430201 Engineering Statics430201 Engineering Statics((สถิตยศาสตรสถิตยศาสตรวิศวกรรมวิศวกรรม))

รศรศ..ดรดร.. สิทธิชัยสิทธิชัย แสงอาทิตยแสงอาทิตยสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตรสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตร

การวิเคราะหลิ่ม: หาขนาดของแรงที่ใชในการผลักลิ่มเขาหรือออก

1. เขียนแผนภาพ FBD ของลิ่มและวัตถุ โดยเริ่มจาก FBD ของลิ่ม เนื่องจากเราทราบทิศทางที่ลิม่กําลังจะเกิดการเคลื่อนที่

Note:a) แรงเสียดทานจะมีทิศตรงกันขามกับทิศที่ ลิ่มกําลังจะเคลื่อนที่

b) แรงเสียดทานจะมีทิศขนานกับผิวสัมผัสc.) แรงตั้งฉากจะกระทําตั้งฉากกับผวิสัมผัส

W

จากนั้น ทําการเขียน FBD ของวัตถุ โดยที่a. ) ที่ผิวสัมผัสระหวางลิ่มกับวัตถ ุแรงตางๆ จะมีขนาด

เทากัน แตมีทิศตรงกันขาม b.) ทําการเขียนแรงอื่นๆ ที่กระทําตอวัตถุ

2. ใชสมการความสมดุล ( ∑ Fx = 0 และ ∑ Fy = 0) และสมการแรงเสียดทาน (F = µS N) หาตัวแปรที่ไมทราบคา

Note: ในการคํานวณ เราควรเริ่มจาก FBD ที่มีจํานวนตัวแปรที่ไมทราบคานอยกวาหรือเทากบัจํานวนสมการที่มีอยู

Wในกรณีที่ตองการลดระดับวัตถุลง เราจะตองดึงลิ่มออก ถาแรง P มีคาเปนบวก ลิ่มจะเปนแบบล็อคตัวเองได (self-locking)

ซึ่งกรณีนี้จะเกิดขึ้นเมื่อ coefficient of friction มีคามากหรือเมื่อมุมของลิ่ม θ มีคานอย

EXAMPLE

Impending Motion

Pα

µs1

µs2µs3

จงหาคาแรง P ทีใ่ชในการยก block ซึ่งมีน้ําหนัก W = 500 N ขึ้นเมื่อ µs1 = µs2 = µs3 = 0.25α = 5o

P

α

N3

N2F2

F3

F2

N2

F1N1

W

1. เขียนแผนภาพ Free Body Diagram

x

y

Impending Motion

2.a พิจารณา FBD ของ block และใชสมการสมดุล

x

y

F2=0.25N2

N2

F1=0.25N1

N1 W=500 N

5o

5o

∑ =→+

;0xF

05sin5cos25.0 221 =−− oo NNN

∑ =↑+

;0yFoNN 5cos50025.0 21 +−−

oo NNN 5sin5cos25.0 221 +=

21 3362.0 NN =

1 188.8 NN =

05sin25.0 2 =− oN

2 561.6 NN =

2.b พิจารณา FBD ของลิ่มและใชสมการสมดุล

P5o

N3

N2=561.6NF2=0.25(561.6)

F3=0.25N3

x

y

∑ =↑+

;0yF

05sin)6.561(25.05cos6.5613 =+− ooN

∑ =→+

;0xF

05sin6.561

5cos)6.561(25.025.0 3

=+

+−o

oPN

3 547.2 NN =

ooN 5sin)6.561(25.05cos6.5613 −=

325.6 NP =

325.6 Nα

547.2 N

F2

F3

F2

561.6 N

F1188.8 N500 N

x

y

561.6 N

แรง P ที่ใชยกมีคานอยกวาน้ําหนัก W

บทที่บทที่ 9:9: จุดศูนยถวงและจุดจุดศูนยถวงและจุด Centroid Centroidจุดประสงคจุดประสงค

เพื่อใหเขาใจแนวคิดของเพื่อใหเขาใจแนวคิดของจุดศูนยถวงจุดศูนยถวง ( (center of gravitycenter of gravity) ) จุดศูนยกลางมวลจุดศูนยกลางมวล ( (center of center of massmass) ) และจุดและจุด centroidcentroidเพื่อใหสามารถหาตําแหนงของจุดศูนยถวงและจุด centroid ของระบบของอนุภาคและวัตถุได

การบานบทที่ 9: 21/8/2552จากเอกสารคําสอนขอที่ 9-9

การประยุกตใชงาน

จุดที่น้ําหนักลัพธ ดังกลาวกระทําเรียกวาจุดอะไร?จุดศูนยถวง หรือ center of gravity

ในการออกแบบโครงสรางที่ใชในการรองรับ tank น้ํา ดังแสดง เราจะตองทราบ

1.) น้ําหนักของ tank 2.) น้ําหนักของน้ําใน tank และ 3.) ตําแหนงที่น้ําหนักลัพธกระทําตอ

โครงสราง

ในการออกแบบรถยนต เราจะตองปองกันไมใหรถพลิกคว่ําในขณะเขาโคงที่ความเร็ว (v) และความเรง (a) ที่กําหนด ซึ่งปจจัยหนึ่งที่ตองใชในการพิจารณาออกแบบดังกลาวคือ จุดศูนยกลางมวล (center of mass)

ถาตองการใหรถเขาโคงดวยความเร็วและความเรงที่สูงขึ้น เราควรจะเปลี่ยนใหตําแหนงของจุดศูนยกลางมวลสูงขึ้นหรือต่ําลง ???

การประยุกตใชงาน

จุดศูนยกลางมวล (center of mass) คือ จุดที่แสดงตําแหนงของมวลลพัธของระบบของอนุภาคหรือระบบของวัตถุ

•• •

3m4N1m

A B1 N 3 N

G

ถา W = mg แลว จุดศูนยถวงของระบบจะเปนจุดเดียวกับจุดศูนยกลางมวลของระบบ เมื่อมวลของระบบถกูกระทําโดย g ที่เทากนั

แนวคิดของ center of gravity และ center of mass

จุดศูนยถวง (center of gravity) หรือจุด G เปนจุดที่บอกตําแหนงของน้ําหนักลัพธของระบบของอนุภาคหรือระบบของวัตถุ

การหาตําแหนงของจุดศูนยถวง (center of gravity) หรือจุด Gจากนิยามของตําแหนงของแรงลัพธในบทที่ 4

•• •

x2

4 Nx1

A B

1 N3 N

G

คา moment ของแรงยอยรอบเสนอางอิง

ผลรวมของ moment เนื่องจากน้ําหนักของแตละอนุภาครอบจุดใดๆ = คา moment เนื่องจากน้ําหนักลัพธที่จุด G

4 m

1 N(2 m) + 3 N(2+4 m)

น้ําหนักลัพธ = 1+3 = 4 N= คา moment ของแรงลัพธรอบเสนอางอิง= 4 N(x m)

2 m

x

m 54

)6(3)2(1~ =+

=x

x2 = 5-2 = 3 m x1 = 4-3 = 1 m

•• •

3m4N1m

A B1 N 3 N

G

แนวคิดของ centroidจุด centroid หรือจุด C เปนจุดที่ระบุจุดศูนยกลางทางเรขาคณิตของวัตถ ุ

จุด centroid จะทับกบัจุดศูนยกลางมวลและจุดศูนยถวง เมื่อวัตถุทําดวยวัสดุที่มีเนื้อเดียวกัน (วัตถุมีความหนาแนนหรือความถวงจําเพาะคงที่ตลอดตัววัตถุ) และมวลของระบบถกูกระทําโดย g ที่เทากัน

( ) RL

F w x dx= ∫

ขนาดของแรงลัพธ

ตําแหนงที่แรงลัพธกระทํา( ) R

L

xF x w x dx= ∫ ( )

( ) L

L

x w x dxx

w x dx=∫

∫

A

dA A= =∫

A

A

x dA

dA=∫

∫

moment ของแรงลัพธ ผลรวม moment ของแรงกระจาย

แรงลัพธและตําแหนงของแรงลัพธ (จุด centroid)

2 m

4 m

10 kN/m

40 kN 15 kN

2 m

10 kN/m

ขนาดของแรงลัพธ = พื้นทีใ่ตแรงกระจายแรงลัพธกระทําที่จุด centroid ของพื้นที่ใตแรงกระจายเสมอ

ตัวอยางจงหาคาของแรงลัพธและระยะที่แรงดังกลาวกระทําวัดจากจุดรองรับ A

แรงลัพธที่กระทําบนคาน

1.5(3)RF =

FR

ระยะที่แรงลัพธกระทําตอคาน

d

4.5(1.5) 3(4.5) 3.75(6.75) 45.56 kN.mAM+ = + + =∑45.5625 4.05 m11.25

A

R

Md

F= = =∑

4.5 kN 3 kN 3.75 kN 11.25 kN= + + =2.5(1.5)+1(3)+

1.5(3) 1(3)2.5(1.5)

321 AAAA ++=∑

∑

∑∑

++=

=

AxAxAxA

AAx

x

332211~~~

~

∑= AR MdFmoment ของแรงลัพธ ผลรวม moment ของแรงยอย 3 แรง

9.1 จุดศนูยถวงและจดุศูนยกลางมวลของระบบของอนุภาคW WR = ∑

xW xW x W x WR n n= + + +~ ~ ..... ~1 1 2 2

yW yW y W y WR n n= + + +~ ~ ..... ~1 1 2 2

xxWW

= ∑∑

~

yyWW

= ∑∑

~

zzWW

= ∑∑

~ในทํานองเดียวกัน

WR

•• •

x=3m4N1m

A B1 N 3 N

G

;∑ yM

;∑ xM

9.2 จุดศนูยถวง จุดศนูยกลางมวล และจดุ centroid ของวัตถุวัตถุแกรงประกอบดวยอนุภาคที่มี

จํานวนอนันต ดังนั้น สมการหาจุด G ของระบบอนุภาคจะถูกปรับมาใชกับวัตถุที่มีอนุภาคอยูตอเนื่องกัน (วัตถุแกรง) ไดโดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย summation (∑) เปนเครื่องหมาย integration ( ∫ ) และเปลี่ยน W เปลี่ยน dW

xxdW

dW= ∫∫

~y

ydW

dW= ∫∫

~z

zdW

dW= ∫∫

~

xxWW

= ∑∑

~

yyWW

= ∑∑

~

zzWW

= ∑∑

~

ในทํานองเดียวกนั พิกัดของจุดศูนยกลางมวลและจุด centroid ของปริมาตร ( volume) ของพื้นที่ (area) และของความยาว (length) จะหาไดโดยการแทน W ดวย m, V, A, และ L ตามลําดับ

จุด centroid ของพืน้ที่

A A A

A A A

x dA y dA z dAx y z

dA dA dA= = =∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫% % %

xxdW

dW= ∫∫

~y

ydW

dW= ∫∫

~z

zdW

dW= ∫∫

~9.3 วัตถุประกอบ (Composite Bodies )

วัตถุประกอบ (composite body) เปนวัตถุที่ประกอบ (บวกเขา หรือ ตัดออก) จากวัตถุที่มีรูปรางพื้นฐาน เชน แทงทรงกระบอก รูปกรวย และทรงกลม เปนตน

พื้นที่ประกอบ (composite area) เปนพื้นที่ที่ประกอบ (บวกเขา หรือ ตัดออก) จากพื้นที่ที่มีรูปรางพื้นฐาน เชน สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และครึ่งทรงกลม เปนตน

หนาตัดแผงคอนกรีตกั้นถนน (barrier)หนาตัดของเขื่อนคอนกรีตกันดิน

4321 AAAAA −−−=∑xAxA

∑=∑% yAy

A∑

=∑%

ตําแหนงของจุด centroid ของพืน้ที่แบบตางๆ

d/3

ขั้นตอนในการวิเคราะห

3. หาคาพิกัดโดยใชสมการของจุด centroid

2. ตั้งแกนอางอิงแลวหาคาพิกัด (x , y ) ของจุด centroid แตละพื้นที่ยอยและหาระยะตั้งฉากจากจุด

~ ~

xAxA

∑=∑% yAy

A∑

=∑%

1. แบงพื้นที่ออกเปนพื้นที่ยอย∑ −= 21 AAA

∑−

=AAyAyy 2211

~~

∑−

=AAxAxx 2211

~~

ตัวอยางที่ 9-6จงหาตําแหนงของจุด centroid ของพื้นที่ประกอบเทียบกับแกนอางอิง x-y

พื้นที่ประกอบ = พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา – พื้นที่สามเหลี่ยม – พื้นที่ของสวนของทรงกลม

yAyA

∑=∑%xAx

A∑

=∑%

5.166711.16675.715Σ

2.54.51+(2/3)1 = 1.667

1+(2/3)3 = 30.5(3)1 =1.53

0.33330.33334(1)/[3 Pi] = 0.4244

4(1)/[3 Pi] = 0.4244

Pi(1)2/4 = 0.7854

28162/2 = 14/2 = 22(4) = 81

yA (m3)xA (m3)y (m)x (m)A (m2)ชิ้นสวน

2 m

1 mπ34r

1+(2/3)3 = 3m

2/3 m

yAyA

∑=∑%xAx

A∑

=∑%

11.1667 1.954 m5.715

xAxA

∑= = =∑%

5.1667 0.904 m5.715

yAyA

∑= = =∑%

25.715 mA∑ = 311.1667 mxA∑ =% 35.667 inyA∑ =%

1.954 m0.904 m

ตัวอยางจงหาระยะ c1 ของตําแหนงของจุด centroid ของพื้นที่ประกอบรูปตัวซีคว่ํา

พื้นที่ประกอบ = พื้นที่A1 + พื้นที่ A2 + พื้นที่ A3

yAyA

∑=∑%

0=x

yy 1

y 2

19,872+2(38,400)= 96,672

3,312+2(960)= 5,232

Σ

38,40080/2 = 4080(12) = 9602 และ 3

19,87212/2 = 6(300-12-12)12= 3,312

1y A (mm3)y (mm)A (mm2)ชิ้นสวน

= 96,672/5,232= 18.48 mm

yAyA

∑=∑%

0=x

y'y

0.10 m

0.20 m

2.0 m

Cyy0.105-Neutral axis

0.005 m

(c)

ตัวอยาง จงหาระยะของแกน neutral axis ของหนาตัดคานเทียบกับแกนอางอิง

1 0.1 0.005 my = +

2 0.005/ 2 my =

y 1

0.0021250.0021250.0300.030ΣΣ

0.0000250.0000250.00250.00252.0(0.005)2.0(0.005) == 0.0100.010220.00210.00210.1050.1050.1(0.2)0.1(0.2) == 0.0200.02011yy AA ((mm33))yy ((mm))AA ((mm22))ชิ้นสวนชิ้นสวน

yAyA

∑=∑%

0=x

m 0708.0=

y

y 2

0.10 m

0.20 m

2.0 m

Cyy0.105-Neutral axis

0.005 m

(c)

0.1(0.2)(0.1 0.005) 0.005(2)(0.005/ 2) 0.0708 m0.1(0.2) 0.005(2)

y + += =

+

ตัวอยาง จงหาระยะของแกน neutral axis

1 1 2 2

1 2

y A y AyA A+

=+

1 0.1 0.005 my = +

2 0.005/ 2 my =

y1

0.00084960.00084960.0068750.006875ΣΣ

0.00038280.00038280.08750.08750.0043750.004375220.00046880.00046880.18750.18750.00250.002511yy AA ((mm33))xx AA ((mm33))yy ((mm))xx ((mm))AA ((mm22))ชิ้นสวนชิ้นสวน

m 1875.02/)175.02.0(175.01 =−+=y

m 0875.02/175.02 ==y

21 m 0025.0)175.02.0(1.0 =−=A

22 m 004375.0)175.0(025.0 ==A

จงหาระยะ c2

ตัวอยาง

y1y2

-4

38.516(10 ) 0.124 m6.875(10 )−= = จงหาตําแหนงของจุด centroid ของพื้นที่เทียบกบัแกนอางอิง x-y

ตัวอยาง

ตําแหนงของจุด centroid ในแนวแกน x

ตําแหนงของจุด centroid ในแนวแกน y

ตัวอยางจงหาระยะ c1

1i i

i

y Ac

A= ∑∑

16(276)12 2(40)80(12) 18.48 mm

276(12) 2(80)12c += =

+

1 1 2 2

1 2

22

y A y AA A+

=+

1 6 mmy =

2 40 mmy =

พื้นที่ประกอบ = พื้นที่A1 + พื้นที่ A2 + พื้นที่ A3

ตัวอยางจงหาระยะ c2

2i i

i

y Ac

A= ∑∑

-4

38.516(10 ) 0.124 m6.875(10 )−= =

y1y2

21

2211AAAyAy

++

=

m 1875.02/)175.02.0(175.01 =−+=y

m 0875.02/175.02 ==y

21 m 0025.0)175.02.0(1.0 =−=A

22 m 004375.0)175.0(025.0 ==A

20.25(0.0375) / 2 0.30(0.025)0.1875 0.15(0.0375)0.356250.25(0.0375) 0.30(0.025) 0.15(0.0375)

+ +=

+ +

0.25 m, 0.15 m,

0.0375 m,

0.025 m, 0.30 m,

top bottom

top bottom

web

b bt tt d

= =

= =

= =

ตัวอยาง

y

จงหาระยะ y เมื่อ

i i

i

y Ay

A= ∑∑

0.1594 m=

1 1 2 2 3 3

1 2 3

y A y A y AA A A+ +

=+ +

y1 = 0.0375/2

y2 = 0.30/2+0.0375

y3 = 0.0375+0.3+0.0375/2

0.0035860.0225Σ

0.00200390.00200390.0375+0.3+0.0375/2 = 0.0375+0.3+0.0375/2 = 0.356250.35625

0.15(0.0375) = 0.0056250.15(0.0375) = 0.00562533

0.00140620.00140620.0375+(0.3/2) = 0.18750.0375+(0.3/2) = 0.18750.025(0.3)0.025(0.3) = 0.0075= 0.0075220.00017580.00017580.0375/2 = 0.018750.0375/2 = 0.018750.25(0.0375)0.25(0.0375) == 0.0093750.00937511yy AA ((mm33))yy ((mm))AA ((mm22))ชิ้นสวนชิ้นสวน

0.25 m, 0.15 m,

0.0375 m,

0.025 m, 0.30 m,

top bottom

top bottom

web

b bt tt d

= =

= =

= =

ตัวอยาง

y

จงหาระยะ y เมื่อ y1 = 0.0375/2

y2 = 0.30/2+0.0375

y3 = 0.0375+0.3+0.0375/2

Moment of Inertia ของพื้นที่

414xI rπ=

414yI rπ=

418xI rπ=

418yI rπ=

4116xI rπ=

4116yI rπ=

3112xI bh=

3112yI hb=

3136xI bh=

Moment of Inertia ของพื้นที่