INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN SIBIU OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ, 9.02.2013 Claa a !III"a 1. #3$% a% Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale ecuaţia: 2014 = + + + − − − z y x yz xz xy xyz . #&$% '% Demonstraţi că există a, b, c, d numere naturale nenule şi distincte, as 2 2 2 2 201 a b c d = − − + . Petru Vlad 2. #($% !entru 0 > a şi 0 > b notăm ( ) , , ab b a G = ( ) . 2 , b a ab b a H + = "rătaţi că: ( ) ( ) ( ) ( ) . , , , , b a G a H b a H a G ≤ GMB2012 3. #($% #onsiderăm în s$aţiu $unctele D C B A , , , şi N M , mi%loacele se&mentelor [ ] AB , res$ectiv [ ] CD . Demonstraţi că, dacă 2 AD BC MN + = , atunci $unctele D C B A , , , sunt co$lanare. ))) &. 'e consideră tra$ezul dre$tun&(ic ABCD , av)nd ( ) ( ) ( ) 0 0 *0 , +0 m A m D m B = = = S S S . n $unctul -, intersecţia dia&onalelor, se ridică $er$endiculara Dacă / , 2 , / OM AB DC DC = = = , calculaţi: #&$% a% distanţa de la $unctul la latura 01#2. #3$% '% distanţa de la $unctul - la $lanul 0 #12. Gheorhe !loarea N*+ - 3oate su4iectele sunt o4li&atorii. 3im$ efectiv de lucru: ore.
1. (3p) a) Rezolvai n mulimea numerelor naturale ecuaia:
.
(4p) b) Demonstrai c exist a, b, c, d numere naturale nenule i
distincte, astfel ca
.Petru Vlad2. (7p) Pentru i notm Artai c:
GMB20123. (7p) Considerm n spaiu punctele i mijloacele
segmentelor , respectiv . Demonstrai c, dac , atunci punctele sunt
coplanare.***4. Se consider trapezul dreptunghic ABCD, avnd . n
punctul O, intersecia diagonalelor, se ridic perpendiculara OM pe
planul trapezului. Dac , calculai:
(4p) a) distana de la punctul M la latura (BC).
(3p) b) distana de la punctul O la planul (MCB).Gheorghe
FloareaNot:Toate subiectele sunt obligatorii.
