§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式

§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式

万州高级中学聂一怀

2


一、同角三角函数基本关系式1. 倒数关系

2. 商数关系

3. 平方关系

tan·cot=1 sin·csc=1

cos·sec=1

sin2+cos2=1 1+tan2=sec2

1+cot2=csc2

tan= cot= sincos

cossin

二、诱导公式

奇变偶不变 , 符号看象限 .

3

§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式牛刀小试

1 tan1 tan 2 tan 3 tan 89 、求的值

22

22

2

1. 1

1. . 1

mB m

m

mC D m

m

、已知cos31=m, 得sin239 tan149的值是（）

A.

4 4

6 6

1 cos sin3

1 cos sin

、化简

1B

2

3

4


2 2

2 2

2 2

tan1 2,

tan 1sin 3cos

;sin cos

2sin 3cos(2) ;

4sin 9cos

(3)4sin 3sin cos 5cos

例、已知求下列各式的值：

(1)

分析： tan由已知可以求出的值，属“给值求值”型本例若借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件应比较简单些。

5


2

2

2

(2) cos ,

2tan 3 2 4 3 5

4tan 9 4 4 9 7

分子、分母同除以有

原式=

tan2,

tan 1

解：由已知解得tan =2

2 2(3) sin cos 1, 利用已知的二次次式构造成分式将齐

齐cos

cos 0, cos

(1)注意到分子、分母都是sin 、的一次次式，分子、分母同除以，有

tan 3 2 3 1

tan 1 2 1 3

原式

2 2

2 2

4sin 3sin cos 5cos

sin cos

原式

2

2

4tan 3tan 5 4 4 3 2 51

tan 1 4 1

6


小结：本类型的题目 , 其题设条件是给出一系列三角函数值，据此再去求其它函数或代数式的值。解题关键是要挖掘已知与所求之间的关系，寻找转化办法。

练习：21 2sin cos 、已知(tan - 3)(sin - 2)=0,求sin 的值；

31

10、

1 sin 1 cos2 ,

cos 2 sin 1

、已知求的值；

13 sin cos , , cos sin

8 4 2

、已知且求的值。

12

2、 3

32

、

7

§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式3

2 sin(3 ) 2 cos( ) 3 cos( )2

2 cos( ), 0 ,

例、已知和

且、求和的值。

分析 : 本题属“给值求角”型，须先求出相应角的某一个三角函数值，再求角。

sin 2 sin

3 cos 2 cos

解：已知件可化条转为

①②

②①2 2 2 2 2 23cos 2(sin cos ) 2 由 ,得sin

2 2sin 3(1 sin ) 2 即 2 1 2sin , sin

2 2

8


20 , sin ,

2

3.

4 4

或

别33 cos 2 cos

4 4

把，分代入得

3 3cos ,cos .

2 2

50 , .

6 6

又或

3 5.

4 6 4 6

因此，或，

9


小结：解决“给值求角”型问题，关键是利用给定的三角函数值或者首先求出该角的某一个三角函数值，在某个范围内求出具体的角。

练习：2sin ,cos 2 ( 3 1) 0

sin cos

1 cot 1 tan(2)

x x m

m

是方程的根，求：

(1) 及的值；

方程根sin ,cos 及此的值。

设两

两时

3 1 3(1) ;

2 2

(2)6 3

或

10


A B

CD

P Q

R

S

T

例 3. 如图所示 , ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮 , 其中AST 是一半径为 90m 的扇形小山 , 其

余部分都是平地 . 一开发商想在平地上建一个矩形停车场 , 使矩形的一个顶点在 ST 上 , 相邻两边 CQ, CR 落在正方形的边 BC, CD 上 , 求矩形停车场

PQCR 面积的最大值和最小值 .

⌒

解 : 连结 AP, 设 PAB=(0º≤≤90º),

延长 RP, 交 AB 于 M,

M

则 AM=90cos, MP=90sin.

∴ PQ=MB=100-90cos, PR=MR-MP=100-90sin.

∴ S 矩形 PQCR=PQPR=(100-90cos)(100-90sin)

=10000-9000(sin+cos)+8100sincos

11


令 t=sin+cos(1≤t≤ 2 ), 则 sincos= . t2-1 2

∴ S 矩形 PQCR=10000-9000t+4050(t2-1)

故当 t= 时 , S 矩形 PQCR 有最小值 950m2;910

当 t= 2 时 , S 矩形 PQCR 有最大值 (14050-9000 2 )m2.

=4050t2-9000t+5950.

12


1. 已知 cot(-)=2, 求 sin( +) 的值 .

32

25 5 , 是第二象限角 ,

25 5 , 是第四象限角 . -

sin( + ) = 32

课堂练习

2. 已知 sin+cos= (0<<), 求 tan 的值 . 23

3. 已知为锐角 , 且 tan= , 求的值 .

sin2cos-sin sin2cos2

12

.

54

4. 已知 sin= , cos= , 若是第二象限角 , 求实数 a 的值 .

1+a 3a-1

1+a 1-a

19

9 4 2

7

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