-
7/29/2019 4_fractii
1/4
Fracii
Definiie: Una sau mai multe pri dintr-un ntreg care a fost mprit
n mai multe priegale reprezint o FRACIE (din acel ntreg). Numrul
care ne arat n cte pri a fostmprit ntregul, a, se numete numitor
iar numrul care ne arat cte pri au fost luate,b, se numete numrtor.
Fracia se scrie a/b.Astfel: 1/2, 3/8, 7/3, 14/1, 890/650 sunt
fracii.Considerarea fraciei 1/2 dintr-un ntreg oarecare, presupune
mprirea acelui ntreg n doupri egale din care se ia o parte.
Observm c fracia 1/2 reprezint o jumtate sau o doime din ntreg.
Denumirea de doime estedat de numitorul 2. Fraciile cu numitorul 3
le vom numi treimi, cele cu numitorul 4 vor fiptrimi, cincimi le
vom spune dac au numitorul 5, zecimi le vom spune dac au numitorul
10,sutimi le vom spune dac au numitorul 100, miimi le vom spune dac
au numitorul 1000.Concluzionm ca numitorul numete fracia, dar numai
n anumite situaii. Fracia 13/2004 ocitim "13 supra 2004" sau "13 pe
2004", n acest caz, ca n foarte multe alte cazuri, neavnd untermen
generic pentru fraciile cu numitorul 2004.Numrtorul numr cte pari
sau luat din ntregul care a fost mprit (n pri egale).
Observm c fracia 4/4 este chiar ntregul, celelalte fracii fiind
mai mici dect un ntreg. Dacar trebui s reprezentm fraciile 5/4 sau
23/4 constatm c nu ne-ar ajunge un singur ntreg, decipentru
reprezentarea lor am avea nevoie de mai muli ntregi. Este uor s ne
imaginm c pentrureprezentarea fraciei 5/4 avem nevoie de un ntreg
pe care-l mprim n 4 pri egale pe care lelum, i de nc un ntreg din
care ne mai trebuie o ptrime. Adic 5/4 nsemn un ntreg i nc o
-
7/29/2019 4_fractii
2/4
ptrime, oricum mai mult de un ntreg.Comparnd fraciile cu ntregul
vom avea:
fracii subunitare, fracii care sunt mai mici dect un ntreg: 1/2,
1/3, 3/5, 13/45 etc.Pentru aceste fracii, numrtorul este mai mic
dect numitorul.
fracii echiunitare, fracii care sunt egale cu un ntreg: 1/1,
3/3, 5/5, 13/13 etc. Pentruaceste fracii, numrtorul este egal cu
numitorul. fracii supraunitare, fracii care sunt mai mari dect un
ntreg: 4/1, 5/3, 12/5, 45/13 etc.
Pentru aceste fracii, numrtorul este mai mare dect
numitorul.
n cazul fraciilor supraunitare ne punem problema "de ci ntregi
avem nevoie pentru areprezenta fracia". Operaia respectiv poart
numele de scoaterea ntregilor din fracie.Pentru aceasta mprim
numrtorul la numitor gsind ctul i restul. Ctul reprezint
numrulntregilor iar restul numrul prilor fracionare care trebuie
adugate. Astfel, dac avem fraciaa/b i a:b=c rest r, vom avea:
adic a/b=c+r/b. Aadar avem nevoie de c+1 ntregi.
De multe ori, n special atunci cnd trebuie s efectum operaii cu
fracii, este necesar s facemoperaia invers, adic s introducem
ntregii n fracie. Pentru aceasta nmulim ntregul cunumitorul, adunm
numrtorul i trecem rezultatul la numrtor; la numitor scriem
numitorulfraciei date.
Dou fracii sunt echivalente dac reprezint aceeai parte dintr-un
ntreg.
Astefel: 1/2=2/4=3/6=4/8, 2/3=20/30=14/21 etc.
Operaii cu fracii _1
Amplificarea unei fracii nseamn nmulirea numrtorului i
numitorului fraciei cuacelai numr nenul.
Astfel, amplificnd cu 3 fractiile: 1/2, 3/8, 7/5 obinem 3/6,
9/24 i 21/15.Prin amplificarea unei fracii se obine o fracie
echivalent cu fracia dat, deoarece
-
7/29/2019 4_fractii
3/4
a*nb=b*na.Operaia invers amplificrii este simplificarea. Ca
idee, simplificarea ne permite, dac e posibil,s obinem o fracie
echivalent cu fracia dat dar... cu numere mai mici.Simplificarea
unei fracii nseamn mprirea numrtorului i numitorului fraciei la
undivizor comun al lor.
Astfel, simplificnd cu 3 fractiile: 3/6, 9/24 i 21/15 obinem
1/2, 3/8, 7/5.Prin simplificarea unei fracii se obine o fracie
echivalent cu fracia dat, deoarecea*b:n=b*a:n.Dac o fracie se poate
amplifica prin orice numr nenul, numrul posibilitilor de
simplificare aunei fracii este limitat. Cel mai mare numr prin care
se poate simplifica o fracie este CMMDC(cel mai mare divizor comun)
al termenilor fraciei. Dac acesta este 1 (termenii fraciei
suntnumere prime ntre ele), fracia nu se poate simplifica. Aadar,
nu amplificm i nu simplificmcu 1! Ar fi o pierdere de timp,
deoarece se obine aceeai fracie.
O fracie care nu se mai poate simplifica se numete fracie
ireductibil, n caz contrar esteo fracie reductibil sau
simplificabil.De regul, rezultatul oricrui calcul l dm sub forma
unei fracii ireductibile, dup ce am scosntregii din fracie. Aadar
simplificarea este util pentru:
a avea fracii care au ca termeni numere ct mai mici; a avea un
termen comun de raportare a rezultatelor (fiecare rezolvitor s
indice acelai
rspuns).
Amplificarea fraciilor permite obinerea unor fracii echivalente
cu nite fracii date, dar care saib toate acelai numitor. La ce
folosete asta, vom vedea imediat.Aducerea mai multor fracii la
acelai numitor nseamn a gsi nite fracii respectivechivalente cu
fraciile date i care s aib acelai numitor. De exemplu avnd fraciile
1/2, 2/3 i 3/4, amplificndu-le cu 6, 4 i 3 gsim fraciile 6/12,
8/12i 9/12. Gndindu-ne la semnificaia fraciei ca parte dintr-un
ntreg i la interpretarea ei, esteevident c 6/12
-
7/29/2019 4_fractii
4/4
5/57
