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Mayo 2006 • 2006ko Maiatza 13

SIG

MA

28ESTRATEGIAS NUMÉRICAS Y OPERACIONALES DE CÁLCULO MENTAL EN EL 2º CICLO

DE PRIMARIA (I PARTE)

José Ramón Gregorio Guirles (*)

Cuando hablamos de estrategias numéricas y operacionales (cálculo mental reflexivo), nos estamos refiriendo a procesos y competencias matemáticas relacionadas con:

• El dominio de algunas estrategias y habilidades (“reflejos” numéricos), que nos sirvan para calcular mentalmente, sin necesidad de recurrir siempre a los algoritmos.

• La COMPRENSIÓN de los procesos y estrategias a utilizar y la utilización flexible e inteli-gente de los números y operaciones.

• El planteamiento de actividades donde lo importante sea pensar.

Y, evidentemente, estamos hablando de sentido numérico(i):

• Hacer cálculos mentalmente siempre que sea posible, explorando diferentes maneras de encontrar soluciones.

• Utilizar hechos numéricos bien conocidos para calcular otros de los que no se está seguro. • Capacidad de localizar errores aritméticos. • Dar respuestas numéricas aproximadas cuando proceda, y elegir el mejor nivel de exactitud

al manejar las cifras.• Utilizar la estructura del SND para facilitar los cálculos (descomponer y recomponer núme-

ros) y otras estrategias “personales”.• Discutir las técnicas empleadas con el resto de la clase.• Explicar situaciones con números y cantidades.• Sentido común al manejar números en el contexto de resolución de problemas (investiga-

ciones numéricas), y capacidad de pensar en las operaciones y problemas de diferentes maneras.

• Dominio inteligente de las relaciones y conexiones numéricas: fracción, decimal, porcentaje; por 10, por 5, por 2; dobles/mitades; propiedades de las operaciones... RED NUMÉRICA.

• Animar a los alumnos/as a explorar, cuestionar, comprobar, buscar sentido y desarrollar estrategias personales.

• Participación activa: los alumnos/as discuten sus conjeturas y las comprueban en grupo.Tienen la oportunidad de crear algoritmos y procedimientos para hallar una solución.Tener en cuenta varias formas distintas de abordar un problema.

• Centrarse en la COMPRENSIÓN de un determinado problema desde múltiples puntos de vista (mejor que abarcar el mayor número de problemas que sea posible).

• Priorizar siempre la comprensión de significados matemáticos antes de proceder algorítmica-mente (investigación matemática, cálculo mental y sentido numérico antes de los algoritmos y el lápiz y papel).

Todas las estrategias que veremos a continuación se plantean a través de dos tipos de activi-dades de aula:

(*) Asesor de infantil y primaria del Berritzegune de Sestao.

1. Observad la manera en que hago estas operaciones, coméntadlo con vuestro compañero y, si lo habéis entendido, aplicad la estrategia a estas otras operaciones.

2. Investigaciones numéricas con la calculadora: efectua estas operaciones, comenta con tu compañero/a y averigua algún “truco” o estrategia para poder hacerlo fácilmente y sin la calculadora. Las ponemos en común.

La organización del trabajo en 30 sesiones se debe tomar como algo orientativo, y compagi-narlas con las sesiones de estrategias referidas a multiplicaciones y divisiones, que veremos en el próximo número de la revista.

ESTRATEGIAS DE CÁLCULO MENTAL RELACIONADAS CON LAS SUMAS Y LAS RESTAS EN EL 2O CICLO DE PRIMARIA

1ª Sesión: Sumar buscando el 10 (asociativa de la suma)

Observa:

9 + 2 + 1 = 9 + 1 + 2 = 10 + 2 = 12

4 + 5 + 3+ 6 + 5 = 4 + 6 + 5 + 5 + 3 = 23 ¿Qué hago?

Aplica la estrategia anterior a las siguientes sumas:

Sumas Proceso y resultado

5 + 7 + 3 =

2 + 7 + 8 =

4 + 3 + 6 =

7 + 8 + 2 + 3 + 5 =

1 + 4 + 9 + 3 + 6 =

6 + 1 + 4 =

5 + 3 + 7 + 2 + 5 =

8 + 3 + 4 + 2 + 7 + 6 =

2ª Sesión: Sumar buscando el 20

Observa:

9 + 5 + 11 = 9 + 11 + 5 = 20 + 5 = 25 ¿Qué hago?


14

José Ramón Gregorio Guirles

SIGMA Nº 28 • SIGMA 28 zk.


Estrategias numéricas y operacionales de cálculo mental en el 2º ciclo de Primaria (I Parte)


15 + 7 + 5 =

18 + 7 + 2 =

13 + 7 + 9 =

12 + 2 + 8 + 3 =

5 + 7 + 3 + 15 =

6 + 1 + 19 + 14 =

4 + 10 + 16 + 5 =

18 + 12 + 2 =

3ª Sesión: Sumar completando a 30

Observa:

23 + 18 + 7 = 23 + 7 + 18 = 30 + 18 = 48 ¿Qué hago?

Aplica la estrategia anterior en las siguientes sumas:


2 + 17 + 13 =

8 + 7 + 22 =

9 + 21 + 15 =

25 + 7 + 5 + 3 =

6 + 10 + 24 + 3 =

15 + 5 + 15 =

14 + 15 + 16 =

13 + 15 + 17 =

4ª Sesión: Empezar sumando los números iguales

Observa:

5 + 8 + 8 = 5 + (8 + 8) = 5 + 16 = 21 ¿Qué hago?


16




4 + 5 + 5 =

5 + 5 + 9 =

7 + 4 +7 =

8 + 5 + 8 =

10 + 9 + 10 =

20 + 5 + 20 + 5 =

5ª Sesión

Resuelve las siguiente operaciones aplicando las estrategias 1 a 4.


21 + 5 + 5 =

12 + 8 + 25 =

23 + 7 + 7 =

16 + 7 + 4 =

6ª Sesión: Truncar números

• Significa descomponer un número: 275 = 200 + 70 + 5.

• O bien expresarlo en forma de unidades: 275 = 2 C, 7 D, 6 U.

Aplica esta estrategia para descomponer los siguientes números:

Número Descomposición Unidades

850

109

1.253

397

5.875

49



7ª Sesión: Sumar/restar decenas, centenas, millares... si tienen el mismo número de cifras (ii)

Investigación: Haz las siguientes sumas y restas con la calculadora (parejas): ¿hay alguna estrategia /truco para hacerlo fácil y sin calculadora?

Operación Resultado Conclusiones

Resultado

Conclusiones

50 + 20 =

60 + 30 =

200 + 400 =

400 – 300 =

800 + 600 =

3.000 + 5.000 =

8.000 – 7.000 =

6.000 – 2.000 =

8ª Sesión: Sumar decenas, centenas, millares... si tienen distinto número de cifras(iii)

Investigación: Haz las siguientes sumas y restas con la calculadora (parejas): ¿hay alguna estrategia /truco para hacerlo fácil y sin calculadora?

Operación Resultado Conclusiones

500 + 20 =

60 + 5 =

200 + 4 =

400 + 30 + 5 =

80 + 600 =

3.000 + 500 =

8.000 + 7 =

6.000 + 50 =

18



9ª Sesión: Sumar 10, 100, 1.000

Investigación: ¿qué pasa si a los siguientes números les sumamos 10, 100, 1.000, ...? ¿Qué pasa en cada caso?. Conclusiones(iv).

+ 10 + 100 + 1.000

12

45

890

1.525

4.840

10.000

¿Qué tiene que ver esto con la numeración y la manera de contar?. Conteo selectivo: capaci-dad de sumar 10, 100, ... a cualquier número(v).

10ª Sesión: Restar 10, 100, 1.000

¿Qué pasa si a los siguientes números les restamos 10, 100, 1.000...?. ¿Qué pasa en cada caso?. Conclusiones.

- 10 - 100 -1.000

12

45

122

450

890

1.525

4.840

10.000

¿Qué tiene que ver esto con la numeración y la manera de contar?. Conteo selectivo: capaci-dad de restar 10, 100, ... a cualquier número.

11ª Sesión: Otras actividades relacionadas con las estrategias 5 a 9

• Eliminar números en la pizarra: Se escribe una lista de números ... y por turno hay que ir eliminado cada uno, diciendo lo que le falta para llegar a 100, 1000, 10.000, 100.000.

- ¿Cuánto le falta para llegar a 100?

60 20 50 30 90



- ¿Cuánto le falta para llegar a 1.000?

300 400 500 800 100


6.000 7.000 1.000 5.000 2.000


30.000 10.000 80.000 50.000


• ¿De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número?

- ¿De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número 100 mediante sumas? Sólo podemos utilizar decenas exactas. Investigación.

- ¿De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número 1.000 mediante sumas? Sólo podemos utilizar centenas exactas. Investigación.

- ¿De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número 10.000 mediante sumas? Sólo podemos utilizar millares exactos. Investigación.

- ¿De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número 100.000 mediante sumas? Sólo podemos utilizar decenas de millar exactas. Investigación.


• Descomponer un número

- En dos sumandos iguales

1.000 = 500 + 500

50.000 = 10.000 = 800 = 60 = 60.000 = 1.000 =

- Con un sumando fijo

85 = 5 + ... 15.000 = 500 + ... 890 = 50 + ...

350 = 300 + ... 90.000 = 1.000 + ... 200 = 10 +

• Componer números de varias cifras sumando diferentes unidades de orden (bien dadas ordenada o desordenadamente o a partir de varios datos de cada unidad.)

5.000 + 300 + 40 + 1 = 5.000 + 80 =

2 + 20 + 100 = 8 + 300 =

50 + 800 + 30.000 + 3 = 40 + 2.000 =

2.000 + 1.000 + 50 + 30 +5 + 700 = 3 + 4.000 + 3.000 + 20 =


• Relacionar descomposiciones equivalentes

100 + 50 150 + 60 150 – 10 150

20



200 + 10 100 + 40

80 + 40 100 + 20

3.000 + 3.000 500 + 1.000

800 + 700 5.000 + 1.000

• Completar igualdades.

3.000 + = 12.000

500 - = 100

- 2.000 = 5

+ 400 = 650

5.000 - = 4.950

15ª Sesión: Restar números que tienen el dígito de las unidades igual

Investigación: resolver las siguientes restas y observar resultados. CONCLUSIONES.

57 – 7 = 47 – 7 =

38 – 8 = 28 – 8 =

17 – 7 = 7 – 7 =

18 – 8 = 58 – 8 =

45 – 5 = 65 – 5 =

Inventad operaciones similares.

16ª Sesión: Estrategias de redondeo de números

¿ Sabéis qué es el redondeo de números?. Comentarlo.

Actividad de ayuda a la conceptualización: sólo tenemos billetes de 10 euros para pagar; ¿siendo justos, cuánto crees que debemos para en cada caso?

Coste del producto Precio justo a pagar Coste del producto Precio justo a pagar

8 € 121 €

19 € 93 €

11 € 188 €

47 € 41 €

99 € 33 €

Y si sólo tuviéramos billetes de 100 €, ¿cuánto deberíamos pagar en estos casos?

Coste del producto Precio justo a pagar Coste del producto Precio justo a pagar

108 € 321 €

193 € 923 €



111 € 198 €

475 € 401 €

990 € 335 €

¿ Sabes ya lo que es redondear?

17ª Sesión

Aplica las estrategias de redondeo de números:

Redondea a ... Resultado

31 Decenas 30

28 Decenas

125 Centenas

89 Centenas

192 Centenas

890 Millares

1.180 Millares

3.100 Millares

89.000 Decenas de millar

18.543 Centenas de millar

• Redondea a 500 ó a 600:

Número Redondeo Número Redondeo

582 535

585 590

502 540

¿Puedes inventar otros redondeos?

18ª Sesión: Otras estrategias relacionadas con el redondeo

Estrategias de aproximación del resultado de la operación

Redondeando los sumandos (Incluso luego se puede compensar).

22



OPERACIÓN Resultado aproximado Estrategia utilizada

51 + 51

83 – 49

55 – 38

119 – 41

801 + 98

49 + 151 =

1.510 + 480 =

448 – 96 =

Estimación de las cifras del resultado de una operación, sin operar. ¿Cuántas cifras tendrá el resultado?

OPERACIÓN Nº de cifras Estrategia utilizada

10 + 50

120 + 40

800 + 70

1.000 – 40

12 + 98

134 + 689

2.054 + 128

134 + 989

1.246 + 348

19ª Sesión: 12. Sumar mentalmente números de dos cifras con resultado inferior a 100, por descomposición: sumando las decenas y luego las unidades o bien imitando la estrategia de lápiz y papel (fácil para sumas sin llevadas)

Observa:

28 + 28 = 28 + 20 + 8 = 48 + 8 = 56 Mentalmente: 28 – (y 20) – 48 – (y 8) 56

38 + 54 = 38 + 50 + 4 = 92 (Mentalmente: 38 – 88 – 92)

O bien,

28 + 28 = 20 + 20 + 8 + 8 = 40 +16 = 56. Mentalmente: 20 – (y 20) – 40 – (y 16) – 56

45 + 32 = 40 + 30 y 5 + 2 = 77



24 + 25 = 20 + 20 y 4 + 5 = 40 y 9 = 49 (2 + 2) y (4 + 5) = 4 y 9 = 49

Aplica esta estrategia:

18 + 18 =

25 + 25 =

32 + 32 =

16 + 16 =

45 + 31 =

32 + 42 =

14 + 62 =

55 + 33 =

45 + 46 =

32 + 45 =

42 + 57 =

25 + 73 =

37 + 36 =

20ª Sesión: Sumar mentalmente números de dos cifras con resultado inferior a 100, utilizando el redondeo y la compensación si alguno de los números es cercano a una decena

Observa:

29 + 41 = 30 + 40 = 70 29 + 53 = 30 + 52 = 82

Aplica esta estrategia para calcular las siguientes sumas:

39 + 45 =

14 + 19 =

29 + 21 =

25 + 79 =

16 + 19 =

49 + 17 =

38 + 21 =

59 + 41 =

24



21ª Sesión: Actividades relacionadas con las estrategias anteriores

Busca los dobles de los números y une con flechas. ¿Cómo lo has hecho?

Número Doble

600 100

15 50

50 998

4.000 96

499 8.000

25 30

48 1.200

Elegir resultados sin operar: Si sumamos ........... ¿Cuál será el resultado?

Operación Soluciones

38 + 49 = 49 88 100 87

21 + 62 = 80 83 100 43

45 + 28 = 74 90 73 103

25 + 47 = 72 100 62 70

18 + 21 = 100 29 39 49

69 + 31 = 90 38 99 100

22ª Sesión

Sumar 11:

Observa:

67 + 11 = 67 + (10 + 1) = (67 + 10) + 1 = 77 + 1 = 78

Resolver las siguientes operaciones:

83 + 11 = 11 + 59 = 68 + 11 =

25 + 11 = 48 + 11 = 89 + 11 =

Sumar 9:

Observa:

27 + 9 = 27 + (10 - 1) = (27 + 10) – 1 = 37 – 1 = 36

Resolver las siguientes operaciones:



83 + 9 = 9 + 59 = 68 + 9 =

52 + 9 = 34 + 11 = 11 + 29 =

23ª Sesión: Restar mentalmente números de dos cifras aplicando la estrategia del lápiz y papel (buena para restas sin llevadas) o descomponiendo el sustraendo

Observa:

85 – 32 = 80 – 30 y 5 – 2 = 50 y 3 = 53

85 – 32 = (8 – 3) y (5 – 2) = 5 y 3 = 53

Aplica esta estrategia para calcular las siguientes restas:

85 – 44 =

69 – 45 =

62 – 20 =

38 – 24 =

59 – 45 =

89 – 65 =

Observa:

64 – 36 = 64 – 30 – 6 (4- 2) (PM: 64, 34,30,28)

Aplica esta estrategia para hacer estas restas:

75 – 46 =

32 – 17 =

74 – 25 =

62 – 21 =

83 – 36 =

90 – 44 =

45 – 17 =

38 – 21 =

59 – 41 =

24ª Sesión: Restar mentalmente números de dos cifras redondeando y compensando

Observa:

48 – 19 = 48 – 20 + 1 (Proceso mental: 48, 28,29)

64 – 38 = 64 – 40 + 2 (PM: 64, 24, 26)

26



Aplica esta estrategia para calcular las siguientes restas:

65 – 49 =

74 – 28 =

62 – 19 =

83 – 39 =

46 – 19 =

45 – 18 =

61 – 37 =

38 – 21 =

25ª Sesión: Calcular la mitad de cualquier número de dos cifras, cuando las cifras son pares

Investigación: Opera con la calculadora y comenta con tu compañero o grupo. ¿Conclusiones?. ¿Hay alguna manera fácil de hacerlo sin usar la calculadora?

Número Su mitad Conclusiones

20

28

46

60

84

88

26ª Sesión: Calcular la mitad de cualquier número de dos cifras, cuando la cifra de las decenas es impar

Investigación: Opera con la calculadora y comenta con tu compañero o grupo. ¿Conclusiones? ¿Hay alguna manera fácil de hacerlo sin usar la calculadora?


18

36

56

50

74

98



27ª Sesión: Calcular la mitad de un número de tres cifras, siempre que las tres cifras sean pares

Investigación. Opera con la calculadora y comenta con tu compañero o grupo. ¿Conclusiones?. ¿Hay alguna manera fácil de hacerlo sin usar la calculadora?


284

648

460

806

444

862

28ª Sesión: Sumar buscando el 100 (asociativa de la suma)

Observa:

40 + 50 + 3 + 60 + 50 = 40 + 60 + 50 + 50 + 3 = 203

Aplica esta estrategia para realizar las siguientes sumas:


70 + 80 + 20 + 30 + 50 =

10 + 40 + 90 + 30 + 60 =

60 + 1 + 40 =

50 + 30 + 70 + 20 + 50 =

80 + 30 + 40 + 20 + 70 + 60 =

Puedes inventar ejemplos para otras estrategias: Buscar el 1.000

Otros ejemplos de recolocación de la suma:

53 + 26 + 17 = (53 + 17) + 26 = 70 + 26 = 96

Aplica:

42 + 36 + 14 =

61 + 12 + 29 =

38 + 35 + 22 =

28



29ª Sesión: Otras actividades que implican conocimientos estratégicos de sumas y restas

Comparación de expresiones

Di sin operar si el resultado de la operación de la izquierda es MAYOR, MENOR O IGUAL que el resultado de la operación de la derecha. Explica la razón(vi) (estrategias que has utilizado).

10 + 30 20 + 50

25 + 80 25 + 90

20 + 20 3 x 20

100 + 125 125 + 100

10 + 5 + 30 30 + 8 + 10

60 – 50 50 – 60

420 + 420 + 420 4 x 420

72 + 73 + 74 73 x 3

543 + 709 + 146 + 32 309 + 32 + 543 + 146

30ª Sesión

Calcula con la calculadora las operaciones o números desconocidos (conceptualización de operaciones).

Número OPERACIÓN Número Igual a Resultado

215 + 45 =

48 + = 150

+ 251 = 500

55 32 = 87

142 155 =

345 – 199 =

125 35 = 90

8.500 – = 650

125 35 =

– 320 = 45



NOTAS

(i) Fuente: Juan Emilio García.

(ii) CONCLUSIONES: relacionadas con la idea de que sólo tenemos que sumar las cifras distintas de cero, y luego añadir los ceros.

50 + 40 = (5+4) 0 = 90. 200 + 500 = (2+5) 00 = 700. 3.000 + 9.000 = (3+9) 000 = 12.000.

(iii) CONCLUSIONES: relacionadas con la idea de COMPOSICIÓN DE NÚMEROS (proceso inverso a la descomposición), y valor posi-cional del S.N.D.

50 + 40 = (5+4) 0 = 90. 200 + 500 = (2+5) 00 = 700. 3.000 + 9.000 = (3+9) 000 = 12.000.

(iv) Sumar 10 es añadir uno a la segunda cifra del número (decenas).

Sumar 100 es añadir uno a la tercera cifra del número (centenas).

Sumar 1.000 es añadir uno a la cuarta cifra del número (millares).

(v) Restar 10 es quitar uno a la segunda cifra del número (decenas).

Restar 100 es quitar uno a la tercera cifra del número (centenas).

Restar 1.000 es quitar uno a la cuarta cifra del número (millares).

(vi) Adaptado de David Barba.

BIBLIOGRAFÍA

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FE DE ERRATAS

En la página 16 del nº 27 de la revista SIGMA, artículo “La resolución de problemas en Primaria”, aparece una errata en el cuadro sobre los problemas escalares pequeños. Lo correcto debiera ser:

4 • Nashtia tiene 30 euros. Diego tiene 5 veces menos dinero que Nashtia ¿Cuánto dinero tiene Diego?

Congruente2º

5 • Patricia tiene 9 euros, y tiene 3 veces menos dinero que Hassan. ¿Cuánto dinero tiene Hassan?

No congruente3º

6 • Esteban tiene 36 euros. Carolina tiene 9 euros. ¿Cuántas veces menos dinero tiene Carolina que Esteban?

Congruente2º-3

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