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1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数

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1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数. 第二课时. 知识迁移. 1. 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x , y ),角 α 的三角函数是怎样定义的?. 2. 三角函数在各象限的函数值符号分别如何?. 一全正,二正弦,三正切,四余弦. 3. 公式 , , ( ). 其数学意义如何?. 终边相同的角的同名三角函数值相等. - PowerPoint PPT Presentation

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1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数

第二课时

知识迁移1. 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x , y ),角 α 的三角函数是怎样定义的?sin y cos x tan ( 0)y x

x

2. 三角函数在各象限的函数值符号分别如何? 一全正,二正弦,三正切,四余弦 .

3. 公式 , , ( ). 其数学意义如何? sin( 2 ) sink cos( 2 ) cosk tan( 2 ) tank

tan( 2 ) tank k Z

4. 角是一个几何概念,同时角的大小也具有数量特征 . 我们从数的观点定义了三角函数,如果能从图形上找出三角函数的几何意义,就能实现数与形的完美统一 .

终边相同的角的同名三角函数值相等 .

知识探究(一):正弦线和余弦线 思考 1 :如图,设角 α 为第一象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 , 都是正数,你能分别用一条线段表示角 α 的正弦值和余弦值吗?sin y cos x

P ( x ,y )O x

y

M| | sinMP y

| | cosOM x

思考 2 :若角 α 为第三象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 , 都是负数,此时角 α 的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示?sin y cos x

| | sinMP y

| | cosOM x P ( x , y )O x

y

M

思考 3 :为了简化上述表示,我们设想将线段的两个端点规定一个为始点,另一个为终点,使得线段具有方向性,带有正负值符号 .定义:规定了方向 ( 即规定了起点和终点 ) 的线段称为有向线段 .类似的 , 规定了正方向的直线称为有向直线 .

有向线段的数量有向线段的数量:根据有向线段:根据有向线段 ABAB 与与有向直线方向相同和相反有向直线方向相同和相反 ,, 分别把它的长度分别把它的长度添上正号或负号添上正号或负号 ,, 这样所得的数这样所得的数 ,, 叫做有向叫做有向线段的数量线段的数量

· · ·· ·· ··A B CA

AB=4 BA=–4 CB=–2

思考 4 :规定了始点和终点,带有方向的线段,叫做有向线段 . 由上分析可知,当角α 为第一、三象限角时, sinα 、 cosα 可分别用有向线段 MP 、 OM 表示,即 MP= sinα , OM=cosα ,那么当角 α 为第二、四象限角时,你能检验这个表示正确吗? P ( x ,y ) O x

y

M P ( x ,y )O x

y

M

定义:设角 α 的终边与单位圆的交点为P ,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,称有向线段 MP , OM 分别为角 α 的正弦线和余弦线 .

PO x

y

MO x

yP

P

思考 5 :设 α 为锐角,你能根据正弦线和余弦线说明 sinα + cosα>1 吗?P

O x

y

M

MP + OM>OP=1

知识探究(二):正切线

A

T

思考 1 :如图,设角 α 为第一象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 是正数,用哪条有向线段表示角 α 的正切值最合适?tan yx

P

O x

y

Mtan y ATx

A

T

思考 2 :若角 α 为第四象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 是负数,此时用哪条有向线段表示角 α 的正切值最合适?tan y

x

P

O x

y

Mtan y AT

x

A

TA

T P

O x

y

M

思考 3 :若角 α 为第二象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 是负数,此时用哪条有向线段表示角 α 的正切值最合适?tan y

x

tan y ATx

tan yx

思考 4 :若角 α 为第三象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 是正数,此时用哪条有向线段表示角 α的正切值最合适?

P

O x

y

MA

T

A

T

tan y ATx

思考 5 :根据上述分析,你能描述正切线的几何特征吗?

过点 A ( 1 , 0 )作单位圆的切线,与角 α 的终边或其反向延长线相交于点 T ,则 AT=tanα.

A

T

O x

yP

A

T

O x

yP

思考 6 :当角 α 的终边在坐标轴上时,角 α 的正切线的含义如何?

O x

yP

P

当角α的终边在 x轴上时,角α的正切线是一个点;当角α的终边在 y轴上时,角α的正切线不存在 .

思考 7 :对于不等式(其中 α 为锐角),你能用数形结合思想证明吗?sin tana a a< <

P

O x

y

M A

T

应用举例 例 1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: ( 1 ) ; ( 2 ) ;

( 3 ) ; ( 4 ) .4 5

6

23 12

5

例 2 在 0 ~ 内,求使 成立的 α 的取值范围 .2 3sin 2a >

O x

yP

M

P1P232y=

例 3 求函数 的定义域 .( ) 2cos 1f a a= -

O x

yP2

MP112x =

P

小结作业1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示,即用有向线段表示三角函数值,是今后进一步研究三角函数图象的有效工具 .2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化,余弦线和正切线的始点都是定点,分别是原点 O和点 A( 1, 0) .3. 利用三角函数线处理三角不等式问题,是一种重要的方法和技巧,也是一种数形结合的数学思想 .

作业:P15 练习: 7 , 8.P22 习题 : 2