态则不含时力学量测值的概率不随时间变化 ( 对 )(3) 设哈密顿量为守恒量则体系处在定态（错）(4) 中心力场中的粒子处于定态则角动量取确定的数值（错）(5) 自由粒子处于定态则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6) 一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）

证明 对于属于能量 E 的任何两个束缚态波函数有 1221 ψψψψ

则 2211

两边同时积分得 21 ψψ C

412 能级简并与守恒量的关系

定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量 F和 G 即 [FH]=0[GH]=0[FG]ne0 则体系能级一般是简并的

证明 [F H]=0 则 F H 有共同的本征函数 Ψ

FFEH ˆ ˆ

又因为 [G H]=0 则

ψψψψ GEEGHGGH ˆˆˆˆˆˆ

即 GΨ 也是 H 的本征函数对应的本征值也是 E 即体系的能级是简并的

推论 如果体系有一守恒量 F 而体系的某条能级并不 简并即对应某个能量本征值 E 只有一个本征态 ΨE 则 ΨE 必为 F 的本征态

EEEE FEEFHFFH ψψψψ ˆˆˆˆˆˆ

证明设ΨE 是一能量本征态因 F 是守恒量则 [F H]=0

即 FΨE 也是一个能量本征态对应的本征值也是 E 根据假定能级不简并则必有

EE FF ψψ ˆ

即ΨE 也是 F 的本征态对应的本征值是 Frsquo

例如 一维谐振子势中粒子的能级并不简并空间反射算符 P 为守恒量 [PH]=0 则能量本征态必为 P 的本征态即有确定的宇称事实上也确是如此

)()1()()( xxxP nn

nn ψψψ

结论 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系在一般情况下当能级出现简并时可以根据体系的对称性找出其守恒量

)(22 rVmpH

Vrm

p

rVprpprm

Hprprt

2

2

i

)]([][2

1][

d

di

Vrpm

21 VrT

2

位力定理 设粒子处于势场 V(r) 其哈密顿为

rp 的平均值随时间的变化为

对定态有 0 d

dpr

t

则

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

412 能级简并与守恒量的关系

定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量 F和 G 即 [FH]=0[GH]=0[FG]ne0 则体系能级一般是简并的

证明 [F H]=0 则 F H 有共同的本征函数 Ψ

FFEH ˆ ˆ

又因为 [G H]=0 则

ψψψψ GEEGHGGH ˆˆˆˆˆˆ

即 GΨ 也是 H 的本征函数对应的本征值也是 E 即体系的能级是简并的

推论 如果体系有一守恒量 F 而体系的某条能级并不 简并即对应某个能量本征值 E 只有一个本征态 ΨE 则 ΨE 必为 F 的本征态

EEEE FEEFHFFH ψψψψ ˆˆˆˆˆˆ

证明设ΨE 是一能量本征态因 F 是守恒量则 [F H]=0

即 FΨE 也是一个能量本征态对应的本征值也是 E 根据假定能级不简并则必有

EE FF ψψ ˆ

即ΨE 也是 F 的本征态对应的本征值是 Frsquo

例如 一维谐振子势中粒子的能级并不简并空间反射算符 P 为守恒量 [PH]=0 则能量本征态必为 P 的本征态即有确定的宇称事实上也确是如此

)()1()()( xxxP nn

nn ψψψ

结论 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系在一般情况下当能级出现简并时可以根据体系的对称性找出其守恒量

)(22 rVmpH

Vrm

p

rVprpprm

Hprprt

2

2

i

)]([][2

1][

d

di

Vrpm

21 VrT

2

位力定理 设粒子处于势场 V(r) 其哈密顿为

rp 的平均值随时间的变化为

对定态有 0 d

dpr

t

则

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

推论 如果体系有一守恒量 F 而体系的某条能级并不 简并即对应某个能量本征值 E 只有一个本征态 ΨE 则 ΨE 必为 F 的本征态

EEEE FEEFHFFH ψψψψ ˆˆˆˆˆˆ

证明设ΨE 是一能量本征态因 F 是守恒量则 [F H]=0

即 FΨE 也是一个能量本征态对应的本征值也是 E 根据假定能级不简并则必有

EE FF ψψ ˆ

即ΨE 也是 F 的本征态对应的本征值是 Frsquo

例如 一维谐振子势中粒子的能级并不简并空间反射算符 P 为守恒量 [PH]=0 则能量本征态必为 P 的本征态即有确定的宇称事实上也确是如此

)()1()()( xxxP nn

nn ψψψ

结论 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系在一般情况下当能级出现简并时可以根据体系的对称性找出其守恒量

)(22 rVmpH

Vrm

p

rVprpprm

Hprprt

2

2

i

)]([][2

1][

d

di

Vrpm

21 VrT

2

位力定理 设粒子处于势场 V(r) 其哈密顿为

rp 的平均值随时间的变化为

对定态有 0 d

dpr

t

则

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

例如 一维谐振子势中粒子的能级并不简并空间反射算符 P 为守恒量 [PH]=0 则能量本征态必为 P 的本征态即有确定的宇称事实上也确是如此

)()1()()( xxxP nn

nn ψψψ

结论 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系在一般情况下当能级出现简并时可以根据体系的对称性找出其守恒量

)(22 rVmpH

Vrm

p

rVprpprm

Hprprt

2

2

i

)]([][2

1][

d

di

Vrpm

21 VrT

2

位力定理 设粒子处于势场 V(r) 其哈密顿为

rp 的平均值随时间的变化为

对定态有 0 d

dpr

t

则

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

)(22 rVmpH

Vrm

p

rVprpprm

Hprprt

2

2

i

)]([][2

1][

d

di

Vrpm

21 VrT

2

位力定理 设粒子处于势场 V(r) 其哈密顿为

rp 的平均值随时间的变化为

对定态有 0 d

dpr

t

则

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

证明

)(i

))(

i())(

i())(

i(

)]([)]([)]([

)]([

rVr

z

rVz

y

rVy

x

rVx

rVzprVyprVxp

rVpr

zyx

2

222

222

2

i2

i2i2i2

][][][

][

p

ppp

pzppyppxp

ppr

zyx

zzyyxx

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

思考题 rp 并不是厄米算符应进行厄米化

)(2

1rpprpr

这是否会影响位力定理得证明

答从位力定理的证明可以看出将 rp 厄米化后并不能影响 到定理的证明

例题 1 设 V(xyz)是 xyz的 n 次齐次函数即

)()( zyxVcczcycxV n

证明 TVn 2

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

如谐振子 2 2

1)( 22 nxmxV ω TV

库仑势 1 1

~)( nr

rV TV 2

δ 势TVnx

aax 2 1 )(

1)( δδ

证明 )()( zyxVcczcycxV n两边对 c 求导数得

)()()()(

1 zyxVnccz

Vz

cy

Vy

cx

Vx n

令 c =1 得 nVVr

则由位力定理得 VnVrT

2

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

例题 2 求一维谐振子在态 Ψn 下的动能和势能的平均值

解 一维谐振子的能量本征值为 ω

2

1nEn

由位力定理知 VT

则 ω

2

1nVTHEn

所以 ω

2

1

2

1nVT

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

)1( )(2

2

rVm

pH

)3( )()(][i

1

d

d

)2( ][i

1

d

d

rFrVHppt

m

pHrr

t

1 波包的运动与经典粒子运动的关系

设质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动用波包 Ψ(rt) 描述显然Ψ(rt) 必为非定态因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的与经典粒子运动对应的量子态为非定态

设粒子运动的 Hamilton 为

则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

sect42 波包运动 Ehrenfest( 埃伦 middot 费斯特 ) 定理

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

)(d

d)(

d

d

d

d2

2

rVt

rmrV

t

p

m

p

t

r

)(d

d2

2

rFt

rm

经典粒子运动的正则方程是

(2) 代入 (3) 得到

此之谓 Ehrenfest 方程 形式与经典的 Newton 方程类似但只有当

)()( rFrF

时波包中心 的运动规律才与经典粒子相同r

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

(3) 波包的扩散不太大

(1) 波包很窄其大小与粒子的大小相当

(2) 势场 V(r) 在空间的变化很缓慢使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近

2 用波包描述粒子运动时对波包的要求

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

3

32

2

2 )(

2

1)()(

c

c

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

xV

x

Vξξ

3

32 )(

2

1)(

c

c

c

c

x

xV

x

xV

x

Vξ

在波包中心 xxc 附近对 V(x)作 Taylor 展开令 ξ=x-xc

利用 0ξ

得

可见只有当 )7( )()(

2

13

32

c

c

c

c

x

xV

x

xV

ξ

时才有 )()(

)( cc

c xFx

xV

x

VxF

如 一维波包的运动

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

此时方程 (5) 与经典的 Newton 方程在形式上完全相同

例 α粒子对原子的散射

α

δx

a原子的半径 cm10 8a

α粒子的能量 MeV5E则其动量为

114 scmg102 αα mEp

在对原子的散射过程中 α粒子穿越原子的时间约为

α

α

α

δp

am

v

at

经典 or 量子描述

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

在该时间间隔内波包的扩散为

ap

p

p

am

m

ptvx

αα

α

αα δδ

~

如果要求在 α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述就要求

ax δ

1αp

p

利用不确定性关系可得 119 scmg10 axp

显然满足条件 1αp

p

即 α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

如果讨论电子对原子的散射电子的质量很小对于能量为100eV 的电子有

119 scmg1054~2 eee Emp

则 epp ~

因此用轨道运动来描述电子是不恰当的

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

sect43 Schroumlinger 图像 ( 绘景 ) 和 Heisenberg 图像（绘景）

)1( ))(ˆ)(()(ˆ tAttA

)2( )(ˆ)(i tHtt

)3( ]ˆˆ[i

1)(ˆ

d

dHAtA

t

)5( 1)00(ˆ

)4( )0()0(ˆ)(

U

tUt

1 Schroumldinger 图像

力学量不随时间变化而波函数随时间变化

力学量的平均值

波函数随时间演化方程 ---Schroumldinger 方程

力学量平均值随时间的变化

波函数随时间演化可写成

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

)0()0(ˆˆ)0()0(ˆi tUHtUt

)6( )0(ˆˆ)0(ˆi tUHtUt

)0(ˆ tU

)7( )0(ˆ ˆi tHetU

称为时间演化算符

(4) 代入 (2) 得到

则

积分得

)8( 1)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)0(ˆ tUtUtUtU可以证明

)0(ˆ tU 是幺正算符

)9( ))0()0(())()(( ψψψψ tt

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

)10( ))0()(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0(ˆ)0((

))0()0(ˆˆ)0()0(ˆ()(ˆ

tA

tUAtU

tUAtUtA

)11( )0(ˆˆ)0(ˆ)(ˆ tUAtUtA

Heishenberg 图像

波函数不变算符随时间变化

算符的演化方程 ----Heisenberg 方程

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1

)0(ˆd

dˆ)0(ˆ)0(ˆˆ)0(ˆd

d)(ˆ

d

d

UHAUUAHU

tUt

AtUtUAtUt

tAt

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

利用 U 的幺正性及 U+HU=H

)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i

1

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i

1)(ˆ

d

d

HtAtAH

UHUUAUUAUUHUtAt

则 )12( ]ˆ)(ˆ[i

1)(

d

dHtAtA

t

上式称为 Heisenberg 方程

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

例题 1 自由粒子 mpH 22 0][ Hp

p 为守恒量则 p(t)=p(0)=p

m

pe

m

pe

empreHtrtrt

HtHt

HtHt

ii

i2i

]2[i

1])([

i

1)(

d

d

tm

prtr

)0()(则

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

例题 2 一维谐振子 222

2

12 xmmpH ω

iiii )( )( HtHtHtHt peetpxeetx

)(][i

1)(

d

d

)(][i

1)(

d

d

2ii

ii

txmeHpetpt

mtpeHxetxt

HtHt

HtHt

ω

)()(d

d1)(

d

d 22

2

txtptm

txt

ω

tctctx ωω sincos)( 21

tcmtcmtxt

mtp ωωωω sincos)(d

d)( 21

而

则

其解为

则

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

ωω mpcpcmpxcx )0( )0( 221

txmtptp

tm

ptxtx

ωωω

ωω

ω

sincos)(

sincos)(

利用初始条件

则可得出

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

sect44 守恒量与对称性的关系

1 经典力学的守恒量与对称性的关系

机械能对空间平移不变性（空间均匀性）rarr动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）rarr角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）rarr能量守恒

1918年 德国数学家 A E Noether 从自然界的每一对称性可得到一守恒律反之每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性

2 量子力学中的对称性

(1) 对称变换与对称性群

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

)1( i ψψ Ht

ψψψ Q

ψψ

Ht

i

ψψ HQQt

i

ψψ HQQt

1i

体系的状态满足薛定谔方程

若存在变换 Q 在此变换下有

体系对变换不变性的要求

即

用 Q-1 运算得

HQQHHHQQ 1与方程 (1)比较得

或写成 )4( 0][ HQ

这就是体系（ Hamilton ）在变换 Q 下的不变性的数学表述

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

凡满足式 (4) 的变换称为体系的对称变换 物理学中的体系的对称变换总构成一个群称为体系的对称性群

(2) 对称性变换与守恒量

在对称变换下考虑概率守恒有)()()()( ψψψψψψψψ QQQQ

则 Q 应该是幺正算符即

IQQQQ

FIQ εi对于连续变换可考虑无穷小变换 εrarr0+ 令

IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2εεεε

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

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212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

FF

(3) 空间平移不变性与动量守恒

设体系沿 x轴方向作一无穷小平移 xxxx δ

即 F 是厄米算符称为变换 Q 的无穷小算符可定义与 Q 变换相联系的可观测量体系在 Q 变换下的不变性导致

0][ HF

即 F 是一守恒量对称变换rarr守恒量

ψ ψψ D

x xxx δ

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

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2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

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rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

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3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

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111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

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nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

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1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

ψψψ D

)()( xx ψψ )()( xxxD ψδψ

描述体系状态波函数的变化为

显然 即

)(exp

)()()(

xx

x

xxxxxxD

ψδ

ψδψδψψ

作变换 xxx δ

则上式可化为

]ˆiexp[exp)( xpxxxxD δδδ

xpx

iˆ

则平移 δx 的算符可表示为

Note 是与平移变换相应的无穷小算符

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

exp)( prrD δδ

ip

推广对于三维空间中的无穷小平移 rrrrδ

则

其中

设体系具有平移不变性即 [D H]=0

对于无穷小平移

i1 prD δ

则可推出 0][ Hp

动量守恒

是与三维平移变换对应的无穷小算符

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

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)()()()()()()()()([3

1

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)()()(

)()()(

3

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321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

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kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

(4) 空间旋转不变性与角动量守恒

设体系绕 z轴旋转一无穷小角度 δφ δφφφφ

波函数的变化是 ψψψ R

)()( φψφψ 对标量波函数有

即 )()( φψδφφψ R

)(exp

)()()(

φψφ

δφ

ψφ

δφφψδφφψφψ

R

作变换 δφφφ

则

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

izl注

rrδr

rδ

δφ

O

n

rrrrδ

rnrr δφφδδ

现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

)()( rrR

ψψψψψ

)()( rrrR

ψδψ

在上述变换下标量函数的变化是

即

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

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)()()(

)()()(

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1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

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Nkkk

Nkkk

Nkkk

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NA

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qqq

qqq

qqq

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N

NNN

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φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

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2

21212

1

111 11

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454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

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)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

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1)(

331221132231

233211231231

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qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

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(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

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(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

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)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

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分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

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113212311 qqqq φφφφ

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

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0 1 1

1 0 1

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分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

ˆiexpexp)( zlR δφφ

δφδφ

则绕 z轴旋转 δφ的算符是

φ

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rrδr

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现考虑三维空间中绕某方向 n 的无穷小旋转

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在上述变换下标量函数的变化是

即

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作变换 rrr

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lnprn

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δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

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则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

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11

11

NijijNji

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即

0]ˆ[ HPij

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NijNjiij

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qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

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1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

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2112

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21

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452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

)(])(exp[

)()()(

)()()(

rrn

rrnr

rnrrrrR

ψδφ

ψδφψ

δφψδψψ

作变换 rrr

δ

则

]iexp[])(iexp[

])(iexp[])(exp[)(

lnprn

prnrnnR

δφδφ

δφδφδφ

对于无穷小旋转 n

δφφδ

则

prl

其中

如果体系具有空间旋转不变性 [R H]=0

注三个矢量的混合积

BACACBCBA )()()(

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

对于无穷小旋转

i1 lnR δφ

则有 0][ Hl

即角动量守恒

(5) 时间均匀性与能量守恒

(6) 空间反射对称性与宇称守恒

(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

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1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

sect45 全同粒子体系及其波函数

451 全同粒子体系的交换对称性

1 全同粒子

说明 (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系 没有态的量子化就谈不上全同性 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子或全同粒子 可以区分

质量电荷自旋等内禀属性完全相同的粒子所有的电子是全同粒子所有的质子是全同粒子所有的光子也是全同粒子

2 全同性原理在相同的物理条件下全同粒子的行为完全相同 用一个粒子代换另一个粒子不引起物理状态的变化 或全同粒子不可区分

---------- 量子力学的基本假设

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

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11

11

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1

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ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

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ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

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1)(

2112

122121

21

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qqP

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kk

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452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

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2

1

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21

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(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

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βα

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相对运动部分波函数为rk

ker

i

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1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

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3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

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)2(

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23i

2312 rkePr rkA

k

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则

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)2sin(1

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概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

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2

)2sin(1

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13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

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321

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321321321

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112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

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21

21

21

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1

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ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

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2

21212

1

111 11

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454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

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设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

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(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

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qqq

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(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

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分布

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(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

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113212311 qqqq φφφφ

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

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0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

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C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

21

2

2

2

1

222

21 22

22 rr

e

r

e

r

e

m

p

m

pH

(1) 全同粒子体系的任何可观测量 ( 包含哈密顿量）有交换对称性

氦原子中两个电子组成的体系

3 全同粒子交换对称性与守恒量

定义交换算符 Pij 其作用是交换两个粒子的位置

)()(ˆ11 NijNjiij qqqqqqqqP

)(ˆ)(

)()(ˆ

11

11

NijijNji

NjiNjiij

qqqqPqqqqH

qqqqqqqqHP

ijNjiNjiij PqqqqHqqqqHP ˆ)()(ˆ11

即

0]ˆ[ HPij

)(

)()(ˆ

1

11

Nji

NijNjiij

qqqqC

qqqqqqqqP

22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

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0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

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)()( 2313 qq φφ

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)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

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11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

)(

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1

11

Nji

NijNjiij

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22 ˆˆ CPCP ijij 1C

ˆ

ˆ

反对称波函数

对称波函数

ij

ij

P

P

(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性

即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的

实验表明 凡自旋为 ħ 整数倍 (s=012hellip) 的粒子 波函数的交换总是对称的如 π 介子 (s=0)光子（ s=1） 波色子凡自旋为 ħ 半整数倍 (s=1232hellip) 的粒子 波函数的交换总是反对称的如电子质子中子等 费米子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

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1)(

2112

122121

21

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452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

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2

1

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(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

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βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

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1

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或

kKkkKk

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2 2

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ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

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ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

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)]()()()()()()()()(

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1

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kkk

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112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

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1)(

21

21

21

21

1

21

222

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ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

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(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

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1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

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113212311 qqqq φφφφ

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(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

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)()( 2313 qq φφ

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)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

由ldquo基本粒子rdquo组成的复合粒子如 α粒子若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变则全同粒子的状态仍然适用 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子 由偶数个费米子组成的粒子为玻色子有奇数个费米子组成的粒子为费米子

4 交换效应

全同性不只是一个抽象的概念而它将导致一个可观测的量子效应 ----- 交换效应微观世界里的全同粒子一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别波动性将使它们失去个性和可分辨性出现交换效应

如a

b

1

2

c

d分束器

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

dicdcif

若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

)()(2

1

)(2

1

212112212112

2112

cddcddcci

fff

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

kkkkAkk

φφφφ

φφ

φφφφψ

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(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

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3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

qqqA

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqq

qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

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(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

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(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

两个光子的输入态

221112bai

两光子的出射态

)(2

1)(

2

122211112

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若两个光子同时到达分束器出射态中光子的空间模有重叠必须考虑两个光子的交换干涉出射态应该是交换对称的

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1

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1

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2112

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在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

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452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

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21

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(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

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相对运动部分波函数为rk

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在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

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3

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(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

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23

2222

ππ

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ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

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2

)2sin(1

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13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

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)sin(1

x

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112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

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A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

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2

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1

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454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

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设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

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331221132231

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(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

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qqq

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(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

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分布

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(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

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分布

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

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若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

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11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

在 c d 两处放置探测器作单光子计数符合测量以 12的概率得到双光子极化纠缠态

)(2

1212112

尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化两个光子已经不可分辨

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

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452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

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(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

rkrr

rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

)]()()()()()()()()(

)()()()()()()()()([3

1

)()()(

)()()(

)()()(

3

1)(

321

312123231

213132321

321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

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111

321

qqqA

qqqqqqqqq

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qqq

qqq

qqq

kkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

kkk

]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

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qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

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(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

问题 在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

)()(]ˆ1[2

1

)]()()()([2

1)(

2112

122121

21

212121

qqP

qqqqqq

kk

kkkkSkk

452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

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21

22

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qqPqq

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kkkk

kk

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φφφφ

φφ

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)()()( 2121 qqqq kkSkk φφψ

(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

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令

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1

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或

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相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

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rrrrrPr A

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2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

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d2d)(dd)(4

3

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ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

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1

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1)(

321

312123231

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321

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321321321

333

222

111

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qqqqqqqqq

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112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

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1

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A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

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2

21212

1

111 11

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454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

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i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

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1)(

331221132231

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qqqqqq

qqqqqq

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(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

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122131

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(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

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113212311 qqqq φφφφ

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(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

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分布)]()()()([

2

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)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

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)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

)()( 21 qhqhH

)()()( qqqh kkk φεφ

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1

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452 两个全同粒子组成的体系

设有两个全同粒子（忽略相互作用）其 Hamilton 量为

其中 h 为单粒子的 Hamilton h(q ) 的本征方程为

设两个粒子一个处于 φk1 态另一个处于φk2 态则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1) 对应的能量都是 εk1+εk2 这种与交换相联系的简并称为交换简并但这两个波函数还不具有交换对称性

对 Bose子 波函数交换对称则(a) 当 k1nek2 时归一化的对称波函数为

)()()1(2

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)()(

2

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(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

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或

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相对运动部分波函数为rk

ker

i

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1)(

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在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

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3

222 π

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(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

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2312 rkePr rkA

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3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

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2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

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453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

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21

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A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

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2

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1

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454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

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设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

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331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

)]()()(

)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( )()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( )()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( )()( 12212211 qqqq φφφφ

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

)()()1(2

1)()(

)()(

2

1

)]()()()([2

1)(

211221

21

122121

21

22

11

212121

qqPqq

qq

qqqqqq

kkkk

kk

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φφφφ

φφ

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(b) 当 k1=k2 时归一化的对称波函数为

对 Femi 子波函数交换反对称(a) 当 k1nek2 时归一化的反对称波函数为

(b) 当 k1=k2 时 0)( 21 qqAkkψ

即这样的状态不存在这就是著名的 Pauli 不相容原理不允许两个全同的 Femi 子处于同一单粒子态

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

kkerr

βα

βα πψ

令

βαβα kkKkkk

rrRrrr

)(2

1

)(2

1 2121

或

kKkkKk

rRrrRr

2 2

2 2 21

βα rkRK

kkerr

ii21 ~)(

βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

krrrkr

rr

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rrrrrPr A

k

A

2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

)2(

d2

d)(sin)2(

d2d)(dd)(4

3

2

0

22

03

2

23

2222

ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

)()()(

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1

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3

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321

312123231

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321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

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111

321

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]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

Nqq

N

NNN

N

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

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qqqqqq

qqqqqq

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φφφφφφ

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φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

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1)(

122131

223111322111321210

qqq

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φφφ

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(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

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)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

)]()()()([2

112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布

(a) 在不计交换对称性时两粒子的波函数可表示为)(i

32121

)2(

1)(

rkrk

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βα

βα πψ

令

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1

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或

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βα rkRK

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βαψ

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

1)1(

2

1)(

23i

2312 rkePr rkA

k

ππφ

则

kr

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rr

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k

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2

)2sin(1

)2(

d4dsin)cos(sind

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3

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23

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ππ

θθθφπ

πφπ

ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

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1

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3

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321

312123231

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321

321

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321

321321321

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222

111

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112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

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1)(

21

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1

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ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

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454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

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)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

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qqqqqq

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(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

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122131

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qqq

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(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

)()()()( 312111321300 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

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(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

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2

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)]()()()([2

113212311 qqqq φφφφ

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112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

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0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

相对运动部分波函数为rk

ker

i

23)2(

1)(

πφ

在距离一个粒子半径在 (rrarrr+dr) 的球壳内找到另一个粒子的概率为

rrPrrr

rrr k d)(4)2(

d4d)(d 2

3

222 π

ππ

φ

(b) 交换 (rrarr-r) 反对称波函数 反对称相对运动波函数为

)sin()2(

2i

)2(

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2

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23i

2312 rkePr rkA

k

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则

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2

)2sin(1

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ππ

3)2(1)( πrP

概率密度

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

x2

)sin(1

x

x)sin(1

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]1[3

112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

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21

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A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

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2

21212

1

111 11

φφφφ

454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

Nkki

i

NS

nn qqPN

nqq

NN)]()([

)( 11 11

φφψ

设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

)]()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()([3

1)(

331221132231

233211231231

133221332211321111

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqqqqqS

φφφφφφ

φφφφφφ

φφφφφφψ

(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

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)()()()()()([3

1)(

122131

223111322111321210

qqq

qqqqqqqqqS

φφφ

φφφφφφψ

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

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)()()()( 322212321030 qqqqqqS φφφψ

)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

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(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

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113212311 qqqq φφφφ

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112212211 qqqq φφφφ

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

(c) 交换对称波函数 类似可求出

即

kr

krPA

2

)2sin(1

)2(

13π

kr

krPS

2

)2sin(1

)2(

13π

可见在空间波函数交换对称的情况下两个粒子相互靠拢的概率最大在交换反对称的情况下两粒子靠近的概率趋于零在 xrarrinfin时三种情况无区别波函数交换对称性的影响消失

0

1

2

π 2π x

krxx

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)sin(1

x

x)sin(1

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321

321

321

321

321

321321321

321321321

333

222

111

321

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kkkkkkkkk

kkk

kkk

kkkA

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112312323123123 PPPPPPPA

453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1)(

21

21

21

21

1

21

222

111

1

Nkkk

Nkkk

Nkkk

Nkkk

NA

kk

qqq

qqq

qqq

qqq

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N

NNN

N

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φφφ

φφφ

φφφ

ψ

A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

nnknk

n

nkk qqqqP ])()()()([

2

21212

1

111 11

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454 N 个全同 Bose 子组成的体系

21 NnnnN

P

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i

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nn qqPN

nqq

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)( 11 11

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设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

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)()()()()()([3

1)(

331221132231

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(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

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1)(

122131

223111322111321210

qqq

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φφφ

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(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

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)()()()( 332313321003 qqqqqqS φφφψ

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

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)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

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(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

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分布

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

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若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

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453 N 个全同 Femi 子组成的体系三个全同 Femi 子设三个无相互作用的全同 Femi 子处于三个不同的单粒子态 φk1 φk2 φk3 上则反对称波函数为

其中

称为反对称化算符

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A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

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δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

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设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

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(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

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例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

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分布

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(b) 两个全同费米子

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

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若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

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C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

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11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

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A

N 个全同 Femi 子设 N 个无相互作用的全同 Femi 子分别处于k1ltk2lthellipltkN 态上则反对称波函数为

P

PPN

δ

1A其中 为反对称化算符 P代表 N个粒子的一个置换

Slater行列式

1

1

奇置换偶置换

Pδ

共有 N 个

P

n

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454 N 个全同 Bose 子组成的体系

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ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

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(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

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例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

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分布

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

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(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

P

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454 N 个全同 Bose 子组成的体系

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设有 ni个 Bose 子处于 ki（ i=12hellipN ）态上 NnN

ii

1

对称的多粒子波函数可表示成

注意 P 只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换这样的置换的次数是

因此归一化的波函数为

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

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例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

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)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

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112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

)]()([2

11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

例题 1 N=3 体系设三个单粒子态分别是 321 φφφ

解 (a) n1=n2=n3=1 （只有 1 个）

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(b) n1=2n2=1n3=0 （共有 6 个）

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(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

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例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

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)()( 2212 qq φφ

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112212211 qqqq φφφφ

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2

113222312 qqqq φφφφ

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113212311 qqqq φφφφ

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

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)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

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11221 qqqqs

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11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

(c) n1=3n2=0n3=0 （共 3 个）

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例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

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(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

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分布

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

)]()([2

11221 qqqqs

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11221 qqqqA

(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

例题 2 （ 42 ） 解（ a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

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(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

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分布

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

若 k=3 n=3 则有

3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

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(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

(b) 两个全同费米子

单粒子态 3φ1φ 2φ

0 1 1

1 0 1

1 1 0

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（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

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分布

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

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kC nk

若 k=3 n=2 则有

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C

量子态总数

1)33(3

333

C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

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(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

（ c ) 两个不同粒子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

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1 1 0

分布

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例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

nkn

kC nk

若 k=3 n=2 则有

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3)23(2

323

C

量子态总数

1)33(3

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C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

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(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

例题 3 （ 43 ） 解 321 φφφ

设粒子的总数为 n 量子态的总数为 k 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有 nk

若 k=3 n=2 则有 932

若 k=3 n=3 则有 2733

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

)(

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kC nk

若 k=3 n=2 则有

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3)23(2

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C

量子态总数

1)33(3

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C

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

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(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

(3) 粒子不可分辨每个量子态上只能有一个粒子（ kgtn ）

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量子态总数

1)33(3

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补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

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(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式即不能 写成 Slater 行列式的形式但总可以写成对称花或反对称化的 形式如两粒子体系的对称化的波函数

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(2) 如果粒子定域在空间的某一区域描述粒子的波函数在空间 上是分开的不重叠全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分这时不必对波函数进行对称化或反对称化

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子

(3)泡利不相容原理不是什么新的原理只不过是粒子的全同 性原理全同费米子体系具有交换对称性的必然推论全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多它不仅适用于费米子 也适用于玻色子