单一参数交流电路单一参数交流电路• 教学目的：让学生掌握电感、电容元件交流电路的电压与电流数值相位间的关系；学会分析电感和电容交流电路；掌握电感和电容交流电路的功率关系。

• 教学安排：(1) 旧课复习（ 5分钟）(2) 新课讲解（ 80分钟）(3) 新课小结（ 5分钟）• 作业：课本习题

正弦交流电路的分析计算2.3

2.3.1 单一参数的正弦交流电路2.3.2 R-L-C 串联交流电路2.3.3 交流电路的一般分析方法2.3.4 功率因数的提高

一 . 电阻电路

ui R根据 欧姆定律

iRu

tItR

U

R

ui

tUu

sin2sin2

sin2

设

则

2.3.1 单一参数的正弦交流电路

tItR

U

R

ui

tUu

sin2sin2

sin2

1. 频率相同 2. 相位相同

3. 有效值关系： IRU

电阻电路中电流、电压的关系

4. 相量关系：设 0UU UI

0 R

UI 则 RIU 或

电阻电路中的功率

)(sin2

)(sin2

tUu

tIi

RuiRiup /22

u

i

R

1. 瞬时功率 p ：瞬时电压与瞬时电流的乘积

小写

1. （耗能元件）

0p

结论：

2. 随时间变化p22 iu 、3. 与 成比例p

RuiRiup /22

uωt

i

p

ωt

TT

dtiuT

dtpT

P00

11

tUu

tIi

sin2

sin2

2. 平均功率（有功功率） P ：一个周期内的平均值

UIdttUIT

dttUIT

T

T

0

0

2

)2cos1(1

sin21

大写

IUP

i

u R

二 . 电感电路

dt

diLu 基本关系式：

i

u L

tIi sin2设

)90sin(2

)90sin(2

cos2

tU

tLI

tLIdt

diLu

则

-

+e

电感电路中电流、电压的关系

1. 频率相同 2. 相位相差 90° （ u 领先 i 90 ° ）

)90sin(2

)90sin(2

tU

tLIu

tIi sin2

i

u

t90

U

I

设：

3. 有效值

LIU

感抗（ Ω）

LX L 定义：

)90sin(2

)90sin(2

tU

tLIu

LXIU 则：

U

I

4. 相量关系

)90sin(2 tUu tIi sin2

0II设： 9090 LIUU

)(

9090

90L

j jXIeLIU

LI

U

I

U

则：

LXjIU

电感电路中复数形式的欧姆定律

其中含有幅度和相位信息

U

I

Liu ？u 、 i 相位不一致 ！

U 领先！

感抗（ XL =ωL ）是频率的函数， 表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。

ω

XL

LL XIU

ω = 0 时

XL = 0

关于感抗的讨论

e+

_ LR

直流

E+

_

R

电感电路中的功率

)90sin(2

sin2

tUu

tIi

tUI

ttUIuip

2sin

cossin2

1. 瞬时功率 p ：i

u L-

+e

储存能量

P <0

释放能量

+P >0

P <0

可逆的能量转换

过程

tUIuip 2sin

ui

ui

ui

ui

i

u L

+P

P >0t

iu

t

2. 平均功率 P （有功功率）

0)2(sin1

1

0

0

dttIU

T

dtpT

P

T

T

结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量

交换（能量的吞吐）。

tUIuip 2sin

3. 无功功率 Q

LL X

UXIIUQ22

Q 的单位：乏、千乏 (var 、 kvar)

Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用

以衡量电感电路中能量交换的规模。

tUIuip 2sin

基本关系式 :

dt

duCi

设： tUu sin2

三 . 电容电路

u

i

C

)90sin(2

cos2

tCU

tUCdt

duCi

则：

1. 频率相同2. 相位相差 90° （ u 落后 i 90° ）

)90sin(2 tCUi tUu sin2

电容电路中电流、电压的关系

iu

t90

I

U

3. 有效值 或CUI IC

U1

容抗（ Ω）C

X C 1

定义：

)90sin(2 tCUi tUu sin2

CXIU 则：

I

4. 相量关系

设： 0UU 9090 CUII

I

U

)90sin(2 tCUi tUu sin2

901

CI

U

则：

CXIjC

IU 901

CXjIU

电容电路中复数形式的欧姆定律

其中含有幅度和相位信息U

I I领先！

E

+

-ω

CX c

1 e

+

-

关于容抗的讨论

直流

是频率的函数， 表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。

容抗 ）（C

X C 1

ω ＝ 0 时 cX

E•

E

电容电路中的功率

ui

)90sin(2

sin2

tUu

tIi

tIUuip 2sin

1. 瞬时功率 p

tIUuip 2sin

充电

p放电放电

P < 0

释放能量

充电

P > 0

储存能量

ui

ui

ui

ui

i uωt

T

T

tIUT

dtPT

P

0

0

02sin1

1

2. 平均功率 P

tIUuip 2sin

瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）

3. 无功功率 Q

（电容性无功取负值）

UIQ

tUIp 2sin

已知： C ＝ 1μF )

6314sin(27.70

tu

求： I 、i

例u

iC

解：

318010314

116C

X C

电流有效值 mA2.223180

7.70

CX

UI

求电容电路中的电流

mA)3

314sin(2.222

)26

314sin(2.222

t

ti

瞬时值 i 领先于 u 90°

电流有效值 mA2.223180

7.70

CX

UI

U

I

6

3

1. 单一参数电路中的基本关系

电路参数

LjjX L dt

diLu 基本关系

复阻抗

L U

I

CjjX C

1复阻抗

电路参数dt

duCi 基本关系C

UI

电路参数 R 基本关系 iRu 复阻抗 R U

I

小 结

在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示，

电路参数用复数阻抗（ ) 表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。

IU 、CL jXCjXLRR 、、

2. 单一参数电路中复数形式的欧姆定律

电阻电路

RIU )( LXjIU

电感电路

)( CXjIU

电容电路

复数形式的欧姆定律

* 电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、克氏

定律。

dt

diLiR

uuu LR

3. 简单正弦交流电路的关系 ( 以 R-L 电路为例）

uL

i

uRuR

L

* 电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、克氏

定律U

I

LU

RU

)

LLR

LLR

jXRIUUU

jXIURIU

（

、

R

L

I

URU

LU

在电阻电路中：正误判断

R

ui

？R

Ui

R

UI ？

？

瞬时值 有效值

在电感电路中：正误判断

？？

？LX

ui

L

ui

L

UI

LXI

U

Lj

I

U ？？

单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数

电路图（正方向）

复数

阻抗

电压、电流关系瞬时值 有效值 相量图 相量式

功率有功功率 无功功率

R

i

u

iRu R

设

则

tUu sin2

tIi sin2

IRU RIU UI

u 、 i 同相

UI 0

L

i

udt

diLu

C

i

u dt

duCi

Lj

jX L

cj

Cj

jX C

1

1

设

则

tIi sin2

)90sin(

2

t

LIu

设

则tUu sin2

)90sin(

12

tC

Ui

LX

IXU

L

L

CX

IXU

C

C

1

U

I

u 领先 i 90°

U

I

u 落后 i 90°

LjXIU

CjXIU

0

0

LXI

UI2

CXI

UI2

基本

关系

R-L-C 串联交流电路和阻抗串并联电路

•教学目的：让学生掌握 RLC 构成的交流电路的电压和电流关系；掌握阻抗串联和并联电路的特点和计算方法。

•教学安排：(1) 旧课复习（ 5分钟）(2) 新课讲解（ 80 分钟）(3) 新课小结（ 5分钟）•作业：课本习题

2.3.2 R-L-C 串联交流电路

)90sin()1

(2

)90sin()(2

sin2

tc

I

tLI

tIRu

tIi sin2若

则

CLR uuuu 电流、电压的关系：

u

R

L

C

Ru

Lu

Cu

i

（一）

CL

CL

XXjRI

jXIjXIRIU

总电压与总电流

的关系式

CLR UUUU 相量方程式：

则 CC

LL

R

jXIUjXIU

RIU

相量模型

R

L

C

RU

LU

CU

I

U

0II设 （参考相量）

R-L-C 串联交流电路 -- 相量图

先画出参考相量

U

CL XXjRIU 相量表达式：

RU

CL UU

CU

LU

I

R

L

C

RU

LU

CU

I

U

电压三角形

Z ：复数阻抗实部为阻

虚部为抗容抗感抗

CL XXjRIU

CL XXjRZ 令

则 ZIU

R-L-C 串联交流电路中的 复数形式欧姆定律

复数形式的欧姆定律

R

L

C

RU

LU

CU

I

U

　在正弦交流电路中，只要物理量用相量

表示 , 元件参数用复数阻抗表示，则电路

方程式的形式与直流电路相似。

是一个复数，但并不是正弦交流量，上面不能加点。 Z 在方程式中只是一个运算工具。

Z

说明： CL XXjRZ

ZIU

R

L

C

RU

LU

CU

I

U

关于复数阻抗 Z 的讨论

iui

u

I

UZ

I

U

I

UZ

ZIU 由复数形式的欧姆定律 可得：

结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比，　　　而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。

iu I

UZ

（二）

（１）Z 和总电流、总电压的关系

（２） Z 和电路性质的关系

CL XXjRZZ

　一定时电路性质由参数决定

R

XXtg CL

iu

1

当 　时， 表示 u 领先 i －－电路呈感性CL XX 0

CL XX 0当 时， 表示 u 、 i 同相 －－电路呈电阻性

CL XX 0当 时， 表示 u 落后 i －－电路呈容性

阻抗角

R

L

C

RU

LU

CU

I

U

假设 R 、 L 、 C 已定，电路性质能否确定？

（阻性？感性？容性？）

不能！

当 ω 不同时，可能出现：

XL > XC ，或 XL < XC , 或 XL =XC 。

CXLX CL

1 、

（３）阻抗（ Z ）三角形

阻抗三角形

Z

R

CL XXX

R

XXtg

XXRZ

CL

CL

1

22 )(

ZXXjRZ CL )(

（４）阻抗三角形和电压三角形的关系

电压三角形 阻抗三

角形

相似

CL

CLR

XXjRI

UUUU

CL XXjRZ

Z

R

CL XXX

CU

RU

ULU

CL UU I

（三） R 、 L 、 C 串联电路中的功率计算

CLRpppiup

1. 瞬时功率

2. 平均功率 P （有功功率）

RIIUP

dtpppT

pdtT

P

RR

T

CLR

T

2

0

0

)(1

1

u

R

L

C

Ru

Lu

Cu

i

总电压 总电流 u 与 i 的夹角

IUP R平均功率 P 与总电压 U 、总电流 I 间的关系：

RU

U

CL UU

COS ----- 功率因数

cosUU R 其中：

cosUIP

在 R 、 L 、 C 串联的电路中，储能元件 R 、 L

、 C 虽然不消耗能量，但存在能量吞吐， 吞吐的规模用无功功率来表示。其大小为：

sinIU

IUU

IUIU

QQQ

CL

CL

CL

）（）（

3. 无功功率 Q ：

RU

U

CL UU

4. 视在功率 S ： 电路中总电压与总电流有效值的乘积。

UIS 单位：伏安、千伏安

P

Q

（有助记忆）

S

注： S ＝ U I 可用来衡量发电机可能提供的最大功率（额定电压 × 额定电流）

视在功率 UIS

5. 功率三角形：

sinUIQ 无功功率

cosUIP 有功功率

_

+

+_

p

设 i 领先 u ，（电容性电路）

sinUI

cosUI

R 、 L 、 C 串联电路中的功率关系

ti u

RU

U

CL UU

电压三角形S

Q

P

功率三角形

CL XX Z

R

阻抗三角形R

L

C

RU

LU

CU

I

U

正误判断

因为交流物理量除有效值外还有相位。

CLCLR XXIIRUUUU ？

RU

CU

ULU

CL UU

I

CLR UUUU R

L

C

RU

LU

CU

I

U

在 R-L-C 串联电路中 晏文娟？

ZIU ？

正误判断

而复数阻抗只是一个运算符号。 Z 不能加 “•”

反映的是正弦电压或电流，IU 、

余勇？

正误判断 在Ｒ－Ｌ－Ｃ正弦交流电路中

？Z

UI Z

ui ？

Z

UI ？

Z

UI

？ Z

UI

？

正误判断在 R-L-C 串联电路中，假设 0II

？222CLR UUUU

？ CL XXjRIU

？ 22CL XXRIU

正误判断 在 R-L-C 串联电路中，假设 0II

？U

UUtg CL

1

？R

CLtg

1

？R

XXtg CL

1

？R

CL

U

UUtg

1

交流电路的一般分析方法交流电路的一般分析方法• 教学目的：让学生掌握交流电路的一般分析方法，主要是利用复数进行相量运算，并结合节点电位法等，让学生理解提高功率因数的意义和方法。

• 教学安排：(1) 旧课复习（ 5分钟）(2) 新课讲解（ 80分钟）(3) 新课小结（ 5分钟）• 作业：课本习题

（一） 简单串并联电路交流电路的一般分析方法2.3.3

Z1

Z2

I

iU oU

oiO uUZZ

ZU

21

2

i

Z1

Z2iu ou

Z1 Z2

I

2I

iU1I

i

Z1 Z2iu1i 2i

YUYYUI ）（ 21

Y1 、 Y2 --- 导纳

）（2121

21

11

ZZU

Z

U

Z

UIII

Y1 Y2

导纳的概念

jXRZ 设 :

2222

22

11

XR

Xj

XR

R

XR

jXR

jXRZY

则 :

电导 电纳

导纳适合于并联电路的计算 , 单位是西门子 ( s ) 。

导纳

1 、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）

EeIiUu

jXCjXLRR CL

、、

、、

2 、根据相量模型列出相量方程式或画相量图

（二）一般正弦交流电路的解题步骤

3 、用复数符号法或相量图求解

4 、将结果变换成要求的形式

例 1 下图中已知： I1=10A 、 UAB =100V ，求：电流表 A 、电压表 UO 的读数？

解： 方法 1.利用复数进行相量运算

方法 2.利用相量图求结果

2IA

1I

A B C2

5 j5UO

C1

10j

I

解法 1: 利用复数进行相量运算

已知： I1=10A 、 UAB =100V ，

则： A4521055100

2 jI

A1090101 jI

A01021 III A读数为 10 安

求： A 、 UO 的读数

即： V0100UAB 设： 为参考相量，ABU

2IA

1I

A B C2

5 j5UO

C1

10j

I

A01021 III

V100)101 jjIUC （

V452100

1001001

jUUU ABCo

UO读数为 141 伏

求： A 、 UO 的读数

已知： I1=10A 、 UAB =100V ，2IA

1I

A B C2

5 j5UO

C1

10j

I

解法 2: 利用相量图求解

设： V0100 ABUABU

2I

45°由已知条件得：

10A1 I 、领先 90°

1I

2I

A21055

100222

I

ABU 45°落后于

I=10 A 、 UO =141V由图得：

21 III

ABCo UUU 1

求： A 、 UO 的读数

已知： I1=10A 、 UAB =100V ，

UC1=I XC1=100V

uC1 落后于 i 90°

2IA

1I

A B C2

5 j5UO

C1

10j

I

1CU OU

I

例 2

已知： )1sin( tIi ms

)2sin( tEe m

R1 、 R2 、 L 、 C

求：各支路电流的大小

ei

si eL

CLi 2Ri1R

2R

相量模型

原始电路

sI

LI2RI eI

LjX

C jX

E

1R

2R

si eL

CLi 2Ri1R

2R

解法一 节点电位法A

CjjX

LjjX

EE

II

C

L

m

mS

1

2

2

2

1

已知参数：

CL

CS

A

jXRjX

jXE

I

U

111

2

节点方程

sI

LI2RI eI

LjX

C jX

E

1R

2R

eC

Ae

RA

R

LL

AL

ijX

EUI

iR

UI

ijX

UI

22

2

由节点电位便求出各支路电流：

解法二： 迭加原理

SI

R1

R2

'IL 'IR2

'Ie

LjX

C jX

eI R1

R2

LI 2RI

LjX

C jX

E

+

eee

RRR

LLL

III

III

III

222

sI

LI2RI eI

LjX

C jX

E

1R

2R

解法三：

2RjXZ L

)RjX（IE LSS 2

戴维南定理

求 eIABU LI 、 2RI

sI

LI2RI

LjX

eI

C jX

E

1R

2R

B

A

eI

C jX

EZ

S E

问题的提出：日常生活中很多负载为感性的， 其等效电路及相量关系如下图。

u

i

R

L

Ru

Lu

COS I当 U 、 P 一定时，

希望将 COS 提高

2.3.4 功率因数的提高

U

I

RU

LU

P = PR = UICOS

其中消耗的有功功率为：

负载

iu

说明： 由负载性质决定。与电路的参数和频率有关，与电路的电压、电流无关。

cos

功率因数 和电路参数的关系）（ COS

R

XXtg CL

1

R

CL XX Z

例 40W白炽灯 1COS

40W日光灯 5.0COS

A364.05.0220

40

cos

U

PI

发电与供电设备的容量要求较大

供电局一般要求用户的 ， 否则受处罚。

85.0COS

A182.0220

40

U

PIcosUIP

纯电阻电路 )0( 1COS

10 COSR-L-C 串联电路)9090(

纯电感电路或纯电容电路

0COS )90(

电动机 空载

满载

3.0~2.0COS9.0~7.0COS

日光灯 （ R-L-C 串联电路） 6.0~5.0COS

常用电路的功率因数

提高功率因数的原则： 必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。

提高功率因数的措施 :

u

i

R

L

Ru

Lu

并电容C

RLI

CI

I

L

并联电容值的计算

u

i

R

L

Ru

LuC

设原电路的功率因数为 cos L ，要求补偿到cos 须并联多大电容？（设 U 、 P 为已知）

U

分析依据：补偿前后 P 、 U 不变。由相量图可知：

sinsin III LRLC

LRLUIP cos

cosUIP

CUXUI

CC

sincos

sincos U

P

U

PCU L

L

RLI

CI

I

L

U

)(2

tgtgU

PC L

sincos

sincos U

P

U

PCU L

L

i

u

R

L

Ru

LuC

呈电容性。

1cos

IU

RLI

CI

呈电感性

1cos

0

U

I

CI

RLI

0CI

UI

RLI

问题与讨论

功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况 :

功率因数补偿问题（一）

1cos 呈电阻性

0

结论：在 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。

感性（ 较小）CI 容性（ 较大）CI '

C 较大

功率因数补偿成感性好，还是容性好？ 一般情况下很难做到完全补偿 （即： ）1cos

过补偿

欠补偿

RLI

U

I

CI

U

I

CI '

RLI

功率因数补偿问题（二） 并联电容补偿后，总电路（ R-L//C ）的有功功率是否改变了？

问题与讨论

R

LjXCjXU

I

LI1

2I

定性说明：电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。

I RLI<

L <

通过计算可知总功率不变。cosUIP cos I、其中

RLI

CI

I

L

U

功率因数补偿问题（三）提高功率因数除并电容外，用其他方法行不行？

补偿后

R

UI

RLUL

I

UU RL

I

RLU

CU

U

0

串电容行否补偿前

R

UI

RLUL

C

问题与讨论

UU RL

串电容功率因数可以提高，甚至可以补偿到 1 ，但不可以这样做！ 原因是：在外加电压不变的情况下，负载得不到所需的额定工作电压。

同样，电路中串、并电感或电阻也不能用于功率因数的提高。其请自行分析。

RU

I

RLUL

C

CUI

RLU

U

CU