高等代数课件 -- 天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组

§4.2 特殊矩阵

第四章 矩阵的运算

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几种特殊的矩阵一、对角矩阵

nna

a

a

A

0

0

22

11

.2211 nnaaadiagA ，，，简记为

n

n

2

1

Λ或

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例如

.

000

010

003

)0,1,3( 为三阶对角阵

diag

二、数量矩阵

a

a

a

A

0

0

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若 A 为 n 阶数量矩阵 ， B 为任意 n×s 矩阵，则有

nsn

s

bb

bb

1

111

AB

a

a

a

aB

abab

abab

nsn

s

1

111

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三、三角矩阵

nnnnnn

n

n

aaa

aa

a

a

aa

aaa

21

2221

11

222

11211

和

0

0

以上两个矩阵分别为上三角和下三角矩阵 .

两个同阶的上 ( 下 ) 三角矩阵的数乘、和、积仍是同阶的上 ( 下 ) 三角矩阵 .

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四、阶梯矩阵如果矩阵 A 满足如下条件：

(1) 如果 A 有零行 ( 元素全为零的行 ) ，则零行 位于最下方 .

(2) 非零行的非零首元 ( 自左至右第一个不为 零的元素 ) 的列标随行的递增而递增 .

称 A 是阶梯形矩阵 . A 中非零行的行数为 A 的 阶梯数 , 即如下形状的矩阵称为阶梯形矩阵 .

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r

i

*

*

*

*

2

1

0

*i 为非零 首元(1≤i≤r)

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都是阶梯形矩阵，与如

200

010

003

3000

2100

行最简形矩阵 :(1) 各非零首元全为 1;

(2) 非零首元所在列的其余 元素全为 0.

.

00000

02210

10030

75312

不是阶梯形矩阵

而

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.

00000

31000

20410

50701

就是行最简形矩阵