430201 สถิตยศาสตร วิศวกรรม (Engineering Statics) ผศ.ดร.ปรียาพร โ

430201 สถตยศาสตรวศวกรรม

(Engineering Statics)

ผศ.ดร.ปรยาพร โกษา

สาขาวชาวศวกรรมโยธา สานกวชาวศวกรรมศาสตร

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร

สาขาวชาวศวกรรมโยธา สานกวชาวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร

เรยบเรยงโดย ผศ.ดร.ปรยาพร โกษา 1

430201 สถตยศาสตรวศวกรรม

(Engineering Statics)

ผสอน

ผชวยศาสตราจารย ดร.ปรยาพร โกษา ([email protected])

สานกวชาวศวกรรมศาสตร มหาวทยาเทคโนโลยสรนาร

หองทางาน

หอง D07 ชน 4 อาคารวชาการ (C)

วนเวลาการเรยน

(นกศกษาจะตองเขาเรยนไมนอยกวา 80% จงจะมสทธสอบกลางภาคและปลายภาค และขาดไดไมเกน 4 ครง)

หนงสอประกอบการเรยนการสอน

1. Vector Mechanics for Engineers: Statics, 8th Edition. (Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston,

Jr. and Elliot R. Eisenberg)

2. Engineering Mechanics Statics, 11th Edition in SI Units (R.C. Hibberler)

วตถประสงคของการเรยนการสอน

1. เพอใหเขาใจในองคประกอบและกระบวนการเกดของระบบแรงและโมเมนตทมากระทา

2. เพอใหสามารถปรบลดความซบซอนของปญหาในระบบแรงและโมเมนตทมความยงยากใหมความงาย

ขน

3. เพอใหสามารถเขยนภาพรางของปญหาใหอยในรปอยางงายตอการพจารณา

4. เพอใหเขาใจระบบการคดแกปญหาเชงวศวกรรมอยางเปนลาดบขนตอน

5. เพอใหเขาใจถงความสาคญของคาตอบทไดตามสมมตฐานทใชในการวเคราะหปญหา



แผนการสอน

ครงท เนอหา

1 แนะนารายวชา ความรเกยวกบหนวยวด หลกการและความรพนฐานในรายวชา

2 ความรเกยวกบเวกเตอร เวกเตอรองคประกอบในระบบแกนพกดฉาก 2 และ 3 มต

3 เวกเตอรของแรง การหาเวกเตอรแรงลพธของระบบแรงในระบบแกนพกดฉาก 2 และ 3 มต

4 เวกเตอรบอกตาแหนง เวกเตอรของความพยายามหมนใน 2 และ 3 มต

5 แผนภาพวตถอสระและเงอนไขสภาพสมดลของอนภาคภายใตแรงกระทาใน 2 มต

6 แผนภาพวตถอสระและเงอนไขสภาพสมดลของอนภาคภายใตแรงกระทาใน 3 มต

7 ทบทวนเรองสมดลของอนภาคภายใตแรงกระทาใน 2 และ 3 มต

8 การเขยนแผนภาพวตถอสระและเงอนไขสภาพสมดลของวตถแขงเกรงภายใตแรงกระทาใน 2 มต

9 การเขยนแผนภาพวตถอสระและเงอนไขสภาพสมดลของวตถแขงเกรงภายใตแรงกระทาใน 3 มต

10 สมดลของวตถแขงเกรงภายใตแรงกระทาจานวน 2 และ 3 จด

11 สมดลของวตถแขงเกรงใน 3 มต (โดยพจารณาสมดลแรงและสมดลความพยายามหมนรอบจด)

12 สมดลของวตถแขงเกรงใน 3 มต (โดยพจารณาสมดลแรงและสมดลความพยายามหมนรอบแกน)

13 การวเคราะหแรงในโครงสรางของโครงขอหมนชนสวนในโครงสรางทไมไดรบแรง

14 การวเคราะหแรงในโครงสรางของโครงขอแขงและเครองจกรกล

15 จดศนยกลางของเสน พนท และปรมาตรโดยวธการอนทรเกรต

16 จดศนยกลางของพนทของรปเรขาคณต นาหนกบรรทกแบบแรงกระจาย

17 การวเคราะหแรงภายในชนสวน (แรงตงฉาก แรงเฉอน ความพยายามตด)

18 การวเคราะหแรงภายในชนสวนของคาน การเขยนแผนภาพแรงภายในชนสวนคาน

19 แรงเสยดทานบนพนผวแหง

20 แรงเสยดทานในลม

21 โมเมนตเฉอยของพนทรอบแกนทลากผานจดศนยกลางของพนทและรอบแกนใด ๆ

22 ทบทวนกอนสอบปลายภาค



การใหคะแนน

คะแนนเกบ 20% สอบกลางภาค 35% สอบปลายภาค 45%

คะแนนเกบ ประกอบดวย

1. การจดบนทกระหวางการเรยนการสอน โดยเรยงตามลาดบเวลาและเนอหา

2. สอบยอยและงานในชนเรยน

3. การบานทกาหนดให

4. การทาโจทยเสรมประสบการณเพมเตมจากทกาหนดให

5. อน ๆ ตามทไดรบมอบหมาย

ระดบผลการเรยน

A 85-100 C 65-69 B+ 80-85

D+ 60-64 B 75-79 D 55-59

C+ 70-74 F 0-54

ขอตกลงในการเรยนการสอน

1. นกศกษาจะตองเขาชนเรยนกอนอาจารย

2. นกศกษาจะตองไมลกเดนเขาออกจากชนเรยนในขณะทมการเรยนการสอน ยกเวนไดรบอนญาตจากผสอน

3. หามสงเสยงดงระหวางการเรยนการสอน

4. ไมมการสอบยอยซอม ในทก ๆ กรณ

5. การแตงกายตองเรยบรอย เพอใหเกยรตแก สถานท อาจารย เพอนรวมชน และตวนกศกษาเอง

6. หามนาอาหาร เครองดม เขาชนเรยนโดยเดดขาด

7. ปดเครองมอสอสารทกชนด เพอไมใหเปนการรบกวนผอน

8. เตรยมอปกรณการเรยนทกชนดและเครองคดเลขใหพรอมทกครง

9. หามทจรตในการสอบ หากมการทจรตจะไดรบการพจารณาโทษตามระเบยบของมหาวทยาลย

10. หามลอกงานทกอยาง หากมการลอกเกดขน คะแนนในงานชนนนจะถกตดลบตามจานวนชนงานทลอก



บนทกการเรยน

วน/เดอน/ป ครงท เนอหาทเรยน ระดบความเขากน

(มาก/ปานกลาง/นอย)

ขอคดเหน/ขอเสนอแนะ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21



บทท 1 Introduction

1.1 บทนา

Mechanics หรอกลศาสตร คอวชาทางฟสกส ซงศกษาสภาพหยดนงหรอเคลอนทดวยความเรว

คงทเมออยภายใตการกระทาของแรง ซงสามารถแบงออกได ดงน

1. Rigid body

- Statics

- Dynamics

- Kinematics

- Kinetics

2. Deformable body

3. Fluid Mechanics



1.2 ปรมาณสเกลารและปรมาณเวกเตอร

ปรมาณสเกลาร คอ ปรมาณทบงบอกใหทราบแตขนาดของปรมาณนนเพยงอยางเดยว เชน

มวล อณหภม ปรมาตร พลงงาน เปนตน

ปรมาณเวกเตอร คอ ปรมาณทบงบอกใหทราบทงขนาดและทศทาง เชน ความเรว ความเรง

โมเมนต แรง เปนตน โดยจะตองมคสมบต ประกอบดวย

- ขนาดของเวกเตอร

- ทศทางของเวกเตอร

- แนวกระทาของเวกเตอร

- ตาแหนงหรอจดกระทาของเวกเตอร

1.3 กฎของนวตน (Newton’s Laws)

กฎขอท 1 “ถาแรงลพธทกระทาตออนภาคเปนศนย อนภาคนนจะหยดนงหรอเคลอนทดวย

ความเรวคงทไปในแนวเสนตรงตลอดไป”

กฎขอท 2 “ถามแรงลพธเปนศนยมากระทาตออนภาค อนภาคจะเคลอนทไปดวยความเรงใน

ทศทางเดยวกบแรงลพธ”



กฎขอท 3 “เมอมแรงกรยายอมตองเกดแรงปฏกรยา โดยแรงปฏกรยานจะมขนาดเทากบแรง

กรยา กระทาบนแนวเดยวกน แตมทศทางตรงกนขาม”

1.4 กฎความโนมถวงของนวตน (Newton’s Law of Gravitation)

“ในสนามความโนมถวงระหวางอนภาค 2 อนภาค จะเกดแรงดงดดกนระหวางอนภาคทงสอง

นน ซงมขนาดเทากนและทศทางตรงกนขาม”

ขนาดของแรงดงดด สามารถหาไดจากสมการ ดงน

เมอ M และ m = มวลของแตละอนภาค

r = ระยะหางระหวางอนภาคทงสอง

G = คาคงทของความโนมถวง

หากพจารณาแรงดงดดทกระทาตอวตถหรออนภาคบรเวณผวโลก พบวา

W =นาหนก = แรงดงดดระหวางอนภาคนนกบโลก = mg

M = มวลของโลก



m = มวลของอนภาค

r = ประมาณเทากบรศมของโลก (R)

ดงนน จะได

∴ ในทางวศวกรรมใช g = 9.81 m2/s

1.5 หนวยระบบ SI

หนวยระบบ SI ประกอบดวย

- หนวยมลฐาน (Basin units) มอย 7 หนวย คอ

ความยาว เมตร m

มวล กโลกรม kg

เวลา วนาท s

กระแสไฟฟา แอมแปร A

อณหภม เคลวน K

ความเขมของการสองสวาง แคนเดลา cd

ปรมาณของสาร โมล mol

- หนวยเสรม (Supplementary units) มอย 2 หนวย คอ

มมระนาบ เรเดยน rad

มมตน สตเรเดยน sr



- หนวยอนพทธ (Derived units)

อยในเทอมของหนวยมลฐานเดม เชน

มชอหนวยและสญลกษณขนพเศษ เชน

- คาอปสรรค (Prefixes)

ทศดชน คานาหนา อกษรยอ ทศดชน คานาหนา อกษรยอ

1018

1015

1012

109

106

103

102

10

exa

peta

tera

giga

mega

kilo

hector

deca

E

P

T

G

M

k

h

da

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

deci

centi

milli

micro

nano

pico

femto

atto

d

c

m

μ

n

p

f

a



1.6 การแปลงหนวย

- หนวยความยาว

1 ft = m

1 mi = = = m

1 mi = km

1 in = m

- หนวยแรง

1 lb = N

- หนวยมวล

1 slug = lb s2/ft = kg

1 pound mass = kg



บทท 2 Force Vectors

2.1 การคณและการหารเวกเตอรดวยสเกลาร

2.2 การบวกเวกเตอร

กฏสเหลยมดานขนาน

กฎสามเหลยม

กฎ cosine

กฎ sine

A 2A ‐A 0.5A

A B

R

A

B R

A

B R

A

B R

a b

c

A B

C



ตวอยางท 2.1 จากรป จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธ



ตวอยางท 2.2 จากรป จงหาขนาดและทศทางของแรงประกอบตามแนวแกน u และ v



ตวอยางท 2.3 จากรป จงหาขนาดของแรง F และแรงลพธทเกดจากแรง F กบแรง 200N



2.3 การแตกแรงและการรวมแรงบนระนาบ 2 มต

การหาแรงลพธจากแรงยอยหลายแรงกระทาทจดเดยว

แรง 1F , 2F และ 3F กระทาทจด O และทามม 321 ,, θθθ กบแกน x ตามลาดบ ใหแตกแรงแต

ละแรงลงบนแกน x และ y กอน จากนนจงรวมแรงยอยในแตละแกน

xF

yF F

x

y

θ

1F

2F

3F

1θ 2θ

3θ x

y

x

y

θ

∑= xx FR

∑= yy FR R

≡



ตวอยางท 2.4 จากรป จงหาแรงประกอบในรปของเวกเตอรตามแนวแกน x และ y ของแรง F1 และ F2









2.4 แรงในระบบแกนพกดฉาก 3 มต

องคประกอบของแรง

x

y

z

xF

yF

zF

F

xθ yθ

zθ



เวกเตอรหนงหนวยของแรง F ( ) n

จาก

เวกเตอรหนงหนวย คอ

หรอ เมอ n อยในแนวกระทาของแรง F



ตวอยางท 2.7 จากรป จงเขยนแรง F ในรปของเวกเตอร



ตวอยางท 2.8 จากรป จงหาขนาดและมมของแรงลพธทเกดขน



ตวอยางท 2.9 จากรป จงเขยนแรง F ในรปของเวกเตอร



ตวอยางท 2.10 จากรป จงหาขนาดของแรง F2 และมมทแรง F2 กระทาตอแกน x, y และ z เมอแรงลพธ

(FR) ทเกดจากแรง F1 และ F2 นมคาเทากบ 800 N และมทศทางตามแนวแกน +y



การพจารณาจากขนาดของแรงและจดองจดบนแนวกระทาของแรง

เวกเตอรบนแนวกระทาของแรงคอ r มองคประกอบ คอ

ขนาดของแรง

เวกเตอรหนงหนวยของแรง r คอ

เมอมแรงทมากระทามากกวาหนงแรง



สภาวะสมดลของแรงในระบบพกดฉาก;



ตวอยางท 2.11 จากรป เชอกถกยดไวทจด A และ B จงหาขนาดความยาวของเชอกเสนน และทศทาง

เมอวดจากจด A



ตวอยางท 2.12 จากรป ชายคนหนงดงเชอกดวยแรง 350 N จงแสดงแรงดงนทกระทาตอจด A ในรป

ของเวกเตอรและทศทางของแรงดงน



ตวอยางท 2.13 จากรป จงแสดงแรงดง FB ในรปของเวกเตอร



ตวอยางท 2.14 จากรป หลงคาถกยดไวดวยเคเบล FAB = 100 N และ FAC = 120 N ทจด A จงหาแรง

ลพธในรปของเวกเตอร



2.5 คณสมบตของผลคณสเกลาร (Dot product)

1. การสลบทได

ถา kPjPiPP zyx ++= และ kQjQiQQ zyx ++=

ดงนน

θ

P

Q



2. การกระจายเทอม

3. เวกเตอรหนงหนวย

4. ถา 0 =⋅QP แสดงวา 0 =P และ 0 =Q หรอ P และ Q เปนเวกเตอรทตง

ฉากซงกนและกน



ตวอยางท 2.14 จากรป แรง F กระทาตอโครงสรางในแนวระดบ จงหาขนาดของแรงประกอบของแรง F

ทขนานและตงฉากกบชนสวน AB



ตวอยางท 2.15 จากรป จงหามม θ และแรง F ตามแนวชนสวน BA



บทท 3 Equilibrium of a Particle

3.1 2 มต

3.2 3 มต

3.3 Springs

เมอ F = แรงดง

k = คาคงทของสปรง (spring constant or stiffness)

s = ระยะทสปรงยดออก จาก lo เปน l

x

y

F1 F2

F3 F4

z

y

F2

x

F1



ตวอยางท 3.1 จากรป จงหาแรงดงในเสนเชอก BA และ BC เมอนาหนกของวตถ D เทากบ 60 kg



ตวอยางท 3.2 จากรป เมอเสนเชอก AB และ AC สามารถรบแรงไดมากทสด 10 kN และกลองทถกยด

ไวมนาหนก 200 kg จงหามม θ ทนอยทสดกอนทเชอกจะขาด



ตวอยางท 3.3 จากรป จงหาความยาวของเชอก AC ทสามารถยดโคมไฟทหนก 8 kg กบสปรงทม

ความยาวกอนยดเทากบ 0.4 m และคาคงทของสปรงเทากบ 300 N/m



ตวอยางท 3.4 จากรป จงหาแรงในเสนเชอก AD, AC และระยะยดของสปรง เมออยในสภาวะสมดล



ตวอยางท 3.5 จากรป โคมไฟหนก 10 kg ถกยดไวดวยเชอกสามเสนทมความยาวเทากน จงหาระยะ

ในแนวดง s ทนอยทสด เมอเชอกทงสามเสนนรบแรงไดไมเกน 50 N



ตวอยางท 3.6 จากรป จงหาแรงดงในแตละเสนเชอก เพอรองรบนาหนก 40 kN



ตวอยางท 3.7 จากรป จงหาแรงดงในแตละเสนเชอก AB, AC และ AD เพอรองรบนาหนก 100 kg



บทท 4 Force System Resultants

4.1 Moment

ขนาดของโมเมนต:

ทศทางของโมเมนตเปนไปตามกฎมอขวา

เปน + เมอทวนเขมนาฬกา

เปน – เมอตามเขมนาฬกา

เมอมแรงมากกวา 1 แรงททาใหเกดโมเมนต

สามารถหาคาโมเมนตรวมไดดงน



ตวอยางท 4.1 จากรป จงหาโมเมนตของแรงรอบจด O



ตวอยางท 4.2 จากรป จงหาโมเมนตลพธของแรงทงส รอบจด O



4.2 คณสมบตของผลคณเวกเตอร (Cross product)

คอ ผลคณระหวางขนาดของเวกเตอร 2 ตว กบคาไซนของมมระหวางเวกเตอรทงสอง แนว

กระทาของผลคณเวกเตอรทไดมทศตงฉากกบระนาบของเวกเตอรทงสอง ซงเปนไปตามกฎสกรมอขวา

(Right hand rule)

คณสมบตของผลคณเวกเตอร

1. กาหนดให kPjPiPP zyx ++= และ kQjQiQQ zyx ++=

2. ไมเปนไปตามคณสมบตสลบท

P

Q C

θ

ระนาบของ P และ Q



3. คณสมบตการกระจายเทอม

4. เมอตวคณเปนปรมาณสเกลารขนาด m เทา พบวา

5. สาหรบเวกเตอรหนงหนวย



ตวอยางท 4.3 จงหา BA × และ AB ×− เมอ k 7 j 5 i 3 −+−=A และ

k 5 j 8 i 10 −−=B



4.3 Moment of a Force – Vector Formulation

โมเมนตของแรง F รอบจด O หรอรอบแกนทผานจด O และตงฉากกบระนาบของจด O สามารถ

หาไดจากสมการดงน

ขนาด

ทศทางเปนไปตามกฏของมอขวา

2 มต: โมเมนตของแรงในระบบพกดฉากรอบจดกาเนด

จากรป z = 0, Fz = 0 ดงนน Mx = My = 0

y

x

z

j y

i x k M zM=

r

j yF

i xF

F

A(x,y,0)



2 มต: โมเมนตของแรงในระบบพกดฉากทจดใด ๆ ทไมใชจดกาเนด

จากรป (zA – zB) = 0, Fz = 0 ดงนน Mx = My = 0

3 มต: โมเมนตของแรงในระบบพกดฉากรอบจดกาเนด

จากรป

y

x z

( ) i BA xx −

( ) j BA yy − B/Ar i xF

j yF F

k BB MM =

y

x

z

i xF

j yF

k zF

i x

j y

k z

r

0

A(x,y,z)



กาหนดให Mx, My, Mz คอ องคประกอบของโมเมนตของแรง F รอบแกน x, y, z ตามลาดบ

ดงนน

3 มต: โมเมนตของแรงในระบบพกดฉากทจดใด ๆ ทไมใชจดกาเนด

จากรป

x

y

z

j )( BA yy −

i )( BA xx −

k )( BA zz −

i xF

j yF

k zF A/Br

o

B

A(x,y,z)



4.4 Resultant Moment of a System of force



ตวอยางท 4.4 จากรป จงหาโมเมนตทเกดจากแรง F รอบจด O กาหนดใหแสดงคาในรปเวกเตอร



ตวอยางท 4.5 จากรป จงหาโมเมนตลพธรอบจด O กาหนดใหแสดงคาในรปเวกเตอร



4.5 Principle of Moment









ตวอยางท 4.8 จากรป จงหาโมเมนตลพธจากทงสามแรงรอบแกน x, y และ z



ตวอยางท 4.9 จากรป จงหาโมเมนต MAB ทเกดจากแรง F รอบแกน AB



ตวอยางท 4.10 จากรป จงหาขนาดของโมเมนตทเกดจากแรง F รอบชนสวน OA



4.6 โมเมนตของแรงคควบ (Moment of couple)

แรงคควบ (Force of couple) คอ แรง 2 แรงทกระทาตอวตถหนง ๆ ซงแรงคนมขนาดเทากน

ทศทางตรงกนขาม และแนวกระทาของแรงทงคไมอยบนเสนตรงเดยวกน แนวกระทาของแรงคควบน

จะขนานกนหรอไมขนานกนกได จงทาใหวตถไมมการเคลอนทแบบเลอนตาแหนง วตถจะหมนอยาง

เดยวเทานน

โมเมนตของแรงคควบ (Mc) คอ ผลคณระหวางแรงแรงหนงของแรงคควบกบระยะทางวดตงฉาก

รวมระหวางแนวกระทาของแรงคควบทงสองนน

โมเมนตของแรงคควบเปนเวกเตอรอสระ ซงมขนาดและทศทางคงท มเพยงแตแนวกระทาของ

โมเมนตนนทสามารถเคลอนยายได

โมเมนตของแรงคควบกระทาตงฉากกบระนาบของแรงคควบ และมทศทางการหมนเปนไปตาม

กฎสกรมอขวา



ตวอยางท 4.11 จากรป จงหาโมเมนตลพธของแรงคควบ



ตวอยางท 4.12 จากรป จงหาขนาดและทศทางของโมเมนตแรงคควบทกระทาตอเกยร



ตวอยางท 4.13 จากรป จงหาโมเมนตแรงคควบทกระทาตอทอ AB



ตวอยางท 4.14 จากรป จงหาโมเมนตลพธของแรงคควบทกระทาตอทอ



4.7 Simplification of a Force and Couple System

ตวอยางท 4.15 จากรป จงหาแรงลพธและโมเมนตของแรงคควบทกระทา ณ จด O



ตวอยางท 4.16 จากรป จงหาแรงลพธและโมเมนตของแรงคควบทกระทา ณ จด O



ตวอยางท 4.17 โมเมนตแรงคควบ M และแรง F1 และ F2 กระทาตอโครงสราง ดงรป จงหาแรงลพธและ

โมเมนตของแรงคควบทกระทา ณ จด O



ตวอยางท 4.18 จากรป จงหาขนาดและตาแหนงของแรงลพธ



ตวอยางท 4.19 จากรป จงหาขนาดและตาแหนงของแรงลพธ



บทท 5 Equilibrium of a Rigid Body

5.1 Introduction

วตถใด ๆ จะอยในสมดลกตอเมอผลลพธของแรงทงหมดมคาเทากบศนย

ผลลพธของแรงทงหมด หมายถง แรงลพธและแรงคควบลพธ

5.2 Equilibrium in 2D

Free Body Diagram ดงแสดงในรป

ในระบบ 2 มต นยมตงแกน x-y ในผงวตถอสระ

สมการสมดลในรปเวกเตอร;

สมการสมดลในรปสเกลาร;





ตวอยางท 5.1 จากรป จงวาด Free Body Diagram ของคานสมาเสมอทมมวล 100 kg

ตวอยางท 5.2 จากรป จงวาด Free Body Diagram เมอทจด B เกดแรง 100 N



ตวอยางท 5.3 จากรป จงวาด Free Body Diagram เมอแตละทอมมวล 300 kg

ตวอยางท 5.4 จากรป จงวาด Free Body Diagram เมอ Platform มมวล 200 kg



ตวอยางท 5.5 จากรป จงหาแรงปฏกรยาทจด A และ B เมอไมคดนาหนกของคาน



ตวอยางท 5.6 จากรป จงหาแรงดงของเชอกทจด C และแรงปฏกรยาทจด A



ตวอยางท 5.7 จากรป จงหาแรงปฏกรยาทจด A



ตวอยางท 5.8 จากรป จงหาโมเมนตและแรงทเกดขนรอบจด A



ตวอยางท 5.9 จากรป จงหาแรงปฏกรยาทจด A และ B



ตวอยางท 5.10 จากรป จงหาแรงปฏกรยาทจด A, B และ C



ตวอยางท 5.11 จากรป จงหาแรงดงในเสนเชอกทงสองเสนทใชดงสวนทายของรถบรรทก



ตวอยางท 5.12 จากรป จงหาแรงปฏกรยาทจด A และ B



5.2 Equilibrium in 3D

Free Body Diagram ดงแสดงในรป

ในระบบ 3 มต จะพจารณาทงแกน x, y, z ในผงวตถอสระ

สมการสมดลในรปเวกเตอร;

สมการสมดลในรปสเกลาร;







ตวอยางท 5.13 จากรป จงวาด Free Body Diagram



ตวอยางท 5.14 จากรป จงหาแรงปฏกรยาทจด A, B และ C เมอแผนระนาบนมมวล 100 kg



ตวอยางท 5.15 จากรป จงหาแรงปฏกรยาทจด A, B และ C



ตวอยางท 5.16 จากรป จงหาแรงดงในเสนเชอก AB และ AC เมอรองรบกระถางทมนาหนก 375 N



ตวอยางท 5.17 จากรป จงหาแรงปฏกรยาทจด A และแรงดงในเสนเชอก BD และ BE



ตวอยางท 5.18 จากรป จงใชสมการสมดลเพยงหนงสมการเพอหาแรงดงในเสนเชอก BC



5.3 Two-Forces Member

คณสมบต

5.4 Three-Forces Member

คณสมบต



ตวอยางท 5.19 จากรป จงหาแรงทเกดขน ณ จด A



บทท 6 Structural Analysis

ในบทนจะพจารณาหาคาแรงในชนสวนของโครง Truss ดวยการใชวธ ณ ขอตอ (Method of

Joints) และดวยวธการตด section (Method of Section) ของโครง Truss นอกจากน จะหาคาแรงใน

ชนสวนทถกกระทาโดยเครองจกร (Frames and Machines) ภายใตขอสมมตฐานทวา ถาโครง Truss

อยในสภาวะสมดล ชนสวนแตละชนกจะอยในสภาวะสมดลดวย



6.1 Method of Joints

ตวอยางท 6.1 จากรป จงหาแรงภายในสาหรบแตละชนสวน และระบวาเปนแรงดงหรอแรงอด









ตวอยางท 6.4 จากรป จงหาระบวาชนสวนใดมคาแรงภายในเปนศนย (Zero-force members)



6.2 Method of Section

ตวอยางท 6.5 จากรป จงหาแรงภายในชนสวน GE, GC และ BC และระบวาเปนแรงดงหรอแรงอด



ตวอยางท 6.6 จากรป จงหาแรงภายในชนสวน CF และระบวาเปนแรงดงหรอแรงอด



ตวอยางท 6.7 จากรป จงหาแรงภายในชนสวน EB และระบวาเปนแรงดงหรอแรงอด



6.3 Frames and Machines

ตวอยางท 6.8 จากรป จงหาวาด Free Body Diagram สาหรบแตละชนสวน และสาหรบ pin B

ตวอยางท 6.9 จากรป จงหาวาด Free Body Diagram







ตวอยางท 6.12 จากรป จงหาแรงประกอบในแนวระดบและแนวดง ณ จด C



ตวอยางท 6.13 จากรป จงหาแรงประกอบของแรงปฏกรยา ณ จดรองรบ A และ C



ตวอยางท 6.14 จากรป ลฟตยกรถมมวล 500 kg ถกยกขนดวยมอเตอร A และใชระบบลอก ถาการ

เคลอนทของลฟตมความเรวคงท จงหาแรงดงในเสนเชอกทงสองเสนน เมอไมคดนาหนกของเชอกและ

รอก



ตวอยางท 6.15 จากรป คานสองตวถกยดกนไวดวยเชอก BC และทอนเหลก DE จงหา (1) แรง

ปฏกรยาทจด A และ F และ (2) แรงในเสนเชอก BC และทอนเหลก DE



ตวอยางท 6.16 จากรป ผชายหนก 75 kg พยายามดงคานทหนก 40 kg ขน จงหาแรงดงในเสนเชอกท

จด B และแรงปฏกรยาทผชายกระทาตอคาน



ตวอยางท 6.17 ทรงกระบอกหนก 50 kg ถกยดไวดงรป จงหาแรงประกอบในแนวระดบและในแนวดง

ของแรงปฏกรยาทจด A และแรงทจด C



บทท 7 Internal Forces

7.1 Internal Forces Developed in Structural Member

ในการออกแบบโครงสรางหรอชนสวนตาง ๆ มความจาเปนทจะตองทราบ Load ทมากระทาตอ

ภายในชนสวนนน เพอมนใจวาวสดทนามาทาชนสวนจะรบ Load ได

การหา Internal Forces จะใช Method of Section

FBD ณ จด ใชกฎขอท 3 ของนวตน ดงนน แตละแรงจงมทศทางทตรงกนขาม

ในการหาคา NB, VB, MB จะใชหลกของสมการสมดล คอ



ในระบบ 3 มต

การพจารณาเครองหมาย +, -

Normal force

Shear force

Bending moment



ตวอยางท 7.1 จากรป จงหา Normal force, Shear force และ Bending moment ทจด B และ C



ตวอยางท 7.2 จากรป จงหา Normal force, Shear force และ Bending moment ทจด C



ตวอยางท 7.3 จากรป จงหา Normal force, Shear force และ Bending moment ทจด B



ตวอยางท 7.4 จากรป จงหา Normal force, Shear force และ Bending moment ทจด E



7.2 Shear and Moment Equations and Diagram

จะพจารณาเฉพาะในคาน ซงจะได Shear diagram และ Bending-moment diagram

ขนตอนการวเคราะห

- คานวณหาแรงปฏกรยาในแตละจดรองรบ

- ในคานใหระบระยะคานเปนคา x ใด ๆ

- เขยน FBD และหาคา V กบ M โดยทจะตองระบเครองหมาย V กบ M ในทศทางของ + ท

ถกตอง

- เขยน Shear diagram (V กบ x) และ Bending-moment diagram (M กบ x) โดยทถา

คาทคานวณไดเปน “ + ” diagram จะอยดานบนของแกน x ในทางตรงกนขาม ถาเปน “ - ” diagram

จะอยดานลางของแกน x

x



ตวอยางท 7.5 จากรป จงเขยน Shear diagram และ Bending-moment diagram






7.3 Relations between Distributed Load, Shear, and Moment

Relations between Distributed Load and Shear

Relations between Shear and Moment

* จาก moment diagram ทจดสงสดของโมเมนต 0=ΔΔ

xM และ

xMVΔΔ

= ดงนน จดบนคาน

ทแรงเฉอนเปนศนยจะเปนจดทมโมเมนตสงสด












บทท 8 Friction

8.1 Dry Friction

Dry Friction หรอ ความเสยดทานคลอมบ (Coulomb friction) เปนความเสยดทานของ

ผวสมผสทสมผสโดยตรง แรงเสยดทานจะอยในทศทางตรงกนขามกบทศทางการเคลอนทหรอทศทาง

ทมแนวโนมจะเคลอนท

(1) สมดล: วตถไมเคลอนท (2) สมดล: วตถไมเคลอนท

เมอ Fmax = แรงเสยดทานสถตสงสด

sμ = สปส. ความเสยดทานสถต

(3) สมดล: วตถเรมจะเคลอนท N = แรงปฏกรยาในแนวตงฉาก

เมอ Fk = แรงเสยดทานจลน

kμ = สปส. ความเสยดทานจลน

(4) วตถเคลอนท

m

w

N

m

w

N

P

F

m

w

N

P Fk

R kφ



8.2 ตวอยางการเขยน FBD สาหรบแรงเสยดทาน



ตวอยางท 8.1 จากรป กลองมมวล 20 kg ไดรบแรง P = 80 N และม 3.0=sμ จงหาแรงเสยดทาน

(F), N และระยะท N เกดขน (x)



ตวอยางท 8.2 จากรป จงหาสมประสทธความเสยดทานสถตระหวางรถกบกระบะ เมอมมยก o25=θ



ตวอยางท 8.3 จากรป เมอทอนเหลกมมวล 10 kg วาดพงกาแพงทจด B และปลายทอนเหลกอยทจด

A เมอ 3.0=sμ จงหามม θ ทนอยทสดและคา N เมอทอนเหลกนกาลงจะเลอนไถล



ตวอยางท 8.4 จากรป ทจด B มทอนไม BC วางคาอย ถาสมประสทธแรงเสยดทานสถตทจด B และ C

คอ 2.0=Bμ และ 5.0=Cμ ตามลาดบ จงหาแรง P ทจะตองใชในการดงทอนไม BC ออกจากคาน

AB



ตวอยางท 8.5 จากรป มวล A = 3 kg และมวล B = 9 kg จงหาแรง P ทมากทสด เมอกระทาทจด C

แลวไมทาใหเกดการเคลอนทใด ๆ กาหนดให 3.0=sμ



8.3 ลม (Wedges)



ตวอยางท 8.6 จากรป กอนหนมวล 500 kg และอยในแนวระดบไดดวยลม B และม 3.0=sμ จงหา

แรง P ทนอยทสดทจะดงลมออก สมมตวาทจด A ไมมการเลอนไถล



ตวอยางท 8.7 ถาใชลม 5 องศาสองตวประกอบกนสาหรบปรบตาแหนงของเสาซงรบแรงกด 5 kN

กาหนดให สมประสทธความเสยดทานทกผวสมผสเทากบ 0.4 จงหาแรง P ดนลมในการยกเสาให

สงขน

P P

5 kN

5o 5o



บทท 9 Center of Gravity and Centroid

9.1 Center of Gravity, Center of Mass, and the Centroid of a Body

Center of Gravity

Center of Mass of a Body



Center of a Volume

Center of an Area



Center of a Line

ถาวตถมความหนาแนนเทากนตลอดทงรปทรง จดศนยกลางมวลจะหาจากการสมมาตรของ

วตถ และจดศนยกลางมวลนมชอเรยกวา จด Centroid



ตวอยางท 9.1 จากรป จงหา Centroid






ตวอยางท 9.3 จากรป จงหาคา y









ตวอยางท 9.6 จากรป จงหาคา y



9.2 Composite Bodies

เมอวตถ A ประกอบดวยวตถ B, C, D มมวล mB, mC, mD และตาแหนง centroid ท GB, GC, GD

สามารถหาตาแหนง centroid ของวตถ A ไดโดย

ในทานองเดยวกน

สรป

Center of Mass of a Body



Center of a Volume

Center of an Area

Center of a Line



ตวอยางท 9.7 จากรป จงหา centroid ของรปผสม







40 mm 60 mm

120 mm

80 mm

60 mm




100 mm

25 mm 50 mm 25 mm

20 mm

80 mm



บทท 10 Moment of Inertia

10.1 Moment of Inertia for Area

โมเมนตความเฉอยของพนทหรอโมเมนตทสองของพนท ( ) ( )∫ AreaDistance 2 d แบงตามชนด

ของแกนเปน 2 ชนด คอ

10.1.1 โมเมนตความเฉอยรอบแกนฉาก

โมเมนตความเฉอยของพนท dA รอบแกน x;

โมเมนตความเฉอยของพนท dA รอบแกน y;

ดงนน โมเมนตความเฉอยของพนท dA รอบแกน x;

โมเมนตความเฉอยของพนท dA รอบแกน y;



10.1.2 โมเมนตความเฉอยเชงขว

คอ โมเมนตความเฉอยของพนทรอบแกนทตงฉากกบระนาบพนท จากรปขางบนพนท A อยใน

ระนาบ x-y

ดงนน โมเมนตความเฉอยของพนท dA รอบแกนตงฉาก (แกน z) จะได

โมเมนตความเฉอยของพนท dA รอบแกน z คอ

โมเมนตความเฉอยของพนท มหนวยเปน (ความยาว)4 เชน ในระบบ SI คอ m4 หรอ mm4



10.2 Parallel-Axis Theorem for an Area

จากรป แกน x’-y’ ผานจด C ของพนท A

โมเมนตความเฉอยของพนทรอบแกน x ทขนานกบแกน x’;

โมเมนตความเฉอยของพนทรอบแกน y ทขนานกบแกน y’;

ดงนน



10.3 Radius of Gyration of an Area

เมอพนททจะหาโมเมนตความเฉอยเปนแถบยาว ๆ หรอเปนวงแหวน

เมอ kx คอรศมการหมน หรอรศมไจเรชน

จาก



ตวอยางท 10.1 จากรป จงหาโมเมนตความเฉอยของพนทรปสเหลยม (a) รอบแกน x’ (b) รอบแกน xb

และ (c) รอบแกน z’ หรอแกนทตงฉากกบระนาบ x’-y’



ตวอยางท 10.2 จากรป จงหาโมเมนตความเฉอยของพนทรอบแกน x



ตวอยางท 10.3 จากรป จงหาโมเมนตความเฉอยของพนทรอบแกน x





10.4 Moment of Inertia for Composite Areas

สามารถหาโมเมนตความเฉอยของพนทแตละสวนรอบแกนเดยวกน โดยอาศยหลกการยายแกน

แลวนามารวมกน

เมอ I = โมเมนตความเฉอยของพนททมรปผสม



ตวอยางท 10.4 จากรป จงหาโมเมนตความเฉอยของพนทรปผสม



ตวอยางท 10.5 จากรป จงหา centroid และโมเมนตความเฉอยของพนทรปผสม(Ix’, Iy’) รอบจด

centroid

y'

x'

Documents

430201 สถิตยศาสตร วิศวกรรม (Engineering Statics) ผศ.ดร.ปรียาพร โ