5 章 母数の推定(Estimation Of Parameters)

5.5 成功率の推定

例：内閣支持率　 　 　視聴率など

pqYVpYE

qpYPpYP

][,][

11,0

　無作為抽出値 Y … 確率変数

サイズ n　の無作為標本 {Y1,　Y2,　…, Yn}

標本合計 　試行回数 n　成功の確率 p　の二項分布

標本平均

母成功率 (母割合 )　p　の不偏・一致推定量

nYYYx 21

npqxVnpxE ][,][

nYYYnxp n /)(/ˆ 21

n

pqpVppE ]ˆ[,]ˆ[

　母割合（母成功率） p 　の 95%　信頼区間

p　の　 100　β　%　=　100 (1 – α) %　信頼区間 Clopper-Pearson 法（直接確率計算法）　 　 二項分布の分布関数　 B(x;　n,　p)　 B(　x –　1 ;　n,　pL )　=　1 – (α / 2) B(　x;　n,　pH )　=　α / 2　 　 となる　 pL,　pH　をコンピュータで計算

　 正規近似法　 　 zo　:　 　標準正規分布 中央 100　β　%　右端

n

ppzpp o

)ˆ(ˆˆ

1

例 1 

→　全有権者 無作為に千人　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　内閣支持率　 48%

　全有権者の内閣支持率 pに関する　 95% 信頼区間。

YESNO

 正規近似法　 　 　中央 95%　(β　=　0.95)　標準正規分布右端値 : zo = 1.96

  p　=　[　0.4490, 0.5110 ]　 　≒ [　45%, 51% ]Clopper-Pearson 法  　 p　=　[　0.4486, 0.5115 ]　 　≒ [　45%, 51%　]

0310.048.01000

)48.01(48.096.148.0

)ˆ1(ˆˆ

n

ppzpp o

5.6　 　観測個数 n　の決定

n

ppzD

Dpn

ppzpp

o

o

)ˆ1(ˆ

ˆ)ˆ1(ˆˆ

22

2

)ˆ1(ˆ

D

zppn o

　信頼区間巾 2D　→　 　必要な標本サイズn

例 2 

→　全有権者 無作為に千人　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　内閣支持率　 48%「 95% 　信頼区間：推定値 ±　1pt 」

　となる標本サイズ n 。

YESNO

2

1

D

zppn o)ˆ(ˆ

01.0,96.1%95,48.0ˆ Dzp o信頼区間

634.958801.0

96.1)48.01(48.0

2

n

n　=　9589 人の調査が必要

例 3 

新内閣発足 ,　 　内閣支持率 p「 95% 信頼区間：推定値 ±2pt 」

　となる標本サイズ n

YESNO

2

4

1

2

1ˆ

1ˆ0

)ˆ1(ˆ

D

zppn o

p

p

　の時

≦≦最大値

240102.0

96.1

4

12

n 人の調査が必要