第二章　连续时间系统的时域分析第二章　连续时间系统的时域分析

　本章重点：

1 、系统模型的建立； 2 、求系统的零输入响应； 3 、求系统的冲激响应和阶跃响应； 4 、用卷积积分法求零状态响应。

一、线性时不变系统的“时域分析”方法

第一步：建立数学模型 第二步：运用数学工具去处理（ t 自变量） 第三步：对所得的数学解给出物理解 释，赋予物理意义。

§§ ２２ -- １ 引言１ 引言

雷达 通信系统 信息处理 武器控制

精确制导

数学模型

ebdt

deb...

dt

edb

dt

edb

radt

dra....

dt

rda

dt

rd

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

011

1

1

011

1

1

二、连续时间系统的数学模型及模型的建立

一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：

n 阶常系数微分方程

系统r(t) e(t)

基本依据 ： KCL ： i( t )＝ 0 KVL ： u( t )＝ 0 VCR ： uR( t ) = R i( t )

电系统的微分方程建立：

t

tiLtuL d

)(d)(

t

tuCtiC d

)(d)(

例：例：

一阶系统：

Ri

)(tuc

)(tus电源：

电容电压：

电阻电压：

)()()(

tutudt

tduRC sc

c 一阶常系数线性微分方程

dt

tduRC c )(

VAR

KVL

例 2. 对图示电路，写出激励 e(t) 和响应 r(t) 间的微分方程。)(ti

)(te2C

L

R)(tr

解：由图列方程

)..().........t(iR

)t(r

dt

)t(drC 22 KCL:

)..().........t(e)t(rdt

)t(diL 1 KVL:

)t(e)t(rdt

)t(dr

R

L

dt

)t(rdLC

2

2

2

将（ 2 ）式两边微分，得

).(..........dt

)t(di

dt

)t(dr

Rdt

)t(rdC 3

12

2

2

将（ 3 ）代入（ 1 ）得

二阶常系数线性微分方程

为方便求解微分方程，引入以下算子符号。

t

nn

n

(~)p

d(~)

pdt

d,p

dt

d

1

§§ 2.2 系统方程的算子表示法

tn

n

n

xp

xd,xpdt

xd,px

dt

dx 1

于是

一、 n 阶常系数微分方程的算子表示为

得多项式为p)p(N),p(D

)t(e)p(N)t(r)p(D

......epbepb

rapra.....rparparpm

mm

m

nn

nn

n

11

012

21

1

)t(e)p(H)t(r

)p(D

)p(N

)t(e

)t(r)p(H

转移算子令

若 H（ P ）为常数，如： 50

二、算子符号的一般运算规则。

abxdt

dx)ba(

dt

xdx]abp)ba(p[x)bp)(ap.(

2

221

Cyxdt

dy

dt

dx

P,PyPx.

两边积分得＝

不能消去其中

4

xPxp

,)(x

)(x)t(xd]dt

dx[Px

p.

t

t

＝则若

1 0

13

xxddt

dx

pP.

t 1

2

一、微积分方程：

i1(t) i2(t)

dt

dfi

Ci

Cdt

diR

dt

diL 1

211

12

21

1

11

dt

dfi

Ci

Cdt

diR

dt

diL 2

212

22

22

2

11

pdt

d n

n

n

pdt

d

pd

t 1

1211112

1

11pfi

Ci

CpiRipL

2212222

2

11pfi

Ci

CpiRipL

1211

111 fd)ii(C

1

dt

diLiR

212222

2 fd)ii(C

1iR

dt

diL

算子方程

例、由电路得到微分方程

23

1

)(

)()(

2

pp

p

tf

typH

由模拟框图H(p)

231 x3x2)t(fx 112x

p

3x

p

2)t(f

dxxt

12 1xp

1

dxxt

23 12x

p

12x

p

1

32 xx)t(y 112x

p

1x

p

1

2p3p

)t(pfx

21

§§ 2.3 系统的零输入响应分析

分析系统的方法：列写方程，求解方程。

变换域法

利用卷积积分法求解零状态可利用经典法求解零输入

应零输入响应和零状态响经典法

解方程

网络拓扑约束根据元件约束列写方程

:

:

,:

一、系统分析方法

系统法

二、系统响应的分解模式二、系统响应的分解模式

经典法对于复杂的输入信号或较高阶系统，计算繁琐，不易求出响应。（没有物理意义）

在近代时域分析中，采用系统法给分析和计算带来了一定的方便。 （物理意义明确）

按照系统法，全响应可按以下三种方式分解：

(1)全响应 = 自由响应十强迫响应 (2)全响应 = 瞬态响应十稳态响应 (3)全响应 = 零输入响应十零状态响应

三、零输入响应（三、零输入响应（ zero—input zero—input responseresponse ））

零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起的响应，用 表示 .( )ziy t

零输入响应满足齐次方程及起始条件

1

1[ (0 ) (0 ) ... (0 )]

n

n

d dy y y

dt dt

、 、、

D(p)y(t)=N(p)e(t)

D(p)y(t)=0

例：例：

0)()(

tudt

tduRC c

c

)1)(0()( RC

t

cc eutu

0)0( cu

)()()(

tutudt

tduRC sc

c

零输入响应要求：

及： 由于： )0()0( cc uu

则：

零输入响应 t0

5

设： 5)0( cu

)1(5)( RC

t

c etu

输入为 0

零输入响应解零输入响应解 (( 齐次解）的一般形式：齐次解）的一般形式：

n ,......, 21

tn

tt nececectr ......2121

t

nt

m

tmm

nm ecec

etctcctr

......

......

1

1

1

121

D(p)y(t)=N(p)e(t)

特征方程：Ｄ（ λ） = ０的根：特征根

自然频率

当特征根为单根时：

当特征根为重根时：（ λ1为 m 阶重

根）

当特征根为共轭复根：

n

j

tj

t jectctcetr

j

321

2,1

cossin

高等数学

求解系统零输入响应的一般步骤：

1 ）求系统的自然频率；

2 ）写出零输入响应 yx(t) 的通解表达式；

3 ）根据换路定理、电荷守恒定理、磁链守恒定理求出系统的初始值 ：

)0(),0(),0( )1( nxxx yyy

4 ） 将初值带入 yx(t) 的通解表达式，求出待定系数；

5 ）画出 yx(t) 的波形。

例例 11 ：已知某系统激励为零，初始值：已知某系统激励为零，初始值 y(0y(0++)=2)=2 ， ， y’(0y’(0++)=1)=1，， y”(0y”(0++)=0)=0 ，，描述系描述系

统统

的传输算子为的传输算子为求系统的响应 y(t)。

2

2

)3)(1(

382)(

pp

pppH

解：0)3p)(1p()p(D 2

系统时域响应为

11p 3pp 3 2

t33

t32

t10 teKeKeK)t(y

210 KK)0(y

3210 KK3K)0(y

3210 K6K9K)0(y

=2

=1

=0

5K,4K,6K 321

0546)( 330 tteeety ttt

零输入响应

2.4 信号的脉冲分解

为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单 ( 基本 ) 的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同分量。

直流分量与交流分量偶分量与奇分量脉冲分量实部分量与虚部分量正交函数分量

11 ．直流分量与交流分量．直流分量与交流分量

)()()( DA tftftf

0

0D

1( ) ( )d

t T

tf t f t t

T

信号的平均功率 = 信号的直流功率 + 交流功率

)(tf

E E

Ot tt

)(A tf )(D tf

O O

0 0 0

0 0 0

22 2 2D A D A

1 1 1( )d ( ) ( ) d ( ) ( )d

t T t T t T

t t tP f t t f t f t t f t f t t

T T T

D ( )f t 信号的直流分量，即平均值

22 ．偶分量与奇分量．偶分量与奇分量对任何实信号而言：

信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率

e

1( ) ( ) ( )

2f t f t f t

o

1( ) ( ) ( )

2f t f t f t

ee o

o

e e

o o

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) e: even

( ) ( ) o: odd

f tf t f t f t

f t

f t f t

f t f t

偶分量

奇分量

3. 任意函数表示为冲激函数的积分 .

n

kt

t

tt

tkttPtkf

tkttPtkf

tttPtfttPftftf

0

0

)()(

......)()(

....)()()()()()(

)()()()()()(lim ttfdtftftft

t 00

)0(f

)(tf

0 t tk )1( tk t

)(tfa

t tk t0

)(tfa

一 . 冲激响应1. 定义：当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态

响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用 h(t) 表示。)(t

)(t

0 t

)(th

)1( LTI)(th)(t

0 t零状态

2.5 冲激响应和阶跃响应impulse response and step response

)()()( tbtaytydt

d )()( tap

bty

t > 0 时，因 0)( t 0)()( taytydt

d

冲激响应的形式为：

)(t )(th

)()( tUAeth at

特征方程： 0 ap 特征根： ap

22 、、冲激响应的一般形式：冲激响应的一般形式：

)(tUbe at

高阶系统的单位冲激响应

传输算子0

11

0)(apap

bpbpH

nn

n

mm

001

1 apap n

nn 特征方程：

a ）当 n>m ，且特征根均为单根时：

将H(p) 展开成部分分式：

n

i i

i

n

n

pp

K

pp

K

pp

K

pp

KpH

12

2

1

1)(

)()()(

)()()()(

2121

2

2

1

1

tUeKtUeKtUeK

tpp

Kt

pp

Kt

pp

Kth

tpn

tptp

n

n

n

b ）当 n>m ，特征根有重根时：设重根为： p1= p2 · · · = pr 其余为单根将H(p) 展开成部分分式：

n

ri i

i

n

rrr pp

K

pp

K

pp

K

pp

KpH

11

2

2

1

1

)()()(

1

)()(!1

1

:

1)1(

)1(

1

pp

ri

i

i

r

pppHdp

d

iK

KK

）（

的计算方法为：到从其中

)()!1(

)()(

)( 111

1

1 tUetr

Kt

pp

Kth tpr

rr

c ）当 n=m 时：先用长除法，再展开成部分分式：

n

i i

im pp

KbpH

1

)( )()()(1

tUeKtbth tpn

iim

i

此时， h(t) 中含有冲激信号d ）当 n<m 时：

同样先用长除法，再展开成部分分式：

n

i i

inmnm pp

KCpCpCpH

101)(

)()()()()(1

01)( tUeKtCtCtCth tp

n

ii

nmnm

i

a ）求传输算子 H(p)；

b ）如果 m≥n, 用长除法将 H(p) 化为真分式；

c ） H(p) 部分分式；

d ） 根据 H(p) 部分分式的各项，写出单位冲激响应h(t)；

求单位冲激响应的一般步骤

求 f(t)=(t) 时的零状态响应 h(t)。

例 1 ：已知描述某系统的微分方程为

)(2)(

2

1)(2

)(3

)(2

2

tfdt

tfdty

dt

tyd

dt

tyd

答： )()2

3()( 2 tUeeth tt

MATLAB 仿真结果：

33、、 H(P)H(P) 的其它形式的其它形式

tuetr

k

p

k

ttuek

p

k

ttukep

pk

tukethp

kpH

trr

t

t

t

1

22

22

!1

sin

cos

)3)(1(

221

)()1(

pp

ppH

例：求系统单位冲激响应 h(t) ，已知描述系统的传输算子分别为

)3)(1(

221

)()1(

pp

ppH

23

5553)()2(

2

23

pp

ppppH

解：

3p

4/1

1p

4/3

)t(U)e4

1e

4

3()t(h t3t

23

5553)()2(

2

23

pp

ppppH

)2p)(1p(

3p4p3

2p

1

1p

24p3

)t(U)ee2()t(4)t(3)t(h t2t

44 、工程应用实例、工程应用实例电子电路工作时，往往在有用信号之外，还存在

一些令人头痛的干扰信号。如何克服这些干扰是电子电路在设计、制造时的主要问题之一，克服这些干扰的方法多种多样，但很难完全克服。

信号消噪实例信号消噪实例

指纹图象的消噪指纹图象的消噪

设在电子测量中，测得信号波形，其中包括两部分：慢设在电子测量中，测得信号波形，其中包括两部分：慢波动的有用信号和快速波动的干扰信号。如何消除或抑波动的有用信号和快速波动的干扰信号。如何消除或抑制这些干扰信号呢？制这些干扰信号呢？

消噪电路工程应用实例消噪电路工程应用实例

解决办法 : 设计一个系统 .

LCP

RCP

LCPH11

1

)(2

25007.70

2500)(

2

PPPH选取合适的电路参数 ,得 :

信号通过系统 :

二、阶跃响应：二、阶跃响应：1 、定义： Step response is a zero state response of a

fixed ,linear system to a unit step function applied at time t=0.

阶跃响应是系统对单位阶跃信号输入时的零状态响应。

阶跃响应记作 g(t)。)(tg

)(t

1

t0

LTI)(t )(tg

零状态t0

2 、阶跃响应和冲激响应的关系：

3 、阶跃响应的求法： 1 ）经典法； 2 ）从冲激响应求阶跃响应。

dt

tdgth

dhtgt

例、某雷达天线伺服控制系统中，天线转角阶跃响应为：

)(tg)(t

1

t0

LTI)(t )(tg

零状态t0

一、定义：

dtffty f )()()( 21 )()()( 21 tftfty f

二、卷积积分的计算1 ．利用定义计算 2. 2. 利用卷积的性质计算利用卷积的性质计算3. 3. 利用卷积积分表计算利用卷积积分表计算

4. 4. 利用图解法计算利用图解法计算 1 ）

dτ(tff ))( 21

2）3 ）

4）5）

)(),( 21 tftf )(),( 21 ff

（折叠）)(2 f )(2 f

（平移）

（相乘）

)(2 f )(2 tf

)()( 21 tff

（积分）

２２ ..66 卷 积卷 积 ((The Convolution IntegralThe Convolution Integral ））

三、卷积的意义：

零状态响应 = 输入信号 冲激响应 过程：

LTILTI( t ) h( t ) （定义）

( t ) h( t ) （时不变性）

f( t ) ( t ) f( t ) h( t )

f( t ) y( t )

f( )( t ) f( )h( t ) （齐次性）

d)()( thf

d)()( tf （可加性）

h( t ) f( t ))(tyzs

例、（定义式法）求 )(e)(e)()()( 2121 tttftfty tt

)()ee(1

dee

dee

d)()()(

21

212

21

21

0

)(

0

)(

0 21

t

tffty

tt

tt

t t

t

设 1 = 1 ， 2 = 3 ，则

)()ee(2

1)( 3 tty tt

解

例、图解法求卷积。例、图解法求卷积。

)30(,2

)(,10

11)( 21

tt

tft

ttf

0 t

tf1

1

11

0 t

tf2

3

2

3

0

1f

1

11t

)(2 f

0

2f

3

2

3

3t t

tf2

当 t<-1

3t t

tf2 021 tff

021 tftfty

当 -1<t<1 dtffty

t)()()( 21 1

4

1

24

2

tt dt

t .

2

1.1

1

当1<t<2

3t t

tf2

tdtty .2

1.)(

1

1

当当 2<2<t<4t<4

3t t

tf2

224

).(2

1.1)(

2

1

3

tt

dttyt

当 t>4

3t t

tf2

021 tftfty

t

ttt

tt

ttt

ty

其它0

42224

21

114

1

24

)( 2

2

例：例：用图解法求用图解法求 y(t)=f(t)*h(t)y(t)=f(t)*h(t) 。。其中其中

解： 当 t<0： 0 thtfty当0<t<7： dety

t t

0

)()(

te1

当 7<t： dety t7

0

)()(

tee )1( 7

)7()()( tttf

dUe

t)(

thtfty

)()1( tUe t

)()1( tUe t)7()1( )7( tUe t

或

四、四、卷积积分的一些性质：卷积积分的一些性质： 1 、卷积满足交换律、结合律和分配律。

注意：对于信号和系统的相互作用，以上定律有特殊的物理意义。

tftftftftftftf

tftftftftftf

tftftftf

3121321

321321

1221

h2(t) r(t)

h1(t) e(t)

•级联：

h(t) e(t) r(t)

•并联：

h1(t) e(t)

h2(t)

r(t)

ththth 21

ththth 21

卷积的微分性质

卷积的积分性质

综合两性质可得

)()()(

)()]()([ tfdt

tdf

dt

tdftftftf

dt

d2

12121

)()()()()]()([ 212121 fdfdffdffttt

dfdt

tdftftft

t

)()(

)()()( 21

21f

2 、微分、积分性质

33 、、奇异函数的卷积奇异函数的卷积：： 1) 阶跃函数：

dftutft

tfttf

tfttf

tttfttttf

ttftttf

tfttf

kk

2121

00

2 ）冲激函数：

例 1： f(t)=tU(t) ， h(t)=U(t)-U(t-2) ，求卷积积分y(t)=f(t)*h(t)。

=tU(t) *[U(t)-U(t-2)]解： y(t)=f(t)*h(t) =tU(t) *U(t)- tU(t) *U(t-2)]

)t(U2

t 2

)2t(U2

)2t( 2

0t0

2t02/t 2

2t2t2

例例 22 ：：求卷积积分求卷积积分 y(t)=ey(t)=e-t-t U(t)*U(t) U(t)*U(t)。。 练习。

也可以用微积分性质。

例例 33 ：：若 若 hh11(t)(t) = U(t)= U(t) ， ， hh22(t) = (t) = (t-T)(t-T) ， ， hh33(t) = - (t) = - (t)(t)，， 求求 h(t)h(t) 。。

)()()()()( 3211 ththththth

)]([)()()( ttUTttU

)]([)()( tTtUtU

)()( TtUtU

解：

例例 44 ：： 求 y(t)= f (t) * h(t) ，其中 ： h (t) = U(t+1)-U (t-1)，

2)()()(

TnTtttfn

T

)(*)]1()1([)( nTttUtUtyn

解：

n

nTtUnTtU )]1()1([

图？

例例 55 ：已知：已知 ff11(t)(t)和和 ff22(t)(t) 的波形，的波形，求求 y(t)= fy(t)= f11(t) f﹡(t) f﹡ 22(t)(t)

t

2f1(t)

0

)(2 tUe t

t

2f2(t)

031

-1

）tfdt

ddftftfty

t()()()()( 2121

解： )3()1(3)(2)()(2)( 21 tUtUtUtftUetf t

（微积分性）

)]3()1(3)(2[)(2 tttdUe

t t

)3()1(2)1()1(6)()1(4 )3()1( tUetUetUe ttt

例例 66 ：已知：已知 ff11(t)(t)和和 ff22(t)(t) 的波形，的波形，求求 y(t)= fy(t)= f11(t) f﹡(t) f﹡ 22(t)(t)

t

2f1(t)

0

)(2 tUe t

t

2f2(t)

0 1

解：

422)(1 )(

t t detyt 时：

)1(2

222)(1

)1(

1

1

)()(

t

t tt

e

dedetyt 时：

微积分性质的应用是有条件的。

信号分析中 , 常需要讨论信号的相似性。

五、相关与卷积五、相关与卷积

可以利用相关系数进行度量：

dttfdttf

dttftf

)()(

)()(

22

21

21

当需要了解信号在不同时延后与其他信号的相关性时当需要了解信号在不同时延后与其他信号的相关性时 ,, 需需要使用要使用相关函数相关函数 ..

发出信号 :收到信号 : 2倍的传输

时间

定义定义 : f1(t): f1(t)和和 f2(t)f2(t) 的相关函数为的相关函数为

dttftfR )()()( 21

dtffty )()()( 21

显然 , 相关函数是时间间隔 τ的函数 .并且 ,与卷积运算类似，卷积的定义式为：

)(*)()()()( 2121 tftfdttftfR

)(...)()(

)()(...)()()()(

)()()(

tebtebteb

tratratratrm

mm

m

nn

n

11

1

01

11

1

)()( )()( tebtra jm

jj

in

ii

00

1na

描述 LTI 连续系统激励与响应关系的数学模型是 n 阶线性常系数微分方程。

上式缩写为：

2.7 线性系统响应的时域求解

系统响应 r(t) 的分解模式：

系统r(t)e(t)

(1)全响应 = 齐次解十特解(2)全响应 = 零输入响应十零状态响应(3)全响应 = 瞬态响应十稳态响应(4)全响应 = 自由响应十强迫响应

例 已知某连续系统的微分方程为

)(3)('2)(2)('3)(" tftftytyty

若系统的初始条件 y(0-)=y’(0-)=1 ，输入 f(t)=e-3tε(t) ，求系统的

零输入响应 yzi(t) ，零状态响应 yzs(t) 和完全响应 y(t) 。

解：)(3)('2)(2)('3)(" tftftytyty

=0 特征根： -1， -2

y(0-)=y’(0-)=1

)()2

1

2

3( 23 teee ttt

)()()( tytyty zszi

)()23( 2 tee tt

)(2

3)()(

2

5 32 tetete ttt

零输入响应 零状态响应

自由响应 强迫响应

瞬态响应 稳态响应 =0

又又

例、 RLC 串联电路零状态响应

sc Uudt

diLiR

dt

duCi c

sccc Uu

dt

udLC

dt

duRC

2

2

可得

t0 , K 在 1 ，由 KVL,有

sccc U

LCu

LCdt

du

L

R

dt

ud 112

2

( 二阶常系数线性非齐次微分方程 )

012

LCP

L

RP

( 特征方程 )

t<0 , K 在 2, 电路稳定，有

0)0( cu 0)0( i

特征根特征根 ::

（自然频率、固有频率）

C

LR 2

C

LR 2

C

LR 23 、共轭复根： ( 欠阻尼 ) 即

2 、重根： ( 临界阻尼 ) 即

1 、单根： ( 过阻尼 ) 即

stptp

c UBeAeu 21

spt

c Ue)BtA(u

sdt

c UtAeu )cos(

LC

1,,

L2

R0

220d

LCL

R

L

RP

1)

2(

22

2,1