Upload
lydieu
View
218
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
������
��� �� ������������ ������������������������������������ �� ������� ���� ��
�������� ����������� ∫=⟩⟨b
a
dxxgxfgf )()(, ����� �� ����������������
� �������� ���
�� �� ���������� ����� ∞||.||and|| . || � ��������������� ∞+= ||x||
32
||x||31
||x||
���� ����� ����� ���� ����� ������ ����� � � ��� � �� ���� � ���� ��� ���� !���� ����� ����� �∞� ��
� �� ���� ���� ��� ��� ���
�� �� �������������������������������������������� ��������������������"�� �����#�������� ���
�� $�����������%�������������������������� ���������������� ����� &�����#� �������� ���� ������� '� ������� �� ��� ����� ��� �����
� ��%!∪(��)�� ��%!��∪�� ��%(�� ���
�� �� !������������������� ����#������������ ���� ����� ���� ����� '���!
!�∈������� ⊂⊂ 21 AA �� �� n
nAA
1
∞
== �
����������� (A))(Alim μμ =∞→
nn
���
�� *�����������������'��������������� ���� �����*������������������� ���
������ ����� �� ��������+�� ��� ��������� ������������������������������
� �ε� ����� ,��� ������������������� ��
��� �����������������#���������������������
σ� ��� '� ���
Total No. of Questions : 8]
[Total No. of Pages : 2
[4223] - 101�����
������������ ���������������������
(2008 Pattern) (Semester - I)
����������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��� ��������� ��������������� ������� �� ��� ����� ������� ��������
P362
SEAT No. :
������� �
��� �� !������ ����� �� -� .� �������������� �� ���� � � �� �����!��!�� ������ ���
������������+�� ������������������������������ ∫ ∑ ∫∞
=
∞
==
kk
kk
dmfdmfA
1 A
1�
���
�� /�������#� � ��'�������� ���� � ��������������� ������������������� ����
∫ =E
0dmf ���������#����������������0������������1�����!��������������
∫ ∫=A B
dmfdmf �2�� �����!� � ��(� ��������������� ����� A,B⊂ � � �
��%!�3�(��)�.� ����
�� ���������������������� ������������4���4��������������� ���
��� �� $������ ��������*����'���,��� ������� ���'� ���5������� � �
�� ������ ����� ����#� �� �� ����� ���� ������� �� ���� � ���� ��� � ���� ��
����������� ���
�� �/���6�7���7�∞����� ��*��%μ��� ��������������������� ���������� ���
� � �� $������ ��������/����8��*����� � �
�� �����������*∞%μ�������������� ���
�� ,��� �� ������� �� ���� ��9���� � � ����������� �� �� ���� ������� ��� ������������� ���
��� �� /� ������/�������������������%���)��� ���
�� !���#�9���� �$��������������� ��� ������ ���� ��6������ ������� ���� ��������������������������*�'� �������# ������ ���
�� �� ������������ �� #�� �����������������%:�7�-����� �������������'� ���������������44���44��;�44���44��)�44���;���44�
��� 9���� � � �������� ��� ����� ����� ��� ������ �� ���'� �������� ������#�� �������� ���'� ��� ���
��� �� $������ ��������(�������� �"�����#� � �
�� *���<����������������������������� ��5����� ������� ������<�� ���<�������������������������� �"������������ �����5� ���
�� $�����$�� � 2�����������5������� ���
���
��� �� ������ ����� ��� �� ����� ������ ����� ���� � ������ ��������������mnf RR: →
�������� � ��������� na R∈� � ���
�� ������
�� ������������������������
��� ����������������������������������
������������� ������������������������������� ����������������������� ���
� ������������������������������������������������� ��!��"��
������� ����������� ���
��� �� #�� � : $�→ $��� ����� �������� na R∈� �%�� �� ���� ����������
��������������� �����������������������&����'( )a� ����������� � ���
a� �(�������������������������������a
� � ���
�� )��� ���′�������″������������� ������!���� �!���� ��!���
������� ��!����!��� �!����!��� �� ���
� #��*���� ����������� ������!��+��+,�����!������
( ) ( )y
zyx
x
zyx
∂∂−+
∂∂+ � ���
�����
Total No. of Questions : 8]
[Total No. of Pages : 3
[4223] - 102
�����
���������
��� ���������������������������������� ����������
����������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� �
�� ��������� �������������
�� ������� �� ��� ����� ������� ��������
P363
SEAT No. :
�������� �
�� �� -������������������� ������������� ���
�� #�� gofh���
= ����� g� ������������������ a
� ��� f�
������������������
( )agb���
= �- ����� ( ) mnp bfba RandR,R ∈∈∈���� ����� ������
( ) ( ) ( )mmn hhhfffgggg ,.....,,,.....,,....,,, 1121 ===��� � '� ���� ���� � ��
���� ���� ( ) ( ) ( )∑=
=n
Kkjikij agbfah
1
DDD��� ��� ! . , ��� � ���
�!. , ����� � ���
� #�� 2322 RR:andRR: →→ gf��
��������������������������������/
( ) ( ) jxyieyxf yx���
2sin, 2 ++= +
juviwvuwvug���
)2()32(),,( 232 −+++=
�������������� ����������������������������������������������� ���� ( )1,1,1 −=a
�� ���
��� �� ������������������������ ������������������ ���
�� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� � �� ���
� ���� ���∫ ++
c yx
dydx
|||| �����)������0 ���������������. 1� �1 .� �+. 1�
����1 +.����������������� ������2������������� ���
��� �� �������� ���������������� ����� �������������������
��������������� �������������� ���������������3����
�������������4��������� ������������ I ���� � �������������������������������3�������������� �������������������������0 ������
�� ���� ��� { }∫∫ ≤+=+
s
yx yxyxdxdye 1||||/),(Swhere � ���
� )��2������� jxiyxyxf 323),( +=��
������������������������ ���
� � �� 4� � ������������������������������������� ��
[ ] dudvvuvuyvuxfdxdyyxf |),J(|),(),,(),(S T∫∫ ∫∫=
�������������!.����������-� ���
�������� �
�� �������������������������� ��/
ϕθρϕρϕθρ ddddxdydzzyxf sin),,F(),,( 2
S T∫∫∫ ∫∫∫=
������!ρ��θ���ϕ �!ρ���θ���ϕ �!ρ��ϕ���ρ 51 16θ6,π���16ϕ6π�7 ������� ������� ���
��� �� ������� ������������������ �������������� �����
)���������������������������
kvajvuaivuavu����
sincossincoscos),( ++=
����� [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡×= ππ
2
1,02,0T ����
v
r
u
r
∂∂×
∂∂ ��
�8��� ��� ���� �����������
����� ����9 ���
�� #�� - ������ ��� ���������� �� " �� " :� ! . : 5 1 ��� ���
jyixzyx���
+=),,(F �#��n� ����� ���� �������������-�)��� �����
��� ������� ������������ dsns
��∫∫ .F �����������������������������
221 yxZ −−= � ���
� -������������������������������������������������������ ������������� ���
��� �� -���������������2���������� ���
�� #�� kxyzjxzyiyzxzyx����
)()()(),,(F 222 +++++= ���� ���� �� ���
�����������F�
����� �������7������������� ���
� %�� ����������������������� ����� ∫∫s
dxdyyxff ),(, ��� �������
����������������/∫ ∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
3
0
25
4
2
3
),( dydxyxfy
y �
������������������-����������������������������������� ���
���
��� �� �������������� ���������������������������������������������������∈ ���������������������������������������������⊂������������������������� ���
� ������������������������������� ����������������� ������������������ ������ � ���
�� !����"�#�������$������%��"�#φ�����#�$��#����$$
%��"�#φ�����#�$��#����$$���&������������������������&���%
���&�%
�'��&
� ������������������������%���&�%
�� ���
���� �� !��#%α$�������� ���������������������������������� �%α����������������
���!��� %��������������(�%������ ���
� ���������� ������������� ( ){ }�inXopen/UUS 11−= � Y}in/Vopen(V){ 1
2−
������������������������&�����������������)�*� ���
�� �������� ����������������������������������������+�&��� �����������
��"�,-��./��&�⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈= +Z/
1B n
n���������������������� ���
��� �� ����,���%������0���������&��⊂���������������������� �������������⇔�1��������������&���������������������� �������������� ���
� �������&����1����������� �� ���
�� ������2�3�����������&�4��&��������������5����������������������� ( ���
����
Total No. of Questions : 8]
[Total No. of Pages : 2
[4223] - 201
�����
���������
��� ��������������������������������� �(Semester - II)
����������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��� ��������� ��������������� ������� �� ��� ����� ������� ��������
P367
SEAT No. :
.
�������� �6
��� �� ����,���%�������������������������&����������7��&������ ������������������� !��*� ���������&�������������� ��������������*� �������������������������7������ ���
� 4��1�����������������������������&�����������������������������������1��������������� �����������&� ���
�� ������"�,���%��→� ,*��%8��������������� �������������� ��� ������������������� �����9�*�→������������������:����������&������ ������*�����������:������� ��� ���
��� �� ������������ ������������������;���&�������������������&� ���
� �������������������� ��������� �������������� ����� ���
�� 4��1�� ������� �������� � ������ �� ���������� ��������� !����1��������(�%������� ���
� � �� �������������������&��������� ����������������� ����� ���
� ���������������������� ��������3� �����9 ���
�� �� ���������� ��������
��� ������ �� ��������
�� ��������������1�������������������������������&��������� ���
��� �� �������&����1��0�������������� � ���
� ����������������������&��������������������������������� ���
��� �� �������&����1��������<���� �� ���
� ������0���=�� 3������0����� � ���
�� ������>���������������� ���
���
Total No. of Questions : 8] [Total No. of Pages : 2
[4223] - 201
�����
���������
��� ��������������������� �(Old Course) (Semester - II)
����������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��� ��������� ��������������� ������� �� ��� ����� ������� ��������
P367
��� �� !�� �� ������ �� ��������� �� ?����/�� ���� ���1�� ����� �� ������������������� ���
� �������∈��α�?����/��&������������� ����4��1�����������∈��α?��/��&
∫ ∫=b
a
b
adfcdcf .αα ���
�� 0�������+����(�%�������!����"����������?����/��&��������� �������������?����/������������������ �������������?����/� ���
���� �� �������&����1���������<��@������7�1�������0����� � ���� A�1�����3� ����������B ������������� ���
��� �� !������∈��α�?����/���������1�������α ∈����?����/��&
∫ ∫ −=+b
a
b
aaafbbfdfdf ).()()()( αααα ���
� 5������������������������������������������������9��,���"���������∈�?Cπ��π/ � �
�� ���������������� ���������������������������� ����������#�$����=�������
��� �� !�� ��&�+�����&��D������ ������������������1������
E�, �� �+��"� E, ��F� E�,+�� ���
� ������������������������������ ∫∞
0
sinxd
x
x�&��������3���� ���
�� ����#��$�������:�������� ����������������������������������������� ��������� ���
����
G
��� �� !��φ��&�ψ���������������� �������������&�α, β����������� �����������1�������∫ (αφ + βψ) = α ∫ φ + β ∫ ψ. ���
� �������� �� ������B�����1���&� ����������������� �������������∫ ��"�-�����&����������"�-����� ���
�� !�� +� ��� �� �����&� ������ ��� �� ��&�&� ���� ����A�� ���� ���1�� ���� E,AH+��"� E,A��C� E,+�� ���
� � �� !��������� �������������������������������I���I���� ����������!�������1���������(�%������� ���
� ����# �$�������:�������� ���������������!��
�⊃
���������������&
, ������������������ ������������1������� ( ) ( )nnnn
mm ElimE1 ∞→
∞
==� ���
�� ���������� ∫ =∞→
1
00lim nn
f ������� ( )221 xn
xnxfn +
= � ���
��� �� �������&����1��+����<���� �� ���
� ����.�J���J�∞��&� ���&����&��� 111 =+qp �
!����∈ ���, ���&���∈ �
��, ����������1����������∈ �
��, ���&
I�∫��
���I�J�∫��I�����I�J�II���II
��II���II
�� ���
�� A�1�����3� ��������������������������������� ���
��� �� 5����������������������1�������II�����
��II
��J�II��
��II
��II��
��II
�� ���
� ���������∈�2K�?����/��&���J���J�����������1������
( ) ( ) ( )gfgf ba
ba
ba VVV +≤+ ��&
( ) ( ) ( )fff bc
ca
ba VVV += � ���
�� 0�������+����(�%�������
����&�&�������������������������&�&�1�������� ���
���
�������� �L
��� �� �������������� �����������������������→������� �������������������∈���������������������������������������������������������� ���������
������ ������������������������� ���������[ ]⊥∇ )( pf ���
� ������� ���������!�"����!�����#���������������$����������������� �������������������� ���
�� %��������������&���������'������( �������������� ���
���� �� ����)�����( ������������� ���������*����������������������������+������∈)����,∈)
����������������������*����������-���������α : .�→ )
/����α� �������,����� �������∈ .��α�� �������+����������,����,� ���
� #����������������-�������� ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= tcos,
2
tsin,
2
tsint �����������0�(� �����
)� ��������������������� ����������������������������� ��������+���������������������� ������������ ���������� ���
�� %� ����� ���� ��������� ������ ��� ���� �������� ( ������� �� ���1�� /����
( ) 21
22121 ...........,,, ++ ++= nn xxxxxf ���������*� |||| f
f
∇∇
� ���
��� �� %����� ���������������������������� ���������������������� ��/���������� ��� ����������������������*������������������������������ ����������� ������ ���
� #��������������������������1 �2����������������������3�������� �3����/�����3��
� ��
������4�
� ��
��� ���
�� )��/���������� �������������������)��0��� ���5�(� ����������� �������
Total No. of Questions : 8]
[Total No. of Pages : 2
[4223] - 202
�����
���������
��� ��������������������������
���� �!������"� �����#���� �"����������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��� ��������� ��������������� ������� �� ��� ����� ������� ��������
P368
SEAT No. :
�������� �
��� �� ����6�����6���������������������������β�.�→�6��������� �������������������-��������6�������������β�� ����������������������������� ���
� )��/��������������� � �� �� ����� �������� ����������*������ 222
21 rxx =+ �
����� #������������������������������������/���������
� ��
�������
�4����!���
��4���
��������*��������/����������� |||| f
f
∇∇
� ���
��� �� ����)��������������(� ��������������/������ �����$�����∈)��)��/��������� ��������������������������)������� � ����(��������� ���
� #���7�� ������������������������ 0,0 323
22
21 >=−+ xxxx � ���
�� #��� ( ) 22
2143211 ,,, xxxxxxf += � ��� ;),,,( 2
42343212 xxxxxxf += ������ ����
( ) ( )11S 12
11
−− ∩= ff �� �����(� ����������� ���
� � �� ����)� ⊆ ������ ������������( ������� �������8��������� ����� ������$� ����) ��$����*��/�� ���������������������������� �+�����+�9���+�������4+��������������∈)� ���
� ����)�����(��������
��!�������!�
�����
������������� ������ ���∈�)�������
������ ,��∈)���)��/���������α�� ��*����������-�����������)������������
���� ��/��������������� ���� ����� .����( �������)������ ������� ������� ����� ��/��������� �������� ��
���)� ���
��� �� ����)�����( �������������������������)�→�����8���)�� � �������������*� ��� � �
�� φ� �� �� →� ��� � � ������ ���� ����� ������ ���������-����
φ�����→�)� ���
� ���� 222
21
112
221
2 dxxx
xdx
xx
x
++
+−=η �� �� 1� 4� ����� �� ��� 4� :2;� ��� ���� 6
��������������� �� 12
22
2
21 =+
b
x
a
x���������*��� ��/�����������#���∫
c
η ��.
η ����$��������<�=� ���*� ���
��� �� )��/����������/���������������� � ����(���>���� ���� ����)������������ �������� ���������( ��������������/�� ��7�� �(
?����@�������������� ��/�����-����������������)�� � ������*�����$� ���
���
��� ������������ ��������������������������� ����
� ���������������������
�� ����������������� ��
!� "���������������������#$�� ��%&'(
� $������������������������������� �����(
�� ������ �����������)���� �������������(
�� *)��������������+������!��,�����(
�� ������ ������������������������������(������-��.�����//� �!�//���//��� �0�����//�1�)�//���//��� �0�����//�%!��//���//��� �0
�� ������ ������������������������������2�� ����!�3�����-��4�������-�54�������-�6�7�����//8���- 8//��//8���-�8//���//8�!�-�8//�!�//��� �0
9��������3�7���!�3�0���!�3���0�������%0
9
������
Total No. of Questions : 5]
[Total No. of Pages : 2
[4223] - 206
�����
���������
��� � ���������������������������������� ��!!
"#��$��������%� "����� �� %����������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��� ������ � � ��� ������ �������� ������������ ������������� ��� ������ ��� ����������� ��� !��� ���� ��� ���� ������������"���� ������������������� � !��� ��#���� ���� ���
P372
SEAT No. :
��������� �
�� ������ ���� ,���������:!���(
;� ������� �� ,�������������������!�����
<� 1������ �!����!������!����
�� ������������� ����!�����
��� � ���������������������;�!��������� ������������ ��
�� �������������������!��,������( ��
�� � ������� �������!��������������!�������� �����!��������( ��
�� ��������������������������!�����( ��
��� � ������������ �����������������������������( ��
�� ������������������!������,���� ���( ���
��� � ��������������������!������!���( ��
�� ����������������,���� ���(�#���������%�������3/�/�( ��
���
��� �� ��������� ������ ������������������ � �� ���� ����������������������������������� ���������������� ���
�� ��� ������������������������ � � � � tvtv 5657232231 21 ���� �
� � ���tv 1303633 �� � � � � �������� ��������
�� � � � � twtw 6123165120311 ����
� � � � tw 243833 � ��� � �� �
��� ����� ���� ������������������ ���
�� �������� ������
� ��������������� ������� �� � �� ���� ������������������!���������� ������������
� "������ ������������# �$�������� ���
��� �� �������%���#����������������������� ���&���' ��� � ���� ��������('��% ������ �������� ������������������ ����� )��"��*+���%�������",'-�� ���
�� *� � ������ �� #� ����� ������ ���� �� ���� � ��� &# �
'-� �nvvv �������������� 21 ������ ������.������"��*+���%��������� �
" � �/�� ������ � ������� ����������� �" ����/�� ��0 ���
�����
������������� �����������
��������������� �����
����������������
�� ���� ���� ���������������������
������ �!!���"����#�$!������"����������� � ���������� �����
�� ������� ���������������� �
�� ��������� �������������
�� ������������������������ ��������
�� �������������������������
�� ������������!���"�"����������������
����
���������
�
�� �������� ������� ���
� ��� ��������������� ���� ���������� ���&���� ������������������� ���� ��������� ���&%+&-,&%����������
� ��" �� � ���������������������������� ��� � ��� ������� ������"������������������ ���� ������
� ��� ��� ���������������� � �� ���� ���������������������� ���&����������
� ������ ��1� ����#������ ������ � �������� ���
�� 2��#��'- � � � � � �� �ttt 122143112 �� ����� �����������
3 ������ ���+���������'� ���
�� 3 �����45���4�������������
�����
�����������
��-��1��1����������- ��0 ��� ji � �� 1
3 �� � �������� ���
��� �� ��6���7����������������������������������
�����
���� � �
� ���� ���� ��� ����� �� �� )�� �� �������
��
� ���� � � �
� ���� ����� ���
�� *��-&�89��������������������� ���������������:�����
"(���������� ������������� ������ �����"+�+��-�%+��3 ����� � ���������� ����"� ���
�� �� ���
�
� �����
�
�
���
�
�110
101
10
������#��. ���� ������ 5��������
������� �.�;��0 ���
��������
�
��� �� <�� ��������� 5��� ������������ ������������� ��"���������=�������� ����� ����� ������ ���������������� ���
�� ;��� ����������# ����� �
�����
�
�
�����
�
�
���
1021
0121
0142
015��
�
3 ��������� ���� �� � ���������� ���� �� � ���� �����������.��������� ��=���������.� ���
��� �� *����� �������������������3#����3 �� �������������������� ���
� ������������� vuvu �
� ������������ vuvu ���
� ������������ vuvu �
�� *��-��+ ���������������������� ���������������>������
<�� �� �� ���� ������ �� ��1
0
����������� dttgtftgtf ?�� � ��
������������� ���������� �@A� �� �B���� ���
�� � �� � ��� � ��� ������ � �� ���� ������ ����� ���� ��
������������������ vfinduvuvu 768 �
� ���-� �04 ��� fxff ������ �� ������������������3 ��
��� ���� ������ ���
��� �� 2����������� ��5��������� ��������� � �
�� ���� ����
� ��� ��������� �� � ����� ������ ��� ����� ��
� � ��� ��� 2121 ���� ���
�� �� �vu� ������������������������ �������� vuu � �������
��� #����� ��������������������� ���&� ���
��������
�
��� �� <�� �� �� ��/� � �� ��������� ��"� ��� ���� ��� #� � � �� ���� ���� ���� ������ ������ ���� �� � ��� 3�"��� ����� �������# ���
� ��2�"�*+�������+21"��-2�1"�
� ��"��*+����� �" � ���� ������+"���-+"��� ���
�� ��" ������������������� �������������������������������# ���
� �������� � �� vvv
� ����� ���� ����� � vvvvv �������
� C ��������� ���������� �� � � � �� � ��������� �� " ������������� ���
�� ������� �. ��� ���������#��.��.���������� ���� ���
���
��������
��� �� ����������� ��������������������������������� ���
�� ���������������������������������������������� ��!������"#$�%�&� ����������������������'�������(%�")����''� ���
�� *����������������������&�������)���� ���
��� �� +������'�������������*��������������,������������&�(����"������������&�(����)����������������������������-�����%�������� ��������������,������������������������������� ��� ���
�� *�������������,�����������������������&���,����� ������(
"����)������������$�����$$� ���
�� ./�����0��������,��������������������� ����������������&��� ���
������� . ����.��������������������������������������������-����������������
�� ���� � �m� ��� ��������������������-��������������1������ ����������
��,������� � �m� ��������������������������������������������,���
�����������2� ���
�� 0�� �������"��� ��������,�����3�� �� ���
����
������������� �����������
��������������� �����
���������������
�� ���� ���� �������������� ��������� !""��#$�������%"������$
����������� � ���������� �����
�� ������� ���������������� �
�� ��������� �������������
�� ������������������������ ��������
����
���������
������ �
��� �� +�������.������������������������������������� ������&������������������&����&������������"������������������������������� ��������������������'� ���
�� ����������� ������4�����5����,,�� ���
�� 6������7������,�� �������������� ���� ��� ����&����� ��� �� �� ����� ��
����� �� � �� nddf
� � ���� � ���� ����� �� ����&��� �%� ����
������� � � � ����
dnFdnd� � ���
��� �� +���������������������������,��� ��������,���������,����������� ��������������������,��� �������,���� ���
�� +�����������,��������� ��������������/���������8"����,��� ��������������������
�� 0�� ����������8�"�9���"����������������,����������'%)����:� ���
� � �� ����������� ������;�������,,�� ���
�� ��������������� ��'"$�����("$����������������< ���
�� ����������������,������ ��:��������� ���
��� �� 0�� ��������������������� ������&������������������
�����"�%��������������������,������������ ��� ����������� ���
�� 0�� ����������������������,��� �������,����������,��� �� ���
�� 0�� �����������,���,��������������������&�����������&������,�������������&���������������� ���
��� �� 0�� ������������������������������������������������� ������������������������&���������,������������,���,���������� ��&���� ���
�� 0�� �� ����� ��� �� �����&�� ��� �/������ )� ,����� �� ��,�� �� ����"���������� ��!������������"����������&������/������=� ���
�� ������������,���������������'�������������������� ���
���
��� �� ����������� �������������� 242 xy yy ������ � ���
�� �������������������� ����������������������������
� � � � � �������� 0������ yxQyxPy � ��� � ���� �� �� ��� ����������
����
����������� �����������!� ��� ��� �� �!� �����"���#� ���
� $� �������������������������������� 042 ������ �� yyxyx ����������
�����
���� ����������� ���
��� �� %�������� ����%� &�'�&�� ������� �&� ���
�� ����������� ��������������(� � � 0222
31 ���
�
� � ����� yyxyxx ���
������� $� ������� �������� ����� ��������� ���������� �� ������������������� ��������%� �������������� �����������(� � � 0312 ������� yyxyx ���
�� )����*������������+ �����������������u �� ,���������-��� ����*��.�-��� ����*�.-�
��� � � �����
dxxq1
���� ��������*���������������&����!� ��������
��������/+�0��� ���
����
������������� �����������
��������������� �����
���������������
� ���� ��������������������������������� ��!"���#�$
��%�&�'������(�%��)�$�������(����������� � ���������� �����
�� ������� ���������������� �
�� ��������� �������������
�� ������������������������ ��������
����
���������
�������� �
��� �� ����������� ��������������������&(
yxdt
dyyx
dt
dx���� �43 ���
�� )� ������� ����������������� ������������0+�0�����
� � � � 0211222 �������� yyxxyxx � ����
� ����������� ������������� � � � �xxyyy 21821423 ��� ������� � ���
��� �� ��� �01221 �� baba ���������������&
� �� ybxadt
dyybxa
dt
dx211 2 ���� �������������&���� �� ��������������
����� �� ���������� ���
�� %����������������������,���� ��������������� �������������� 0���� yy ����������� ����������������� � ��� ����������� ��� ���-����1����
y��-����2� ���
� ���������� ��������������� ��� ������� �� ���������-�-���� (
yxdt
dyyx
dt
dx3243 ������ � ���
� � �� ����������� �������������� �����-��������� +���&� � ��������(
� � � �� � 011 ���������� abyyxbacyxx ���� ����������� ��� �� ����������
�� ��������0� �������������������������� ����&( � � �� 102 ��� yyy �� ��������������3��4�����5� � �6��&������ �� �������������������������� �&�� ����������0� ��������� ���
��� �� %���������� ���������������������������)��� �!� �������������� � ������ � �dycandbx ���� ��� �� ����� ��� ������� ��)��� �!
���������������� ��� �������� yandbxa ����
�� %������������������������������� ����&( ���
� �
� � 00
10
���
��
zydx
dz
yZdx
dy�
��������
��� �� ����������� ��������������� � � � 0121 2 �������� yppyxyx ���������-������� ��� ����&���� ���
�� ���������
��� �� �����������0���� �������������������&(
�� ybxadt
dyybxa
dt
dx2211 ���� ���
�� �� �� ���������� ����������&������������ �������� �� ��������-�-������������
���
��� �� ��������� ����� ���
�� �� �������������� �� ������� �������������� ����������� ������ �����
� ����������� ��������������� ��� �������� ���� ���
��� �� ��������������� ���������� ������ ���
�� �� ��������� ��� �� ������������������������ ����� ��� �� ������ ������� ���
� !"�����#$�%�&�'�(�������������� ���� ��%�)����� ���
������� *� �������������������� �������������������� �������� ���
�� �������� ���� ���������� ��#$�%�'��#&�(�+�,�� ���
� ����������� ��-����.���� ��� ���
��� �� ����������� �� ������������� � ������� ��������������/
��� ���
�� �� �������� ������� ������������� �0���#�������� � ������ �1#������
� ����� ���� ��2�3�4#$� �#$%�5������� ���
��
������������� �����������
��������������� �����
����������������
�� ������������������������������
�!�"�##$��%� �$&'�����%����������� � ���������� �����
�� ������� ���������������� �
�� ������� �������������
�� ����������������� ��������
����
���������
�������� �
��� �� ����� ����������������6�� ��+����7�3�4#$� �#$&%��#'8(��#+,� �#$&%��#'8(� #$%&��#'(8� �#$%&��#'(8��#+,� �#+,�5� ���
�� *� ��������� ��� ��� ���� ��� ������������ � ������ ���� ���
� �� ��������7������ � ������ ������ ��� ��7�2� ���
� � �� ����������� ��79���� ��� ���
�� �� �� ����� :���� �� � � � ������� ��� � ����� ����� ��� �� � ������ ��� ���
� �� ���������� ������ ��� �� ����%((������� ���
��� �� �������� �.���� ���� ��0�������� ��� ���
�� ����������� ��������������� ��� ��������0������7� ���� ���
��� �� �� �������7������ � ������ ������ ��� ��792���79:�����2�����:���� ���������� ���� ��7������2�:�3�45� ���
�� ����������� ���������� � ��������� ���� ���� ���� ���
���
��� �� ����� ��
�
�0n
nn zazf �� ������� ������������������������������������
�� ��� �� ���� ��������
��
����� �
�
�
�������� zknnn n11 ���� ��� �� ��
������������ ������
�� ����� ������������ ���������� ������ � ������ ��
� !� � �� �123
22
21
3321 ���� xxxxxx ���� � ���������� ��� ���� ��"� ���
�#�����$��%������& ������
�� '�� (������)��"$����� ��������*���+�,���&���������������"�����-�.����,������������������������� � �����-�.�
'��� ���������'���/���!�����/ ������
��� �� *��,� ��� ����� ���� ���������� ���� �� +� ,��&� ��� �����������"��������0'/��!�����/�,����������������������������� ������
�� ����,�����������������"���"����&�����#�������������*���+�,�����������#������ �������������������������������#��������� ����� ������
�� ���� ������� ������ 01 itet � 1����
n
z
z��
���
���
1 �/� ��� �""� �������
��������� ������
�����
������������� �����������
��������������� �����
�����������������
�� ���������������������������������� �!�""�#�$�������"�#�����$
����������� � ���������� �����
�� ������� ���������������� �
�� ��������� �������������
�� �������������������������
����
���������
�
�
������ ����/�2�/�2�/�2�/������� �������������������� �� ��������������'/�2�/�2�/�2�/�������
��"�� #��������""��� ��������"�����������"�� ��������������
�� 1����������"$����� ���������+�,���&�����
� � � �10 ��� ��������� �� zzfzZ ������
�� 1����������� ���������������������������������k
k
Z��
�0 6�
���������������
��� �� �����+�,��&�������"$��������� ������3�'������,�'�����*����'��!���4�����
�5��5�6����������� �����
� � ��������
� azzw
wf
izf
2
1�������������
�� ���� 12
0
�����
�
����� zze
eis
is
������
�� �������������"$�������3�'��7��������� ����� ��
����� �zf ����� ������� a� ����������� nn n
af��
��� �� �
��� �� �������������1 ���#����"������#����)"����� ������
�� *�� � � ��� �� 10 �������"�������������"��� ������ � ���a ��������������
��
�� az
dz
�21
������������� ������
�� 8�" ��������������"� �������
�
20212
tetz
z it����������
������
� � �� ���� �� ��� �� ��������"�� � �� ���� � ������ ��� �� � ������� �������� ��������� � �����9�:��1�������#�����"��
������������� ����� �� mm zwwz ��������������������1
��������"$���
���&;9�:�����10��'���!� �1����'��� ��������������
������� �
�
�
�� ����,����������������"��������������"$����� ����������,������/������2������2��
��������������������# "���"����$��*����������"�������������"��� �����,�������������������� ��� �����$��������
�� ���� ��� 0�� ��������� ����
����
����
�
�
��
�������
kadzzf
zf
i21
������
�� �������������"$�������3'�7�������� ������������'���!���� ���������-�.������/�����# "���"����$�#������������ �'���!�;;;;;;�!��'���!����������� �'���!<��� ������
��� �� *��������������"��������� "���$����-�.�������������������������/�!������
�#���"������ "���$���� 0��� ������� zfazaz ���
�� �������������&������;=��������������#� ������
�� �����&� ��$������ �������#� ������
��� �� ��������������� ���.�������#� ������
�� ����,���������������&�������������"$����� ����������,�� ���������������
���������>�� ��������"�#� �� ���� �zf ����a
��������� ���� �zf ��Z ������
�� 1�����""�������"���" �������� 21 �
�������������$��"�������������"��� �
���&���������������� ���4��� ������
���
������� �
�
�
��� �� ����������� �������������� ��� zyxqypx ��� 22 ���
�� � ���������������������� �������������
0���� dzzyxdyzyxdxzyxrd ���������������� � ��� ���� ����� ��� ���
��������� ����� �Curl ���
�� ������������ �� � ������������� ������������� ��� 22 yxxyz ���������������� ������������ ��������� �������������� ���
��� �� �������������������������������������� ��� �� ��� ��������� �������������
��� ��� ���!�"
���� ��!����#����#������� ���
�� ������������������� ���������#����!����� ���
�� $������������ �����������������������#�����!�%� ���
������� � ���� �� �� ����� ������ �������� dyzyxdxzyxdz �������� ���� � ��
���� �������������������� �������
������
������
������
0���
���
���
���
qz
gfq
qy
gf
pz
gfp
px
gf���
����
������������� �����������
��������������� �����
���������������
�� ���� ���� ����������������������������� ���!�"
#�$��������%�#��&'�����%����������� � ���������� �����
�� ������� ���������������� �
�� ��������� �������������
�� ������������������������ ��������
����
���������
������
�� ������������������� ������������������������ ����&�����'������� ���
�� ����������� ����� �������������������(���)%���#����)�(������!�(��)��� *���������� �����������������!�% �������!�"�����������!��� ���
��� �� ��������� ��� ������ �������������������#���#����!�%�#��������� �������� ������������������� ����+�,����!�$ ����!�% ���!�)$� ���
�� -���������������� 02
22
2
2
���
���
y
ux
x
u����������������� �� ����
�� .����� �� �'�/����� '�� �������� ��� �� ���������� ���0�����������
������������, ��� 01
2
2
22
2
��������
���
txt
u
cx
u
�����"��!����� ����� "��!����� � ������ x ���
��� �� 1������������������� ���������� ������������������������������������, ����
����)�����
���!�"� "�2���2�� ���3�"
��� "��!����� "�2)���2)��
���� "��!����� "�2)���2)��
��" ���!�������!�" ��3�"�
�� $��������������������� ����������������������������������4��������������������4)��!�5�4��6���� ����������������������������������� ��5����4� ���
�� +�������� �� ���������� �������� ������� ����� � �� �������� � �������
���, �������� zueuxuu yzyzxx ����
2
2 ���
� � �� 1����� 4�����'�� � �������� ����� �� �������� ��� ���� 0� ����������
������������� ������� 0�������� txtxkuu xxt
����� ������ xxu 00 ���
������ �
�� $����� byaxuu yyxx ������ 000 ��
����������� �����������
������� axxfxu � 00
����� axbxu � 00
����� byyu � 000
����� byyau � 00 ���
��� �� � �������������������������������� ��������������
��)��
���!������ �"�2��2�� ���3�"
������������������������� ����"���� ������������ �������������" ���!�������!�" ���3)�"����������� ���
�� 5�������������� ��� ����� ������������ ����� ���������� ������������� �������� ���� �� �� ���
�� $���7� ���8'���� ��� ��
��� �� .�������������� �����������
��������������� �"� ���
�� � ������������������ ���4� ������ �������� ����� ������� ��������������������������������� ����� ����
���������
��
� �
dfu �������
����2
02
2
21
1
2
1���
�� +�������� �� ���������� ��������� ���� ����� � ����0����� � ��������0����� , ���
��� ���)��!���#�
���� ����)���!���
����� ���#�����)����!���#���
���
��� �� ����������� ����������������� �� �������������� ��� �����������������
�� ������������ ����������� ��� �������������������� ���
�� �� ������������ �� ������� �������� � ���
��� �� !���"�������� �������������������� ����� ��������������������#����� �� ���� ������$�"���������� ������������%&"���������������'''��$�"'''�(�����)''����$��''*�����"+,�������� ��������%&"������� ������������������-��������������.�����,�������� ��������%&"������� ���.������������ ���
�� �� ���������� ����� ��/� ����������������� ����0������������������� ���������� �������������1 ����/�������� ��� �������/� ���
�� 2�������� ����� ����*����������������������
��3��,��
�,�������(�34,��
�,��
�,��������-����������1 ������� ���
������� 5� ��� ����� ��� ��������� ������ ���� .������ ������ ���� �� ����� ������������0���������� ���
�� �� �������������� ������� ����� �� ����������������� ����0�������������������������� ��������������� �� ���
�� !���)2�+������������������.�30������2���.�30������������''2��6�2''���4������ �� ��#�������2�����������1 ���,�������� �������2�����������1 ���� ��
����
������������� �����������
��������������� �����
���������������
�� ���� ���� ������������������������� �!�"���#$�%� �#&#��#$������%
����������� � ���������� �����
�� ������� ���������������� ��� ��������� �������������
�� ������������������������ ��������
����
���������
������� � �
��� �� �� �������������������������������� ���
�� �� !��� ����������� ������������#�� ����������������� ���,�������� ������������������������� ���� ���� � �� ������� ����� ��� ��
��� �������������� �������� ����� ���������������� ���� �� ��
�� !������������������ ����0��������������!������� ����� ��� ������������������
��(��
�������
��(�6�
���-���������������� ��� ���
��� �� #��������� ����� �� ����0��������������,�������� ������������� ���������� ����������������������7������������� ���� ���
�� !���"�������� �������������������� ����� �������������������������������������������7� ��� �� ����������������/�3���(��$����� ������������� ����� ���������������� ���� ��� ������������89 � ���
�� -���������������������������������� ���� ��
� � �� �� ������������������� ����� ��� ����0�������������0�� ����7� ��� ��
�� #��������� ����� �� ����0���������������� ��������� ���� �(�4�� ����������������� ���������(�4 ���
�� !��� ������� ���������� ����:��!���4�� ���� ���� ����������������� ������� ������ �� ������������3���(�����������������(� � ���
��� �� !����������0������������������������������� ���� �����5� �������������������������������� ���������������������3���(� � ��� � �� �������������� ���
�� !��� �(���3;4, <��������(��3;4, <�,�� ������������� ���!�����*� ������
������������37��(��� ���� �������-����������,��� ��������� ��� ����� ���=���������������� ����7�������� ������� ������������� ���
��� �� ������������ �������>����"�����7�/�� ��� ���
�� !���/������� ���� ����� �� �����������������)��,��
�,����
�+���� ������
�����������1 ����������� ����������������������� ��
�� !���/������� ����� �� �����#������� �����7����,�������� ����������3�������� ������������3���� ��
���
��� �� ��������� ������������������ ��������������������� ������������� ��������������������������������������� ���
�� ���� ������� ��������� ������ ������ ��� ������ ��� � ��!�
"��#�$����"��%�$�����������&�!���������������'�(�'�$��#����'���'�(�#�)))))#�"��#$����"��%�$�) ���
�� *���������$���� ��������!������$+��� ����������)��������������������� ���,��-�������-������!������������������� ���,�!!�������-������!����������� ���
��� �� ����������������������������� ������ ���� ������������.��������� ����� /��!������������������!���������������������������)��� ��&������!����������!!�� �����������01�������������������������
������������ ������� ����������� � �23443443553� ���� ����������� ������� �
��������&��41�� ����� ���������-���!����!� ����� �!!�'������) ���
��� �� 6������������ ���������� �������������� ����������!����$+���!!� ������!�������!��� ����������������!�����!!��� �������!�����������&�������� ��!�����!!�) ���
�� ������������������� ���.�+1��� �&��$1����� ����(1������������������ ����� *��� �����+�������������� �����$���� *��� �����+�������������� �����$��������������������� �����(��
�� 4�!&������������������!��������7�(�
�����#�(������
��7�� ���
�����
������������� �����������
��������������� �����
����������������
�� ��������������������������������������� ��!��� �"����#!
����������� � ���������� �����
�� ������� ���������������� �
�� ��������� �������������
�� ������������������������ ��������
����
���������
�
��� �� 5��&���������������!��������������8"���$��#���8"���(��#���8"�����7���
����&�!�����$��#�(��#����#))))�#���) ����� �������$+9!������������������������������������ �����!����������������
����� ����� ���!���������� ��� �������������
�� �������:�9��������� �����������������&�!&����.���!���.��� ������������ ���
��� �� ���� �� ���������� ��!����� ������� ���� ������ � � � 9� ������ �����
�� ��������������������������� ����������� �����;+$(<) ����� ��������������������������!������������� �������-������������ ��
���������-�����$$��������� ������������-���������������������� ������������������$(����-��������������������������!�����(��������� ��������-�� ���
�� ������� �� 9� ������ ������ �� ������ ���� ����������� ��� !����� ��� +������!��������$�� ���
� � �� 6������������ ������������!&����������� �����!������������������!�����) �
��7� �
���� #� �
���� #� �
����� �
�� 7� ����� %� �
����� �
�� 7� ����� %�
�%$
���7��
��7��
��7�$ ����
�� 6��� ��!����� �.�!����� ����!�� ��� ������������ ����� ��������!������ ���� ������ ��� ���� � �������
�� #��
�� #��
�� #��
�� #��
� #��
� 7� (+�
+�=������: ���
��� �� ������� ����������� ���� ������ � �26>26>������ �� ����� � ��������&��!���������������� ���
�� 6���� ��������� �������� ��!&�� ���� ���������� ��!�����
��7��
����#��"�%$����
��7�$ ���
�� 4�����������&��������� ���&�������������������������������.����������������������������������������� ��������������!���!��� �$+) ���
��� �� ��&��� ����!��0��0
��0
��0
��0
���������������������� �&���� �������������?
��@���������!�.������A��������*�����������&�!&�)0
����!!�������&��B�.������A����C�0
����!!�������&������������*������C
0����!!�������&��@���������B�.��C�0
����!!�������&������A��������0
��!!�������&��&�!&�)������������������������������������������������� ����!��� ��
�� 4�!&������������������!�������������7�$ ��
�� ����7�(��
�����#�$
��� ���7�%���
����#��D
���
������ ��� �
�
������������� �����������
��������������� �����
����������������
�� ��������������� $%��%$������
�����&'%���(�� !��� � �� �����#!����������� � ���������� �����
�� ������� ���������������� �
�� ��������� �������������
�� ������������������������ ��������
����
��� �� E���&��� ������� �����������@�!�������������) ���
�� /�������������!������������!�� !��� ��!����������.���������� &�!�������&�����7����"�����������������)�E����������������������� &�!����� )�3������� !�������������!���,���� ) ��
��� �� /���E�&�!����� ��!�������&����� 22332
2
1
3
1txyzwtyvtxyu
��� ��� )�E�������
������&����&���!���!��������!�����!����������"$��$��(�������7�$��) ��
�� E� ��� ������� !���� ��� ����� !���)� F�&�� ���� &�!����
����� jytixtq ���� 21 � �������� ������� ������!�������������!�����������������"$��(������7+) ��
��� �� 3 ����� !�����������������������!������������&�!������������&��!�� ����������!� �����) ���
�� *���&�!��������������� �������� !������� 2222 yx
aybxv
yx
byaxu
��
���
�� �
������������������������)�����&�������������!��!�������������!������������������!�����#����7���) ���
��� �� E� ���4��-���������� ������ ���r� �����������!���!�����9�������� ��������.���������� !���� ��������������!�� !���)�E������������������ ������������������������� �����������6�����!!�!��������.��� �0� ����
����
�
�� E����������� !��� �����������7�����������6���������������G+�������!�����) ���
��� �� E���&��H����!!�1��� ������� ���������� !��) ��
�� 3������!������!�������"�����������������!���������� �&�!������ ������
��������!�����������!� !��������&���� ������� �
2
3
2
3 23Urru �
E����������������&�������������� �&�!����) ��
� � �� *���&�!��������������� ��� !����.������������������!�����������"���������������&���
r
a
r
aUv
r
a
r
aUu ������� ��
�
����
�����
�
����
��
3
3
3
3
443
12
31 �������6���������
�������)�������������������������) ��
�� 4�����������&��H!�������������) ��
��� �� E����������������!�.��������!�� �������!��������) ���
�� 4�����������������!�.��������!�� ���������������������� ���������������������� �������������������&�����&���������������������������������!� ���) ���
�� 4�������������������� �������!���� ��������������������������G��� �������
������� �����!��� �������������������!�����������&����������� �������� 2
2
f
�
��������.���� ���������!���������������������������!!�!) ���
��� I������.�!�������������������? ����
�� J�!&����������������������
�� B�����������@�!�����������
�� J�����,��-���-���������
�� J�����&����.�������
���
������ ��� �
Total No. of Questions : 8]SEAT No. :
[Total No. of Pages : 2
[4223] - 403M.Sc.
MATHEMATICSMT-803 : Differential Manifolds
(2008 Pattern) (Semester-IV)
Time : 3 Hours] [Max. Marks :80Instructions to the candidates:
1) Attempt any five questions.2) Figures to the right indicate full marks.
����
Q1) a) Let M be a compact k-manifold in Rn and h : Rn→Rn be an isometry.
If N = h(M), then show that M and N have the same volume. [8]b) Give an example of a 1-manifold in R2 which cannot be covered by a
single coordinate patch. [4]c) Let f and g be tensors on R4 given by f(X, Y, Z) = 3x
2y
1z
1-x
1y
3z
2,
g= 1,3φ -5 1,2φ . Express f ⊗ g as a linear combination of elementary
5-tensors. [4]
Q2) a) If V is a vector space of dimension n, find the dimension of Ak(V), the
space of alternating k - tensors on V. Justify. [7]
b) Define orientation of a manifold M and induced orientation on ∂ M.[5]c) Show that the n-ball Bn(a) is an n-manifold in Rn. [4]
Q3) a) Let U be an open set in Rn and f : U→Rn be of class Cr. Let
M= {x : f(x)=0 and N = {x : f(x) ≥ 0. If M is nonempty and D f(x) has
rank one at each point of M, then prove that N is an n-manifold in Rn
and ∂ N=M. [7]b) Define the term alternating tensor and give an example. [5]c) Find length of the parametrized curve [4]
α (t) = ( acost, asint), 0 < t < 3π .
�����
������� �
Q4) a) With usual notation, prove that for any forms [6]
0)...(,....., 2121 =∧∧∧ nk dddd ωωωωωωb) Define the term closed form and give an example. [5]c) In R3, let ω = xydx+2zdy-ydz. If α (u,v) = (uv, u2, 3u+v) then find
∗α ω [5]
Q5) a) Let M be a k-manifold in Rn and p ∈ M. Define tangent space to M at
p and show that the definition is independent of the choice of the
coordinate patch at p. [8]b) If ω =xdx+2ydy+zdz and η = coszdx+ydy+sinxdz, then verify the
identity d(ω ∧η ) = ( ωd )∧η -ω ∧ ηd . [8]
Q6) a) It T : V→W is a linear transformation, and if f and g are alternating
tensors on W, then prove that T* (f ∧ g) = T* f∧ T* g [6]b) With usual notation, prove that if G is a symmetric tensor, then AG=0[5]c) Let : R3→ R6 be given by (x, y, z) = (x2, yz, xz, y2, xy, z2). Find
d 1α ∧d 3α ∧d 5α . [5]
Q7) a) State stokes’ theorem. [4]b) Is the 2-sphere S2 an orientable 2-manifold? Justify. [4]c) Let A = (0, 1)2. Let α : A→ R3 be given by the equation. [8]
α (u, v) = (u, v, u + v)
Let Y be the image set of α
Evaluate ∫ ∧+∧αY
dxdxxxdxdxx .2132311
Q8) a) Give an example of a 1-manifold in R3. [4]b) Define an exact form and give an example. [6]
c) Give an example of a ∞C map α : R2→R3 such that 1−α is continuous
but αD does not have rank 2 at zero. [6]
����
Total No. of Questions : 8]
[Total No. of Pages : 3
[4223]-302�����
������������ ���������������
������������� ����!�"������
���������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��
�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ���������
P374
��� �� ��������� ��������������������������� ���������������������������������������������������� ���� ������
�� ��� �� � ������ ��� ���� ������ ��������� ����������������� ����������������� !"���� ������ ������������������������������� #��������������� #������$����������������� #�������$���������������� %������&��$�����������������������������������'���(
�����������
��� �� ������)�������������������� JI ⊆ ���$������)*������������
�*����J
R
J/I
R/I ≅ � ���
�� +���������������������������� �����������$����������������������� ���
�� ,������������������������ ����-��.��/�
��/���/�
�����
�������������"� ������
�������������
� �
� �� �
����������$���������$�������-��
����������"�#���������0
���"�
�����
SEAT No. :
�� �� �������������������� ���� $��$����������������������&���������� ���
�� ��������������������������� ! �����������������$����������������������� ���
�� ���-��.��/�/!�����������������#���"���
)(
][FR 2
xf
x= ���
������������������1��������#���( ) 11−
+x � ���
��� �� �����������������������2������������������������������#����������������3������$��������$������������������#��������� �3��������$����2� ���
�� ��������������������������4��������� ���5����$$������.0 6'�+���������������������2��"��������������������������0��"�-2.�����������������
�� ������������������������� !���� )��������������($���������������������� ���
.J
R
I
R~
IJ
R ×
��� �� 7��������������������������+��������� �����������������������8��������������-������������������� ���
�� +����������� [ ]5Z − ������8��������������� ���
�� �� %��� �� �&��$�� �� � ��� ����� �� �� 8�������� ���� ���9����������� ���
��� %������&��$���������������������8���������������������:-��.:-���������������������������
���� ;������������$��$�� ����7������������#�� �"�������7 �����#���������
� � �� ������� -���('��������������7���������� ������$����������������� �������&����������
�� 7�����7�(��<���(=����(:���������������������������������� !����7���<���(=����:�����������7� ���
�� +���� ���&��$������4����������7�����������7�;���������������-����4����������7����7�)���� � ���
�����
��� �� ������4��#�����'����7������$���������������������������
���$������������������������ [ ]5Z − ����;#7� ���
�� ��������$�����������������������������������/!����������6���������$�������������!������1� ����� 1P ≡ ���-1����$������' ���������������������������0�" ������%���������������
�� �������7��������������&�������$�������7���<���(=������������ ���
��� �� �����;#7���$���������"������;#7� ���
�� �� ���������$�� ��������/1��/>��/6�/!���������������0��"� ���
��� +����� ��$�� ������ �-��.� ���� �����������$�� ������
�� ][6Z
Zx � ���
���
�����
Total No. of Questions : 8]
[Total No. of Pages : 3
[4223]-303�����
������������ �������������
����������������������������
���������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��
�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������������������
P375
��� �� �������� ��� ����� �� ����� ���������� � �� ����� �������������� ������ ���
�� ����� ���� � ��� ����� ��� ���� .92),,( 2 +−−=φ zyxzyx ���������� ��� ������ ��������������� �� ���
�� ��� !������"�������� ��� ��� #����� "� $�������������%����!������"�������� � ���
��� �� & ��� !������"� $���������������������� � ������ ���
�� �������' ���� �����%#������� )(),,,,,(L 22221 zyxmzyxzyx ������ ++=
(���%�� � ������ �����������#����� "���!������"� $�������������� ���
�� & �� �������������� � ��� ������� ������� ������������)� ���
��� �� ����*&�����������������%�� !�������������� ����+ ���
).(2
1)(
2
1),,,(H 2222 yxkpp
mppyx yxyx +++= ��� ���� �� $������
,�������
������� �� ��
�� ��������� �������� $������ ���-.���� ���/����������
� �� � �������������������������� ���� �.0�
����
SEAT No. :
�� ����� �������������������� ��� ����� � ���������������
�,-%��.,��(0������
�� 1���� ����������� ������� ��������������� ����� �����)� ��� ����� �������� ������������� ����� ����� � ������� ��
���
��� �� ��������� �������������������������������������� /���������) ��+ ���
).(cosP,Q 122 qq pepe −− =−=
�� ������� �����2�� ������������������� �� ��/���������) ��3�%24��������������������� ���
�� /��� ���� ,HH
dtdt
d ∂= �� � !���� !��������������� ���
��� �� ����� ������������������� �� ���� ���
∫− =−=−−′1
1
2 .1)1(,1)1(,)2)(( yydxxyy
�� ���� $������������������������� � � ������������� ������ ��� ���� ������ �������� � � �%�� ��������!���� ����� ������� ���� �� ���
�� 5��������������������� � ),,( zφρ ���� �� !������"� $������������� ��� �������� ������������ � � ���� �� ������� ����
).,,(V zφρ ���
� � �� �������� ����� �������� �� ����������� �������������� ���
�� ��� ������ ��������������� ���
�� & �� ����� ����� ��������� ��� ���� �� ������ � �� � �������� ���������������������� ����� ���
��� �� & �� �����������������������67��� ����� ���
�� ��� ������ ��� �"��� �� ���� ������������������ ��
�� & ��� �� ���������������������� ������� ��� ���� �+ ),,( ψθφ ����
��������
��� �� & �� � �������� ������ ���������������������������� ����������� �� ��� ��������������� ���
�� & ��� �� ������������ � ���� $���������� �������� ������� ��� � �������� �� �� ���
222
21
umhu
fu
d
ud⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−=+
�� ��� ������ 8 �� �"�� ����������� ���������� ���
���
�������� �
������������� ��������������������
��������������������� �����
������� �� ��
�����
���������
��� �����������������������������
������� ������!����"�� �!
����������� � ���������� � �� ��
�� ������� � �� ������������� � �
�� ����� ����!�"�#��$�� ��� �
%� &�'��� � �� ���� ��'��� ��������� "�((����� �
#�$
��� �� ������������ ������������������������� ���
�� � �����
��� �������������
���� ������������������
�� �����∈�����μ���∞ �����⊃ ����������������� ���
nni
i EE μμ∞→
∞
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛lim
1� �
�� ������μ!�� �
��"#�������μ�
�"μ�
�������������
�$�
�∈�� ���
��� �� ��������������α����������������������������������� ��������α
∈����������α ⊂ �β��α �β�%���������������������
���&��������������������������������������������������α��α ����'α��(�α � ���
�� )��� ��'��� ��&���������������� �������� ���� ����� � � �
�������������������������������������*���%������������������������������������������� ���
������
�� ����������������������+#$,-������������������������������������� ����� ��.����������*��� ���
�� �� �����������/���0�)����� ���
�� �� � ���� ��� ���� ��������������� �������� ���� ��� ���
���� �������������$����������� ∫ ∫ ∫+=+ gbfabgaf � ���
�� ���������������� ����������������������$�����"#���������
��1��∫ =0fdx � ���
��� �� )��!�$��������������������$�μ�'���&����������������������� �����������������μ���$��'���&���������� �������������������������������� ����������������������������
���� ∫∫ ≤ nndffd μμ lim � ���
�� �� �������� �����������
��� )������� �����������!�$������∈�����!��'#�%���������������������$�����������������������$���������⊂ ����!��'#� ���
��� �� )������� �����������������������������!�$����������
����������������������������� ������������������"�� ����
�� �"φ � ���
��������������������������������������������������� �
���������������������������������������������������
�� ��������������� �������������� �������������!�$������&��������� ���
�� ��μ �
��� 22��2μ2�
���� ���μ�
��� ���μ �
� � �� )���������������������������� �!μ�����,���∞ ���μ�σ���������������%���������������������&������������ ������
,3�4,3�",$���������!��" ∫ μfgd ����22�22"22�22�� ���
�� ����������������μ 5������������������σ��� ����� ���
�� )��μ��������������� ����6$μ 5����������������������1μ$�������1���� ��������ε'#$������������∈6�����⊂ ����μ 5!���μ 5!��4ε� ���
��� �� �� ��������������������
��� )���!��������7���������σδ ��������������%�����������
�!����������������������������������� ���
�� )��� �� � ��� ���σδ ����μ 7 !�� � ∞ � %��� ��� ���� �������������������1� !��"μ8
�� ��������������������� �
��� ∫ μgd " μ 7 !� � � � � �
�
��� �� )��!�$6$���!�$�$���������������������������� ������� ��������������7��%���������������� 9 ���
�� /���������� ��� ������� �� ��������1 �
� !��" � !�$�� �� ��
���� ��������������
��� /���������� ��������������������1 �� � !��" � !�$�� ����
���� ��������������
���� ∫ )(),( ydvyxfy �������� ���������������
��� ∫ )(),( ydyxfX μ �������� ���������������
�� )��μ ��������������� ����6���μ 5����������������������1μ �%������������������������μ �μ 5����μ 5����������������������������μ�σ��� ������������ 6� ���
����
��������������������������������������������������� �����
������������� ����������� ��������������� �����
������� �� ��
�����
���������
��� ����������%�"�����&����%���� �
�����"�� �!��'&�!
����������� � ���������� � �� ��
�� ������� � �� ������������� � �
�� ����� ����!�"�#��$�� ��� �
%� &�'��� � �� ���� ��'��� ��������� "�((����� �
#�$
��� �� /������������������� ����������� �������� ��� ���
...24
1
6
1
2
11
!
1
1
++++=∑∞
=n n
�� /�������������������� ������������������� ���
( )∑∞
=
−
−1
12
!12n
n
n
x
�� /��������������!�4,������ ���
��� �� 6����⎩⎨⎧
<<<<−
=π
πx
xxf
0,0
0,1)(
8������!����������������������������������:π � ���
�� 8������������������$���� �������$��������������� ������������������������� ���
������
�� �� ������������1�����������
�!�$��"������!�$��$#��� $�'#
��;�������������!#$��"#<�!,$��"#
�!�$��"#<�!�$#�"�!��$#��� � ���
�� �����������������������=���>������� �����������������!��"������!��"���$ ��� ������������������������ �������������� ���
��� �� ?������� ∫− =1
10)()( dxxpxp nm ���≠ �����
�� 8��������������� ���� ������@���������������������������
�� ∫−
= 1
0 2
4
1J dx
x
x
��� ∫= /2
0 sinI
d
θθ
��� �� ?������� ∫∞
+=
++0 2222 )(2)()( baabtbta
dt π� ���
�� �� ������9������������
��� ���������!A��"A���!���
���� ���������!∞ �",����
��������������������������������������������������� ��������
� � �� ���������B��� ��������������)� ������1����� ( )( )xLnα ����
�� ?�������$ ppp
sin)(1)( =− ����
��� �� C��)���������������������������������������&���������
�DE4:�DA�EA:�"#$�!#�"�E!#�"#����D!#�"F
�� /������������( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−
222
1Las
s ����
�� ������ { }tL sin ����
��� �� ������ nxsn
xHnxH
xd
d snn
ns
s
<−
= − for!)(
)(!2)( ����
�� ���������������������������/�����������������
����
��������������������������������������������������� �������
Total No. of Questions : 8]
[Total No. of Pages : 2
[4223]-305�����
������������ ����������������
������������� ����!����
���������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��
�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ���������
P377
��� �� ���������� ������� ��������� ������������������������ ��� ���������� � ���
�� ������� ���������� ��������������� ��� �������� ����������� � �������� ���������� ��� ������������� � ���
�� !����������� ��������� ����"� ���
��� �� �������������� ��� ���������������������� ������������
�� #���������������������� �����������������������$���
����
�� ��������������������%�������� �������������� ��� ��� ���
��� �� �������������� ������������ ����������� ���
�� !�������& ����� ���������'�� & �������������������� ���
�� !���������������� ��&��������� ���
��� �� !����������������� ��&���������� ��
�� (����� ����������)���*�+,�%�������)� ������������� ������� �����������)�� ������ ����� %��������%�∈-*)�%����������%� ���� ���
��� �� ��������������������� ��������������� ���
�� �� !����.����/���/���������� 0��������.����/���/��������������������������
�����
SEAT No. :
� � �� ����� �� �� � ��������������� �����)%$�� &��1 ����������� ��� �������� ����� ����������� ���
�� 2 �����3& ��1 ������������ ���� �� ������������������������������������������� ���
�� (������������������ ��������������$�� ���
��� �� ���������������.��������)� �����������������)�����������)�� ��. ������������� ���
�� 0��������4�����������4����������������������������������
�� �� ������������������� � ������ �����
�������
����
��� �� ���������)� � ����������%����*)�5�6*)�5δ*)�� ���
�� ���������)� 7 ��������%����������)6�������������������������)� 7 ��������� ���
���
��������� �
Total No. of Questions : 8]
[Total No. of Pages : 4
[4223]-306�����
������������ ������������������������������ �!!���"�������!�����"
���������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��
�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ����������� �������� �������!��" ���������� �������� �� ���#���
P378
��� �� ������������ ����������� �������� ∞=1}{ nnp ��������� �
������������������������������� ,lim ppnn
=∞→
��������������
���������������� ���
�� ��������� �!"�#�������������������������
�����������
��������$��������������������%&��% ���
� '��(����������$)��*�
�+������������ ���������������
������$��(���,�,-�� ���������$���������������������!�!.�,*)�
�*�
�+�)/�,*/�0+� ���
��� �� ���������1,������$���������$���1,���������$������������
� .A 2������������� � ∞=0}{ kkp ��������� ��������$�
,...2,1for2
/A 11 =+= −− kpp
p kkk
3�������������� � ∞=0}{ kkp ��������� .A ���
�� ���������!4�!.� ����� 5�����6�(���7�����������$����
�����
��� '��(�����.�/��� �������*��*������������ ���������� � ���������������� �$$���$�����$�%
�����
SEAT No. :
� '�$���8�9*:;�8�����������9��;���9���/.*/0*0*0�*(�������:�� ���
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
3000
2400
3330
0442
1
011
001
0001
2241
3132
3551
0442
21
32
21
31
21
�� �� �������� ],[C 1N baf +∈ ��������*�
�*���*�
∈)�*�+���6 /������
���∈)�*�+*����������� ����3
��� <
���
(����3��������$������$�� �������������������� ���=
∑=
=≈N
kkk xxfxxf
0NN )(,L)()(P)(
>����������<������������
)()!1N(
)........()()()(E 1NN10
N cfxxxxxx
x +
+−−−= *
���������$����������$�������������)�*�+� ���
�� #����� �� ������� �������� � ��$� ��� �� ���$��� ��� ���
.6.3
)(x
xf =
� = / . 4 " -� ��� = 4�?, /�0, /�., ,�@, ,�A.
&�����(���6�(��B���$������$3����� ���
� ��� ����������#�$ �$���������������� �.�4�(����,�,/*��� ������(��� �.�4�����.�4�� ���
��� �� 2������������$�� ���
.452
)( 23210
0 h
ffffxf
−+−≈′′
�� <��$���C�����'����$�����������������$��������������������������D��(��� ���
������� �
� :�� ��E� ���������� � ���� ������������$ ������ � �* �* ��(��������������� �����������/*4*.���/�,.*.�@A*.�,/������������ ���
�����������������������������������������
�������������������������������
������������������� .
xz
y
��� �� 5�����������F����������G�������������<���*�������
�������'������ ��$� �� $��� ���-H/,� ��� �� ������������
∫ ≈7
2
).,(S hfxdx
���
�� #��������������$������$)�*�+�'��(��'������B���$������ ����� ����$��������� ����� ����������������� ���
� I�������9��$�B���$��F�/*��/������ �����$������$���������5≤ ��������������
��� �
��� ��� �
�� �
�*����),*"+� ���
� � �� :��<�$��B���������$������I�3�
2
yty
−=′ ��),*4+(����,��/�
#��������$�������� .8
1and,
4
1,
2
1,1=h ���
�� :����,�,-���<�$��B�����������J��*�
�K���J�
�*�
�K�'�$����
�������.� 4�*��.�����(���������$ ���������,��!.�A�����,��.�0������������$ .0.10 ≤≤ t ���
��� �� 5��������������� jj V, �����������
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
310
121
013
A
�$��*���(����������� ������$�����$������������ ����� ��;���8����� ���(������������*�������������������
����������$�����3�� ���8�3;*
(���� 3��!.&&�
��� .||YX||
YXW
2−−= ���
�������
��� �� 5���������������$���������������$$�(��� ���� ����4�/"/-@.��� .14.3=x
�� #������������$��� �$ �$������-,,������-,,�����������������
���������>����� ������� [ ]xxxxf −+= 1)( ���
.1
)(xx
xxg
++= ���
� #�������������$���������������*����� ��!.�,*
����*�����!/�,��
�� I�����������$���������/*/�����!/*!/����� &������� �$��������������(�������6�(��B�������
��������$�����% ���
�� #������� ).2sin(2)( xxf += :��������G����$��$�(��//����$�
������ ����������������������������$�������D������)/*?+���
���
������� �
������������� �����������
��������������� �����
������� �� ������
������������ �������������������
������������� !����"�#���� �$!����������� � ���������� � �� ��
�� ������� � �� ������������� � �
�� ����� ����!�"�#��$�� ��� �%� &�'��� � �� ���� ��'��� ��������� "�((����� �
�%&'
��� �� ������������ � ��� �� ���� ���������∈������������ ������� ��� ���������� ���
�� ������������� � !���"������������ ���
�� #� ���������� ( )3 2,3Q ���� ( )3Q � ���
��� �� $�������� �����"��������� ������ ����� ��������������� � ��� ��� �����%�� �����������&���"���������'� ��������� ���������(
�
�� ������
��� )
�
�� �������
���∈����*�
#"��������������'�����������&�� (+&�&��&����&����*����������������������� ���
�� #� �������� '����������,+∈����������-����� ���.������
�� $�/�0( )3 2 &� �θ� 3 2 &�� �� ���� �������+ θ� �� ���
��� �� 1��� � �������� ��� � ����"�������� �������� ����� 2�����∈�����������"����������&�� ������������������������
�������"��������� ����� 3� ��"����������4����� �� ���
��� �� $������� ����� ��� ���������������%�� �������������α��������α� ��� �������� ���� �� "������� ������������������� �� ��� ���
�� $� ( )2QF = � � ( )4 2QE = �2�� �������� ��� ���52�� �����
��� ��� ��056"������"�� ����� ���
��
���������
�� 1���������������������74!����� �56"������"�� ����� ���
��� �� $�/��� ��� ��� ����������1��� ���'��"���#��"��������������2��"������"����� ��� ��� �������� ���
�� $�/����� �������������� ��� ����������2���� �������� ��� ���&�� ������������������������8��)��� ���
�� ��������'��"�����α�)0�&�����α�+� �α≠ +&���������������������'��"��������4� ���
� � �� $�����8�������� ��� ���& ��� ��"����������� �� � '���������9�� �������� ��� ��#��� �� �������) ��� ������"�'��"������)��� ���
�� #� � �� 8����� '��"�� � )��& ����� ( )5,3QK = � #� � ���
�"�'��"������ )��� ������������� �� '������������ ���
��� �� $�/��������� '���������,��∈�����%�� ����������)������������'��"�� ���
�� :���� ��� �;"��� '�������� ����� :����������������"������ '��"��� ��
��� �� $� ( )wQE ,23= ��� ��� ��� ���������&��������+&� ≠ +�#� ���&�������(σ�&σ�*&�����σ�������� ����"�����������
�� � ( ) w331 22 = &σ
�������� ���
�� �������������� ����� ��� ����� ��������� �������� ��� � ���
�� #� ����� ��"����� ������� 21+− ����0� ���
����
�������
Total No. of Questions : 8]
[Total No. of Pages : 2
[4223]-404�����
������������ �������������������������� ������� !����"�#������$!
���������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��
�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ���������
P382
��� �� �������������� ������������������������������� ���
�� �������������� ���� ����������������������������� ��������������������������������� ���� ������������ ���
�� ������→�������� ����
���→�����
���→�������� ���
����→�� ��!���
�����→�������� ����
�����→�� ���
��� �� ����� �� �� ������� �� ����� �� �� ���� ����� � � � �� ��������������������� ���
�� ����������������������"���#������������������ ���� ���#���������������� ���
�� ��$⊂"⊂�� � ���"��������������$����������"� ��!��$������������ ���
��� �� �����������%�� �� �����������������#��� ��������������
�� ��������� �������������& g �'��������������� ���(���
�& g ������� �������� ��������������������� ����� ���
�� ��$⊂���� ������������������)$���∈��*������������
�������������������������!������������!��$� ��!��
$∪) n∪ $�*�� ����������� ���
����
SEAT No. :
�
��� �� �� � ���→� �� � ��������� �� � ����� �� ���� �'��� �
������� ������&� )),(,Y(),X( 0101 xfx π→π !���������� �����
�� ���
�� �������������������� �� ���� YX: →φ �������� �
������������������� ))((Y,)(X,:* 11 xx φππφ → ���������� ����
������ X.∈x ����� +�$��������������������������,���!���������������
�$→���������������� ���� )(X,)(A,:*i 11 aa ππ → ������ ���
A.∈a ���
��� �� -���� �� ������������ � ���������� ������ �����, ���� ����������%��������� ��' ����������������� ���
�� ��������������� �������������������"�� ����� .������������������� ���#�/)0,0*������ ���� �� ���
� � �� ��!������������� ����� ���� � ���
�� �� XX:~→p ������������� �����⊂ ���� 0
~X 1���2���� ��!
�� 0
~
00 XX: →p ������������� ,!������2�1�2�� ���
�� �� XX:~→p ������������� ����� XX:,
~
21 →ff ��!�������������→�� � ����������������������'����
�∈���������2�
��1�
�2�
���(��� �������
�1�
�� ���
��� �� 3���������������4������'�� �������������������������5→"�����������,������ �����"!���20�∈�25������������� ����5� ���
�� ������������ ���������������!�������� �������������������!�������� ��������� ���
�� � �����5→"��������� �������������������� �������� �� ������ ����������� ����� ���
��� �� ������������������� %��� ��' �12�
�,�
�,���,�
�������������
������������� ����� -����� �����������������, ������#����������� ����#���
��������������� ����� �������!������������ ��'��������������� ���������� ���
����������� �
�
Total No. of Questions : 8]
[Total No. of Pages : 2
[4223]-404�����
������������ ��������%�"����������%�&#���
���"�#������$!��'�&!���������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��
�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ���������
P382
��� �� ��!����������� )2/sin()( xxu = ��������������.�������
�������������� ∫ =−1
0
2
2
X)(),(k
2)( dttutxxu ���
�� .������������������������� ������������������������������/6�10!�����������������
.1)0()0(,2
1)0( =′′=′= yyy ���
�� 3������ ����� 7�������������������������8������� � ������9������
��� �� #������������!���������������� �������������������������
02
2
=λ+ uds
ud !���20�10,�2��10� ���
�� ��!��,��������������������������9����������� ��������������������������������������� ���
��� �� .������������������������������������������������������
������� .)()cos3cos2cos(cos)( 3
0
2 dttttx φ×+×λ=φ ∫π
���
�� �����������������.��������������������� ∫ φλ=φ1
0
.)()( dttees ts
�������
�
��� �� �������,���9�����������������������������9���������������������� ���
�� .�����������9�����������9�����92 ,��1���2 /6��,0≤ ,�≤ π2 ����
��� �� .�����:������������������������������������������ ���
∫+=x
dttxtuxu0
)(1)(
�� ���� dttyt
xxxy
x
)(1
11)(
02
22 ∫ +
+++= ����������9������ ���
� � �� ����� �� 0FF
X 1 =∂∂−
∂∂
yyd
d 25���� %��������;� ��������!�������
�������� ���
�� .������'������������������� � ��1
0
)/(I 32x
x
dxxy � ���
��� �� ����� ������� �������� ������� ���
�� ��!���������!�����'����<�������������
∫π
+−′′=4/
0
222 )(I dxxyy �����������������20�10,�=20�1>, ���
2/1)4/()4/( =π′=π yy ���1����
��� �� ����� ���� ����� �������������� ���
�� ����� ����?���������� ���
���
�������� � ��������
Total No. of Questions : 8]
[Total No. of Pages : 2
[4223]-405�����
������������ ������������������
���� ������������� �!������"�
���������� � ���������� ����
�� ������� ���������������� ��
�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ���������
P383
��� �� ����������������� ������������������������������ ���� nm ≤ �� �����������
������������ 0N∈k ��������������������������������������������������
�������������������������������� ���
� ������������������������������������ ����������������������� � ������������ ���� �������������� ���
�� �� ���������������������������������������������!����������������� ������������������������������ ��"������������ ���
��� �� ���������� ������������������������������������������!�������"!��"������#�� �����������������������!������������������� ���� �������������� ���
� �������������������������������������� ����������� � �������������������$�� ��$���∨�%�&�∨ �� '�∈�$���∈(� ���
�� ����������!��"��������� ������������������������������� ������� �������������������)�� ����)�*�+��� $��$��∈�$�� � $��∧�∈���"!������ ∨��∧ � ∨��∈��#����������������)���"!��������!��"������� ���� ���� ��������������
��� �� ����������!�������"!��"������������������������������%�& ), ∈�(�������������������� ���
� �����������������������"�������� ����������� �����������������������!��������������������������� ���
����
SEAT No. :
��� �� ��������������� ���������������$���� ��������������"�����-���������� ���
�-�*�+��� $��∈������ ��$���������������.������������������"�����∈�
���������≤ ���������
� -���������� ������������/���������������������������� ���
�� );()()( zyxzxyx ∨∧≤∧∨∧��� )).(()()( zxyxzxyx ∧∨∧≤∧∨∧
�� ���� �� ������� �������� ��������������� ����������� # � �� ∧� ���� �∨� ���!�����!��������������!�������������������������!�����!���������� ���
��� �� ������������������������������������ ����������� ����������"��!������������ ����� ���
� �����������������������������������������'�'�0�1������������������ ����!��"���������� ����������������������������������"!��"������ ���
� � �� ������ ���� ������ !��"�� ������ � � ��2������� �������� ���"���"��� �������������� ���
� �����������������������������$�����������������$����������������������� ��$��������� .θ=∩ D �3���!�����������������������!��"����������� ������
���� IP ⊇ ����� θ=∩ DP � ���
��� �� ����������������"�������������������� ��������!!����������������������������������� ���
� -���������!����� �����!����������"� ������������ ���
�� �� ��������������������"!��������������������������������������"!�����������������������������������"!������������������"!����$�� �������������������������������"���� ���
��� �� ���������������������������������������������� ���
� ���� 1: LL →φ ����������"�"��!��"��3���!�������������"����� ������"����������"� ���
�� ����������������!��"�������������"������������������"����� ���������������������������������� ���
�� ���������������� �������������������������������"�"������� ���
����������� �