第五章连续时间系统的复频域分析

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第五章连续时间系统的复频域分析第五章连续时间系统的复频域分析

5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 5.2 5.2 单元信号的拉普拉斯变换单元信号的拉普拉斯变换

5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质5.4 5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换5.5 5.5 线性系统的拉普拉斯变换分析法线性系统的拉普拉斯变换分析法5.6 5.6 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换 5.7 5.7 系统的模拟图与框图系统的模拟图与框图 5.8 5.8 系统的信号流图与梅森公式系统的信号流图与梅森公式

5.9 5.9 系统函数系统函数


第第 55 章连续时间系统的复频域分析章连续时间系统的复频域分析

傅氏变换为基础的频域分析法，将时域的卷积运算转变为

应；另外，其反变换的积分计算也不易。

应时，初始状态在变换式中无法体现，只能求系统的零状态响

存在，但带有冲激项处理不方便；尤其用傅里叶分析分析系统响

对一些不满足绝对可积条件的常用信号，虽然其傅里叶变换

系统的频率响应、系统带宽、波形失真等实际问题时有独到之处。

频域的代数运算，简化了运算；特别是在分析信号谐波分量、

傅里叶变换分析的优缺点


5.1 拉普拉斯变换

dejXtx tj

2

1

5.1.1 单边拉氏变换

1. 单边拉氏变换定义

因果信号的傅氏正、反变换为 dtetxjX tj

0

傅氏变换对于一些指数阶的函数处理不方便 ,主要原因是

收敛速度足够快的函数。

这类函数不收敛 ,例如阶跃函数 tte tx tetx

。为了使函数收敛，在

进行变换时让原函数乘以，使得是一个te 为收敛（衰减）因子，使

满足绝对可积条件。 tetx


§5.1 拉普拉斯变换

由傅氏反变换为

sj

dtetxdteetxetxF tjtjtt

dtetxsX st

desXetx tjt

2

1

两边乘以 te

dsesXj

tx stj

j

2

1

dsj

esX tjj

j

1

2

1


§5.1 拉普拉斯变换单边拉氏变换定义为

dtetxsX st

0

dsesXj

tx stj

j

2

1称为复频率， js

为象函数

为原函数

sX

tx

或

可以用直角坐标的复平面（ s平面）表示，

象函数与原函数的关系还可以表示为 tx sX

L sXtx

L txsX 1

js

0

j


5.1 拉普拉斯变换2. 单边拉氏变换收敛区

在一定条件下收敛，

tetx 收敛区是使满足可积的取值范围；

tx 取值范围。的单边拉氏变换存在的

tetx te 因为的作用，使得

0lim

t

tetf 0

00 叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。

并与虚轴平行的直线叫做收敛边界。

0一旦确定， tx 拉氏变换的收敛区就确定了。

穿过收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。

或是使



借助指数函数衰减可以被压下去。指数阶函数的单边拉

tx取值与有关。

满足上式的函数，称为指数阶函数。这类函数若发散，

00 确定。的氏变换一定存在，其收敛区由收敛坐标

指数阶函数

0

a0

j

a

收敛区 tx 收敛区的大致范围：

00 tx 是随时间衰减的，

例如单边指数信号

te at a0 0a 的

讨论：

00 时，收敛区包含虚轴，函数的傅氏变换存在

0lim

t

tetx 0



tx 是稳定信号， 00

例如 t tt 0sin，

tx 幅度是随时间增长的

00 teat 0a，例如

0

00

j

收敛区

0

收敛区

a0

j

a

00 时收敛区不包含虚轴

00 时，收敛区不包含虚轴函数的傅氏变换存在，但有冲激项。

tx 随时间增长的速度比快，拉氏变换不存在。te


5.2 单元信号的单边拉氏变换

通过求常用函数的象函数，掌握单边拉氏变换的基本方法

1.

当拉氏变换的收敛区包括

的函数 sjjXsX

j 轴，可由 sX jX 直接得到

sjjXsX

例 3.1-1 已知

的拉氏变换。

以及 tetx at 0a aj

jX

1

tx，求

解 te at 0a sjjXsX as

1

单边拉氏变换的收敛域比较简单，不标出来也不会混淆。



2. 的指数函数 teatt （为任意常数）a

teat sX dtee stat

0

dte tas

0

aseas

tas

11

0

s

tet aat 1

0

teej

tt tjtj 2

1sin 22

11

2

1

sjsjsj

teett tjtj 2

1cos

22

11

2

1

s

s

jsjs

teej

tte tjatjaat 2

1sin

22

11

2

1

asjasjasj



3. t 的正幂函数

L

L

即

依次类推：L L

tx ttn

sXttn dtet stn

0 0

1 stnet

s dtets

n stn

1

0

dtets

n stn

1

0 s

n tut n 1

L L s

ntut n tut n 1

s

ntut n tut n 1

s

n

s

n 1 tut n 2

sss

n

s

n 121

tut nn

ssss

n

s

n 1121

1

!ns

n

1n 2

1

sttu n 2

32 2

stut


5.3 拉普拉斯变换的基本性质

1 线性

若

则

sXtx 11 sXtx 22

sXksXktxktxk 22112211

，

为任意常数。k1 2k、

例

22

11

2

1

sjsjsj

teej

tt tjtj 2

1sin


5.3 拉普拉斯变换的基本性质2 时延（移位）特性

若

证

，代入上式得

sXttx 则 000

stesXttttx

dtettttx st 000

dtettx st

t

0

0

0tt 0tt

dex ts 0

0

dexe sst 0

0 0stesX

令，

时延（移位）特性表明，波形在时间轴上向右平移0ste

0t

00 ttttx

tttx 0 ttx

tttx 0

0tttx 00 ttttx

，其拉氏变换应乘以移位因子。适用时延特性的时延函数是，而不是



例如图所示， tx求象函数。 1

1

02

-1

tx

t

解：已知

其中（利用线性）

txtxtx 21

tx1 1 tt

则

tx2 11 tx

tx1 1 tt ses

sX 11

1

sesXsX 12 ss ees

11

sXsXsX 21 s

eee

s

sss

22 21

11

（时延）



3 频率平移（域）

则

证

为复常数

sXtx

00 ssXetx ts s0

若

000

00 ssXdtetxdteetx tssjstts

20

2

as

as

例已知 tx tte at 0cos ，求象函数。



解方法 1 as

tetx at

1

1

ttxtx 01 cos tjtj eetx 00

2

11

tjtj etxetx 0011 2

1

2

1

ajsajs

sX00

11

2

1

方法 2

20

2202 cos

s

ssXtttx

2

022

as

asasXsX

atetxtx 2



4 尺度变换

若

证

其中

L

sXtx

则 asXa

atx /1

0a

atx dteatx st

0

at at / da

dt1

atx dex

aa

s

0

1

a

sX

a

1

令

L



已知

解方法 1 先频移后尺度

sXtx atxetx at //1

txetx ta

1 sXsX a

atxtx a /1 11 asaXasaXsX a

，求

方法 2 先尺度再频移

atxtxb / asaXsX b

txeatxetx batat //

1 /

1/1/1 asaXasaaXasX b

的象函数。例



例求

解

at at 的象函数。、

1t

at a

asXa

1/

1

st /1

atsasa

1

/

11 t



5 时域微分

若

则

推广到高阶导数

000 121 nnnn

n

n

ffsfssFsdt

tfd

01

1

0

rrnn

r

n fssFs

0f

0rf0t

0t

tf

0tr

r

dt

tfd

sXtx

0xssXdt

tdx



6 时域积分

表示积分运算，

若

则

tx 1

010xdx 式中

sXtx

s

sXdx

t

0

s

x

s

sXdx

t

01

或



7 频域微分

若则 sXtx sXds

dtxt

n

nn

1n sXds

dttx

2n sXds

dtxt

2

22

8 频域积分

若

则

sXtx

dXt

txs



9 时域卷积定理

若则

sXtxsXtx 2211 ，

sXsXtxtx 2121

sXsXj

txtx 2121 2

1


5.4 拉普拉斯反变换

部分分式法的有理函数时，一般形式可表示为 sX s为

01

11

011

1

asasas

bsbsbsb

sA

sBsX

nn

n

mm

mm

ii ba , mn, 为正整数为实常数，

nm sX1. 均为单极点

npspsps

sBsX

21

nppp ,, 21 为不同数值的单极点。式中



n

i i

i

n

n

ps

k

ps

k

ps

k

ps

ksX

12

2

1

1

01

2121

tekekekektxn

i

tpi

tpn

tptp in

ipsii sXpsk

nm sX

nm

nm rs

t1 ts ts 2

2.

均为单极点

当时，利用长除法将分子多项式的高次项提出，

对余下的部分处理同上。对提取的部分

利用微分性质：



23

7952

23

ss

ssssX例已知象函数，求原函数。

解 21

322 1

ss

sssFssX

212

311

111

s

sFsk

112

322

212

s

sFsk

teetttx tt 222

212 21

s

k

s

ks



sDps

sB

sA

sBsX k

1

1ps sF k

sDsE

ps

k

ps

k

ps

ksX k

kk

1

11

1

12

1

11

nm sX3. 有重极点

设：

其中是的阶极点。

sX 可展开为

sDsE

1p 式中是展开式中与极点无关的部分。



1

111ps

k sXpsk

1

21

2

13 2

1

psds

sXdk

1

11

1

1 !1

1

psi

i

i ds

sXd

ik

1

112ps

sXds

dk

L sX1

tektktk

kt

k

k tpkk

kk 1111

212111

!2!1

sD

sE1

L+



ssss

ssX

234 33

2 tf例 3.3-4 已知，求原函数。

s

k

s

k

s

k

s

k

ss

ssX 413

212

311

3 1111

2

20

4 s

ssXk

32

111

311

ss s

ssXsk

11

11

312

21

sss s

s

ds

dsX

ds

dsXs

ds

dk

解：

2

2

12

ss

ss



ssssss

ssX

2

1

2

1

2

1

3

1

2233

tetttx t

222

2

3

222

14

1213

ss s

s

sds

dk


5.5 线性系统的拉普拉斯变换分析法

5.5.1 用拉氏变换求解线性微分方程

再经拉氏反变换得到响应的时域解。

方程的过程，转变为在复频域中求解代数方程的过程，

用拉氏变换求解线性微分方程，可以把对时域求解微分

032 tydt

tdy 20 y ，求例：已知， ty 。

解：对方程两边取 L ( 注意单边的 )，且

0yssYdt

tdy



值，合并同类项

其中：

03

20 ssYyssY 0y代入

s

sYs3

22

22

32

2

/32 21

s

k

s

k

ss

s

s

ssY

2

3

02

321

ss

sk

2

7

2

322

ss

sk

L ty tesY t

2

3

2

7 21



例：已知

解：

且

02

2

22

1

211

tydt

tdyty

tftytydt

tdy

1tf 201 y 102 y，，，求响应 ty1 ty2 。、

020

/120

2221

2111

sYyssYsY

ssYsYyssY

12

/122

21

21

sYssY

ssYsYs



34

262

12

/262

21

12

21

1/12

2

2

21

sss

ss

s

ss

s

s

s

s

sY31

321

s

k

s

k

s

k

3

2

034

2622

2

1

sss

ssk

113

262 2

2

sss

ssk

3

1

31

262 2

3

sss

ssk

teety tt

3

1 3

1

3

2



34

14

12

/122

21

1211

/122

2

2

22

sss

ss

s

ss

s

s

ss

sY

3

1

3

1

1

11

3

1

sss

teety tt

3

2 3

1

3

1

或： ttydt

tdyty 1

12 2

tteetee tttt

33

3

1

3

22


§3.5 系统函数与零极点分析法5.5 线性系统的拉普拉斯变换分析法

5.5.2 S 域的网路模型——运算电路法

元件的域模型

网络域等效模型

初始状态

线性网络的各种方法如等效方法、系统的方法对网络域等效模型建模得到响应的象函数，由拉氏反变换得到响应的时域解。


5.6 双边拉普拉斯变换

5.6.1 双边拉氏变换定义

dtetxsX stB

21

dsesXj

tx stj

j

2

1

或

L

tx sX B

sXtx B

L txsX B 1


5.6 双边拉普拉斯变换5.6.2 双边拉氏变换的收敛域

先讨论 te

te

te

作用

一定时， 0t 为收敛因子0t 为发散因子

0lim

t

te 0

t

te lim 0

如果有函数在

无限区间积分为有限值 ,我们说函数的双边 L变换存在。

21 给定的范围内 , 使得

dtetx st

双边拉氏变换收敛区是使 tetx 满足可积的 tx取值范围，或是使的双边拉氏变换存在的

取值范围。

定义：


5.6 双边拉普拉斯变换例已知函数

解：将积分分为两项②

对第①项，只有

时积分收敛，收敛区如图所示。

f t tettx t 边 L 变换的收敛区。

，试确定双

dtedtedtetx ttt

0

10

①

01 1，即时积分收敛；收敛对第②项，只有 0

两项的公共收敛区为 10

0

dtetx t

dtedtedtetxsX sttsstB

0

10

ss

1

1

1

10



10

j

0

1

tx

t

0t

通常，双边拉氏变换有两个收敛边界，取决于

1

0t

的函数，是左边界用表示；的函数 2，是右边界以表示。

双边拉氏变换不存在。

0t0t21 则与的变换有公共收敛区 , 双边 L变换存在

双边拉氏变换的收敛区是 s平面上 21 的带状区；

21

j

1 20



tetetx btat

ba 对第①项，只有

收敛

a 收敛

对第②项，只有 b

双边拉氏变换的收敛区必须标明，否则不能正确确定时域信号。

ba

a

b

ba tetetx btat

tetetx btat



例已知

； c.

，求所有可能的 ss

sX B1

1

1

tx 。

解 : tx 的收敛区有

三种情况，对应的

10

1

0

10 1 0a. ； b.

tx 为

tettx t 1

tetx t 1

tetx t 13


5.7 系统的模拟图与框图

在实际工作中，除了在理论上对线性系统进行数学分析外，

以直观了解各种激励对响应的影响以及参数对系统的影响。

往往还通过计算机模拟（仿真）对系统的特性进行观察，

到系统设计（综合）。有助于从系统分析过渡与互联的研究方法也特征的实质，系统分解这种方法容易理解性能简化。统时，分析过程将得以将它们组合构成复杂系果熟知各单元性能，解为若干基本单元，如系统的模拟是将系统分

连续时间系统的模拟（仿真）


5.7 系统的模拟图与框图n阶 LTI系统微分方程的一般形式为

tyatydt

daty

dt

daty

dt

dn

n

nn

n

011

1

1

tfbtfdt

dbtf

dt

dbtf

dt

db

m

m

mm

m

m 011

1

1

其系统函数为

01

11

011

1

asasas

bsbsbsb

sF

sYsH

nn

n

mm

mm

要对连续 LTI系统进行模拟 , 就要对它的系统传输函数或

系统实现的结构、参数不是唯一的，

微、积分方程进行模拟。具有相同输入输出关系的系统，


5.7 系统的模拟图与框图5.7.1.三种基本运算—加法、标量乘法与积分对应着三种基本模拟运算器件：加法器、标量乘法器、积分器

)(

)(

2

2

1

1

sX

tx

sX

tx

)()()(

)(

21

21

sXsXsY

txtxty

1.加法器 :

)(

)(

sY

y t

2. 标量乘法器（数乘器） :

)(

)(

sX

x t

a)(

)(

sY

y t

)()(

)()(

saXsY

taxty

3. 初始条件为零的积分器

时域形式t

dxty0

)()(

复频域形式

)(1

)( sXs

sY )(tx )(ty

s

1)(sX )(sY



在实验室中用三种运算器：加法器、数乘器和积分器来模拟给定系统的数学模型 ——微分方程或连续时间系统复频域形式的系统函数，称为线性系统的模拟，简称系统模拟。

经过模拟而得到的系统称为模拟系统。从系统模拟的定义可看出，所谓系统模拟，仅是指数学意义上

的模拟。模拟的不是实际的系统，而是系统的数学模型——微分方程或系统函数。这就是说，不管是任何实际系统，只要它们的数学模型相同，则它们的模拟系统就一样，就可以在实验室里用同一个模拟系统对系统的特性进行研究。

5.7.2 系统模拟的定义与系统的模拟图



5.7.3 系统模拟的直接形式 ( 微分方程形式 )

1. 全极点系统模拟的直接形式

一阶系统的微分方程及系统函数表示 txtyaty 0

0

1

assH

将一阶线性线性系统的微分方程改写为

tyatxty 0

ty

与复频域模拟图，如图所示：

将做为积分器输入，得到用基本运算器组成的时域



ty tx

0a

sY sXs/1

0a

二阶系统模拟 txtyatyaty 01 01

2

1

asassH

改写微分方程 tyatyatxty 01

ty tx

1a

0a

sY sX

1a

0a

s/1 s/1

时域复频域



n txtyatyatyaty nn

n 01

11

01

11

1

asasassH

nn

n

阶系统

sY sX

1a

0a

s/1 s/1 s/1

1 na



2. 一般系统模拟的直接形式

以上模拟实现了系统的极点，实际系统除了极点之外，一般还有零点。例如一般二阶系统的系统函数为

01

201

22

asas

bsbsbsH

2

01

1

20

112

1

sasa

sbsbbsH

)(

)(1

012 sX

sF

asas

)(

)(

012

012

2

sX

sY

asas

bsbsbsH

辅助函数 F(s)满足

则)(

)(1

012

2 sY

sF

bsbsb



01

201

22

asas

bsbsbsH

sY sX1a

0a

s/1 s/1 0b

2b

1b

)(

)(1

012 sX

sF

asas

)(

)(1

012

2 sY

sF

bsbsb

sF sFs2 ssF

012)()( asassFsX )()( 01

22 sYbsbsbsF



sX sY

1a

0a

s/1 s/1 s/1

1 na

0b

2b

1b

mb

sF sFs2 ssF



复杂系统往往由多个子系统组成

常见的组合有子系统的级联、并联、混联、反馈等

4. 级联形式

级联模拟实现方法是将分解为子系统（基本节）相乘。

:子系统

sHsHsH

pspsps

zszszsbsH n

n

mm

2121

21

sH i

n

i

1

sH i

sH1 sH n sH 2 sY sF



一是实单极点的一阶模吗拟

构成原则：系统内所有参数为实数易于实现级联

二是共轭极点组成的二阶模拟

21

3

ss

ssH例已知某系统函数为

级联模拟图。，画出其

子系统模拟的基本形式有两种



解 2

1

1

3

21

3

ss

s

ss

ssH

-1

3

-2

s/1 s/1 sX sY

2

3

1

1

s

s

s

)(3)(2)(

)(

2

3)(

)(

)(

1

1)(

11

2

11

sXssYssX

sY

s

ssH

sX

sX

ssH

)(2)(3)()(

)(3)()(2)(

11

11

sYsXssXssY

sXssXsYssY



5. 并联模拟并联模拟实现方法是对部分分式展开

:子系统 n

n

ps

k

ps

k

ps

ksH

2

2

1

1

sH i

n

i

1

sHsHsH n 21

sH i

sH

┇

sH n

sH 2 sY sF

sH1



例已知某系统函数为，画出其并联模拟图。

解 21

3

ss

ssH

2

1

1

2

ss

并联式如图所示

-1

2

-2

-1s/1

s/1

sX sY

21

3

ss

ssH



6. 混联

混联系统的系统函数计算要根据具体情况具体对待

sH1 sH3

sH 2

sY sF

sH3 sH 2

sY sF sH1

sHsHsHsH 321

sHsHsHsH 321



2234 )2)(3(

32

12167

32

sss

s

ssss

ssH

2)2(2

1

24

5

3

14

1

ssss

例

44

2

1

24

5

3

35

4

112

ssss

s

ssH

或：

图 5-17



⑴ 一个给定的微分方程或系统函数，与之对应的模拟图可以有无穷多种，上面仅给出了四种常用的形式。同时也要指出，实际模拟时，究竟应采用哪一种形式的模拟图为好，这要根据所研究问题的目的、需要和方便性而定。每一种形式的模拟图都有其工程应用背景。⑵ 按照模拟图利用模拟计算机进行模拟实验时，还有许多实际的技术性问题要考虑。例如，需要作有关物理量幅度或时间的比例变换等，以便各种运算单元都能在正常条件下工作。因此，实际的模拟图会有些不一样。

指出两点：



7. 反馈系统

其系统函数为 sH 2

sY sF sH1-

sHsH

sHsH

21

1

1

各种模拟方法的实现不同，调整的参数有所不同微分方程 (直接形式 )可调整的是微分方程的系数级联形式可调整系统的极点与零点并联形式可调整系统的极点与留数在实际工作中可根据各种因素 , 选择适当模拟方式以达到好的设计效果



5.7.4 系统的框图

tx th thtxty

sH)(sX sHsXsY

一个系统是由许多部件或单元组成的，将这些部件或单元各用能完成相应运算功能的方框表示，然后将这些方框按系统的功能要求及信号流动的方向连接起来而构成的图，即称为系统的框图表示，简称系统的框图；

系统框图表示的好处是，可以一目了然地看出一个大系统是由哪些小系统（子系统）组成的，各子系统之间是什么样的关系，以及信号是如何在系统内部流动的。



sHssss

s

12167

32234

22 2

1

3

321

23

32

ss

s

ssss

ssH sHsHsH 321

sH1 sH 2 sH3

式中

sX sH1 sH 2 sH 3

sY

级联形式

并联形式

22

2

1

24

5

3

14

1

sssssH sHsHsHsH 4321



混联形式

44

2

1

24

5

3

354

1

2

ssss

s

ssH sHsHsHsH 4321


5.8.1 连续系统的信号流图表示

信号流图可以将方框图与模拟图再加以简化

具体处理方法是：

原方框的传递系数直接标在箭头旁线段箭头的方向是信号传输的方向

线段的两个端点是节点，表示原方框的输入与输出

信号流图是用节点与有向支路描述系统

用带箭头的有向线段代替模拟图中的方框

有两个以上有向线段指向一个节点的，表示加减

5.8 系统的信号流图与梅森公式


sY sX1a

0a

s/1 s/1

0b

2b 1b

sY sX1a

0a

s/1 s/1 0b

2b

1b



s/1 s/1 sX sY3

-1 -2

s/1

s/1

sX sY

-1

-2

-1

2

-1

3

-2

s/1 s/1 sX sY

-1

2

-2

-1s/1

s/1

sX sY




信号流图的优点：

(1) 用它表示系统，要比用模拟图或框图表示系统更加简明、清晰，而且图也易画。(2) 下面将会知道，信号流图也是求系统函数的有力工具。亦即根据信号流图，利用梅森 (Mason) 公式，可以很容易地求得系统的系统函数。



分点1

11

1 sX 1

sX 2

sY sY sX 1

sX 2

sY

“混合”节点

分点分点

1

11

11

· sX 1

sX 2

sY sY sX 1

sX 2

sF1 sF1

模拟图（或框图）中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图 5-24 所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的。

sXsXsY 21

模拟图（或框图）中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为 1的支路。

5.8.3 模拟图与信号流图的相互转换规则


（ a）直接形式的信号流图

（ b）并联形式的信号流图

（ c）级联形式的信号流图

（ d）混联形式的信号流图



例



5.8.4 信号流图的名词术语 1.节点：系统变量（即信号）的点，或者说每一个节点代表一个变量。2. 支路：连接两个节点之间的有向线段（或线条）称为支路。每一条支路代表一个子系统，支路的方向表示信号的传输（或流动）方向，支路旁标注的代表支路（子系统）的传输函数。3．激励节点：激励节点的特点是，连接在它上面的支路只有流出去的支路，而没有流入它的支路。激励节点也称源节点或源点。4 ．响应节点：代表所求响应变量的节点。有时为了把响应节点更突出地显示出来，也可从相应节点上再增加引出一条传输函数为 1的有向支路。5．混合节点：若在一个节点上既有输入支路，又有输出支路，则这样的节点即为混合节点。混合节点除了代表变量外，还对输入它的信号有求和的功能，它代表的变量就是所有输入信号的和，此和信号就是它的输出信号。6 ．通路：从任一节点出发，沿支路箭头方向（不能是相反方向）连续地经过各相连支路而到达另一节点的路径称为通路。



7 ．环路：若通路的起始节点就是通路的终止节点，而且除起始节点外，该通路与其余节点相遇的次数不多于 1，则这样的通路称为闭合通路或称环路。环路也称回路。 8 ．开通路：与任一节点相遇的次数不多于 1的通路称为开通路，它的起始节点与终止节点不是同一节点。9 ．前向开通路：从激励节点至响应节点的开通路，也简称前向通路。10 ．互不接触的环路：没有公共节点的两个环路称为互不接触的环路。 11．自环路：只有一个节点和一条支路的环路称为自环路，简称自环。12．环路传输函数：环路中各支路传输函数的乘积称为环路传输函数。13．前向开通路的传输函数：前向开通路中各支路传输函数的乘积，称为前向开通路的传输函数。

信号流图的名词术语


5.8 系统的信号流图与梅森公式 5.8.5 梅森公式（ Mason’s Formula）

k

kkPsX

sYsH

1 ...1

,,,

rqrqpp

nmnm

ii LLLLLL

称为信号流图的特征行列式为第 i个环路的传输函数，为所有环路传输函数之和； iL

iiL

为三个互不接触环路传输函数的乘积，为所有三个互不接触环路传输函数乘积之和；

rqp LLLr

rqpqp LLL

,,

为由激励节点至所求响应节点的第 k条前向开通路所有支路传输函数的乘积；kP

为两个互不接触环路传输函数的乘积，为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和；

nm LL nm

nmLL,

为除去第 k条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。

k


：该图共有 5 个环路 , 其传输函数分别为


例

解

i

iL

1118422 321 LLL

42122 54 LL

1554321 LLLLLLi

i

nnm

mLL,

21231 LL 42241 LL 162842 LL

18424131,

LLLLLLLL nnm

m

1. 求 ⑴ 求

故

⑵ 求：该图中两两互不接触的环路共有 3 组：

故


5.8 系统的信号流图与梅森公式 0

,,

rrqp

qp LLL该图中没有 3个和 3 个以上互不接触的环路，故有

rqrqp

pnm

nmi

i LLLLLL,,,

1 41815-1

kk

kP kP

11111 P 4114112 P 212113 P

k1P

108242221 LLLi

i

910111 i

iL

2．求

⑴ 求：该图共有 3个前向通路，其传输函数分别为

⑵ 求：除出前向通路中包含的支路和节点后，所剩子图如图所示。该子图共有两个环路，

故



2P 3P

132

332211 PPPP kk

k 11121491

sH

4

1111

4

11

k

kkPsX

sYsH

除去前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有

3．求

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第五章 连续时间系统的复频域分析

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