КОМПЛЕКТ РАЗРАБОТАННЫХ ЗАНЯТИЙ (15 Ч)-59 стр.

Тема: Линейная и кусочно-линейная функции (3 часа)

Подготовила: учитель математики высшей категории

МБОУ «СОШ № 13 с углубленным изучением отдельных предметов» г. Выборга

Петрова Елена Федоровна

Пусть R — множество всех действительных чисел. Напомним, что линейной функцией

называется функция, которая для любого x из R задается формулой y=kx+b, где k и b —

действительные числа.

График линейной функции есть прямая, пересекающая ось ординат в точке с координатами

(0; b), а ось абсцисс — в точке (-b/k;0), если k не равно 0, и параллельная оси абсцисс, если

k=0.

Справедливо и обратное утверждение: каждая прямая в координатной плоскости,

пересекающая ось ординат, является графиком линейной функции.

Число k характеризует величину угла наклона графика функции к оси OX и называется

угловым коэффициентом прямой.

Прямые, параллельные оси ординат задаются уравнением вида x=a.

Для того чтобы задать прямую, достаточно указать на ней две различные точки или же одну

точку и направление.

Действительно, если, например, известно, что прямая проходит через точки A (x1, y1) и

B (x2, y2) то, подставляя координаты точек А и В в уравнение y=kx+b, определим k и b из

системы {y1=kx1+b, y2=kx2+b. Решив эту систему, получим k=y2-y1/x2-x1,

b=y1x2-y2x1/x2-x1 (при x1 не равном x2) Таким образом, искомая прямая есть график

функции y=(y2-y1/x2-x1)x + y1x2-y2x1/x2-x1. Если же x1=x2, то уравнение искомой прямой

есть x=x1.

Пусть теперь известно, что прямая проходит через точку A (2; -1) и параллельна прямой,

заданной уравнением 3x-2y=4. Найдем уравнение этой прямой.

Очевидно, что прямая 3x-2y=4 есть график функции, заданной формулой y=3x-4/2 или

y=1.5x-2. Так как искомая прямая параллельна данной, то их угловые коэффициенты

одинаковы и равны 1.5. И для решения задачи осталось определить свободный член в

формуле y=1.5x+b зная, что точка A(2;-1) принадлежит графику этой функции, т.е. Решить

уравнение -1=1.5*2+b. Так как корень его b=-4, то искомая прямая есть график функции

y=1.5x-4 или задается формулой 3x-2y=8.

№1.1

Задайте формулой линейную функцию, если известно, что её график проходит через точки

(-2;-1) и (1;5).

Решение

Линейная функция задаётся формулой у=kx+m. Т.к. График функции проходит через точки (-

2;-1) и (1;5), то будут верны равенства -1=-2k+m и 5=k+m

Имеем систему уравнений

{-2k+m=-1, {-3k=-6, {k=2,

{k+m=5; {k+m=5; {m=3.

Линейная функция задаётся формулой у=2х+3.

Ответ: у=2х+3

№1.2

Задайте формулой линейную функцию, если известно, что её график проходит через точку

А(1;-2) и параллелен биссектрисе второго и четвёртого координатных углов.

Решение

Биссектриса второго и четвёртого углов задаётся формулой у=-х.

График линейной функции задаётся формулой у=kx+m.

Т.к. этот график параллелен прямой y=-x, то k=-1.

Значит, y=-x+m.

Т.к. график функции y=-x+m проходит через точку А(1;-2), то верно равенство

-2=-1*1+m ; m=-1.

Значит, линейная функция задаётся формулой y=-x-1.

Ответ: y=-x-1.

№1.3

Задайте формулой функцию, если известно, что ее график параллелен графику функции y=-

0.2x+7 и проходит через точку пересечения графиков функций y=x-2 и y=-3x+18.

Решение

Для нахождения точки пересечения графиков функций y-x-2 и y= -3x+18 решим систему

уравнений.

{y=x-2, y=-3x+18; {y=x-2, x-2=-3x+18; {y=x-2, 4x=20; {x=5, y=3.

Графики функций y=-3x+18 и y=x-2 пересекаются в точке (5;3). Значит, график искомой

функции проходит через точку (5;3).

Т.к. график искомой функции параллелен прямой y=-0.2x+7, то функция задается формулой y=-0.2x+m.

Т.к. график функции y=-0.2x+m проходит через точку (5;3), то получим 3=-0.2*5+m

m-1=3

m=4.

Искомая функция задается формулой y=-0.2x+4.

Ответ: у = -0.2x+4.

№1.4

Задайте формулой линейную функцию, если известно, что её график параллелен графику

функции y=-3x-4 и проходит через одну точку оси ординат с графиком функции y=-4x-5.

Решение

1) Линейная функция задаётся формулой y=kx+m.

2) Т.к. График данной функции проходит через одну точку оси ординат с графиком

функции y=-4x-5, то m=-5.

3) Т.к. График искомой функции параллелен графику функции y=-3x-4, то k=-3 и искомая

функция задаётся формулой y=-3x-5.

Ответ: y=-3x-5.

№1.5

Задайте формулой линейную функцию, график которой симметричен относительно оси

абсцисс графику функции y=-7x-1.

Решение

точки (0; -1) и (1; -8) принадлежат графику функции y=-7x-1. Т.к. График искомой функции

симметричен графику функции y=-7x-1 относительно оси абсцисс, то он пройдёт через точки

(0;1) и (1;8). Для составления уравнения решим систему уравнений

{1=k*0+m, {m=1, {m=1,

{8=k*1+m; {8=k+1; {k=7.

Линейная функция задаётся формулой y=7x+1.

Ответ: y=7x+1.

№1.6

Задать линейную функцию, график которой симметричен относительно оси ординат графику

функции y=-2x+1.

Решение

y=-2x+1

Точки (0;1) и (1; -1) принадлежат графику функции y=-2x+1. Т.к. График искомой функции

симметричен графику функции y=-2x+1 относительно оси ординат, то точки (0;1) и (-1; -1)

будут принадлежать графику искомой функции.

Составим уравнение прямой. Для этого решим систему уравнений.

{-1=-1k+m, {-1k+1=-1, {k=2,

{m=1; {m=1; {m=1.

Искомая функция задаётся формулой y=2x+1.

Ответ: y=2x+1.

№1.7

Задайте формулой линейную функцию, график которой симметричен относительно начала

координат графику функции y=4/3x-2.

Решение

1. Графику y=4/3x-2 принадлежат точки (0;-2) и (3;2).

2. Т.к. график искомой функции симметричен графику функции y=4/3x-2 относительно

начала координат, то искомый график пройдёт через точки (0;2) и (-3; -2).

3. Для составления уравнения искомой функции решим систему уравнений

{2=k*0+m {m=2 {m=2 {m=2

{-2=k*(-3)+m {-2=-3k+2 {3k=4 {k=4/3

Линейная функция задаётся формулой y=4/3x+2.

Ответ: y=4/3x+2.

№1.8

Изобразите множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют следующему

соотношению: x+1/y-2=2.

Решение.

(x+1) /(y-2) =2

(x+1) /(y-2) -2=0

(x+1-2(y-2)) /(y-2) =0

(x+1-2y+4) /(y-2) =0

(x-2y+5) /(y-2) =0

{x-2y+5=0, y-2≠0;

{-2y=-5-x, y≠2;

{y=2.5+0.5x, y≠2.

Графиком функции y=2.5+0.5x является прямая.

x 1 -1y 3 2

Графиком данного уравнения является

прямая y=2.5+0.5x с выколотой точкой (-1:2).

Ответ: графиком уравнений (x+1) /(y-2) =2

является прямая y=0.5x+2.5 с выколотой

точкой (-1;2).

№1.9

Изобразите множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют следующему

соотношению: x2-3x-4=0.

Решение

х2-3x-4=0

D=9-4*(-4) =9+16=25

√D=5

Х1=3+5/2=8/2=4 Х2=3-5/2=-2/2=-1

3

21

-1 1

x

y

y

x

x=4 х= -1

0

х2-3x-4=0

-1 1 4

Ответ: множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношению

x2-3x-4=0 — это совокупность прямых x=4 и x= -1.

№1.10

На рисунке изображён график кусочно-линейной функции, определенной для любого x

принадлежащего R. Запишите аналитическое выражение для этой функции.

Решение

На промежутке (-∞; -1,5) функция линейная, она задаётся формулой y=kx+m. Так как график

проходит через точки (-3;4) и

(-1,5;1), то k и m находим из системы

{4=-3k+m,

{1=-1,5k+m.

Вычтем из первого уравнения второе, получим

3=-1,5k, k=-2;

65

43

21

y

m=4+3k,

m=4-6,

m=-2.

Следовательно, на промежутке (-∞; -1,5] функция задаётся формулой y=-2x-2.

На (-1,5; 0] функция является линейной. Точки (-1;2) и (0;4) принадлежат прямой,

значит, k и m найдём из системы. {2=-1*k+m, { m=4,

{4=0*k +m; {k=2.

На (-1,5;0] функция задаётся формулой

у=2х+4

На (0;1) у=4

На [1;+∞) функция линейная и график проходит через точки (1;4), (2;6)

Имеем систему уравнений

{4=1k+m, {2=k, {k=2,

{6=2k+m; {4=k+m; {m=2.

Функция задаётся формулой y=2k+2, таким образом, на рисунке изображён график функции

{-2x-2, если x≤-1,5,

y= { 2x+4, если -1,5<x≤0,

{4, если 0<x<1,

{2x+2, если x≥1.

1 2-3 -2 -1,5 -1 х

Самостоятельная работа

1) Задайте формулой линейную функцию, если её график проходит через точку В (-3;1) и

параллелен графику функции y=-4х+5

2) Задайте формулой линейную функцию, график которой симметричен относительно оси

абсцисс графику функции у=2х+3

3) Задайте формулой линейную функцию, график которой симметричен относительно оси

ординат графику функции у=5х-4

4) Задайте формулой линейную функцию, график которой симметричен относительно начала

координат графику функции у =-2х-5

Дополнительное задание

Изобразите множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношению:

х2-y2=0

РЕШЕНИЯ

№1

у=кх+m ; к=-4 ; у=-4х+m ; 1= -4*(-3)+m ; m=-11

у=-4х-11

ОТВЕТ: у=-4х-11

№2

Т.к. точки (0;3) и (1;5) принадлежат графику данной функции, то график искомой функции

проходит через точки (0; -3) и (1; -5). коэффициенты к и m находим из системы

-3=k*0+m

-5=k*1+m

m=-3

-5=k-3

m=-3

k=-2

Искомая функция у=-2х-3

ОТВЕТ: y=-2x-3

№3

{

{

{

Т.к. точки (0; -4) и (1;1) принадлежат графику данной функции, то график искомой функции

проходит через точки (0; -4) и (-1;1). Для нахождения k и m решим систему

-4=k*0+m

1=k*(-1) +m

m=-4

1=-k-4

m=-4

k=-5

искомая функция y=-5x-4

ОТВЕТ: y=-5x-4

№4

графику данной функции принадлежат точки (0; -5) и (-3;1), тогда графику искомой функции

принадлежат точки (0;5) и (3; -1). Для нахождения k и m решим систему уравнений

5=k*0+m

-1=k*3+m

m=+5

-1=+3k+5

m=+5

3k=-6

{

{

{

{

{

{

m=+5

k=-2

искомая функция y = -2x+5

ОТВЕТ: y = -2x+5

Дополнительное задание

х2-y2= (x-y) (x+y) =0

(x-y) (x+y) =0

х – у =0 или x+y=0

y=x y=-x

Искомое множество - множество точек, принадлежащих биссектрисам 1-ого и 3-его, 2ого и

4-ого координатных углов.

{

Тема: Графики линейной и кусочно-линейной функции (3 часа)

Подготовила: учитель математики высшей категории МБОУ «СОШ № 14» г. Выборга

Иванова Людмила Александровна.

Занятие рассчитано на 3 академических часа. В ходе занятия, учащиеся познакомятся с

алгоритмом построения кусочно-линейной функции, научатся строить графики кусочно-

линейных функций, задавать кусочно-линейные функции формулой по ее графическому

представлению, проведут микроисследования с построенными графиками, придумают свои

задания по заданной теме. Занятие выстроено в постоянном диалоге с учащимися, большой

долей их самостоятельной и творческой работой, учит ребят взаимопомощи, работе в парах,

умению планировать свою работу, анализировать полученный результат; внесен элемент

соревнования и ответственности за свой результат. Раздаточный материал с формулировкой

заданий и готовыми системами координат, так же лист с ответами к заданиям позволят

сэкономить время учеников и учителя.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, презентация, раздаточный материал.

Цель: познакомиться с алгоритмом построения графика линейно-кусочной функции;

закрепить его при решении задач.

Задачи:

1. Ввести понятие кусочно-линейной функции.

2. Научить строить графики кусочно-линейных функций

3. Научить задавать кусочно-линейные функции формулой по ее графическому

представлению.

4. Расширить кругозор учащихся о графическом представлении реальных процессов.

5. Учить критически, относиться к полученному результату.

Ход занятия:

1. Организационный момент. Знакомство с аудиторией.

2. Беседа о значимости графиков функций при описании реальных процессов. (Слайды 2-

11)

Как образно заметил Галилео Галилей (1564-1642г.г.) «Книга природы написана на

математическом языке, и ее буквы математические знаки и геометрические фигуры, без

них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте».

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать и показать с помощью

функций. Это можно рассмотреть на примере траектория камня, брошенного под углом к

горизонту; летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда (обсуждение слайдов

с учащимися), с помощью гиперболических функций описывается прогиб каната, зона

слышимости звука пролетающего самолета. В современном мире не обойтись без

графического представления информации (обсуждение слайдов с учащимися). Какие

примеры можем еще привести?

3. Выполнение практического задания: графическое представления информации.

Семья путешествует на автомобиле. Во вторник они проехали за первые 2 часа 100 км,

за следующий час 70 км, остановились отдохнуть и посетить музей в течение 3 часов,

затем проехали еще 170 км за 3 часа. Изобразите это движение в системе координат

(обсудить с учащимися единичный отрезок для представления этой информации,

можно выполнить данную работу в парах).

4. Мы убедились, что реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с

помощью функций. Можно выделить два основных типа течения процессов,

противоположных друг другу – это непрерывное и скачкообразное (примером может

служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют

и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение

функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой

функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными

формулами. Графики кусочно-заданных функций получаются в результате

объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

Такие функции называют касочными или кусочно-заданными. Из всего многообразия

мы с вами рассмотрим кусочно-линейные функции.

5. Введем определения. Функции, заданные несколькими формулами

называются кусочными или кусочно-заданными. Участки числовой прямой с

различными формулами задания, назовем составляющими область определения.

Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции.

Те точки, которые делят область определения функции на составляющие,

называются граничными точками. Формулы, определяющие кусочную функцию на

каждой составляющей области определения, называются входящими функциями.

Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей

графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

6. Рассмотрим алгоритм построения графика кусочно-линейной функции на примере

функции: (слайд 18 анимация)

При -3х<1 график функции совпадает с графиком функции у=х+2

41,3

13,2xесли

хеслиху

Построим график функции у=х+2

«Вырежем кусочек» этого графика при -3х <1

При 1х 4 график функции совпадает с графиком функции у=3

Построим график функции у=3 (прямая параллельная оси Ох и проходящая через

точку (0;3))

«Вырежем кусочек» этого графика при 1х 4

Таким образом, построили график данной функции.

Укажем на данном графике граничные точки, входящие функции.

7. Закрепление алгоритма. На доске учитель во время фронтальной беседы с учащимися

строит графики функций и

(Раздаточный материал содержит формулировку заданий, а так же готовые системы

координат, что позволит сэкономить время)

8. Самостоятельная индивидуальная работа, работа в парах на выбор учащихся по

построению графиков и y

За правильно-выполненное построение каждого графика 5 баллов.

9. Элементы исследовательской работы с построенными графиками.

Используя построенные графики В) и Г) из задания № 2 определите, при каких значениях b,

график функции y= b и график имеют:

а) одну общую точку;

б) две общие точки;

в) ни одной общей точки;

г) какое наибольшее количество общих точек имеют графики данных функций. В)

Обсуждаем и выполняем вместе с учащимися. График Г) учащиеся исследуют

самостоятельно (5 баллов).

10. Не менее важно умение, используя графическое представление функции задать ее

формулой. Задание № 4 раздаточный материал.

Совместно с учащимися рассматриваем алгоритм выполнения задания на примере А).

Алгоритм состоит в последовательном нахождении формул на каждом из кусочков графика,

используя граничные точки и общий вид линейной функции y= kx+b.

Слева направо граничные точки имеют координаты А(-6,5), B(-3;-1), C (2;4), D(10;-4).

Составим и решим три системы, используя пары точек, принадлежащие одному кусочку

графика:1) ; 2) ; 3) получим:

11. Отработка навыков. Самостоятельная индивидуальная или парная работа по желанию

учащихся. Учитель при необходимости консультирует. За каждое правильно-

составленное аналитическое выражение учащиеся получают 5 баллов.

12. Выполните творческое задание.

А) Задайте формулой кусочно-линейную функцию и постройте ее график.

Б) Изобразите график кусочно-линейной функции и задайте ее формулой.

13. Взаимопроверка в парах. За правильное выполненное задание учащийся получает 5

баллов, за нахождение ошибки также 5 баллов.

14. Подведение итогов занятия. Подсчет полученных баллов (максимальное количество

40 баллов), обмен мнениями, что получилось, не получилось, над чем нужно

поработать самостоятельно. Можно составить рейтинг учащихся.

Литература:

1. ГБОУ ДОД Центр «Интеллект» Заочная математическая школа. Линейные и кусочно-

линейные функции. Учебное пособие для учащихся Заочной математической школы.

Санкт-Петербург 2013

2. Элективный курс по математике «Красавицы функции и их графики». 9 класс./ Сост.

Токарчук Н. П. – Волгоград: ИТД «Корифей», 2006.- 80с.

3. https://www.tutoronline.ru/blog/kusochno-zadannaja-funkcija

4. http://fishlp.ru/lopital/disper40.htm

5. http://ru.wikihow.com/построить-график-кусочно-заданной-функции

6. http://festival.1september.ru/articles/630602/

7. http://uslide.ru/matematika/30745-metod-lineynogo-splayna.html

8. http://school.xvatit.com

Раздаточный материал2. Дополнив систему координат, постройте графики каждой из следующих функций

А)

Б)

В)

Г)

3. Используя построенные графики В) и Г) из задания № 2, определите при каких значениях b,

график функции y= b и график имеют: а) одну общую точку; б) две общие точки; в) ни одной общей точки; г) какое наибольшее количество общих точек имеют графики данных функций.

4. А); Б); В): На рисунке изображены графики трех кусочно-линейных функций, определенных для любого действительного числа х. Запишите аналитические выражения для этих функций

А)

Б)

В)

5. Выполните творческое задание. А) Задайте формулой кусочно-линейную функцию и постройте ее график.Б) Изобразите график кусочно-линейной функции и задайте ее формулой.

А)

Б)

Дополнительное заданиеСуществует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?Ответы. 2. Постройте графики каждой из следующих функций

А)

Б)

В)

Г)

3. Используя график В) определите при каких b, график функции y=b и график

имеют: а) одну общую точку; б) две общие точки; в) ни одной общей точки; г) какое наибольшее количество общих точек имеют графики данных функций Д) Задайте формулой кусочно-линейную функцию и постройте ее график.

4. А); Б); В): На рисунке изображены графики трех кусочно-линейных функций, определенных для любого действительного числа х. Запишите аналитические выражения для этих функций (за единичный отрезок принимаем 1 клетку) А)

Б)

В)

Тема: Графики функций, содержащие модуль (3 часа)

Подготовила: учитель математики высшей категории МБОУ «Гимназия» г. Выборга

Савинова Наталия Фёдоровна

Целью данных трёх занятий является формирование целостной системы алгоритмов

построения графиков функций с модулем, формированию навыков организации учащимися

самостоятельных микроисследований.

В результате данных занятий учащиеся должны знать:

определение модуля и его геометрический смысл,

алгоритм раскрытия модуля,

преобразование графиков функций,

приемы построения графиков функций, содержащих модуль.

Учащиеся должны уметь:

строить графики функций содержащих модуль.

Учащиеся выполняют индивидуальные и групповые задания по самостоятельному решению

задач, за что получают промежуточную оценку за изучение темы.

Урок 1. Тема «Преобразование графиков функций»Преобразование

графиков функций

Функция Схема построения График функции

1. Постройте прямую.

2. Часть прямой, лежащей ниже оси х, симметрично отразите относительно этой оси вверх.

1. Постройте график функции .

2. Часть графика, лежащую ниже оси , симметрично отразите относительно этой оси вверх.

Пример. .

1. Постройте график функции .

2. Полученный график симметрично отразите относительно оси .

Пример. .

1. Постройте график функции .

2. Полученный график перенесите параллельно вдоль оси на единиц вверх, если и вниз, если

Пример. ; .

Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:Функция Преобразование

 1) Для  2) Для – преобразование симметрии относительно   графика

, для симметричные части графика из правой полуплоскости в левую

 1) Для  2) Для Симметричное  отображение части графика из нижней  полуплоскости в верхнюю относительно Ox f(x) → f(|x|) → |f(|x|)|.

Урок 2. Тема «Алгоритм построения графиков с модулями, вида

« »Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у

многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль.

Давайте подробно разберем этот вопрос.

Алгоритм построенияграфиков с модулями

Этапы построения графика функции ПримерПостроить график функции

1. Найдите нули подмодульных выражений, решив уравнения ,

, ,

2. Отметьте нули на числовой прямой, разделив её на промежутки.

3. Найдите значение функции на каждом промежутке между полученными нулями:

4. Постройте соответствующие графики функций для каждого из промежутков:

, и .

Замечание.1. Для построения графика функции достаточно получить

координаты четырёх контрольных точек A, B, C, D и построить отрезок BC и лучи BA и CD.

2. По аналогичной схеме можно построить графики функций вида

Для этого нужно:1) Найти нулей подмодульных выражений;2) Разделить числовую прямую на 3) Найти формулу для функции на каждом из промежутков, раскрыв модули с

учётом знака между ними;4) Построить соответствующие графики функций для каждого промежутка.

Пример 1.

Рассмотрим функцию .

Решение.

Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков

подмодульных выражений.

Возможны четыре случая:

Тогда исходная функция будет иметь вид:

Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 1.

Рис. 1Пример 2.

Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1|.

Решение:

В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм

модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных

выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?

Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2.

При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы

приблизились к правилу построения таких графиков:

Графиком функции вида y = a1|x – x1| + a2|x – x2| + … + an|x – xn| + ax + b является ломаная с

бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все

ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной

точке на левом и правом бесконечных звеньях

Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная

точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 4).

.Рис. 4

Задания для самостоятельной работыВариант 1 Вариант 2

a)

b) у =│2+х│-│3-х│

c) у =│х│+│х-2│-│х+3│

d) у =│-1/3 х-2│

e) у =│х-5│+4

a)

b) у =│2-х│-│3+х│

c) у =│х│+│х+2│-│х-3│

d) у =│1/3 х+2│

e) у =│х+5│-4

Урок 3. Тема: «Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»

Преобразованиеграфиков функций

Функция Схема построения График функции

1. Постройте график функции .

2. Часть графика, лежащую ниже оси , симметрично отразите относительно этой оси вверх.

Пример. .

Мы уже познакомились с примерами линейной функции, содержащей модуль, а так же с

общими правилами построения графиков функций вида и

. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.

Пример 1.

Рассмотрим функцию вида . Выражение, задающее функцию, содержит

«вложенные модули».

Решение.

Воспользуемся методом геометрических преобразований.

Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж

(рис. 4):

.

Рис. 4Задания для самостоятельной исследовательской работы

Вариант 1 Вариант 2a)

b)

c)

a)

b)

c)

Источники1. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические

материалы по математике. М.: ИЛЕКСА, Ставрополь: Сервисшкола, 20022. В.В. Локоть. Задачи с параметрами. Учебное пособие. - М.: АРКТИ, 20033. Ершова, А. П, и др. Тетрадь-конспект по алгебре для 7, 8 классов - М.: ИЛЕКСА. 20044. Ершова, А. П, и др. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 7,8 класса

- М.: ИЛЕКСА. 2004.5. Сайт: gigabaza.ru6. Сайт: tutoronline.ru

«Решение уравнений с переменной под знаком модуля»

Подготовила: учитель математики высшей категории МБОУ «СОШ № 10» г. Выборга

Самойленко Ольга Валентиновна

Решение уравнений с переменной под знаком модуля линейных часто не рассматриваются на уроках

из-за нехватки времени, а в 10-11 классах знания по этой теме очень важны. Этот пробел восполняет

данное занятие.

Тип занятия: знакомство с новым материалам

Вид урока: комбинированный

Технология: личностно-ориентированная (разно уровневый подход)

Оборудование: компьютер (Windows 9x или выше и пакет Microsoft Office), проектор

Цели занятия:

1. Образовательные:

обобщить и систематизировать ЗУН учащихся по теме “Модуль. Решение линейных

уравнений, содержащих модуль “;

проверить практические навыки и умения при решении линейных уравнений,

содержащих модуль;

познакомить учащихся с методом интервалов для решения линейных уравнений,

содержащих модуль;

закрепить навыки решения задач письменно и устно;

активизировать работу учащихся на уроке за счет вовлечения их в работу в парах и

самостоятельно;

продолжить формирование навыков работы с информацией;

продолжить подготовку учащихся к ГИА и ЕГЭ.

2. Развивающие:

формирование умения развивать самоконтроль, контроль в парах;

формирование умения рационально планировать свою работу;

развитие самостоятельности, внимательности, логического мышления;

3. Воспитательные:

воспитание организованности, сосредоточенности, положительного отношения к

учебе.

Подготовка к уроку:

1.Электронная презентация "Решение линейных уравнений, содержащих модуль”,

подготовленная в программе Power Point.

2.Маршрутные листы для самостоятельной работы.

Конспект занятия

1.Введение

Давайте попробуем решить уравнение: (2x — 1) ² = 9x² +12x +4

Если раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону, привести подобные, то

получится уравнение, которое мы решать не умеем. Давайте попробуем решить это

уравнение, используя те знания, которыми мы обладаем. Заметим, что в правой части

уравнения можно применить формулу сокращенного умножения - квадрат суммы.

Получим: (2x — 1) ² = (3x+2) ².

Казалось бы, теперь достаточно убрать квадраты слева и справа, и получим линейное

уравнение. Но, нет! В таких случаях нужно быть предельно осторожным. Давайте вспомним

правило: √x² = |x|. После применения этой формулы получим: |2x — 1| = |3x+2|. Вот мы и

получили новое уравнение, решив которое мы решим исходное уравнение. Какие же

уравнения мы будем учится решать сегодня? Сформулируйте тему нашего занятия.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С МОДУЛЕМ

2.Новая тема

Уравнения с модулем делятся на три типа.

А. УРАНЕНИЯ ВИДА |x|=а.

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя только одно определение

модуля.

Определение: |x|- это просто x, если x≥0 или -x, если x <0.

Например, решите уравнение: |x|=5.

|x|=5↔ x=5если x≥0 или x=-5, если x <0. Ответ: -5;5.

Другой пример, решите уравнение: |x|=-3.

|x|=-3↔ x=-3если x≥0 или x=3, если x <0. Ответ: нет решений.

И правда, вспомним свойство: |x|≥0. То есть модуль всегда неотрицателен (а≥0).

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

|x|=а имеет решение при условии, а≥0 и тогда

|x|=а↔ x=а или x= -а.

Используя данное правило, реши уравнения:

1. |x -2|=3;

2. |5 -2x|=4;

3. 7=|3x+8|.

Проверь себя самостоятельно. Ответы:1) -1;5;2)0,5;4,5;3) -1⁄3; -5. (См. Презентацию к уроку).

В. УРАНЕНИЯ ВИДА |x|= |y|.

Если начнем раскрывать модули по определению, натолкнемся на множество проверок: какое

число больше нуля, какое меньше. В итоге мы выполним большую работу, но можно сделать

так, чтобы решение было коротким.

Для этого вспомним свойство модуля: |x|²=x². С помощью этого свойства мы можем

избавляться от модулей:

|x|= |y|↔|x|²= |y|²↔x²=y²↔x²-y²=0↔(x-y) (х + у) =0↔x=y или x=-y.

Решим уравнение, которое не смогли решить вначале:

|2x - 1| = |3x+2|↔2x - 1 = 3x+2 или 2x - 1 =-3x-2↔x=-3 или x=-0,2. Ответ: -3; -0,2.

Используя данное правило, реши уравнения:

4. |x +1|=|2x -1|;

5. |2x-9|=|3-x |;

6. 3|x +1|=|1-2x|.

Проверь себя самостоятельно. Ответы:4)0;2;5)4;6;6) -2⁄5; -4. (См. Презентацию к уроку).

С. УРАНЕНИЯ ВИДА |x|= y.

Отличие от первого типа уравнений в том, что в правой части тоже переменная. А она может

быть, как положительной, так и отрицательной. Поэтому в ее не отрицательности нужно

специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу. Поэтому:

|x|= y имеет решение при условии y≥0 и тогда

|x|=y↔ x=y или x= -y.

Решим уравнение: |x +1|=1-2x.

Это уравнение имеет решение при условии 1-x≥0 и тогда

|x +1|=1-2x↔ x +1=1-2x или x +1=--1+2x↔ x=0 или x=2

Если x=0, то условие 1-x≥0 выполняется, значит, число 0 является корнем данного уравнения.

Если x=2, то условие 1-x≥0 не выполняется, значит, число 2 не является корнем данного

уравнения.

Ответ: 0.

Если пропустить проверку на не отрицательность правой части, можно написать в ответе

посторонние корни, и таким образом решить уравнение с ошибкой.

Используя данное правило, реши уравнения:

7. |2x +1|=13-x;

8. -2|x+4|=3-4x;

9. 3|x +1|=2(1-2x).

Проверь себя самостоятельно. Ответы:7) -14;4;8)5,5;9) -1⁄7. (См. Презентацию к уроку).

Д. МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ В УРАВНЕНИЯХ С МОДУЛЕМ. Решим уравнение: |x+3|- |2x-1|=1.

Если решать это уравнение, раскрывая модули, как мы делали раньше, то тогда нужно

рассматривать четыре варианта решения (по два варианта для каждого модуля). Если же в

уравнении будет больше модулей, то случаев будет еще больше. Можно ли как-то сократить

количество вариантов? Да, существует метод интервалов для решения уравнений с модулем.

1.Определим корни подмодульных выражений — такие x, при которых выражения, стоящие

под знаком модуля равны нулю:

x+3=0↔ x=-3

2x-1=0↔ x=0,5

2.Отметим полученные корни на числовой прямой. Они разобьют числовую прямую на три

интервала.

3.Подпишем у каждого из получившихся интервалов, какой знак принимает каждое из наших

подмодульных выражений:

Подмодульные

выражения

|

x <-3

||

-3≤x≤0,5

|||

x≥0,5

x+3 - + +

2x-1 - - +

4.Для каждого интервала запишем и решим получившиеся уравнения. Важно проследить,

чтобы полученные корни соответствовали рассматриваемому интервалу.

Если x <-3, то (-x-3) -(-2x+1) =1↔ x=5 (не принадлежит рассматриваемому промежутку,

значит, число 5 не является корнем уравнения);

если -3≤x≤0,5, то (x+3) -(-2x+1) =1↔ x=- 1⁄3 (принадлежит рассматриваемому промежутку,

значит число - 1⁄3 является корнем уравнения); если x≥0,5, то (x+3) -(2x-1) =1↔ x=3

(принадлежит рассматриваемому промежутку, значит, число 3 является корнем уравнения).

Ответ: - 1⁄3;3.

Используя данный алгоритм, реши уравнение:

10. |x +2|+|3x-1|+|4+x|=12;

11. |3x -5|+|3+2x|=2|x+1|.

Проверь себя самостоятельно. Ответы:10) -3;1,4;11) нет решений. (См. Презентацию к

уроку).

Е.МОДУЛЬ В МОДУЛЕ.

В некоторых уравнениях встречается «вложенный» модуль, то есть модуль какого-то

выражения является частью подмодульного выражения. Например, ||x|-5|=3.

Что делать в таком случае? Все просто: раскрыть модули. Но раскрывать их нужно по

очереди. Какой будем раскрывать первым? А это зависит от того, каким методом ты хочешь

решить это уравнение. Рассмотрим два возможных варианта:

1.Данное уравнение является уравнением вида |f(x)|=а, где f(x)- подмодульное выражение.

Поэтому первый способ решения будет стандартным для такого типа:

|f(x)|=а↔ f(x)=а или f(x)=-а.

Решим уравнение: ||x|-5|=3.

||x|-5|=3↔|x|-5=3 или |x|-5=-3.

|x|-5=3↔|x|=8↔x=8 или x=-8;

|x|-5=-3↔|x|=2↔x=2 или x=-2.

Ответ: -8; -2;2;8.

2.Есть еще один, более универсальный способ, который подойдет для любых задач. Это

метод интервалов. В этом случае надо раскрывать модули, начиная с «внутренних».

Решим уравнение: ||x|-5|=3.

Если x≥0, то|x-5|=3↔x-5=3 или x-5=--3, то есть x=8 или x=2 (принадлежат рассматриваемому

промежутку, значит числа 2;8 являются корнями уравнения).

Если x <0, то |-x-5|=3↔-x-5=3 или -x-5=-3, то есть x=-8 или x=-2 (принадлежат

рассматриваемому промежутку, значит числа -2; -8 являются корнями уравнения).

Ответ: -8; -2;2;8.

Ж. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

Реши уравнение и запиши ответ:

1) |-2x +3,2|=0,8; 4) |x-1|-|x-2|+|x-3|=4;

2) |4x -2,4|=|7,2-2x|; 5) ||3-x|-5|=4.

3) |2-x|=5-4x; Ответы: 1)1,2;2; 2)-2,4;1,6; 3)1; 4)-2;6; 5)-6;2;4;12.

-1-Маршрутный лист

ученика (ФИ), МБОУ «СОШ № » , класс

Тема занятия: «Решение уравнений с переменной под знаком модуля»

А. УРАНЕНИЯ ВИДА |x|=а.

|x|=а имеет решение при условии, а≥0 и тогда|x|=а↔ x=а или x= -а.

Используя данное правило, реши уравнения и запиши ответ:

1. |x -2|=3; 2. |5 -2x|=4; 3. 7=|3x+8|.

В. УРАНЕНИЯ ВИДА |x|= |y|.

Свойство модуля: |x|²=x². С помощью этого свойства мы можем избавляться от модулей:

|x|= |y|↔|x|²= |y|²↔x²=y²↔x²-y²=0↔(x-y) (x +y) =0↔x=y или x=-y.

Используя данное правило, реши уравнения и запиши ответ:

4. |x +1|=|2x -1|; 5. |2x-9|=|3-x |;

6. 3|x +1|=|1-2x|

С. УРАНЕНИЯ ВИДА |x|= y.

|x|= y имеет решение при условии y≥0 и тогда|x|=y↔ x=y или x= -y.

Используя данное правило, реши уравнения и запиши ответ:

7. |2x +1|=13-x; 8. -2|x+4|=3-4x;

9. 3|x +1|=2(1-2x).

Д. МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ В УРАВНЕНИЯХ С МОДУЛЕМ.Используя данное правило, реши уравнения и запиши ответ:10. |x +2|+|3x-1|+|4+x|=12;

11. |3x -5|+|3+2x|=2|x+1|.

Ж. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.Реши уравнение и запиши ответ:1) |-2x +3,2|=0,8; 4) |x-1|-|x-2|+|x-3|=4;2) |4x -2,4|=|7,2-2x|; 5) ||3-x|-5|=4.3) |2-x|=5-4x;

Линейные уравнения с параметром (3 ч).

Подготовила: учитель математики высшей категории МБОУ «Гимназия № 11» г. Выборга

Сырина Татьяна Юрьевна

Материал предназначен для учащихся 8 класса, которые занимаются в школах без

углубленного изучения математики, но интересуются этой наукой и хотят узнать о ней

больше, чем можно прочитать в учебнике или услышать на обычном школьном уроке.

Уроки по этой теме адресованы ученикам, имеющим минимальные представления о задачах

с параметрами. В программах по математике для неспециализированных школ таким задачам

отводится незначительное место. Однако «сильным» ученикам знания и умения в этой

области просто необходимы! Во всех экзаменационных материалах присутствуют задания с

параметром. Именно при решении таких заданий учащиеся могут показать свои

математические способности. Задачи с параметром - это тот материал, который лучшим

образом развивает логическое мышление, требует глубины знания предмета, заставляет

анализировать, наблюдать закономерности, делать выводы.

Презентации к уроку выполнены в программе Microsoft Power Point 2013

Текстовый документ- Microsoft Word 2013

Урок 1. Знакомство с параметром.

Тип урока:

комбинированный (изучение нового материала и первичное закрепление)

Цель урока:

понять технику решения линейного уравнения с параметром.

Задачи:

провести входной контроль

рассмотреть примеры, где учащиеся уже встречались с параметром

ввести понятие параметра

ввести понятие линейного уравнения с параметром

объяснить, что такое контрольные значения параметра

объяснить, что значит решить уравнение с параметром

рассмотреть простейшие примеры линейных уравнений с параметром

Ход урока:

1. Организационный момент, вводная беседа-знакомство. Входной контроль.

А сейчас я попрошу вас попробовать ответить на вопросы, записанные на бланке

Раздаточные бланки (входной контроль)

1. Понимаете ли, вы, что такое параметр? Если да, объясните, что это такое.

2. Приходилось ли вам решать уравнения с параметром?

3. Реши уравнения: а) (а-1) (а2-4) х=а-1; б) =

2. Примеры, где учащиеся уже работали с параметром

Есть в математике такие понятия, которые требуют весьма уважительного к себе отношения.

К таким понятиям относится параметр. Почему? Попробуем ответить на этот вопрос в конце

последнего урока.

Давайте вспомним изученный ранее материал, а именно – линейную функцию.

Презентация. Линейная функция и параметр.

Слайд 1. Какая функция называется линейной?

(у=kx+b, где х- независимая переменная, k и b- некоторые числа.)

Что является графиком линейной функции? (Прямая)

Слайд 2. А если k≠ 0, а b=0?

(Частный случай линейной функции- функция прямая пропорциональность. График -

прямая, проходящая через начало координат.)

При k>0, (график - в I и III координатных четвертях), при k˂0, (график - во II и IV четвертях)

Слайд 3. А если k=0, а b≠0

(Линейная функция, график, которой прямая, параллельная оси Ох)

При k=0 и b=0 – (прямая совпадает с осью Ох)

Постараться подвести учащихся к выводу:

в формуле линейной функции наряду с переменными х и у, присутствуют «скрытые» под

переменными числа k и b, от которых зависит положение графика.

Эти «скрытые» под переменной числа называют параметром

3. Понятие параметра .

Итак, что такое параметр?

Переменные, которые при рассмотрение различных ситуаций считаются постоянными

(фиксированными числами) называют параметрами. Параметры обозначают маленькими

буквами латинского алфавита: а, b, c, d…

Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную

природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться «с параметром как с

числом, а во-вторых, -степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.

4. Линейное уравнение с параметром

Уравнение вида f(a)x=g(a), где f(a) и g(a)- функции аргумента а, х - переменная, называют

стандартным каноническим линейным уравнением с параметром а. Для краткости будет его

называть просто линейным уравнением с параметром а.

Например, ах=5 или 2а (а-5) х=-39(а-5).

5. Контрольные значения параметра

Это те значения параметра, при которых или при переходе через которые происходят

качественные изменения уравнения. В линейных уравнения- это те допустимые значения

параметра, при которых коэффициент при х обращается в ноль, а также недопустимые

значения параметра ,при которых уравнение с параметром не определено.

Например: 1)2а(а-2)х=39(а-5). При а =0 или а=2 левая часть уравнения имеет вид 0∙х, т.е.

«обнуляется». Значит, к/з: а=0 ; а=2

х=а-2. При а =3- уравнение не определено, при а=0- левая часть равна 0.

Значит, к/з: а=0; а=3

6. Что значит решить уравнение с параметром?

Решить уравнение с параметром - значит, для любого допустимого значения параметра

найти множество всех корней заданного уравнения.

Например, ах=5

К/з: а=0;

Если а=0, то 0∙х=5- уравнение не имеет корней

Если а≠0, то х=

Существенным этапом решения заданий с параметром является запись ответа. Очень важно

отразить в ответе все этапы решения.

Ответ: если а=0, то нет решений; если а≠0, то х=

7. Решение простейших линейных уравнений с параметром

№ 1.

2а(а-2) х=а-2

К/з: 2а(а-2) =0; а=0; а=2.

Если а=0, то 0∙х=-2. Это уравнение не имеет корней

Если а=2, то 0∙х=0; х - любое число

Если а≠0 и а≠2, то х= ; х=

Ответ: если а=0, то корней нет; если а=2, то х-любое число; если а≠0 и а≠2, то

х=

№ 2.

(а2-2а+1) х=а2-а-3+3а

К/з: а2-2а+1=0; (а-1)2=0; а=1

Если а=1, то 0∙х=0; х- любое число

Если а≠1, то х= ; х= ; х=

Ответ: если а=1, то х- любое число; если а≠1, то х=

№ 3.

х=а2-25

К/з: а=5; а=-2

Если а=5, то 0∙х=0, х-любое число

Если а=-2, то нет решений (уравнение не определено)

Если а ≠5 и а≠-2, то х= ; х=(а+5) (а+2); х= а2+7а+10

Ответ: если а=5, то х-любое число; если а= - 2, то нет решений (уравнение не определено);

если а ≠5 и а≠-2, то х= а2+7а+10

8. Рефлексия.

Продолжите предложение:

Параметр- это…

Линейное уравнение с параметром имеет вид…

Контрольные значения параметра-это…

Решить уравнение с параметром, значит….

Урок 2. Уравнения с параметром, приводимые к линейным.

Тип урока:

комбинированный-новый материал и комплексного применения знаний

Цель урока:

научиться решать некоторые уравнения с параметром, которые можно свести к

линейным

Задачи урока:

показать, что некоторые уравнения можно привести к линейным

рассмотреть несколько типичных уравнений с параметром, приводимых к линейным

показать различную постановку вопросов в заданиях с параметрами

Ход урока.

1. Примеры уравнений, приводимых к простейшим линейным.

Мы знаем, что линейное уравнение имеет вид ах=b, где а и b конкретные числа.

Давайте попробуем привести к такому виду уравнения

1)5(х+3)-15=33х-8(х-2); 2) 3) .

x≠0; x≠-1

-20х=16 4х=-6 4х=1

2. Решение уравнений с параметром, приводимых к линейным

№ 4.

ОДЗ: а≠0 и а≠2

Сведем данное уравнение к линейному, домножив обе его части на а(а-2)

3х-2 +ах-а+2а-4=0

3х+ах-6+а=0

(3+а)х=6-а

К/з: а=0; а=2; а=-3

1. Если а =0 – нет решений (уравнение не определено, не имеет смысла)

2. Если а =2– нет решений (уравнение не определено, не имеет смысла)

3. Если а=-3, то 0∙х=9- нет решений

4. Если а≠0 и а≠2 и а≠-3, то

Ответ: если а =0 или а=2 – нет корней (уравнение не определено)

если а=-3, то нет корней; если а≠0 и а≠2 и а≠-3, то

№ 5.

ОДЗ: х≠-1

kx + 2k -3k+3 = x+1

kx - k+3=x+1

kx –x = k-2

(k-1)x = k-2

Выясним, при каком значении параметра k х = -1

При х=-1, получим -1(k-1) =k-2; 1-k=k-2; 2k=3; k=1,5.

К/з: k=1; k=1,5

1. Если k=1, то 0∙х=-1- нет решений

2. Если k=1,5, то нет решений

3. Если k≠1 и k≠1,5, то

Ответ: если k=1, то нет корней, если k= 1,5, то нет корней, если k≠1 и k≠1,5, то

Составим план решения таких уравнений. Слайд презентации «Линейная функция и

параметр»

1. ОДЗ

2. Привести уравнение к линейному виду

3. Определить к/з параметра, не забывая про ОДЗ

4. Определить решение уравнения при к/з параметра и исключая их

5. Записать ответ

№ 6 и № 7 учащиеся самостоятельно решают в парах (группах) с последующей проверкой

№ 6.

ОДЗ: x≠3; x≠-3; m≠-2

3mx-5=(2m+1)(x+3)-5(m+2)(x-3)

3mx-5=2mx+6m+x+3-5mx+15m-10x+30

6mx+9x=21m+38

(6m+9)x=21m+38

Выясним, при каких значениях параметра m х = 3 или х= -3

При х=3 получим 18m+27=21m+38; -3m=11; m=

При х=-3 получим -18m-27=21m+38; -39m=65; =

К/з: m=-2; m= -1,5; m= m=

1. Если m = -2- нет решений (уравнение не определено)

2. Если m = - нет решений

3. Если - нет решений

4. Если m= -1,5, то 0∙х=6,5- нет решений

5. Если m≠-2 и m≠ и m≠ и m≠ -1,5, то х =

Ответ: если m = -2; m = = ; ; m= -1,5, то нет решений;

если m≠-2 и m≠ и m≠ и m≠ -1,5, то х =

№ 7.

ОДЗ: х ≠ 1; х ≠ -1

с (х+1) +2(х-1) =2

(с+2) х=4-с

Выясним, при каких значениях параметра с х = 1 или х= -1

При х = 1 получим с+2=4-с; с=1

При х = - 1 получим - с-2=4-с; 0∙с=6- нет решений. Не существует такого значения параметра

с, при котором х = -1

К/з: с = 1; с = - 2

1. Если с = 1 – нет решений

2. Если с = - 2, то 0∙х=6- нет решений

3. Если с ≠ 1 и с ≠ - 2, то

Ответ: если с = 1 – нет решений; если с = - 2 - нет решений;

если с ≠ 1 и с ≠ - 2, то

3. Конкретная постановка вопроса

Иногда вопрос при решении уравнений ставится более узко или конкретно, например, при

каком значении параметра уравнение не имеет решений или при каком значении параметра

уравнение имеет хотя бы одно решение или при каком значении параметра корни уравнения

больше 5 и т. д.

№ 8.

При каком значении параметра р уравнение рх = х+1 не имеет решений?

(р-1)х=1

К/з: р=1

Если р=1, то 0∙х=1- нет решений (подходит)

Если р ≠ 1, будет решение (не подходит)

Ответ: при р=1 уравнение не имеет решений

№ 9.

При каком значении параметра а уравнение имеет корень больше 2?

ОДЗ: а≠0

а2х-а2+6ах+9х+9=0

(а2+6а+9)х=а2-9

(а+3)2х=(а-3)(а+3)

К/з: а=0; а = - 3.

При а = 0 уравнение не определено и это значение параметра не подходит

Если а = - 3, то 0∙х=0, х- любое число, в том числе и больше 2. Такое значение параметра

подходит

Если а ≠ 0 и а ≠ - 3, то . Но корень должен быть больше 2.

-9˂а˂-3.

Ответ: при -9˂а≤-3 уравнение имеет корень больше 2.

4. Рефлексия

На этом уроке я узнал (а) …

Мне было…

Решая уравнения с параметром приходится…

Урок 3. Параметр и модуль в уравнениях, приводимых к линейным

Тип урока:

комбинированный (изучение нового материала, комплексное применение знаний,

проверочная самостоятельная работа)

Цель урока:

показать учащимся решения некоторых уравнений с модулем и параметром

проверить уровень усвоения материала

Задачи:

показать особенности решения уравнений с модулем и параметром на простейших

уравнениях

рассмотреть уравнения с модулем и параметром, где модуль встречается более одного

раза

продублировать все аналитические решения графическими

провести самостоятельную работу с проверкой

Ход урока:

1. Решение простейших уравнений с модулем и параметром

№ 10.

х-4=а

К/з: а=0, а0, а0

Если а = 0, то х - 4 = 0 ; х = 4

Если а 0, то х - 4 = а или х - 4 = - а; х = а + 4 или х = 4 – а

Если а 0, то нет решений

Презентация «Модуль и параметр» слайд 1 графическая иллюстрация

Ответ: если а = 0, то х = 4, если а 0, то х = а + 4 или х = 4 – а, если а 0, то нет решений

№ 11.

ах-1=2

Сразу не определить к/з

ах-1=2 или ах-1=-2

ах = 3 ах = -1

К/з: а=0 К/з: а=0

1.Если а=0, то 0х=3 - нет решений 1.Если а=0, то 0х=-1 - нет решений

2.Если а ≠ 0, то х = 2.Если а ≠ 0, то х =

Презентация «Модуль и параметр»- слайд 2 , графическая иллюстрация

Ответ: если а = 0, то нет решений; если а ≠ 0, то х = или х =

2. Решение уравнений с модулем и параметром более сложного вида

№ 12.

При каких значениях параметра р уравнение │х - 2│+│х - 3│ = р имеет два решения

Найдем нули подмодульных выражений: х=2; х=3

Определим знаки подмодульных выражений на получившихся интервалах:

х ˂ 2 2 ≤ х ≤ 3 х> 3

х-2 - + +

х-3 - - +

1) х˂2

-х+2-х+3=р; -2х+5=р; -2х=р-5; х = ; ˂2; 5-р˂4; р>1

Если р>1, то х=

2)2≤х≤3

х-2-х+3=р; р=1

Если р=1, то 2≤х≤3

3) х>3

х-2+х-3=р; 2х=р+5, х= ; ; р+5>6; р>1

Если р>1, то х =

Получили: при р>1 два решения х= или х =

При р=1, множество решений отрезка [2;3]

Очевидно, что при р ˂1- нет решений.

Презентация «Модуль и параметр» - слайд 3, графическая иллюстрация

Ответ: два решения при р>1

Так почему же параметр требует уважительного к себе отношения?

Требует внимания, умения анализировать, рассуждать, знать много теории…

3. Самостоятельная работа

1.Решите уравнение (а-1) (а2-4) х=а-1

2.Решите уравнение =

Учащиеся сдают работы на проверку для статистических выводов

Проверка. Выдаются готовые решения.

№1.

(а-1)( х=а-1

К/з: а=1; а=-2; а=2

Если а =1, то 0∙х=0 и х- любое число

Если а= - 2, то 0∙х=-3 и нет решений

Если а =2, то 0∙х=1 и нет решений

Если а≠1 и а≠-2 и а≠ 2, то х=

Ответ: если а =1, то х- любое число; если а = -2 или а = 2, то нет решений; если а≠1 и а≠-2 и

а≠ 2, то х=

№2.

=

ОДЗ: t≠-2, x≠0

(t+3) x=2(t+2) -5

(t+3) x=2t-1

Выясним при каком t х=0: 0=2t-1; t=0,5

К/з: t = - 2; t = 0,5; t = - 3

1.Если t=-2, то нет решений (уравнение не определено)

2.Если t=0,5, то нет решений

3.Если t= -3, то 0∙х=-7, нет решений

4Если t ≠ - 2 и t ≠ 0,5 и t ≠ - 3, то х =

Ответ: если t= -2, то нет решений (уравнение не определено), если t=0,5, то нет решений,

если t= -3, то нет решений, если t ≠ - 2 и t ≠ 0,5 и t ≠ - 3, то х =

4. Рефлексия

Оцени от 1 до 10

Материал для меня был новым

Я все понял

Было сложно

Занятие было для меня полезным

Хочу ещё поучиться решать задания с

параметром

Приложение 1.

Самостоятельная работа

1.Понимаете ли вы, что такое параметр? Если да, объясните, что это такое

2.Приходилось ли вам решать уравнения с параметром?

3.Реши уравнения: а) (а-1) (а2-4) х=а-1; б) =

Самостоятельная работа

1.Понимаете ли вы, что такое параметр? Если да, объясните, что это такое

2.Приходилось ли вам решать уравнения с параметром?

3.Реши уравнения: а) (а-1) (а2-4) х=а-1; б) =

Самостоятельная работа

1.Понимаете ли вы, что такое параметр? Если да, объясните, что это такое

2.Приходилось ли вам решать уравнения с параметром?

3.Реши уравнения: а) (а-1) (а2-4) х=а-1; б) =

Самостоятельная работа

1.Понимаете ли вы, что такое параметр? Если да, объясните, что это такое

2.Приходилось ли вам решать уравнения с параметром?

3.Реши уравнения: а) (а-1) (а2-4) х=а-1; б) =

Самостоятельная работа

1.Понимаете ли вы, что такое параметр? Если да, объясните, что это такое

2.Приходилось ли вам решать уравнения с параметром?

3.Реши уравнения: а) (а-1) (а2-4) х=а-1; б) =

Приложение 2. Решение № 3 самостоятельной работы.

№3 а).

(а-1)( х=а-1

К/з: а=1; а=-2; а=2

Если а =1, то 0∙х=0 и х- любое число

Если а= - 2, то 0∙х=-3 и нет решений

Если а =2, то 0∙х=1 и нет решений

Если а≠1 и а≠-2 и а≠ 2, то х=

Ответ: если а =1, то х- любое число; если а = -2 или а = 2, то нет решений; если а≠1 и а≠-2 и

а≠ 2, то х=

№3 б).

=

ОДЗ: t≠-2 , x≠0

(t+3)x=2(t+2)-5

(t+3)x=2t-1

Выясним при каком t х=0: 0=2t-1; t=0,5

К/з: t = - 2; t = 0,5; t = - 3

1.Если t=-2, то нет решений (уравнение не определено)

2.Если t=0,5, то нет решений

3.Если t= -3, то 0∙х=-7, нет решений

4Если t ≠ - 2 и t ≠ 0,5 и t ≠ - 3, то х =

Ответ: если t= -2, то нет решений (уравнение не определено), если t=0,5, то нет решений,

если t= -3, то нет решений, если t ≠ - 2 и t ≠ 0,5 и t ≠ - 3, то х =

Приложение 3. Рефлексия заключительного урока

Материал для меня был новым

Я все понял

Было сложно

Занятие было для меня полезным

Хочу ещё поучиться решать задания с

параметром

Материал для меня был новым

Я все понял

Было сложно

Занятие было для меня полезным

Хочу ещё поучиться решать задания с

параметром

Материал для меня был новым

Я все понял

Было сложно

Занятие было для меня полезным

Хочу ещё поучиться решать задания с

параметром

Материал для меня был новым

Я все понял

Было сложно

Занятие было для меня полезным

Хочу ещё поучиться решать задания с

параметром

Литература

С. А. Субханкулова. Задачи с параметрами – М.: ИЛЕКСА, 2010. (Серия «Математика:

элективный курс)

П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. -М.: ИЛЕКСА,

Харьков: ГИМНАЗИЯ, 1999

А. Х. Шахмейстер. Уравнения и неравенства с параметрами. -СПб. ПЕТРОГЛИФ, 2006