4689 Esercitazione B

Fisica Generale II Esercitazione B-tutorato 10-2003 1

ESERCIZI CON SOLUZIONE

POTENZIALI ELETTRICI

1. Una carica elettrica q0 = +1 mC si trova nellorigine di un asse mentre una carica negativa q1= 4 mC si trova nel punto di ascissa 1 m. Sia Q il punto dellasse dove il campo elettrico si an-nulla e P il punto di ascissa positiva dove il potenziale elettrico si annulla. Il rapporto xQ /xP vale (A) 1/3 (B) 1/2 (C) 1 (D) 2 (E) 3 Risposta. La situazione dei campi elettrici schema-tizzata nella seguente figura: A destra di q0 (ascisse positive) i due campi E0 ed E1 hanno verso opposto e la loro somma si pu annulla-re. Il punto xQ si trova come radice positiva dellequazione (dove le ascisse sono in metri)

( ) m14121 Q2QQ2Q2Q1

2Q

010 ==++

+== xxxx

x

qx

qEE

Tra le due cariche, i due campi hanno lo stesso verso e non si possono annullare. A sinistra di q1, |E1| sempre maggiore di |E2| . Perci il punto trovato lunico in cui il campo si annulla. Impo-niamo lannullamento del potenziale: si hanno due soluzioni (differenze delle ascisse tra P e le cari-che di uguale segno o di segno opposto)

( )( )

==+=+=

==+=+==

++

m5/114/1m3/114/1

01 PPPPP01

PPPPP01

P

1

P

0

xxxxx/qqxxxxx/qq

x

qx

q

Prendendo quella con ascissa positiva si ha xQ/xP = +3

2. Un dipolo elettrico, inizialmente orientato lungo lasse x, costituito da uno ione monovalente positivo, e = 1.6(1019) m, e uno negativo alla distanza d = 3(1010) m. Il dipolo viene posto in un campo elettrico uniforme di-retto verso la direzione positiva dellasse y con E = 2(105) V/m. Se il dipolo pu orientarsi nel campo elettrico la sua energia potenziale diminuisce di (A) 2eEd (B) eEd (C) eEd/2 (D) eEd/3 (E) eEd/4 Risposta. La carica positiva si sposta di d/2 nella direzione del campo elettrico il quale compie su questa un lavoro eE d/2, pari a quello compiuto sulla carica negativa, e complessivamente uguale alla perdita di energia potenziale del dipolo edE = 9.6(1024) J (risposta B). Lenergia potenziale del dipolo si pu scrivere come prodotto scalare tra il campo elettrico E e momento di dipolo qd cam-biato di segno: cosEedepotenzialeenergia == dE Tale energia minima quando campo elet-trico e momento di dipolo sono paralleli e massima quando sono antiparalleli.

3. Tre cariche con il segno mostrato in figura e con Q = 106 C sono fisse sull'asse delle x. La carica centrale a una distanza d=1m dalle cariche laterali. Una carica q (e massa m) libera di muoversi normalmente all'asse x si trova inizialmente in y0 sopra la carica centrale ad una di-stanza di 1 m dalla stessa. La carica mobile (A) si muove verso la carica centrale fino a raggiungerla (B) si allontana indefinitamente lungo l'asse y (C) sta ferma

1 0 xQ xP

E0 E1

E0 E1

q1

q0

E

d/2 ed

ed

e e

y

x

y

q

Q +Q +Q d

y0

x


(D) si allontana inizialmente dall'asse delle x ma poi torna nella posizione iniziale compiendo un moto oscillatorio (E) si avvicina inizialmente all'asse delle x ma poi torna nella posizione iniziale compiendo un moto oscillatorio Risposta. Quando la carica q molto vicina all'asse delle x (yd), prevale l'attrazione essendo complessivamente la carica sull'asse x positiva. Poich il campo elettrico cambia direzione, vi certamente un punto lungo l'asse delle y dove si annulla. Il punto di equilibrio quello dove il campo elettrico si annulla, ovvero dove nulla la derivata del potenziale elettrico generato dalle cariche Q

( )ddyydyydy

dydV

dyy

yQ

dydV

dyyQyV

305.112

220

21

21)(

3/223/222322

2/3222

22

==+=+=

+=

++

=

Perci la massa mobile si allontaner ini-zialmente dall'asse x; raggiunger e passer il punto di equilibrio. Poich l'energia potenzia-le iniziale Ep = qV(y0) negativa e l'energia potenziale all'infinito nulla, la carica mobile non ha sufficiente energia per allontanarsi in-definitamente e torner indietro compiendo un moto oscillatorio non armonico (il poten-ziale dovrebbe per questo avere un andamen-to parabolico).

Il problema si poteva risolvere anche in modo sintetico. Si verifica tracciando i vettori delle forze sulla carica mobile generate dalle cariche fisse che per q0=d la risultante diretta verso l'alto. La ca-rica non pu perci stare ferma, n pu allontanarsi indefinitamente perch l'energia potenziale ini-ziale (immediatamente calcolabile in modo numerico) minore di quella all'infinito.

4. Calcolare il campo elettrico a distanza r di un filo infinitamente lungo, posto lungo lasse x, con una densit lineare di carica 1 (in C/m). Calcolare la differenza di potenziale tra due punti a distan-za R ed R0 dal filo. Risposta. In qualunque punto P il campo elettrico sar diretto normalmente al filo in quanto non vi ragione per cui il campo abbia una componente nel verso delle x crescenti piuttosto che nel verso delle x decrescenti. Sempre per ragioni di simmetria, il modulo di E avr lo stesso valore E(r) in ogni punto a distanza r dal filo. Come superficie su cui applicare la legge di Gauss pren-diamo quella di un cilindro di raggio r che ha per asse il filo e altezza h. Il flusso di E diverso da zero solo at-traverso la superficie laterale (2pirh) ed proporzionale alla carica lh contenuta nel cilindro:

rrEhrrhE

0

1

0

1

2)()(2)(

pi

pi === E

Ep

y d

r

E

Er

h


Le superfici equipotenziali sono cilindri che hanno per asse il filo. La differenza di potenziale tra una superficie cilindrica a distanza R e una a distanza R0

RRdrrERVRV

R

R0

0

10 ln2

)()()( 0pi

==

Per R0, la differenza di potenziale V(R)V(R0) diventa infinita; non ha perci senso, in questo caso, assumere come riferimento il punto allinfinito.

5. Il potenziale elettrico nullo nel baricentro di un triangolo equilatero di lato 1 cm e nei tre vertici ABC della figura vale VA= 7 V, VB=2 V, VC=9 V; la componente Ex del campo elettrico nel baricentro stimata essere (in kV/m) (A) 0 (B) 1.1 (C) 1.2 (D)1.2 (E) 1.6 Risposta. Il campo elettrico nella direzione x il rapporto incrementale cam-biato di segno tra differenza di potenziale tra due punti con la stessa ordinata (yB=yC=y*) e differenza di ascisse: ( ) ( ) kV/m1.1/*),(*),( BCBC == xxyxVyxVEx Per calcolare Ey si pu utilizzare A ed il baricentro (stessa ascissa) oppure uno di questi due punti e il punto centrale di BC, a cui si assegna il potenziale (VB+VC)/2. Si ottengono i campi elettrici medi.

ENERGIA ELETTROSTATICA CAPACIT E CONDENSATORI

6. Se un protone (carica e) ha raggio r = 1.2(1015) m, la sua energia elettrostatica pari a circa (1 MeV= 1.6(1013) J). (A) 0.6 MeV (B) 1.6 MeV (C) 1.11 MeV (D) 0.314MeV (E) 3.0 MeV Risposta. In prima approssimazione, si pu utilizzare la formula dellenergia per la sfera conduttri-

ce carica, MeV6.042

121

0

22=

r

e

Ce

piche differisce poco (~20%) dalla formula calcolabile per

lenergia della sfera uniformemente carica r

e

0

2

203pi

7. Un condensatore formato da due piastre piane di area S = 0.1 m2 distanti d = 1 cm. Lo spazio tra le armature pieno per 3/4 di olio (r1 = 5, d1 = 0.75 cm) e per il restante 1/4 daria (r2 1, d2 = 0.25 cm). La capacit del condensatore pari a circa (A) 0.47 nF (B) 314 pF (C) 111 pF (D) 5.31 nF (E) 221 pF Risposta. Possiamo pensare al condensatore come costituito da un condensatore

1

1o1 d

SC r= in serie con 2

2o2 d

SC r=

La capacit C del condensatore complessivo

pF221)(2112

21o1

2

2

1

10

112

11 +

=

+=+=

rr

rr

rr ddSddSCCC

8. Una sfera metallica isolata caricata con 6 nC assume un potenziale di 200 V rispetto a terra. La sua capacit di

d2 = 0.25 cm

d1 = 0.75 cm r1=5

r2=1

B

A

C x

y


(A) 30 pF (B) 0.3 nF (C) 3.33 nF (D) 0.33 F (E) 333 pF Risposta. Per definizione di capacit C si ha C = Q/V= 30 pF

9. Un grande condensatore a facce piane e parallele porta una carica di 9.6 nC quando la differenza di potenziale tra le armature di 120 V. Sapendo che la superficie delle armature del condensatore S = 160 cm2, e il condensatore si trova in aria, la densit dellenergia del campo elettrico all'interno del condensatore. (NB: la costante dielettrica dellaria circa uguale alla costante dielettrica del vuoto): (A) 1152 nW/m2 (B) 20.4 mJ/m3 (C) 1.13 eV/m3 (D) 1.15 J/m3 (E) 580 nJ/m3 Risposta. Il campo elettrico all'interno del condensatore E=/0=Q/0S e la densit di energia

U EE = =12 0

2 0.02036 J/m3

Si noti che il voltaggio non serve. Tuttavia, indicata con d la distanza tra le armature si poteva pro-cedere anche alla seguente maniera:

SdQVUQSVddSVQC E 2

1/// 00 ====

Ovviamente, sostituendo lespressione di d si ritrova la formula iniziale; se il calcolo viene fatto ap-prossimando valori intermedi trovati si possono avere differenze nellultima cifra significativa (ri-sposta B). Si noti che la risposta A dimensionalmente errata.

10. Due condensatori uguali con C = 1 F sono collegati come in figura ad un generatore di tensione continua con V = 5 V. Dopo che viene chiu-so linterruttore S, lenergia elettrostatica immagazzinata, rispetto allenergia iniziale (A) diventa 1/4 (B) si dimezza (C) resta uguale (D) quadruplica (E) raddoppia Soluzione La capacit iniziale C/2 e la corrispondente energia 1

2 22C V

. Lenergia finale

2/2CV , ossia doppia di quella iniziale.

11. Tra le armature del condensatore della figura, distanti d = 1 cm, vi una diffe-renza di potenziale di V = 2 kV. Allistante t = 0 un protone (mp 1.67 1027 kg) lascia larmatura positiva e contemporaneamente un elettrone (me 9.111031 kg) lascia quella negativa. Le due particelle s'incontreranno ad una distanza dallarmatura positiva pari a circa (A) 0.5 cm (B) 0.25 cm (C) 0.5 mm (D) 0.05 mm (E) 5 m Risposta. Il campo elettrico tra le armature vale dVE /= e la forza agente sia protone sia su elettrone (carica e 1.61019 C) vale in modulo qEF = . Le accelerazioni di protone ed elettrone valgono eepp /,/ mFamFa == . Indicati con t il tempo prima della collisione e con dp, de le distanze coperte da protone ed elettrone si ha

m5//

/221

21

p

e

ep

p

ep

pp

ep

2e

2pep +

=

+=

+=+=+=

m

mdmFmF

mFd

aa

add

aa

dttataddd

Al risultato si poteva arrivare anche sinteticamente considerando che gli spazi percorsi sono inver-

samente proporzionali alle masse e che perci ep

ep

mm

mdd+

= . A denominatore lecito trascurare

la massa dell'elettrone rispetto a quella del protone, di circa 2000 volte maggiore.

C S

C

V

1 cm

e p

+ + + +


ESERCIZI CON RISPOSTA

1. Lenergia di un condensatore di 0.04 F di 0.5 J quando la sua differenza di potenziale di (A) 2 V (B) 5 V (C) 10 V (D) 25 V (E) 50 V

2. Tra i punti A e B vi una differenza di potenziale di 120 V e i condensato-ri hanno i seguenti valori: C1 = 0.3 F, C2 = 0.4 F, C3 = 0.2 F. La carica sullarmatura del condensatore C1 pari a circa (A) 1 C (B) 2 C (C) 4 C (D) 11 C (E) 24 C

3. Un condensatore da 6 F in serie con un condensatore da 12 F. La ca-pacit complessiva di (A) 2F (B) 4 F (C) 6 F (D) 8 F (E) 12F

4. Una carica puntiforme positiva di 3 C posta nel punto origine dell'asse delle x mentre una ca-rica puntiforme negativa di 1C posta nel punto di ascissa x1 = 1 m. La proiezione sul piano del disegno della superficie equipotenziale con V = 0 qualitativamente del tipo

1C 3C

1C 3C

1C 3C

1C 3C

(D)

V=0

(C)

V=0

(B)

V=0

(A)

V=0

(E) La superficie si riduce al solo punto dell'asse delle x compreso tra le due cariche dove il poten-ziale si annulla

5. Un condensatore da 20 F caricato con 600 C ed acquista una differenza di potenziale pari a (A) 0.033 V (B) 0.03 V (C) 3 V (D) 30 V (E) 33 V

B A 120 V

C3

C2 C1


6. L'energia potenziale di una carica di 1 mC portata su di una sfera di raggio R = 1 m di circa (A) 4.5 kJ (B) 9 kJ (C) 2.25 kJ (D) 1.125 kJ (E) _______

7. Un condensatore a facce piane e parallele di area 1 m2 poste nel vuoto a distanza di 1 mm viene caricato con 0.6 C e quindi staccato dal generatore. Se tra le due armature del condensatore carico viene inserito un dielettrico con r = 2, la differenza tra energia potenziale finale ed iniziale del condensatore (A) nulla (B) negativa e pari all'energia iniziale (C) positiva e pari all'energia iniziale (D) negativa e pari all'energia finale (E) positiva e pari all'energia finale

8. Due cariche +e ed una e (e=1.61019 C) sono poste su tre ver-tici di un quadrato di lato 2(1010) m come in figura. Il potenziale elettrico del quarto vertice A vale ( 04/1 pi =9109 N m2 C2) (A) 7.2 V (B) 9.3 V (C) 4.65(1010) V (D) 1.48 (1010) V (E) 1.1(1010) V

9. Considerando l'elettrone (me=9.111031 kg) dell'atomo di idrogeno in moto su di un'orbita circo-lare di raggio 5.3(1011) m attorno al nucleo 1H (carica e=1.61019 C, 1

4pi o=9109 N m2 C2), la

frequenza di rotazione di (A) 6.6(1015) Hz (B) 1.16(1016) Hz (C) 3.7(1015) Hz (D) 2.7(1011) Hz (E) 1.0(1013)Hz

10. Un condensatore isolato consiste di due piatti metallici separati da uno strato d'aria tra i quali si ha inizialmente una differenza di potenziale di 12 000 V. Se tra i piatti si inserisce una lamina di ve-tro (r =2.3) la differenza di potenziale (A) aumenta di una quantit proporzionale allo spessore della lamina (B) aumenta proporzionalmente alla separazione lamina-armature (C) non cambia (D) diminuisce e cambia di un fattore minore o uguale a 2.3 (E) diminuisce cambiando di un fattore maggiore o uguale a 2.3

11. In una sfera metallica piena e con carica positiva scavata una cavit sferica come in figura. Un elettrone al centro della cavit spinto dal campo elettrico delle cariche della sfera (A) a destra (B) a sinistra (C) in su (D) in gi (E) da nessuna parte

12. Tre elettroni sono collocati ai vertici di un triangolo equilatero di lato 0.2 nm. Il potenziale elet-trico nel baricentro del triangolo vale (A) 21.6 V (B) 37.4 V (C) 43.2 V (D) 24.9 V (E) 49.9 V

A+e

e +e

0.2 nm

elettrone

destrasinistra

gi

su


13. Un protone (massa = 1.67 1027 kg, carica = 1.61019 C) si trova inizialmente fermo sull'arma-tura positiva di un condensatore nel vuoto che ha una differenza di potenziale di 100 V. La velocit con cui il protone raggiunge l'armatura negativa del condensatore di circa (A) 36000 km/h (B) 140 km/s (C) 99 km/s (D) 199 km/s (E) 3(105) km/s

14. Un elettrone (me=9.11031 kg, q= 1.61019 C) sparato orizzon-talmente tra i piatti del condensatore della figura, a livello della arma-tura negativa, con una velocit v0 = 2.965106 m/s. Se la distanza tra le armature di d = 5 mm e la differenza di potenziale tra queste di 20 V, quale distanza orizzontale x compier l'elettrone prima di raggiun-gere l'armatura positiva? (A) 0.79 cm (B) 1.12 cm (C) 1.79 cm (D) 3.16 cm (E) 8.94 cm

15. Una carica Q al centro di un guscio sferico conduttore il cui raggio interno vale 0.055 m e quello esterno 0.075m . Se il campo elettrico alla distanza di 1 m vale 345 N/C (diretto verso lesterno) il potenziale elettrico a 0.065 m dal centro vale (in V) (A) 0 (B) 4600 (C) 5300 (D) 9800 (E) 11 500

16. Il campo elettrico in un condensatore a facce piane parallele di area uguale a 2 m2 di 2.85 kV/cm quando la sua differenza di potenziale di 120 V e le armature sono nel vuoto. La distanza tra le armature di (A) 2 mm (B) 0.42 mm (C) 3.6 cm (D) 3.0 mm (E) ________

17. Un protone (mp=1.671027 kg, q=1.61019 C) viene accelerato da una differenza di potenziale di 150 kV e urta frontalmente un atomo di carbonio (massa 12 mp) che in moto verso il protone con energia cinetica pari a quella del protone stesso. Se dopo lurto i due corpi procedono assieme, la loro velocit comune sar di circa (A) 0.4 m/s (B) 1.0 m/s (C) 1.5 m/s (D) 1.8 m/s (E) 5.4 m/s

18. La differenza di potenziale che aumenta lenergia cinetica di un protone (m=1.67 1027 kg, q=e ) di 4.3(1015) J vale (A) 0.27 MV (B) 0.13 MV (C) 13 kV (D) _______ (E) 27 kV

19. Un lungo cavo coassiale ha come conduttore interno un cilindro di raggio R1=0.1 cm e come conduttore esterno un cilindro cavo di raggio interno R2= 0.3 cm ed esterno R3=0.5 cm. Il condutto-re interno porta una carica di 5(106) C/m mentre quello esterno porta una carica di 5 (106) C/m. La differenza di potenziale tra un punto a distanza d= 0.3 cm dallasse del cavo e un punto sullasse del cavo vale (A)98.9 kV (B)62.4 kV (C) 0 (D)31.4 kV (E) ___________

20. Un condensatore con C= 2 F inizialmente isolato e con una differenza di potenziale V=1000 V ai suoi estremi. Il condensatore carico viene poi collegato ad un condensatore uguale e scarico. La differenza E= energia elettrostatica iniziale del condensatore energia elettrostatica finale complessiva dei due condensatori pari a (A) 0.25 J (B) 0.5 J (C) 1.0 J (D) 2.0 J (E)____ J

d

x

e v0


21. I potenziali elettrici nei punti del piano attorno allorigine hanno i va-lori riportati in tabella. La componente Ex del campo elettrico nellorigine vale (A) 5V/m (B) 10V/m (C) 5 V/m (D) 10 V/m (E) _______ V/m

22. La carica di un condensatore con C = 0.01 F passa da 1 C a 0.5 C. L'energia del condensatore diminuisce di (A) 18.75 J (B) 37.5 J (C) 75 J (D) 150 J (E) 300 J

23. L'energia immagazzinata in un condensatore di 5 F con una differenza di potenziale di 500 V vale (A) 0.625 J (B) 0.25 cal (C) 2.5 J (D) 2.5(10-3)J (E) indeterminata

24. Due protoni (mp=1.67 1027 kg, carica 1.61019 C) in un nucleo di nickel sono distanti circa 41015 m. La loro energia potenziale vale (in MeV) (A) 3.92 (B) 0.576 (C) 1.44 (D) 0.36 (E) 0.157

25. Nell'esperimento di Millikan una goccia di olio di 2m di raggio e densit relativa allacqua di 0.85 tenuta sospesa tra i piatti orizzontali di un condensatore quando applicato un campo elettri-co discendente di 8.72 kV/cm. Quante cariche di un elettrone contiene la goccia? (A) 2 (B) 5 (C) 7 (D) 10 (E) _________

26. La velocit massima di un elettrone in un tubo da televisore operante a 20 000 V di circa (me = 9.11031 kg) (si trascurino gli effetti relativistici) (A) 2.4(106) m/s (B) 5.9(107) m/s (C) 6.2(107) m/s (D) 8.4(107) m/s (E)_________

27. Un condensatore a facce piane e parallele ha unarea di 156 m2. La distanza tra le armature d = 0.2 mm e la costante dielettrica del condensatore r = 2.26. Se il potenziale di 75 V la carica sulle armature vale. (A) 0.47 mC (B) 1.01 mC (C) 9.8 mC (D) 1.17 mC (E) _______

28. Una carica q1 = 1.75 (106) C nellorigine e una carica q2=8.6 (107) C a x=0.75 m. Nel punto dellasse x a met tra le due cariche il potenziale elettrico vale (A) 2.14 (104) V (B) 5.46 104V (C) 3.68 104V (D) 2.74 103 V (E) 8.29 103V

x y V(x,y) 0 m 0 m 75 V 1 m 0 m 85 V 1 m 0 m 65 V 0

1 m 70 V 0 1 m 80 V


RISPOSTE AGLI ESERCIZI

Esercitazione B

1 (B) 5V 2 (E) 24 C 3 (B) 4 F 4 (A) 5 (D) 30 V 6 (A) 4.5 kJ 7 (D) negativa e pari

alla energia finale 8 (B) 9.3 V 9 (A) 6.6(1015) Hz 10 (D) diminuisce e

cambia di un fattore minore o uguale a 2/3

11 (E) da nessuna parte 12 (B) 37.4 V 13 (B) 140 km/s 14 (B) 1.12 cm 15 (B) 4600 16 (B) 0.42 mm 17 (B) 1.0 m/s 18 (E) 27 kV 19 (A) 98.9 kV 20 (B) 0.5 J 21 (D) 10 V/m 22 (B) 37.5 J 23 (A) 0.625 J 24 (D) 0.36 25 (A) 2 26 (D) 8.4(107) m/s 27 (D) 1.17 mC 28 (A) 2.14(104) V

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