65
P.T.O. Q1) a) If C [a, b] denote the set of all complex valued continuous function on [a, b], then show that = b a dx x g x f g f ) ( ) ( , is an inner product space on C [a, b]. [6] b) Consider the norms || . || and || . || on R n Prove that + = || x || 3 2 || x || 3 1 || x || defines a norm on R n . [5] c) Prove that l is infinite - dimensional. Also show that l is infinite -dimensional. [5] Q2) a) If a subset of a metric space is compact then prove that it is sequentially compact. [6] b) Show that C ([a, b], R) with the supremum norm is complete. [6] c) Justify whether the following statement is true or false int (AB) = int (A) int (B). [4] Q3) a) Assume that μ is a countably additive function defined on a ring R, A, A n R that 2 1 A A ---, and n n A A 1 = = Prove that (A) ) (A lim μ μ = n n [6] b) Let m be the lebesgue measure defined on R n . Let ε be the collection of all finite unions of disjoint intervals in R n . Prove that m is a measure on ε. [6] c) Define measurable sets in R n and show that family of measurable set is σ - ring. [4] Total No. of Questions : 8] [Total No. of Pages : 2 [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I (2008 Pattern) (Semester - I) Time : 3 Hours] [Max. Marks :80 Instructions to the candidates: 1) Attempt any five questions. 2) Figures to the right indicate full marks. P362 SEAT No. :

[4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

  • Upload
    lydieu

  • View
    218

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������

��� �� ������������ ������������������������������������ �� ������� ���� ��

�������� ����������� ∫=⟩⟨b

a

dxxgxfgf )()(, ����� �� ����������������

� �������� ���

�� �� ���������� ����� ∞||.||and|| . || � ��������������� ∞+= ||x||

32

||x||31

||x||

���� ����� ����� ���� ����� ������ ����� � � ��� � �� ���� � ���� ��� ���� !���� ����� ����� �∞� ��

� �� ���� ���� ��� ��� ���

�� �� �������������������������������������������� ��������������������"�� �����#�������� ���

�� $�����������%�������������������������� ���������������� ����� &�����#� �������� ���� ������� '� ������� �� ��� ����� ��� �����

� ��%!∪(��)�� ��%!��∪�� ��%(�� ���

�� �� !������������������� ����#������������ ���� ����� ���� ����� '���!

!�∈������� ⊂⊂ 21 AA �� �� n

nAA

1

== �

����������� (A))(Alim μμ =∞→

nn

���

�� *�����������������'��������������� ���� �����*������������������� ���

������ ����� �� ��������+�� ��� ��������� ������������������������������

� �ε� ����� ,��� ������������������� ��

��� �����������������#���������������������

σ� ��� '� ���

Total No. of Questions : 8]

[Total No. of Pages : 2

[4223] - 101�����

������������ ���������������������

(2008 Pattern) (Semester - I)

����������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��� ��������� ��������������� ������� �� ��� ����� ������� ��������

P362

SEAT No. :

Page 2: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������� �

��� �� !������ ����� �� -� .� �������������� �� ���� � � �� �����!��!�� ������ ���

������������+�� ������������������������������ ∫ ∑ ∫∞

=

==

kk

kk

dmfdmfA

1 A

1�

���

�� /�������#� � ��'�������� ���� � ��������������� ������������������� ����

∫ =E

0dmf ���������#����������������0������������1�����!��������������

∫ ∫=A B

dmfdmf �2�� �����!� � ��(� ��������������� ����� A,B⊂ � � �

��%!�3�(��)�.� ����

�� ���������������������� ������������4���4��������������� ���

��� �� $������ ��������*����'���,��� ������� ���'� ���5������� � �

�� ������ ����� ����#� �� �� ����� ���� ������� �� ���� � ���� ��� � ���� ��

����������� ���

�� �/���6�7���7�∞����� ��*��%μ��� ��������������������� ���������� ���

� � �� $������ ��������/����8��*����� � �

�� �����������*∞%μ�������������� ���

�� ,��� �� ������� �� ���� ��9���� � � ����������� �� �� ���� ������� ��� ������������� ���

��� �� /� ������/�������������������%���)��� ���

�� !���#�9���� �$��������������� ��� ������ ���� ��6������ ������� ���� ��������������������������*�'� �������# ������ ���

�� �� ������������ �� #�� �����������������%:�7�-����� �������������'� ���������������44���44��;�44���44��)�44���;���44�

��� 9���� � � �������� ��� ����� ����� ��� ������ �� ���'� �������� ������#�� �������� ���'� ��� ���

��� �� $������ ��������(�������� �"�����#� � �

�� *���<����������������������������� ��5����� ������� ������<�� ���<�������������������������� �"������������ �����5� ���

�� $�����$�� � 2�����������5������� ���

���

Page 3: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� ������ ����� ��� �� ����� ������ ����� ���� � ������ ��������������mnf RR: →

�������� � ��������� na R∈� � ���

�� ������

�� ������������������������

��� ����������������������������������

������������� ������������������������������� ����������������������� ���

� ������������������������������������������������� ��!��"��

������� ����������� ���

��� �� #�� � : $�→ $��� ����� �������� na R∈� �%�� �� ���� ����������

��������������� �����������������������&����'( )a� ����������� � ���

a� �(�������������������������������a

� � ���

�� )��� ���′�������″������������� ������!���� �!���� ��!���

������� ��!����!��� �!����!��� �� ���

� #��*���� ����������� ������!��+��+,�����!������

( ) ( )y

zyx

x

zyx

∂∂−+

∂∂+ � ���

�����

Total No. of Questions : 8]

[Total No. of Pages : 3

[4223] - 102

�����

���������

��� ���������������������������������� ����������

����������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� �

�� ��������� �������������

�� ������� �� ��� ����� ������� ��������

P363

SEAT No. :

Page 4: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�������� �

�� �� -������������������� ������������� ���

�� #�� gofh���

= ����� g� ������������������ a

� ��� f�

������������������

( )agb���

= �- ����� ( ) mnp bfba RandR,R ∈∈∈���� ����� ������

( ) ( ) ( )mmn hhhfffgggg ,.....,,,.....,,....,,, 1121 ===��� � '� ���� ���� � ��

���� ���� ( ) ( ) ( )∑=

=n

Kkjikij agbfah

1

DDD��� ��� ! . , ��� � ���

�!. , ����� � ���

� #�� 2322 RR:andRR: →→ gf��

��������������������������������/

( ) ( ) jxyieyxf yx���

2sin, 2 ++= +

juviwvuwvug���

)2()32(),,( 232 −+++=

�������������� ����������������������������������������������� ���� ( )1,1,1 −=a

�� ���

��� �� ������������������������ ������������������ ���

�� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� � �� ���

� ���� ���∫ ++

c yx

dydx

|||| �����)������0 ���������������. 1� �1 .� �+. 1�

����1 +.����������������� ������2������������� ���

��� �� �������� ���������������� ����� �������������������

��������������� �������������� ���������������3����

�������������4��������� ������������ I ���� � �������������������������������3�������������� �������������������������0 ������

�� ���� ��� { }∫∫ ≤+=+

s

yx yxyxdxdye 1||||/),(Swhere � ���

� )��2������� jxiyxyxf 323),( +=��

������������������������ ���

� � �� 4� � ������������������������������������� ��

[ ] dudvvuvuyvuxfdxdyyxf |),J(|),(),,(),(S T∫∫ ∫∫=

�������������!.����������-� ���

Page 5: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�������� �

�� �������������������������� ��/

ϕθρϕρϕθρ ddddxdydzzyxf sin),,F(),,( 2

S T∫∫∫ ∫∫∫=

������!ρ��θ���ϕ �!ρ���θ���ϕ �!ρ��ϕ���ρ 51 16θ6,π���16ϕ6π�7 ������� ������� ���

��� �� ������� ������������������ �������������� �����

)���������������������������

kvajvuaivuavu����

sincossincoscos),( ++=

����� [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡×= ππ

2

1,02,0T ����

v

r

u

r

∂∂×

∂∂ ��

�8��� ��� ���� �����������

����� ����9 ���

�� #�� - ������ ��� ���������� �� " �� " :� ! . : 5 1 ��� ���

jyixzyx���

+=),,(F �#��n� ����� ���� �������������-�)��� �����

��� ������� ������������ dsns

��∫∫ .F �����������������������������

221 yxZ −−= � ���

� -������������������������������������������������������ ������������� ���

��� �� -���������������2���������� ���

�� #�� kxyzjxzyiyzxzyx����

)()()(),,(F 222 +++++= ���� ���� �� ���

�����������F�

����� �������7������������� ���

� %�� ����������������������� ����� ∫∫s

dxdyyxff ),(, ��� �������

����������������/∫ ∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

3

0

25

4

2

3

),( dydxyxfy

y �

������������������-����������������������������������� ���

���

Page 6: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� �������������� ���������������������������������������������������∈ ���������������������������������������������⊂������������������������� ���

� ������������������������������� ����������������� ������������������ ������ � ���

�� !����"�#�������$������%��"�#φ�����#�$��#����$$

%��"�#φ�����#�$��#����$$���&������������������������&���%

���&�%

�'��&

� ������������������������%���&�%

�� ���

���� �� !��#%α$�������� ���������������������������������� �%α����������������

���!��� %��������������(�%������ ���

� ���������� ������������� ( ){ }�inXopen/UUS 11−= � Y}in/Vopen(V){ 1

2−

������������������������&�����������������)�*� ���

�� �������� ����������������������������������������+�&��� �����������

��"�,-��./��&�⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈= +Z/

1B n

n���������������������� ���

��� �� ����,���%������0���������&��⊂���������������������� �������������⇔�1��������������&���������������������� �������������� ���

� �������&����1����������� �� ���

�� ������2�3�����������&�4��&��������������5����������������������� ( ���

����

Total No. of Questions : 8]

[Total No. of Pages : 2

[4223] - 201

�����

���������

��� ��������������������������������� �(Semester - II)

����������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��� ��������� ��������������� ������� �� ��� ����� ������� ��������

P367

SEAT No. :

.

Page 7: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�������� �6

��� �� ����,���%�������������������������&����������7��&������ ������������������� !��*� ���������&�������������� ��������������*� �������������������������7������ ���

� 4��1�����������������������������&�����������������������������������1��������������� �����������&� ���

�� ������"�,���%��→� ,*��%8��������������� �������������� ��� ������������������� �����9�*�→������������������:����������&������ ������*�����������:������� ��� ���

��� �� ������������ ������������������;���&�������������������&� ���

� �������������������� ��������� �������������� ����� ���

�� 4��1�� ������� �������� � ������ �� ���������� ��������� !����1��������(�%������� ���

� � �� �������������������&��������� ����������������� ����� ���

� ���������������������� ��������3� �����9 ���

�� �� ���������� ��������

��� ������ �� ��������

�� ��������������1�������������������������������&��������� ���

��� �� �������&����1��0�������������� � ���

� ����������������������&��������������������������������� ���

��� �� �������&����1��������<���� �� ���

� ������0���=�� 3������0����� � ���

�� ������>���������������� ���

���

Page 8: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

Total No. of Questions : 8] [Total No. of Pages : 2

[4223] - 201

�����

���������

��� ��������������������� �(Old Course) (Semester - II)

����������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��� ��������� ��������������� ������� �� ��� ����� ������� ��������

P367

��� �� !�� �� ������ �� ��������� �� ?����/�� ���� ���1�� ����� �� ������������������� ���

� �������∈��α�?����/��&������������� ����4��1�����������∈��α?��/��&

∫ ∫=b

a

b

adfcdcf .αα ���

�� 0�������+����(�%�������!����"����������?����/��&��������� �������������?����/������������������ �������������?����/� ���

���� �� �������&����1���������<��@������7�1�������0����� � ���� A�1�����3� ����������B ������������� ���

��� �� !������∈��α�?����/���������1�������α ∈����?����/��&

∫ ∫ −=+b

a

b

aaafbbfdfdf ).()()()( αααα ���

� 5������������������������������������������������9��,���"���������∈�?Cπ��π/ � �

�� ���������������� ���������������������������� ����������#�$����=�������

��� �� !�� ��&�+�����&��D������ ������������������1������

E�, �� �+��"� E, ��F� E�,+�� ���

� ������������������������������ ∫∞

0

sinxd

x

x�&��������3���� ���

�� ����#��$�������:�������� ����������������������������������������� ��������� ���

����

G

Page 9: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� !��φ��&�ψ���������������� �������������&�α, β����������� �����������1�������∫ (αφ + βψ) = α ∫ φ + β ∫ ψ. ���

� �������� �� ������B�����1���&� ����������������� �������������∫ ��"�-�����&����������"�-����� ���

�� !�� +� ��� �� �����&� ������ ��� �� ��&�&� ���� ����A�� ���� ���1�� ���� E,AH+��"� E,A��C� E,+�� ���

� � �� !��������� �������������������������������I���I���� ����������!�������1���������(�%������� ���

� ����# �$�������:�������� ���������������!��

�⊃

���������������&

, ������������������ ������������1������� ( ) ( )nnnn

mm ElimE1 ∞→

==� ���

�� ���������� ∫ =∞→

1

00lim nn

f ������� ( )221 xn

xnxfn +

= � ���

��� �� �������&����1��+����<���� �� ���

� ����.�J���J�∞��&� ���&����&��� 111 =+qp �

!����∈ ���, ���&���∈ �

��, ����������1����������∈ �

��, ���&

I�∫��

���I�J�∫��I�����I�J�II���II

��II���II

�� ���

�� A�1�����3� ��������������������������������� ���

��� �� 5����������������������1�������II�����

��II

��J�II��

��II

��II��

��II

�� ���

� ���������∈�2K�?����/��&���J���J�����������1������

( ) ( ) ( )gfgf ba

ba

ba VVV +≤+ ��&

( ) ( ) ( )fff bc

ca

ba VVV += � ���

�� 0�������+����(�%�������

����&�&�������������������������&�&�1�������� ���

���

�������� �L

Page 10: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� �������������� �����������������������→������� �������������������∈���������������������������������������������������������� ���������

������ ������������������������� ���������[ ]⊥∇ )( pf ���

� ������� ���������!�"����!�����#���������������$����������������� �������������������� ���

�� %��������������&���������'������( �������������� ���

���� �� ����)�����( ������������� ���������*����������������������������+������∈)����,∈)

����������������������*����������-���������α : .�→ )

/����α� �������,����� �������∈ .��α�� �������+����������,����,� ���

� #����������������-�������� ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= tcos,

2

tsin,

2

tsint �����������0�(� �����

)� ��������������������� ����������������������������� ��������+���������������������� ������������ ���������� ���

�� %� ����� ���� ��������� ������ ��� ���� �������� ( ������� �� ���1�� /����

( ) 21

22121 ...........,,, ++ ++= nn xxxxxf ���������*� |||| f

f

∇∇

� ���

��� �� %����� ���������������������������� ���������������������� ��/���������� ��� ����������������������*������������������������������ ����������� ������ ���

� #��������������������������1 �2����������������������3�������� �3����/�����3��

� ��

������4�

� ��

��� ���

�� )��/���������� �������������������)��0��� ���5�(� ����������� �������

Total No. of Questions : 8]

[Total No. of Pages : 2

[4223] - 202

�����

���������

��� ��������������������������

���� �!������"� �����#���� �"����������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��� ��������� ��������������� ������� �� ��� ����� ������� ��������

P368

SEAT No. :

Page 11: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�������� �

��� �� ����6�����6���������������������������β�.�→�6��������� �������������������-��������6�������������β�� ����������������������������� ���

� )��/��������������� � �� �� ����� �������� ����������*������ 222

21 rxx =+ �

����� #������������������������������������/���������

� ��

�������

�4����!���

��4���

��������*��������/����������� |||| f

f

∇∇

� ���

��� �� ����)��������������(� ��������������/������ �����$�����∈)��)��/��������� ��������������������������)������� � ����(��������� ���

� #���7�� ������������������������ 0,0 323

22

21 >=−+ xxxx � ���

�� #��� ( ) 22

2143211 ,,, xxxxxxf += � ��� ;),,,( 2

42343212 xxxxxxf += ������ ����

( ) ( )11S 12

11

−− ∩= ff �� �����(� ����������� ���

� � �� ����)� ⊆ ������ ������������( ������� �������8��������� ����� ������$� ����) ��$����*��/�� ���������������������������� �+�����+�9���+�������4+��������������∈)� ���

� ����)�����(��������

��!�������!�

�����

������������� ������ ���∈�)�������

������ ,��∈)���)��/���������α�� ��*����������-�����������)������������

���� ��/��������������� ���� ����� .����( �������)������ ������� ������� ����� ��/��������� �������� ��

���)� ���

��� �� ����)�����( �������������������������)�→�����8���)�� � �������������*� ��� � �

�� φ� �� �� →� ��� � � ������ ���� ����� ������ ���������-����

φ�����→�)� ���

� ���� 222

21

112

221

2 dxxx

xdx

xx

x

++

+−=η �� �� 1� 4� ����� �� ��� 4� :2;� ��� ���� 6

��������������� �� 12

22

2

21 =+

b

x

a

x���������*��� ��/�����������#���∫

c

η ��.

η ����$��������<�=� ���*� ���

��� �� )��/����������/���������������� � ����(���>���� ���� ����)������������ �������� ���������( ��������������/�� ��7�� �(

?����@�������������� ��/�����-����������������)�� � ������*�����$� ���

���

Page 12: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� ������������ ��������������������������� ����

� ���������������������

�� ����������������� ��

!� "���������������������#$�� ��%&'(

� $������������������������������� �����(

�� ������ �����������)���� �������������(

�� *)��������������+������!��,�����(

�� ������ ������������������������������(������-��.�����//� �!�//���//��� �0�����//�1�)�//���//��� �0�����//�%!��//���//��� �0

�� ������ ������������������������������2�� ����!�3�����-��4�������-�54�������-�6�7�����//8���- 8//��//8���-�8//���//8�!�-�8//�!�//��� �0

9��������3�7���!�3�0���!�3���0�������%0

9

������

Total No. of Questions : 5]

[Total No. of Pages : 2

[4223] - 206

�����

���������

��� � ���������������������������������� ��!!

"#��$��������%� "����� �� %����������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��� ������ � � ��� ������ �������� ������������ ������������� ��� ������ ��� ����������� ��� !��� ���� ��� ���� ������������"���� ������������������� � !��� ��#���� ���� ���

P372

SEAT No. :

Page 13: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��������� �

�� ������ ���� ,���������:!���(

;� ������� �� ,�������������������!�����

<� 1������ �!����!������!����

�� ������������� ����!�����

��� � ���������������������;�!��������� ������������ ��

�� �������������������!��,������( ��

�� � ������� �������!��������������!�������� �����!��������( ��

�� ��������������������������!�����( ��

��� � ������������ �����������������������������( ��

�� ������������������!������,���� ���( ���

��� � ��������������������!������!���( ��

�� ����������������,���� ���(�#���������%�������3/�/�( ��

���

Page 14: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� ��������� ������ ������������������ � �� ���� ����������������������������������� ���������������� ���

�� ��� ������������������������ � � � � tvtv 5657232231 21 ���� �

� � ���tv 1303633 �� � � � � �������� ��������

�� � � � � twtw 6123165120311 ����

� � � � tw 243833 � ��� � �� �

��� ����� ���� ������������������ ���

�� �������� ������

� ��������������� ������� �� � �� ���� ������������������!���������� ������������

� "������ ������������# �$�������� ���

��� �� �������%���#����������������������� ���&���' ��� � ���� ��������('��% ������ �������� ������������������ ����� )��"��*+���%�������",'-�� ���

�� *� � ������ �� #� ����� ������ ���� �� ���� � ��� &# �

'-� �nvvv �������������� 21 ������ ������.������"��*+���%��������� �

" � �/�� ������ � ������� ����������� �" ����/�� ��0 ���

�����

������������� �����������

��������������� �����

����������������

�� ���� ���� ���������������������

������ �!!���"����#�$!������"����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� �

�� ��������� �������������

�� ������������������������ ��������

�� �������������������������

�� ������������!���"�"����������������

����

���������

Page 15: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�� �������� ������� ���

� ��� ��������������� ���� ���������� ���&���� ������������������� ���� ��������� ���&%+&-,&%����������

� ��" �� � ���������������������������� ��� � ��� ������� ������"������������������ ���� ������

� ��� ��� ���������������� � �� ���� ���������������������� ���&����������

� ������ ��1� ����#������ ������ � �������� ���

�� 2��#��'- � � � � � �� �ttt 122143112 �� ����� �����������

3 ������ ���+���������'� ���

�� 3 �����45���4�������������

�����

�����������

��-��1��1����������- ��0 ��� ji � �� 1

3 �� � �������� ���

��� �� ��6���7����������������������������������

�����

���� � �

� ���� ���� ��� ����� �� �� )�� �� �������

��

� ���� � � �

� ���� ����� ���

�� *��-&�89��������������������� ���������������:�����

"(���������� ������������� ������ �����"+�+��-�%+��3 ����� � ���������� ����"� ���

�� �� ���

� �����

���

�110

101

10

������#��. ���� ������ 5��������

������� �.�;��0 ���

��������

Page 16: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� <�� ��������� 5��� ������������ ������������� ��"���������=�������� ����� ����� ������ ���������������� ���

�� ;��� ����������# ����� �

�����

�����

���

1021

0121

0142

015��

3 ��������� ���� �� � ���������� ���� �� � ���� �����������.��������� ��=���������.� ���

��� �� *����� �������������������3#����3 �� �������������������� ���

� ������������� vuvu �

� ������������ vuvu ���

� ������������ vuvu �

�� *��-��+ ���������������������� ���������������>������

<�� �� �� ���� ������ �� ��1

0

����������� dttgtftgtf ?�� � ��

������������� ���������� �@A� �� �B���� ���

�� � �� � ��� � ��� ������ � �� ���� ������ ����� ���� ��

������������������ vfinduvuvu 768 �

� ���-� �04 ��� fxff ������ �� ������������������3 ��

��� ���� ������ ���

��� �� 2����������� ��5��������� ��������� � �

�� ���� ����

� ��� ��������� �� � ����� ������ ��� ����� ��

� � ��� ��� 2121 ���� ���

�� �� �vu� ������������������������ �������� vuu � �������

��� #����� ��������������������� ���&� ���

��������

Page 17: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� <�� �� �� ��/� � �� ��������� ��"� ��� ���� ��� #� � � �� ���� ���� ���� ������ ������ ���� �� � ��� 3�"��� ����� �������# ���

� ��2�"�*+�������+21"��-2�1"�

� ��"��*+����� �" � ���� ������+"���-+"��� ���

�� ��" ������������������� �������������������������������# ���

� �������� � �� vvv

� ����� ���� ����� � vvvvv �������

� C ��������� ���������� �� � � � �� � ��������� �� " ������������� ���

�� ������� �. ��� ���������#��.��.���������� ���� ���

���

��������

Page 18: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� ����������� ��������������������������������� ���

�� ���������������������������������������������� ��!������"#$�%�&� ����������������������'�������(%�")����''� ���

�� *����������������������&�������)���� ���

��� �� +������'�������������*��������������,������������&�(����"������������&�(����)����������������������������-�����%�������� ��������������,������������������������������� ��� ���

�� *�������������,�����������������������&���,����� ������(

"����)������������$�����$$� ���

�� ./�����0��������,��������������������� ����������������&��� ���

������� . ����.��������������������������������������������-����������������

�� ���� � �m� ��� ��������������������-��������������1������ ����������

��,������� � �m� ��������������������������������������������,���

�����������2� ���

�� 0�� �������"��� ��������,�����3�� �� ���

����

������������� �����������

��������������� �����

���������������

�� ���� ���� �������������� ��������� !""��#$�������%"������$

����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� �

�� ��������� �������������

�� ������������������������ ��������

����

���������

Page 19: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������ �

��� �� +�������.������������������������������������� ������&������������������&����&������������"������������������������������� ��������������������'� ���

�� ����������� ������4�����5����,,�� ���

�� 6������7������,�� �������������� ���� ��� ����&����� ��� �� �� ����� ��

����� �� � �� nddf

� � ���� � ���� ����� �� ����&��� �%� ����

������� � � � ����

dnFdnd� � ���

��� �� +���������������������������,��� ��������,���������,����������� ��������������������,��� �������,���� ���

�� +�����������,��������� ��������������/���������8"����,��� ��������������������

�� 0�� ����������8�"�9���"����������������,����������'%)����:� ���

� � �� ����������� ������;�������,,�� ���

�� ��������������� ��'"$�����("$����������������< ���

�� ����������������,������ ��:��������� ���

��� �� 0�� ��������������������� ������&������������������

�����"�%��������������������,������������ ��� ����������� ���

�� 0�� ����������������������,��� �������,����������,��� �� ���

�� 0�� �����������,���,��������������������&�����������&������,�������������&���������������� ���

��� �� 0�� ������������������������������������������������� ������������������������&���������,������������,���,���������� ��&���� ���

�� 0�� �� ����� ��� �� �����&�� ��� �/������ )� ,����� �� ��,�� �� ����"���������� ��!������������"����������&������/������=� ���

�� ������������,���������������'�������������������� ���

���

Page 20: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� ����������� �������������� 242 xy yy ������ � ���

�� �������������������� ����������������������������

� � � � � �������� 0������ yxQyxPy � ��� � ���� �� �� ��� ����������

����

����������� �����������!� ��� ��� �� �!� �����"���#� ���

� $� �������������������������������� 042 ������ �� yyxyx ����������

�����

���� ����������� ���

��� �� %�������� ����%� &�'�&�� ������� �&� ���

�� ����������� ��������������(� � � 0222

31 ���

� � ����� yyxyxx ���

������� $� ������� �������� ����� ��������� ���������� �� ������������������� ��������%� �������������� �����������(� � � 0312 ������� yyxyx ���

�� )����*������������+ �����������������u �� ,���������-��� ����*��.�-��� ����*�.-�

��� � � �����

dxxq1

���� ��������*���������������&����!� ��������

��������/+�0��� ���

����

������������� �����������

��������������� �����

���������������

� ���� ��������������������������������� ��!"���#�$

��%�&�'������(�%��)�$�������(����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� �

�� ��������� �������������

�� ������������������������ ��������

����

���������

Page 21: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�������� �

��� �� ����������� ��������������������&(

yxdt

dyyx

dt

dx���� �43 ���

�� )� ������� ����������������� ������������0+�0�����

� � � � 0211222 �������� yyxxyxx � ����

� ����������� ������������� � � � �xxyyy 21821423 ��� ������� � ���

��� �� ��� �01221 �� baba ���������������&

� �� ybxadt

dyybxa

dt

dx211 2 ���� �������������&���� �� ��������������

����� �� ���������� ���

�� %����������������������,���� ��������������� �������������� 0���� yy ����������� ����������������� � ��� ����������� ��� ���-����1����

y��-����2� ���

� ���������� ��������������� ��� ������� �� ���������-�-���� (

yxdt

dyyx

dt

dx3243 ������ � ���

� � �� ����������� �������������� �����-��������� +���&� � ��������(

� � � �� � 011 ���������� abyyxbacyxx ���� ����������� ��� �� ����������

�� ��������0� �������������������������� ����&( � � �� 102 ��� yyy �� ��������������3��4�����5� � �6��&������ �� �������������������������� �&�� ����������0� ��������� ���

��� �� %���������� ���������������������������)��� �!� �������������� � ������ � �dycandbx ���� ��� �� ����� ��� ������� ��)��� �!

���������������� ��� �������� yandbxa ����

�� %������������������������������� ����&( ���

� �

� � 00

10

���

��

zydx

dz

yZdx

dy�

Page 22: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��������

��� �� ����������� ��������������� � � � 0121 2 �������� yppyxyx ���������-������� ��� ����&���� ���

�� ���������

��� �� �����������0���� �������������������&(

�� ybxadt

dyybxa

dt

dx2211 ���� ���

�� �� �� ���������� ����������&������������ �������� �� ��������-�-������������

���

Page 23: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� ��������� ����� ���

�� �� �������������� �� ������� �������������� ����������� ������ �����

� ����������� ��������������� ��� �������� ���� ���

��� �� ��������������� ���������� ������ ���

�� �� ��������� ��� �� ������������������������ ����� ��� �� ������ ������� ���

� !"�����#$�%�&�'�(�������������� ���� ��%�)����� ���

������� *� �������������������� �������������������� �������� ���

�� �������� ���� ���������� ��#$�%�'��#&�(�+�,�� ���

� ����������� ��-����.���� ��� ���

��� �� ����������� �� ������������� � ������� ��������������/

��� ���

�� �� �������� ������� ������������� �0���#�������� � ������ �1#������

� ����� ���� ��2�3�4#$� �#$%�5������� ���

��

������������� �����������

��������������� �����

����������������

�� ������������������������������

�!�"�##$��%� �$&'�����%����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� �

�� ������� �������������

�� ����������������� ��������

����

���������

Page 24: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�������� �

��� �� ����� ����������������6�� ��+����7�3�4#$� �#$&%��#'8(��#+,� �#$&%��#'8(� #$%&��#'(8� �#$%&��#'(8��#+,� �#+,�5� ���

�� *� ��������� ��� ��� ���� ��� ������������ � ������ ���� ���

� �� ��������7������ � ������ ������ ��� ��7�2� ���

� � �� ����������� ��79���� ��� ���

�� �� �� ����� :���� �� � � � ������� ��� � ����� ����� ��� �� � ������ ��� ���

� �� ���������� ������ ��� �� ����%((������� ���

��� �� �������� �.���� ���� ��0�������� ��� ���

�� ����������� ��������������� ��� ��������0������7� ���� ���

��� �� �� �������7������ � ������ ������ ��� ��792���79:�����2�����:���� ���������� ���� ��7������2�:�3�45� ���

�� ����������� ���������� � ��������� ���� ���� ���� ���

���

Page 25: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� ����� ��

�0n

nn zazf �� ������� ������������������������������������

�� ��� �� ���� ��������

��

����� �

�������� zknnn n11 ���� ��� �� ��

������������ ������

�� ����� ������������ ���������� ������ � ������ ��

� !� � �� �123

22

21

3321 ���� xxxxxx ���� � ���������� ��� ���� ��"� ���

�#�����$��%������& ������

�� '�� (������)��"$����� ��������*���+�,���&���������������"�����-�.����,������������������������� � �����-�.�

'��� ���������'���/���!�����/ ������

��� �� *��,� ��� ����� ���� ���������� ���� �� +� ,��&� ��� �����������"��������0'/��!�����/�,����������������������������� ������

�� ����,�����������������"���"����&�����#�������������*���+�,�����������#������ �������������������������������#��������� ����� ������

�� ���� ������� ������ 01 itet � 1����

n

z

z��

���

���

1 �/� ��� �""� �������

��������� ������

�����

������������� �����������

��������������� �����

�����������������

�� ���������������������������������� �!�""�#�$�������"�#�����$

����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� �

�� ��������� �������������

�� �������������������������

����

���������

Page 26: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������ ����/�2�/�2�/�2�/������� �������������������� �� ��������������'/�2�/�2�/�2�/�������

��"�� #��������""��� ��������"�����������"�� ��������������

�� 1����������"$����� ���������+�,���&�����

� � � �10 ��� ��������� �� zzfzZ ������

�� 1����������� ���������������������������������k

k

Z��

�0 6�

���������������

��� �� �����+�,��&�������"$��������� ������3�'������,�'�����*����'��!���4�����

�5��5�6����������� �����

� � ��������

� azzw

wf

izf

2

1�������������

�� ���� 12

0

�����

����� zze

eis

is

������

�� �������������"$�������3�'��7��������� ����� ��

����� �zf ����� ������� a� ����������� nn n

af��

��� �� �

��� �� �������������1 ���#����"������#����)"����� ������

�� *�� � � ��� �� 10 �������"�������������"��� ������ � ���a ��������������

��

�� az

dz

�21

������������� ������

�� 8�" ��������������"� �������

20212

tetz

z it����������

������

� � �� ���� �� ��� �� ��������"�� � �� ���� � ������ ��� �� � ������� �������� ��������� � �����9�:��1�������#�����"��

������������� ����� �� mm zwwz ��������������������1

��������"$���

���&;9�:�����10��'���!� �1����'��� ��������������

������� �

Page 27: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�� ����,����������������"��������������"$����� ����������,������/������2������2��

��������������������# "���"����$��*����������"�������������"��� �����,�������������������� ��� �����$��������

�� ���� ��� 0�� ��������� ����

����

����

��

�������

kadzzf

zf

i21

������

�� �������������"$�������3'�7�������� ������������'���!���� ���������-�.������/�����# "���"����$�#������������ �'���!�;;;;;;�!��'���!����������� �'���!<��� ������

��� �� *��������������"��������� "���$����-�.�������������������������/�!������

�#���"������ "���$���� 0��� ������� zfazaz ���

�� �������������&������;=��������������#� ������

�� �����&� ��$������ �������#� ������

��� �� ��������������� ���.�������#� ������

�� ����,���������������&�������������"$����� ����������,�� ���������������

���������>�� ��������"�#� �� ���� �zf ����a

��������� ���� �zf ��Z ������

�� 1�����""�������"���" �������� 21 �

�������������$��"�������������"��� �

���&���������������� ���4��� ������

���

������� �

Page 28: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� ����������� �������������� ��� zyxqypx ��� 22 ���

�� � ���������������������� �������������

0���� dzzyxdyzyxdxzyxrd ���������������� � ��� ���� ����� ��� ���

��������� ����� �Curl ���

�� ������������ �� � ������������� ������������� ��� 22 yxxyz ���������������� ������������ ��������� �������������� ���

��� �� �������������������������������������� ��� �� ��� ��������� �������������

��� ��� ���!�"

���� ��!����#����#������� ���

�� ������������������� ���������#����!����� ���

�� $������������ �����������������������#�����!�%� ���

������� � ���� �� �� ����� ������ �������� dyzyxdxzyxdz �������� ���� � ��

���� �������������������� �������

������

������

������

0���

���

���

���

qz

gfq

qy

gf

pz

gfp

px

gf���

����

������������� �����������

��������������� �����

���������������

�� ���� ���� ����������������������������� ���!�"

#�$��������%�#��&'�����%����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� �

�� ��������� �������������

�� ������������������������ ��������

����

���������

Page 29: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������

�� ������������������� ������������������������ ����&�����'������� ���

�� ����������� ����� �������������������(���)%���#����)�(������!�(��)��� *���������� �����������������!�% �������!�"�����������!��� ���

��� �� ��������� ��� ������ �������������������#���#����!�%�#��������� �������� ������������������� ����+�,����!�$ ����!�% ���!�)$� ���

�� -���������������� 02

22

2

2

���

���

y

ux

x

u����������������� �� ����

�� .����� �� �'�/����� '�� �������� ��� �� ���������� ���0�����������

������������, ��� 01

2

2

22

2

��������

���

txt

u

cx

u

�����"��!����� ����� "��!����� � ������ x ���

��� �� 1������������������� ���������� ������������������������������������, ����

����)�����

���!�"� "�2���2�� ���3�"

��� "��!����� "�2)���2)��

���� "��!����� "�2)���2)��

��" ���!�������!�" ��3�"�

�� $��������������������� ����������������������������������4��������������������4)��!�5�4��6���� ����������������������������������� ��5����4� ���

�� +�������� �� ���������� �������� ������� ����� � �� �������� � �������

���, �������� zueuxuu yzyzxx ����

2

2 ���

� � �� 1����� 4�����'�� � �������� ����� �� �������� ��� ���� 0� ����������

������������� ������� 0�������� txtxkuu xxt

����� ������ xxu 00 ���

Page 30: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������ �

�� $����� byaxuu yyxx ������ 000 ��

����������� �����������

������� axxfxu � 00

����� axbxu � 00

����� byyu � 000

����� byyau � 00 ���

��� �� � �������������������������������� ��������������

��)��

���!������ �"�2��2�� ���3�"

������������������������� ����"���� ������������ �������������" ���!�������!�" ���3)�"����������� ���

�� 5�������������� ��� ����� ������������ ����� ���������� ������������� �������� ���� �� �� ���

�� $���7� ���8'���� ��� ��

��� �� .�������������� �����������

��������������� �"� ���

�� � ������������������ ���4� ������ �������� ����� ������� ��������������������������������� ����� ����

���������

��

� �

dfu �������

����2

02

2

21

1

2

1���

�� +�������� �� ���������� ��������� ���� ����� � ����0����� � ��������0����� , ���

��� ���)��!���#�

���� ����)���!���

����� ���#�����)����!���#���

���

Page 31: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� ����������� ����������������� �� �������������� ��� �����������������

�� ������������ ����������� ��� �������������������� ���

�� �� ������������ �� ������� �������� � ���

��� �� !���"�������� �������������������� ����� ��������������������#����� �� ���� ������$�"���������� ������������%&"���������������'''��$�"'''�(�����)''����$��''*�����"+,�������� ��������%&"������� ������������������-��������������.�����,�������� ��������%&"������� ���.������������ ���

�� �� ���������� ����� ��/� ����������������� ����0������������������� ���������� �������������1 ����/�������� ��� �������/� ���

�� 2�������� ����� ����*����������������������

��3��,��

�,�������(�34,��

�,��

�,��������-����������1 ������� ���

������� 5� ��� ����� ��� ��������� ������ ���� .������ ������ ���� �� ����� ������������0���������� ���

�� �� �������������� ������� ����� �� ����������������� ����0�������������������������� ��������������� �� ���

�� !���)2�+������������������.�30������2���.�30������������''2��6�2''���4������ �� ��#�������2�����������1 ���,�������� �������2�����������1 ���� ��

����

������������� �����������

��������������� �����

���������������

�� ���� ���� ������������������������� �!�"���#$�%� �#&#��#$������%

����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� ��� ��������� �������������

�� ������������������������ ��������

����

���������

Page 32: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������� � �

��� �� �� �������������������������������� ���

�� �� !��� ����������� ������������#�� ����������������� ���,�������� ������������������������� ���� ���� � �� ������� ����� ��� ��

��� �������������� �������� ����� ���������������� ���� �� ��

�� !������������������ ����0��������������!������� ����� ��� ������������������

��(��

�������

��(�6�

���-���������������� ��� ���

��� �� #��������� ����� �� ����0��������������,�������� ������������� ���������� ����������������������7������������� ���� ���

�� !���"�������� �������������������� ����� �������������������������������������������7� ��� �� ����������������/�3���(��$����� ������������� ����� ���������������� ���� ��� ������������89 � ���

�� -���������������������������������� ���� ��

� � �� �� ������������������� ����� ��� ����0�������������0�� ����7� ��� ��

�� #��������� ����� �� ����0���������������� ��������� ���� �(�4�� ����������������� ���������(�4 ���

�� !��� ������� ���������� ����:��!���4�� ���� ���� ����������������� ������� ������ �� ������������3���(�����������������(� � ���

��� �� !����������0������������������������������� ���� �����5� �������������������������������� ���������������������3���(� � ��� � �� �������������� ���

�� !��� �(���3;4, <��������(��3;4, <�,�� ������������� ���!�����*� ������

������������37��(��� ���� �������-����������,��� ��������� ��� ����� ���=���������������� ����7�������� ������� ������������� ���

��� �� ������������ �������>����"�����7�/�� ��� ���

�� !���/������� ���� ����� �� �����������������)��,��

�,����

�+���� ������

�����������1 ����������� ����������������������� ��

�� !���/������� ����� �� �����#������� �����7����,�������� ����������3�������� ������������3���� ��

���

Page 33: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� ��������� ������������������ ��������������������� ������������� ��������������������������������������� ���

�� ���� ������� ��������� ������ ������ ��� ������ ��� � ��!�

"��#�$����"��%�$�����������&�!���������������'�(�'�$��#����'���'�(�#�)))))#�"��#$����"��%�$�) ���

�� *���������$���� ��������!������$+��� ����������)��������������������� ���,��-�������-������!������������������� ���,�!!�������-������!����������� ���

��� �� ����������������������������� ������ ���� ������������.��������� ����� /��!������������������!���������������������������)��� ��&������!����������!!�� �����������01�������������������������

������������ ������� ����������� � �23443443553� ���� ����������� ������� �

��������&��41�� ����� ���������-���!����!� ����� �!!�'������) ���

��� �� 6������������ ���������� �������������� ����������!����$+���!!� ������!�������!��� ����������������!�����!!��� �������!�����������&�������� ��!�����!!�) ���

�� ������������������� ���.�+1��� �&��$1����� ����(1������������������ ����� *��� �����+�������������� �����$���� *��� �����+�������������� �����$��������������������� �����(��

�� 4�!&������������������!��������7�(�

�����#�(������

��7�� ���

�����

������������� �����������

��������������� �����

����������������

�� ��������������������������������������� ��!��� �"����#!

����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� �

�� ��������� �������������

�� ������������������������ ��������

����

���������

Page 34: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� 5��&���������������!��������������8"���$��#���8"���(��#���8"�����7���

����&�!�����$��#�(��#����#))))�#���) ����� �������$+9!������������������������������������ �����!����������������

����� ����� ���!���������� ��� �������������

�� �������:�9��������� �����������������&�!&����.���!���.��� ������������ ���

��� �� ���� �� ���������� ��!����� ������� ���� ������ � � � 9� ������ �����

�� ��������������������������� ����������� �����;+$(<) ����� ��������������������������!������������� �������-������������ ��

���������-�����$$��������� ������������-���������������������� ������������������$(����-��������������������������!�����(��������� ��������-�� ���

�� ������� �� 9� ������ ������ �� ������ ���� ����������� ��� !����� ��� +������!��������$�� ���

� � �� 6������������ ������������!&����������� �����!������������������!�����) �

��7� �

���� #� �

���� #� �

����� �

�� 7� ����� %� �

����� �

�� 7� ����� %�

�%$

���7��

��7��

��7�$ ����

�� 6��� ��!����� �.�!����� ����!�� ��� ������������ ����� ��������!������ ���� ������ ��� ���� � �������

�� #��

�� #��

�� #��

�� #��

� #��

� 7� (+�

+�=������: ���

��� �� ������� ����������� ���� ������ � �26>26>������ �� ����� � ��������&��!���������������� ���

�� 6���� ��������� �������� ��!&�� ���� ���������� ��!�����

��7��

����#��"�%$����

��7�$ ���

�� 4�����������&��������� ���&�������������������������������.����������������������������������������� ��������������!���!��� �$+) ���

��� �� ��&��� ����!��0��0

��0

��0

��0

���������������������� �&���� �������������?

��@���������!�.������A��������*�����������&�!&�)0

����!!�������&��B�.������A����C�0

����!!�������&������������*������C

0����!!�������&��@���������B�.��C�0

����!!�������&������A��������0

��!!�������&��&�!&�)������������������������������������������������� ����!��� ��

�� 4�!&������������������!�������������7�$ ��

�� ����7�(��

�����#�$

��� ���7�%���

����#��D

���

������ ��� �

Page 35: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������������� �����������

��������������� �����

����������������

�� ��������������� $%��%$������

�����&'%���(�� !��� � �� �����#!����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� �

�� ��������� �������������

�� ������������������������ ��������

����

��� �� E���&��� ������� �����������@�!�������������) ���

�� /�������������!������������!�� !��� ��!����������.���������� &�!�������&�����7����"�����������������)�E����������������������� &�!����� )�3������� !�������������!���,���� ) ��

��� �� /���E�&�!����� ��!�������&����� 22332

2

1

3

1txyzwtyvtxyu

��� ��� )�E�������

������&����&���!���!��������!�����!����������"$��$��(�������7�$��) ��

�� E� ��� ������� !���� ��� ����� !���)� F�&�� ���� &�!����

����� jytixtq ���� 21 � �������� ������� ������!�������������!�����������������"$��(������7+) ��

��� �� 3 ����� !�����������������������!������������&�!������������&��!�� ����������!� �����) ���

�� *���&�!��������������� �������� !������� 2222 yx

aybxv

yx

byaxu

��

���

�� �

������������������������)�����&�������������!��!�������������!������������������!�����#����7���) ���

��� �� E� ���4��-���������� ������ ���r� �����������!���!�����9�������� ��������.���������� !���� ��������������!�� !���)�E������������������ ������������������������� �����������6�����!!�!��������.��� �0� ����

����

Page 36: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�� E����������� !��� �����������7�����������6���������������G+�������!�����) ���

��� �� E���&��H����!!�1��� ������� ���������� !��) ��

�� 3������!������!�������"�����������������!���������� �&�!������ ������

��������!�����������!� !��������&���� ������� �

2

3

2

3 23Urru �

E����������������&�������������� �&�!����) ��

� � �� *���&�!��������������� ��� !����.������������������!�����������"���������������&���

r

a

r

aUv

r

a

r

aUu ������� ��

����

�����

����

��

3

3

3

3

443

12

31 �������6���������

�������)�������������������������) ��

�� 4�����������&��H!�������������) ��

��� �� E����������������!�.��������!�� �������!��������) ���

�� 4�����������������!�.��������!�� ���������������������� ���������������������� �������������������&�����&���������������������������������!� ���) ���

�� 4�������������������� �������!���� ��������������������������G��� �������

������� �����!��� �������������������!�����������&����������� �������� 2

2

f

��������.���� ���������!���������������������������!!�!) ���

��� I������.�!�������������������? ����

�� J�!&����������������������

�� B�����������@�!�����������

�� J�����,��-���-���������

�� J�����&����.�������

���

������ ��� �

Page 37: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

Total No. of Questions : 8]SEAT No. :

[Total No. of Pages : 2

[4223] - 403M.Sc.

MATHEMATICSMT-803 : Differential Manifolds

(2008 Pattern) (Semester-IV)

Time : 3 Hours] [Max. Marks :80Instructions to the candidates:

1) Attempt any five questions.2) Figures to the right indicate full marks.

����

Q1) a) Let M be a compact k-manifold in Rn and h : Rn→Rn be an isometry.

If N = h(M), then show that M and N have the same volume. [8]b) Give an example of a 1-manifold in R2 which cannot be covered by a

single coordinate patch. [4]c) Let f and g be tensors on R4 given by f(X, Y, Z) = 3x

2y

1z

1-x

1y

3z

2,

g= 1,3φ -5 1,2φ . Express f ⊗ g as a linear combination of elementary

5-tensors. [4]

Q2) a) If V is a vector space of dimension n, find the dimension of Ak(V), the

space of alternating k - tensors on V. Justify. [7]

b) Define orientation of a manifold M and induced orientation on ∂ M.[5]c) Show that the n-ball Bn(a) is an n-manifold in Rn. [4]

Q3) a) Let U be an open set in Rn and f : U→Rn be of class Cr. Let

M= {x : f(x)=0 and N = {x : f(x) ≥ 0. If M is nonempty and D f(x) has

rank one at each point of M, then prove that N is an n-manifold in Rn

and ∂ N=M. [7]b) Define the term alternating tensor and give an example. [5]c) Find length of the parametrized curve [4]

α (t) = ( acost, asint), 0 < t < 3π .

�����

Page 38: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������� �

Q4) a) With usual notation, prove that for any forms [6]

0)...(,....., 2121 =∧∧∧ nk dddd ωωωωωωb) Define the term closed form and give an example. [5]c) In R3, let ω = xydx+2zdy-ydz. If α (u,v) = (uv, u2, 3u+v) then find

∗α ω [5]

Q5) a) Let M be a k-manifold in Rn and p ∈ M. Define tangent space to M at

p and show that the definition is independent of the choice of the

coordinate patch at p. [8]b) If ω =xdx+2ydy+zdz and η = coszdx+ydy+sinxdz, then verify the

identity d(ω ∧η ) = ( ωd )∧η -ω ∧ ηd . [8]

Q6) a) It T : V→W is a linear transformation, and if f and g are alternating

tensors on W, then prove that T* (f ∧ g) = T* f∧ T* g [6]b) With usual notation, prove that if G is a symmetric tensor, then AG=0[5]c) Let : R3→ R6 be given by (x, y, z) = (x2, yz, xz, y2, xy, z2). Find

d 1α ∧d 3α ∧d 5α . [5]

Q7) a) State stokes’ theorem. [4]b) Is the 2-sphere S2 an orientable 2-manifold? Justify. [4]c) Let A = (0, 1)2. Let α : A→ R3 be given by the equation. [8]

α (u, v) = (u, v, u + v)

Let Y be the image set of α

Evaluate ∫ ∧+∧αY

dxdxxxdxdxx .2132311

Q8) a) Give an example of a 1-manifold in R3. [4]b) Define an exact form and give an example. [6]

c) Give an example of a ∞C map α : R2→R3 such that 1−α is continuous

but αD does not have rank 2 at zero. [6]

����

Page 39: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

Total No. of Questions : 8]

[Total No. of Pages : 3

[4223]-302�����

������������ ���������������

������������� ����!�"������

���������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��

�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ���������

P374

��� �� ��������� ��������������������������� ���������������������������������������������������� ���� ������

�� ��� �� � ������ ��� ���� ������ ��������� ����������������� ����������������� !"���� ������ ������������������������������� #��������������� #������$����������������� #�������$���������������� %������&��$�����������������������������������'���(

�����������

��� �� ������)�������������������� JI ⊆ ���$������)*������������

�*����J

R

J/I

R/I ≅ � ���

�� +���������������������������� �����������$����������������������� ���

�� ,������������������������ ����-��.��/�

��/���/�

�����

�������������"� ������

�������������

� �

� �� �

����������$���������$�������-��

����������"�#���������0

���"�

�����

SEAT No. :

Page 40: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�� �� �������������������� ���� $��$����������������������&���������� ���

�� ��������������������������� ! �����������������$����������������������� ���

�� ���-��.��/�/!�����������������#���"���

)(

][FR 2

xf

x= ���

������������������1��������#���( ) 11−

+x � ���

��� �� �����������������������2������������������������������#����������������3������$��������$������������������#��������� �3��������$����2� ���

�� ��������������������������4��������� ���5����$$������.0 6'�+���������������������2��"��������������������������0��"�-2.�����������������

�� ������������������������� !���� )��������������($���������������������� ���

.J

R

I

R~

IJ

R ×

��� �� 7��������������������������+��������� �����������������������8��������������-������������������� ���

�� +����������� [ ]5Z − ������8��������������� ���

�� �� %��� �� �&��$�� �� � ��� ����� �� �� 8�������� ���� ���9����������� ���

��� %������&��$���������������������8���������������������:-��.:-���������������������������

���� ;������������$��$�� ����7������������#�� �"�������7 �����#���������

� � �� ������� -���('��������������7���������� ������$����������������� �������&����������

�� 7�����7�(��<���(=����(:���������������������������������� !����7���<���(=����:�����������7� ���

�� +���� ���&��$������4����������7�����������7�;���������������-����4����������7����7�)���� � ���

�����

Page 41: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� ������4��#�����'����7������$���������������������������

���$������������������������ [ ]5Z − ����;#7� ���

�� ��������$�����������������������������������/!����������6���������$�������������!������1� ����� 1P ≡ ���-1����$������' ���������������������������0�" ������%���������������

�� �������7��������������&�������$�������7���<���(=������������ ���

��� �� �����;#7���$���������"������;#7� ���

�� �� ���������$�� ��������/1��/>��/6�/!���������������0��"� ���

��� +����� ��$�� ������ �-��.� ���� �����������$�� ������

�� ][6Z

Zx � ���

���

�����

Page 42: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

Total No. of Questions : 8]

[Total No. of Pages : 3

[4223]-303�����

������������ �������������

����������������������������

���������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��

�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������������������

P375

��� �� �������� ��� ����� �� ����� ���������� � �� ����� �������������� ������ ���

�� ����� ���� � ��� ����� ��� ���� .92),,( 2 +−−=φ zyxzyx ���������� ��� ������ ��������������� �� ���

�� ��� !������"�������� ��� ��� #����� "� $�������������%����!������"�������� � ���

��� �� & ��� !������"� $���������������������� � ������ ���

�� �������' ���� �����%#������� )(),,,,,(L 22221 zyxmzyxzyx ������ ++=

(���%�� � ������ �����������#����� "���!������"� $�������������� ���

�� & �� �������������� � ��� ������� ������� ������������)� ���

��� �� ����*&�����������������%�� !�������������� ����+ ���

).(2

1)(

2

1),,,(H 2222 yxkpp

mppyx yxyx +++= ��� ���� �� $������

,�������

������� �� ��

�� ��������� �������� $������ ���-.���� ���/����������

� �� � �������������������������� ���� �.0�

����

SEAT No. :

Page 43: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�� ����� �������������������� ��� ����� � ���������������

�,-%��.,��(0������

�� 1���� ����������� ������� ��������������� ����� �����)� ��� ����� �������� ������������� ����� ����� � ������� ��

���

��� �� ��������� �������������������������������������� /���������) ��+ ���

).(cosP,Q 122 qq pepe −− =−=

�� ������� �����2�� ������������������� �� ��/���������) ��3�%24��������������������� ���

�� /��� ���� ,HH

dtdt

d ∂= �� � !���� !��������������� ���

��� �� ����� ������������������� �� ���� ���

∫− =−=−−′1

1

2 .1)1(,1)1(,)2)(( yydxxyy

�� ���� $������������������������� � � ������������� ������ ��� ���� ������ �������� � � �%�� ��������!���� ����� ������� ���� �� ���

�� 5��������������������� � ),,( zφρ ���� �� !������"� $������������� ��� �������� ������������ � � ���� �� ������� ����

).,,(V zφρ ���

� � �� �������� ����� �������� �� ����������� �������������� ���

�� ��� ������ ��������������� ���

�� & �� ����� ����� ��������� ��� ���� �� ������ � �� � �������� ���������������������� ����� ���

��� �� & �� �����������������������67��� ����� ���

�� ��� ������ ��� �"��� �� ���� ������������������ ��

�� & ��� �� ���������������������� ������� ��� ���� �+ ),,( ψθφ ����

��������

Page 44: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� & �� � �������� ������ ���������������������������� ����������� �� ��� ��������������� ���

�� & ��� �� ������������ � ���� $���������� �������� ������� ��� � �������� �� �� ���

222

21

umhu

fu

d

ud⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−=+

�� ��� ������ 8 �� �"�� ����������� ���������� ���

���

�������� �

Page 45: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������������� ��������������������

��������������������� �����

������� �� ��

�����

���������

��� �����������������������������

������� ������!����"�� �!

����������� � ���������� � �� ��

�� ������� � �� ������������� � �

�� ����� ����!�"�#��$�� ��� �

%� &�'��� � �� ���� ��'��� ��������� "�((����� �

#�$

��� �� ������������ ������������������������� ���

�� � �����

��� �������������

���� ������������������

�� �����∈�����μ���∞ �����⊃ ����������������� ���

nni

i EE μμ∞→

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛lim

1� �

�� ������μ!�� �

��"#�������μ�

�"μ�

�������������

�$�

�∈�� ���

��� �� ��������������α����������������������������������� ��������α

∈����������α ⊂ �β��α �β�%���������������������

���&��������������������������������������������������α��α ����'α��(�α � ���

�� )��� ��'��� ��&���������������� �������� ���� ����� � � �

�������������������������������������*���%������������������������������������������� ���

������

Page 46: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�� ����������������������+#$,-������������������������������������� ����� ��.����������*��� ���

�� �� �����������/���0�)����� ���

�� �� � ���� ��� ���� ��������������� �������� ���� ��� ���

���� �������������$����������� ∫ ∫ ∫+=+ gbfabgaf � ���

�� ���������������� ����������������������$�����"#���������

��1��∫ =0fdx � ���

��� �� )��!�$��������������������$�μ�'���&����������������������� �����������������μ���$��'���&���������� �������������������������������� ����������������������������

���� ∫∫ ≤ nndffd μμ lim � ���

�� �� �������� �����������

��� )������� �����������!�$������∈�����!��'#�%���������������������$�����������������������$���������⊂ ����!��'#� ���

��� �� )������� �����������������������������!�$����������

����������������������������� ������������������"�� ����

�� �"φ � ���

��������������������������������������������������� �

Page 47: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

���������������������������������������������������

�� ��������������� �������������� �������������!�$������&��������� ���

�� ��μ �

��� 22��2μ2�

���� ���μ�

��� ���μ �

� � �� )���������������������������� �!μ�����,���∞ ���μ�σ���������������%���������������������&������������ ������

,3�4,3�",$���������!��" ∫ μfgd ����22�22"22�22�� ���

�� ����������������μ 5������������������σ��� ����� ���

�� )��μ��������������� ����6$μ 5����������������������1μ$�������1���� ��������ε'#$������������∈6�����⊂ ����μ 5!���μ 5!��4ε� ���

��� �� �� ��������������������

��� )���!��������7���������σδ ��������������%�����������

�!����������������������������������� ���

�� )��� �� � ��� ���σδ ����μ 7 !�� � ∞ � %��� ��� ���� �������������������1� !��"μ8

�� ��������������������� �

��� ∫ μgd " μ 7 !� � � � � �

Page 48: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� )��!�$6$���!�$�$���������������������������� ������� ��������������7��%���������������� 9 ���

�� /���������� ��� ������� �� ��������1 �

� !��" � !�$�� �� ��

���� ��������������

��� /���������� ��������������������1 �� � !��" � !�$�� ����

���� ��������������

���� ∫ )(),( ydvyxfy �������� ���������������

��� ∫ )(),( ydyxfX μ �������� ���������������

�� )��μ ��������������� ����6���μ 5����������������������1μ �%������������������������μ �μ 5����μ 5����������������������������μ�σ��� ������������ 6� ���

����

��������������������������������������������������� �����

Page 49: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������������� ����������� ��������������� �����

������� �� ��

�����

���������

��� ����������%�"�����&����%���� �

�����"�� �!��'&�!

����������� � ���������� � �� ��

�� ������� � �� ������������� � �

�� ����� ����!�"�#��$�� ��� �

%� &�'��� � �� ���� ��'��� ��������� "�((����� �

#�$

��� �� /������������������� ����������� �������� ��� ���

...24

1

6

1

2

11

!

1

1

++++=∑∞

=n n

�� /�������������������� ������������������� ���

( )∑∞

=

−1

12

!12n

n

n

x

�� /��������������!�4,������ ���

��� �� 6����⎩⎨⎧

<<<<−

πx

xxf

0,0

0,1)(

8������!����������������������������������:π � ���

�� 8������������������$���� �������$��������������� ������������������������� ���

������

Page 50: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�� �� ������������1�����������

�!�$��"������!�$��$#��� $�'#

��;�������������!#$��"#<�!,$��"#

�!�$��"#<�!�$#�"�!��$#��� � ���

�� �����������������������=���>������� �����������������!��"������!��"���$ ��� ������������������������ �������������� ���

��� �� ?������� ∫− =1

10)()( dxxpxp nm ���≠ �����

�� 8��������������� ���� ������@���������������������������

�� ∫−

= 1

0 2

4

1J dx

x

x

��� ∫= /2

0 sinI

d

θθ

��� �� ?������� ∫∞

+=

++0 2222 )(2)()( baabtbta

dt π� ���

�� �� ������9������������

��� ���������!A��"A���!���

���� ���������!∞ �",����

��������������������������������������������������� ��������

Page 51: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

� � �� ���������B��� ��������������)� ������1����� ( )( )xLnα ����

�� ?�������$ ppp

sin)(1)( =− ����

��� �� C��)���������������������������������������&���������

�DE4:�DA�EA:�"#$�!#�"�E!#�"#����D!#�"F

�� /������������( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

222

1Las

s ����

�� ������ { }tL sin ����

��� �� ������ nxsn

xHnxH

xd

d snn

ns

s

<−

= − for!)(

)(!2)( ����

�� ���������������������������/�����������������

����

��������������������������������������������������� �������

Page 52: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

Total No. of Questions : 8]

[Total No. of Pages : 2

[4223]-305�����

������������ ����������������

������������� ����!����

���������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��

�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ���������

P377

��� �� ���������� ������� ��������� ������������������������ ��� ���������� � ���

�� ������� ���������� ��������������� ��� �������� ����������� � �������� ���������� ��� ������������� � ���

�� !����������� ��������� ����"� ���

��� �� �������������� ��� ���������������������� ������������

�� #���������������������� �����������������������$���

����

�� ��������������������%�������� �������������� ��� ��� ���

��� �� �������������� ������������ ����������� ���

�� !�������& ����� ���������'�� & �������������������� ���

�� !���������������� ��&��������� ���

��� �� !����������������� ��&���������� ��

�� (����� ����������)���*�+,�%�������)� ������������� ������� �����������)�� ������ ����� %��������%�∈-*)�%����������%� ���� ���

��� �� ��������������������� ��������������� ���

�� �� !����.����/���/���������� 0��������.����/���/��������������������������

�����

SEAT No. :

Page 53: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

� � �� ����� �� �� � ��������������� �����)%$�� &��1 ����������� ��� �������� ����� ����������� ���

�� 2 �����3& ��1 ������������ ���� �� ������������������������������������������� ���

�� (������������������ ��������������$�� ���

��� �� ���������������.��������)� �����������������)�����������)�� ��. ������������� ���

�� 0��������4�����������4����������������������������������

�� �� ������������������� � ������ �����

�������

����

��� �� ���������)� � ����������%����*)�5�6*)�5δ*)�� ���

�� ���������)� 7 ��������%����������)6�������������������������)� 7 ��������� ���

���

��������� �

Page 54: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

Total No. of Questions : 8]

[Total No. of Pages : 4

[4223]-306�����

������������ ������������������������������ �!!���"�������!�����"

���������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��

�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ����������� �������� �������!��" ���������� �������� �� ���#���

P378

��� �� ������������ ����������� �������� ∞=1}{ nnp ��������� �

������������������������������� ,lim ppnn

=∞→

��������������

���������������� ���

�� ��������� �!"�#�������������������������

�����������

��������$��������������������%&��% ���

� '��(����������$)��*�

�+������������ ���������������

������$��(���,�,-�� ���������$���������������������!�!.�,*)�

�*�

�+�)/�,*/�0+� ���

��� �� ���������1,������$���������$���1,���������$������������

� .A 2������������� � ∞=0}{ kkp ��������� ��������$�

,...2,1for2

/A 11 =+= −− kpp

p kkk

3�������������� � ∞=0}{ kkp ��������� .A ���

�� ���������!4�!.� ����� 5�����6�(���7�����������$����

�����

��� '��(�����.�/��� �������*��*������������ ���������� � ���������������� �$$���$�����$�%

�����

SEAT No. :

Page 55: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

� '�$���8�9*:;�8�����������9��;���9���/.*/0*0*0�*(�������:�� ���

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−

3000

2400

3330

0442

1

011

001

0001

2241

3132

3551

0442

21

32

21

31

21

�� �� �������� ],[C 1N baf +∈ ��������*�

�*���*�

∈)�*�+���6 /������

���∈)�*�+*����������� ����3

��� <

���

(����3��������$������$�� �������������������� ���=

∑=

=≈N

kkk xxfxxf

0NN )(,L)()(P)(

>����������<������������

)()!1N(

)........()()()(E 1NN10

N cfxxxxxx

x +

+−−−= *

���������$����������$�������������)�*�+� ���

�� #����� �� ������� �������� � ��$� ��� �� ���$��� ��� ���

.6.3

)(x

xf =

� = / . 4 " -� ��� = 4�?, /�0, /�., ,�@, ,�A.

&�����(���6�(��B���$������$3����� ���

� ��� ����������#�$ �$���������������� �.�4�(����,�,/*��� ������(��� �.�4�����.�4�� ���

��� �� 2������������$�� ���

.452

)( 23210

0 h

ffffxf

−+−≈′′

�� <��$���C�����'����$�����������������$��������������������������D��(��� ���

������� �

Page 56: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

� :�� ��E� ���������� � ���� ������������$ ������ � �* �* ��(��������������� �����������/*4*.���/�,.*.�@A*.�,/������������ ���

�����������������������������������������

�������������������������������

������������������� .

xz

y

��� �� 5�����������F����������G�������������<���*�������

�������'������ ��$� �� $��� ���-H/,� ��� �� ������������

∫ ≈7

2

).,(S hfxdx

���

�� #��������������$������$)�*�+�'��(��'������B���$������ ����� ����$��������� ����� ����������������� ���

� I�������9��$�B���$��F�/*��/������ �����$������$���������5≤ ��������������

��� �

��� ��� �

�� �

�*����),*"+� ���

� � �� :��<�$��B���������$������I�3�

2

yty

−=′ ��),*4+(����,��/�

#��������$�������� .8

1and,

4

1,

2

1,1=h ���

�� :����,�,-���<�$��B�����������J��*�

�K���J�

�*�

�K�'�$����

�������.� 4�*��.�����(���������$ ���������,��!.�A�����,��.�0������������$ .0.10 ≤≤ t ���

��� �� 5��������������� jj V, �����������

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

−=

310

121

013

A

�$��*���(����������� ������$�����$������������ ����� ��;���8����� ���(������������*�������������������

����������$�����3�� ���8�3;*

(���� 3��!.&&�

��� .||YX||

YXW

2−−= ���

�������

Page 57: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� 5���������������$���������������$$�(��� ���� ����4�/"/-@.��� .14.3=x

�� #������������$��� �$ �$������-,,������-,,�����������������

���������>����� ������� [ ]xxxxf −+= 1)( ���

.1

)(xx

xxg

++= ���

� #�������������$���������������*����� ��!.�,*

����*�����!/�,��

�� I�����������$���������/*/�����!/*!/����� &������� �$��������������(�������6�(��B�������

��������$�����% ���

�� #������� ).2sin(2)( xxf += :��������G����$��$�(��//����$�

������ ����������������������������$�������D������)/*?+���

���

������� �

Page 58: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

������������� �����������

��������������� �����

������� �� ������

������������ �������������������

������������� !����"�#���� �$!����������� � ���������� � �� ��

�� ������� � �� ������������� � �

�� ����� ����!�"�#��$�� ��� �%� &�'��� � �� ���� ��'��� ��������� "�((����� �

�%&'

��� �� ������������ � ��� �� ���� ���������∈������������ ������� ��� ���������� ���

�� ������������� � !���"������������ ���

�� #� ���������� ( )3 2,3Q ���� ( )3Q � ���

��� �� $�������� �����"��������� ������ ����� ��������������� � ��� ��� �����%�� �����������&���"���������'� ��������� ���������(

�� ������

��� )

�� �������

���∈����*�

#"��������������'�����������&�� (+&�&��&����&����*����������������������� ���

�� #� �������� '����������,+∈����������-����� ���.������

�� $�/�0( )3 2 &� �θ� 3 2 &�� �� ���� �������+ θ� �� ���

��� �� 1��� � �������� ��� � ����"�������� �������� ����� 2�����∈�����������"����������&�� ������������������������

�������"��������� ����� 3� ��"����������4����� �� ���

��� �� $������� ����� ��� ���������������%�� �������������α��������α� ��� �������� ���� �� "������� ������������������� �� ��� ���

�� $� ( )2QF = � � ( )4 2QE = �2�� �������� ��� ���52�� �����

��� ��� ��056"������"�� ����� ���

��

���������

Page 59: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

�� 1���������������������74!����� �56"������"�� ����� ���

��� �� $�/��� ��� ��� ����������1��� ���'��"���#��"��������������2��"������"����� ��� ��� �������� ���

�� $�/����� �������������� ��� ����������2���� �������� ��� ���&�� ������������������������8��)��� ���

�� ��������'��"�����α�)0�&�����α�+� �α≠ +&���������������������'��"��������4� ���

� � �� $�����8�������� ��� ���& ��� ��"����������� �� � '���������9�� �������� ��� ��#��� �� �������) ��� ������"�'��"������)��� ���

�� #� � �� 8����� '��"�� � )��& ����� ( )5,3QK = � #� � ���

�"�'��"������ )��� ������������� �� '������������ ���

��� �� $�/��������� '���������,��∈�����%�� ����������)������������'��"�� ���

�� :���� ��� �;"��� '�������� ����� :����������������"������ '��"��� ��

��� �� $� ( )wQE ,23= ��� ��� ��� ���������&��������+&� ≠ +�#� ���&�������(σ�&σ�*&�����σ�������� ����"�����������

�� � ( ) w331 22 = &σ

�������� ���

�� �������������� ����� ��� ����� ��������� �������� ��� � ���

�� #� ����� ��"����� ������� 21+− ����0� ���

����

�������

Page 60: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

Total No. of Questions : 8]

[Total No. of Pages : 2

[4223]-404�����

������������ �������������������������� ������� !����"�#������$!

���������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��

�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ���������

P382

��� �� �������������� ������������������������������� ���

�� �������������� ���� ����������������������������� ��������������������������������� ���� ������������ ���

�� ������→�������� ����

���→�����

���→�������� ���

����→�� ��!���

�����→�������� ����

�����→�� ���

��� �� ����� �� �� ������� �� ����� �� �� ���� ����� � � � �� ��������������������� ���

�� ����������������������"���#������������������ ���� ���#���������������� ���

�� ��$⊂"⊂�� � ���"��������������$����������"� ��!��$������������ ���

��� �� �����������%�� �� �����������������#��� ��������������

�� ��������� �������������& g �'��������������� ���(���

�& g ������� �������� ��������������������� ����� ���

�� ��$⊂���� ������������������)$���∈��*������������

�������������������������!������������!��$� ��!��

$∪) n∪ $�*�� ����������� ���

����

SEAT No. :

Page 61: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� �� � ���→� �� � ��������� �� � ����� �� ���� �'��� �

������� ������&� )),(,Y(),X( 0101 xfx π→π !���������� �����

�� ���

�� �������������������� �� ���� YX: →φ �������� �

������������������� ))((Y,)(X,:* 11 xx φππφ → ���������� ����

������ X.∈x ����� +�$��������������������������,���!���������������

�$→���������������� ���� )(X,)(A,:*i 11 aa ππ → ������ ���

A.∈a ���

��� �� -���� �� ������������ � ���������� ������ �����, ���� ����������%��������� ��' ����������������� ���

�� ��������������� �������������������"�� ����� .������������������� ���#�/)0,0*������ ���� �� ���

� � �� ��!������������� ����� ���� � ���

�� �� XX:~→p ������������� �����⊂ ���� 0

~X 1���2���� ��!

�� 0

~

00 XX: →p ������������� ,!������2�1�2�� ���

�� �� XX:~→p ������������� ����� XX:,

~

21 →ff ��!�������������→�� � ����������������������'����

�∈���������2�

��1�

�2�

���(��� �������

�1�

�� ���

��� �� 3���������������4������'�� �������������������������5→"�����������,������ �����"!���20�∈�25������������� ����5� ���

�� ������������ ���������������!�������� �������������������!�������� ��������� ���

�� � �����5→"��������� �������������������� �������� �� ������ ����������� ����� ���

��� �� ������������������� %��� ��' �12�

�,�

�,���,�

�������������

������������� ����� -����� �����������������, ������#����������� ����#���

��������������� ����� �������!������������ ��'��������������� ���������� ���

����������� �

Page 62: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

Total No. of Questions : 8]

[Total No. of Pages : 2

[4223]-404�����

������������ ��������%�"����������%�&#���

���"�#������$!��'�&!���������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��

�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ���������

P382

��� �� ��!����������� )2/sin()( xxu = ��������������.�������

�������������� ∫ =−1

0

2

2

X)(),(k

2)( dttutxxu ���

�� .������������������������� ������������������������������/6�10!�����������������

.1)0()0(,2

1)0( =′′=′= yyy ���

�� 3������ ����� 7�������������������������8������� � ������9������

��� �� #������������!���������������� �������������������������

02

2

=λ+ uds

ud !���20�10,�2��10� ���

�� ��!��,��������������������������9����������� ��������������������������������������� ���

��� �� .������������������������������������������������������

������� .)()cos3cos2cos(cos)( 3

0

2 dttttx φ×+×λ=φ ∫π

���

�� �����������������.��������������������� ∫ φλ=φ1

0

.)()( dttees ts

�������

Page 63: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� �������,���9�����������������������������9���������������������� ���

�� .�����������9�����������9�����92 ,��1���2 /6��,0≤ ,�≤ π2 ����

��� �� .�����:������������������������������������������ ���

∫+=x

dttxtuxu0

)(1)(

�� ���� dttyt

xxxy

x

)(1

11)(

02

22 ∫ +

+++= ����������9������ ���

� � �� ����� �� 0FF

X 1 =∂∂−

∂∂

yyd

d 25���� %��������;� ��������!�������

�������� ���

�� .������'������������������� � ��1

0

)/(I 32x

x

dxxy � ���

��� �� ����� ������� �������� ������� ���

�� ��!���������!�����'����<�������������

∫π

+−′′=4/

0

222 )(I dxxyy �����������������20�10,�=20�1>, ���

2/1)4/()4/( =π′=π yy ���1����

��� �� ����� ���� ����� �������������� ���

�� ����� ����?���������� ���

���

�������� � ��������

Page 64: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

Total No. of Questions : 8]

[Total No. of Pages : 2

[4223]-405�����

������������ ������������������

���� ������������� �!������"�

���������� � ���������� ����

�� ������� ���������������� ��

�� ��������� ��������������� ������ �� ��� ����� ������� ���������

P383

��� �� ����������������� ������������������������������ ���� nm ≤ �� �����������

������������ 0N∈k ��������������������������������������������������

�������������������������������� ���

� ������������������������������������ ����������������������� � ������������ ���� �������������� ���

�� �� ���������������������������������������������!����������������� ������������������������������ ��"������������ ���

��� �� ���������� ������������������������������������������!�������"!��"������#�� �����������������������!������������������� ���� �������������� ���

� �������������������������������������� ����������� � �������������������$�� ��$���∨�%�&�∨ �� '�∈�$���∈(� ���

�� ����������!��"��������� ������������������������������� ������� �������������������)�� ����)�*�+��� $��$��∈�$�� � $��∧�∈���"!������ ∨��∧ � ∨��∈��#����������������)���"!��������!��"������� ���� ���� ��������������

��� �� ����������!�������"!��"������������������������������%�& ), ∈�(�������������������� ���

� �����������������������"�������� ����������� �����������������������!��������������������������� ���

����

SEAT No. :

Page 65: [4223] - 101 M.Sc. MATHEMATICS MT-501 : Real Analysis - I

��� �� ��������������� ���������������$���� ��������������"�����-���������� ���

�-�*�+��� $��∈������ ��$���������������.������������������"�����∈�

���������≤ ���������

� -���������� ������������/���������������������������� ���

�� );()()( zyxzxyx ∨∧≤∧∨∧��� )).(()()( zxyxzxyx ∧∨∧≤∧∨∧

�� ���� �� ������� �������� ��������������� ����������� # � �� ∧� ���� �∨� ���!�����!��������������!�������������������������!�����!���������� ���

��� �� ������������������������������������ ����������� ����������"��!������������ ����� ���

� �����������������������������������������'�'�0�1������������������ ����!��"���������� ����������������������������������"!��"������ ���

� � �� ������ ���� ������ !��"�� ������ � � ��2������� �������� ���"���"��� �������������� ���

� �����������������������������$�����������������$����������������������� ��$��������� .θ=∩ D �3���!�����������������������!��"����������� ������

���� IP ⊇ ����� θ=∩ DP � ���

��� �� ����������������"�������������������� ��������!!����������������������������������� ���

� -���������!����� �����!����������"� ������������ ���

�� �� ��������������������"!��������������������������������������"!�����������������������������������"!������������������"!����$�� �������������������������������"���� ���

��� �� ���������������������������������������������� ���

� ���� 1: LL →φ ����������"�"��!��"��3���!�������������"����� ������"����������"� ���

�� ����������������!��"�������������"������������������"����� ���������������������������������� ���

�� ���������������� �������������������������������"�"������� ���

����������� �