1. 同角三角函数的基本关系式 , 正弦、余弦、正切、 余切的诱导公式 .2. 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角 的三角函数公式 .3. 通过简单的三角恒等变换解决三角函数问题的化 简、求值与证明 .4. 掌握正弦定理、余弦定理 , 并能解决一些简单的三 角形度量问题 .5. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关的实际问题 .

学案 11 三角变换与解三角形

1.(2009· 江西 ) 若函数 则 f(x) 的最大值为 ( ) A.1 B.2

C. D.

解析

当 x= 时 , 函数取得最大值为 2.

,2

0,cos)tan31()(

xxxxf

xxxf cos)tan31()(

)3

cos(2sin3cos

xxx

13 23

B

3

2.(2009· 广东 ) 已知△ ABC 中 ,∠A,∠B,∠C 的对边分 别为 a,b,c, 若 a=c= 且∠ A=75°, 则 b 等于 ( ) A.2 B. C. D.解析 因 sin A=sin 75°=sin(30°+45°)

=sin 30°cos 45°+sin 45°cos 30°=

由 a=c= 可知 ,∠C=75°,

所以∠ B=30°,sin B= .

由正弦定理得

26

26

324

324 26

,4

26

2

1

.22

1

462

62sin

sin

BA

ab

A

3.(2009· 全国Ⅱ ) 已知△ ABC 中 ,tan A= , 则 cos A 等于 ( )

A. B. C. D.

解析

12

5

13

5

13

12

13

1213

5

.13

12

)125

(1

1

tan1

1cos

.),2(,

12

5tan,

22

AA

AAABC 中已知

D

4.(2009· 全国Ⅰ ) 若 则函数 y=tan 2xtan3x

的最大值为 ____.

解析

,24

x

-8

.8

412

41

)211

(

211

2

1

2

tan1

tan2tan2tan

,1,24

,tan

2224

2

4

2

43

ttt

t

t

x

xxxy

txtx

令

题型一 已知三角函数求值【例 1 】 (2009· 广东 ) 已知向量 a=( ,-2) 与 b=(1, ) 互相垂直 , 其中 (1) 求 的值；

解 (1) ∵a 与 b 互相垂直 ,∴a·b=

sin

cos

cossin 和

.cos,2

0,10

10)sin()2( 的值求若

.)2,0(

,0cos2sin

.5

5cos,

5

52sin,)

2,0(

,5

5cos,

5

52sin

,1cossin,cos2sin 22

又

得

代入即

【探究拓展】在解有关根据条件求三角函数值问题 时，首先根据条件限定某些角的取值范围 , 由范围进 而确定出三角函数值的符号 , 还应注意公式的正用与 逆用及变形应用 , 根据条件还要注意适当拆分角、拼 角等技巧的应用 .

.2

2)sin(sin)cos(cos

)](cos[cos

,10

103)(sin1)cos(

,22

,2

0,2

0)2(

2

则

变式训练 1 已知

(1) 求 sin x 的值；

解

.)4

3,2(,

10

2)4

cos(

xx

.)3

2sin()2( 的值求

x

]4

)4

sin[(sin

.10

27)4

(cos1)4

sin(

,)2,4(

4

,)4

3,2()1(

2

xx

xx

x

x

于是

所以

因为

.5

4

2

2

10

2

2

2

10

27

4sin)

4cos(

4cos)

4sin(

xx

.50

3724

3sin2cos

3cos2sin)

32sin(

.25

71cos22cos,

25

24cossin22sin

.5

3)5

4(1sin1cos

),4

3,2()2(

2

22

xxx

xxxxx

xx

x

所以

所以

因为

题型二 三角函数与解三角形【例 2 】 (2009· 四川 ) 在△ ABC 中 ,A,B 为锐角 , 角 A, B,C 所对应的边分别为 a,b,c, 且 cos2A= sinB= (1) 求 A+B 的值； (2) 若 a-b= 求 a,b,c 的值 .

解 (1)∵A 、 B 为锐角 ,sin B=

∴cos B=

又 cos 2A=1-2sin2A=

,5

3.

10

10

,12

,10

10

.10

103sin1 2 B

,5

3

,5

52sin1cos,

5

5sin 2 AAA

∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B

.4

,0

.2

2

10

10

5

5

10

103

5

52

BABA

.5,2

,1,122,12

,5,2

,2105

,sinsinsin

.2

2sin,

4

3)1()2(

ca

bbbba

bcba

cba

C

c

B

b

A

a

CC

即

得

由正弦定理

知由

【探究拓展】本小题主要考查同角三角函数间的关 系 , 两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等 基础知识及基本运算能力 . 在求解三角形的面积时， 应注意面积的表达式有几种不同表达方式，应灵活 选择 .

变式训练 2 在△ ABC 中 ,sin(C-A)=1,sin B=

(1) 求 sin A 的值；

(2) 设 AC= , 求△ ABC 的面积 .

解

.3

1

6

.3

3sin,0sin,

3

1)sin1(

2

1sin

,)2

sin2

(cos2

2)24

sin(sin

,24

,,2

)1(

2

AABA

BBBA

BABACAC

又

且由

(2) 如图所示 , 由正弦定理得

又 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B

.sinsin A

BC

B

AC

,23

3133

6

sin

sin

B

AACBC

.233

6236

2

1sin

2

1

,3

6

3

1

3

6

3

22

3

3

CBCACS ABC

题型三 向量与解三角形【例 3 】 (2009· 湖南 ) 在△ ABC, 已知 求角 A,B,C 的大小 . 解　设 BC=a,AC=b,AB=c ，

||32 ABACAB

,3||2

BCAC

,4

3)

6

5sin(sin

.4

3sin3sinsin,3

3||||3,6

),,0(

,2

3cos,3cos2

,||||32

22

2

CC

ABCabc

，BCACABAA

AbcAbc

ACABACAB

所以

于是得

由因此又

所以得

由

【探究拓展】解答这一类问题 , 首先要保证向量运算 必须正确 , 否则 , 反被其累 , 要很好的掌握正、余弦定 理的应用的条件及灵活变形 , 方能使问题简捷解答 .

.3

2,6

,66

,3

2,6

,3

2

6,

32,0

32

,3

4

32

36

50

6

.0)3

2sin(,2cos32sin

,3sin32cossin2

,4

3)sin

2

3cos2

1(sin

2

CBACBA

CCCC

C，CA

CCC

CCC

CCC

或故

或即或从而

所以知由

即

因此

变式训练 3 (2009· 江西 ) 在△ ABC 中 ,A 、 B 、 C 所对 的边分别为 a 、 b 、 c ， (1) 求 C ； (2) 若 求 a,b,c.

解

.2)31(,6

bcA

,31CACB

.4

,1tan

,2

3

2

1

2

3

tan2

1

sin

sin65

coscos65

sin

sin

)6

sin(

,sin

sin

2

3

2

1,2)31()1(

CC

C

C

CC

C

C

C

B

c

bbc

即得

则有

得由

.

2

31

2

,

sinsin

2)31(

312

2

,312

2,4

.31cos,31)2(

c

b

a

C

c

A

a

bc

ab

abC

CabCACB

解得则有

即得而

推出由

题型四 解三角形与实际问题【例 4 】 (2009· 海南 ) 如图 , 为了解某海域海底构造，

对海平面内一条直线上的 A 、 B 、 C 三点进行测量 . 已 知 AB=50 m,BC=120 m, 于 A 处测得水深 AD=80 m, 于 B 处测得水深 BE=200 m, 于 C 处测得水深 CF=110 m, 求 ∠DEF 的余弦值 .

解 作 DM∥AC 交 BE 于 N, 交 CF 于 M.

在△ DEF 中 , 由余弦定理得

【探究拓展】对几何中的计算问题 , 往往通过正、余 弦定理把几何问题转化成三角函数问题 , 再通过解三 角函数达到求解三角形问题的目的 .

,)m(15012090

)(

)m(13012050

,)m(2981017030

22

22

2222

2222

BCFCBEEF

ENDNDE

DMMFDF

.65

16

1501302

29810150130

2cos

222222

EFDE

DFEFDEDEF

变式训练 4 如图所示 , 扇形 AOB, 圆

心角∠ AOB=60°, 半径 OA=2, 在弧

AB 上有一点 P, 过点 P做平行于 OB

的直线交 OA 于点 C, 设∠ AOP=

求△ COP 面积的最大值及此时 的值 .

解 因为∠ AOB=60° 且 CP∥OB, 所以∠ OCP=120°, 则在△ OCP 中， OP2=OC2+CP2-2·OC·CP·cos 120° =OC2+CP2+OC·CP ， 又因 OC2+CP2≥2OC·CP, 所以 OP2≥3OC·CP,

,

又 OP=OA=2,即 OC·CP≤

所以 S△COP= OC·CP·sin 120°

= OC·CP≤

即 (S△COP)max= 此时 OC=CP ，

又∠ OCP=120°, 所以 =∠AOP=30°.

,3

4

2

1

4

3,

3

3

,3

3

【考题再现】

(2009·山东 ) 设函数 f(x)=cos(2x+ )+sin2x.

(1) 求函数 f(x) 的最大值和最小正周期；

(2) 设 A,B,C 为△ ABC 的三个内角 , 若

且 C 为锐角 , 求 sin A.

3

)2(,

3

1cos

CfB

,4

1

【解题示范】

f(x) 取得最大值 ,[f(x)] 最大值 =

f(x) 的最小正周期

故函数 f(x) 的最大值为 最小正周期为 6分

,)Z(4

,22

2

.2sin2

3

2

12cos

2

1

2

12sin

2

32cos

2

1

2

2cos1

3sin2sin

3cos2cos)()1(

时即所以当

解

xkxkx

xxxx

xxxxf

,2

31

,2

2 T

,2

31 .

因此 sin A=sin[ -(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C

分求得由

分所以为锐角又解得

即由

10.3

22sin

3

1cos

8.3

,.2

3sin

,4

1sin

2

3

2

1,4

1)2()2(

BB

CCC

CC

f

分126

322

2

3

3

1

2

1

3

22

1. 解三角形常见类型及解法 :(1) 已知一边和两角，用 正弦定理求解 , 在有解时只有一解 ;(2) 已知两边和夹 角 , 用余弦定理或正弦定理求解 , 在有解时只有一解 ; (3) 已知三边 , 用余弦定理求解，在有解时只有一解 ; (4) 已知两边和其中一边的对角，用余弦定理或正弦 定理求解 , 可有两解、一解或无解 .2. 应用正、余弦定理解斜三角形应用问题的方法步 骤 :(1) 分析 :理解题意 , 分清已知与待求 , 并画出示意 简图 ;(2)建模：根据条件与所求的目标 , 把已知量与 待求量尽量集中在有关三角形中 ,建立解斜三角形的

数学模型 ;(3) 求解 : 利用余弦定理或正弦定理有序的 解三角形 , 求得数学模型的解； (4)检验 :检验上述所 求解是否有实际意义，进而得出实际问题的解 .3. 在△ ABC 中常用关系： (1)a＞ b＞ c A＞ B＞ C sin A＞ sin B＞ sin C;(2)A 、 B 、 C 成等差数列

B=60°;(3)2b=a+c或 b2=a·c 0° ＜ B≤60°.

一、选择题1. 函数 f(x)=sin2x+ sin xcos x 在区间 上的最 大值是 ( ) A.1 B.

C. D.

解析

3 ]2,4[

.2

3

2

11)(.1)

62sin(

2

1

.6

5

62

3,

24

.2

1)6

2sin(

2sin2

3

2

2cos1cossin3sin)(

max

2

xfx

xx

x

xx

xxxxf

2

31

312

3

C

2.(2009·辽宁 ) 已知 等于 ( )

A. B. C. D.

解析

22 cos2cossinsin,2tan 则

4

3

5

4

4

5

3

4

.5

4

1tan

2tantan

cossin

cos2cossinsin

2

2

22

22

原式

D

3. 已知锐角三角形的边长分别是 2,3,x, 则 x 的取值范

围是 ( )

A.1＜ x＜ 5 　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　 D.

解析　①若 3是最大边 , 则 32＜ x2+22,即　＜ x≤3,

②若 x是最大边 , 则 x2<32+22,即 3≤x＜　 .

由上可知

135 x

513 x50 x

5

13

.135 x

B

4. 已知 a 、 b 、 c是△ ABC 的三条对应边 , 若满足 (a+b+c) ·(a+b-c)=3ab, 且 sin A=2sin Bcos C,那么△ ABC 是 ( ) A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形解析 因为 (a+b+c)(a+b-c)=a2+b2-c2+2ab=3ab,

则 所以∠ C=60°, 又 sinA=2sin Bcos C, 则 sin A=sin B,即∠ A=∠B. ∴△ABC 为等边三角形 .

,2

1

2cos

222

ab

cbaC

D

5. 在△ ABC 中 , 若 (sin A+sin B):(sin B+sin C):

(sin C+sin A)=4:5:6, 则∠ C 的值为 ( )

A. B. C. D.

解析 由题意可知 :(a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6,

则 a:b:c=5:3:7,令 a=5k,b=3k,c=7k (k＞ 0),

4

4

33

23

.3

2.2

1

352

49925cos

222

Ckk

kkkC所以

C

6. 在△ ABC 中 , 若有一个内角不小于 120°, 则最长边

与最短边之比的最小值是 ( )

A. B. C.2 D.

解析 设∠ C≥120°, 则 c 为最大边 , 设 a 为最小边，

则 A≤B, 所以 A+B=180°-C,∴A∈(0, ],6

.3cos2

sin

2sin

sin

)sin(

sin

sin

A

A

A

A

BA

A

C

a

c所以

B

2 53

二、填空题7.(2009· 湖南 ) 在锐角△ ABC 中 ,BC=1,B=2A, 则 的值等于 ____,AC 的取值范围为 ___________.

解析 由正弦定理 :

A

AC

cos

,sinsin B

AC

A

BC

,2

30

,2

20

,2

0

,3,3,

A

A

A

ACCACBA

.22cos

,cossin22sinsin

BCA

AC

AA

AC

A

AC

A

BC

答案 28. 在△ ABC 中 ,∠C=60°,a 、 b 、 c 分别为 A 、 B 、 C 的对

边，则 =_____.解析 由余弦定理可知 :a2+b2=c2+ab,

.32

,cos2,2

3cos

2

2,46

AC

AACAA 又

)3,2(

ca

b

cb

a

.12

2

2

22

bcacabc

bcacabc

bcacabc

bcacba

ca

b

cb

a又

1

9. 如果函数 f(x) 在区间 D 上是凸函数 , 则对于区间 D 上

任意的 x1,x2,…,xn,都有 :

现已知 y=sin x 在 [0, ]上是凸

函数 , 则在△ ABC 中 ,sin A+sin B+sin C 的最大值

是 ____.

解析 由题意可知：

所以 sin A+sin B+sin C 的最大值是

n

xfxfxf n )()()( 21

);( 21

n

xxxf n

.2

3

3sin)

3sin(

3

sinsinsin

CBACBA

.2

33

2

33

10. 在△ ABC 中， AC=2BC, 若 AB=3, 则△ ABC 的最大面 积为 ____.解析 如图 , 作 CD⊥AB或其延长线于 D ，

设 BC=m,CD=h,BD=t, 则 4m2-(3+t)2=m2-t2=h2,∴m2=2t+3,

当且仅当 t=1 时 ,(S△ABC)max=3.

3

,332

1

,24)1(32 22

hS

ttth

ABC

三、解答题11.(2009· 全国Ⅱ ) 设△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长

分别为 a 、 b 、 c,cos(A-C)+cos B= b2=ac, 求 B.

解 由 cos(A-C)+cos B=

得 cos(A-C)-cos(A+C)=

cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C-

sin Asin C)= sin Asin C=

又由 b2=ac 及正弦定理得 sin2B=sin Asin C,

故 sin2B= sin B= 或 sin B= (舍去 ),

于是 B= 或 B=

又由 b2=ac 知 b≤a或 b≤c, 所以 B=

,2

3

,2

3

)(2

3CAB 及

,2

3,4

3

,4

32

3

2

3

3

.

3

2

.3

12.(2009· 江西 ) 在△ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所对的边分 别为 a,b,c. 且 sin(B-A)=cos C. (1) 求 A,C ； (2) 若 S△ABC= 求 a,c.

解 (1) 因为

所以 sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos C ·sin B,即 sin Ccos A-cos Csin A=cos Csin B- sin Ccos B, 得 sin(C-A)=sin(B-C). 所以 C-A=B-C或 C-A= -(B-C)( 不成立 ) ，

,coscos

sinsintan

BA

BAC

,33

,coscos

sinsintan

BA

BAC

,coscos

sinsin

cos

sin

BA

BA

C

C

即

.12

5,4

),(6

5

6

,2

1cos)sin(

.3

2,3

,2

BA

ABAB

CAB

ABCBAC

得

舍去或则

又因为

所以得即

.32,22

,

23

22

,sinsin

,338

26sin

2

1)2(

ca

ca

C

c

A

a

acBacS ABC

得

即又

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