西藏职业技术学院机电系

4.1 正弦量的基本概念 4.2 正弦量的有效值和平决值 4.3 正弦量的相量表示法 4.4 电阻元件伏安关系的相量形式 4.5 电感元件伏安关系的相量形式 4.6 电容元件伏安关系的相量形式 4.7 基尔霍夫定律的相量形式 4.8 R、L、C串联电路及复阻抗 4.9 R、L、C并联电路及复阻抗 4.10 正弦交流电路中的分析计算 4.11 正弦交流电路中的功率 4.12 功率因素的提高 4.13 串联谐振 4.14 并联谐振

第 4 章 单相正弦交流电路

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正弦交流电：电压、电流均随时间按正弦函数规律变化1. 最大值

正弦量瞬时值中的最大值 , 叫振幅值 , 也叫峰值。 用大写字母带下标“ m” 表示 , 如 Um 、 Im

等。

4.1.1 正弦量的三要素4.1 正弦量的基本概念

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2. 角频率 角频率 ω 表示正弦量在单位时间内变化的弧度数 , 即

t

a f

T 2

2

u

0

U m

tT

2( ) T

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)sin( tEe m

X

S

N

A

t t£«

Em

(a ) (b )

t0

e

3. 初相

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相位： ωt+θ

初相 θ ： t=0 时的相位

正弦量零值：负值向正值变化之间的零点 若零点在坐标原点左侧， θ>0 若零点在坐标原点右侧， θ<0

0 t

i

i1£½Im sint

(a )

t

i

i2£½Im sin( t£« )

(b )

2

2

t

i

i3£½Im sin( t£« )

(c )

6

6

t

i

i4£½Im sin( t£ )

(d )

6

6

0 0 0

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在选定的参考方向下 , 已知两正弦量的解析式为 u=200sin (1000t+200°) V, i=-5sin (314t

+30°) A, 试求两个正弦量的三要素。

解 ： 1 、 u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000

t-160°)V

所以电压的振幅值 Um=200V, 角频率 ω=1000r

ad/s, 初相 θu=-160° 。

例 1

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2 、

i= － 5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)

=5sin(314t-150°)A

所以电流的振幅值 Im=5A, 角频率 ω=314

rad/s, 初相 θi=-150° 。

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1 、 φ12=θ1-θ2>0 且 |φ12|≤π 弧度 U1 达到振幅值后， U2 需经过一段时间才能到达， U1 越前于 U2

2 、 φ12=θ1-θ2<0 且 |φ12|≤π 弧度 U1 滞后 U2

3 、 φ12=θ1-θ2=0, 称这两个正弦量同相

4 、 φ12=θ1-θ2=π, 称这两个正弦量反相

5 、 φ12=θ1-θ2= , 称这两个正弦量正交

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0t

u

(a )

0 t

u

(b )

0 t

(c )

0 t

u

(d )

u 1

u 2

u 1

u 2

u

u 1u 2 u 2

u 1

例 2

已知 Ati

Vtu

)45sin(210

,)235sin(2220

求 u 和 i 的初相及两者间的相位关系。

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Vt

Vtu

)125sin(2220

)235sin(2220

解：

所以电压 u 的初相角为 -125°, 电流 i 的初相角为 45° 。

017045125 iuui

表明电压 u 滞后于电流 i 170° 。

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分别写出图中各电流 i1 、 i2 的相位差 , 并说明 i1 与 i2 的相位关系。

0

i

23 2 2

(a )

t

i1 i2

0

i

2

3 2

2

(b )

t

i1

i2

£½

i

2

3 2

2 t

i1 i2

(c )

i

2

3 2

i1 i2

(d )

2 t

34

西藏职业技术学院机电系

1 、 由图知 θ1=0, θ2=90°, φ12=θ1-θ2=-90°, 表明 i1 滞后

于 i2 90° 。

2 、 由图知 θ1=θ2, φ12=θ1-θ2=0, 表明二者同相。

4

3,

4

321122

4

32

i

3 、 由图知 θ1-θ2=π, 表明二者反相。

4 、 由图知 θ1=0, , 表明 i1 越前于

。

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思考题

1 、已知 则 Im=_____A ，ω= _____rad/s ， f= _____Hz ， T= _____s ， θi= _____ 弧度。

2 、一个工频正弦电压的最大值为 311V ，在 t=0 时的值为－ 220V ，试求它的解析式。

3 、三个正弦量 i1 、 i2 和 i3 的最大值分别为 1A 、 2A 和3A 。若 i3 的初相角为 60° ， i1 较 i2 超前 30° ，较 i3 滞后 150° ，试分别写出这三个电流的解析式（设正弦量的角频率为ω ）。

,)2403140sin(210 Ati

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4.2.1 定义交流电的有效值是根据它的热效应确定的。交流电流 i 通过电阻 R 在一个周期内所产生的热量和直流电流 I 通过同一电阻 R 在相同时间内所产生的热量相等 , 则这个直流电流 I 的数值叫做交流电流 i 的有效值 , 用大写字母表示 , 如 I 、 U 等。1 、测量交流电压，交流电流的仪表所指示的数字，电气设备铭牌上的额定值都指的有效值。2 、定义交流电流 I 通过电阻 R 在一个周期内所产生的热量和 直流 I 通过同一电阻 R 在相同时间内所产生的热量相等，则这个直流电流 I 的数值叫做交流 I的有效值

4.2 正弦量的有效值和平决值

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T

T

T

T

dtuT

U

dtiT

I

dtRiRTI

dtRiQ

RTIQ

0

2

0

2

0

22

0

2

2

1

1

交流电通过同样的电阻 R ，在一个周期内所产生热量：

根据定义，这两个电流所产生的热量应相等，即

一个周期内直流电通过电阻 R 所产生的热量为：

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例 1

电容器的耐压值为 250V, 问能否用在 220V的单相交流电源上？

解： 因为 220V 的单相交流电源为正弦电压 , 其振幅值为 311 V, 大于其耐压值 250V, 电容可能被击穿 , 所以不能接在 220 V 的单相电源上。各种电器件和电气设备的绝缘水平（耐压值） , 要按最大值考虑。

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Vtu )60sin(2100

V2100

一正弦电压的初相为 60°, 有效值为 100V, 试求它的解析式。

解 因为 U=100V, 所以其最大值为 则电压的解析式为

例 2

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思考题

1 、用电流表测得一正弦交流电路中的电流为10A ，则其最大值 Im=_____A 。

2 、一正弦电压的初相为 60 ° ，在 t=T/2 时的值为－ 465.4V ，试求它的有效值和解析式。

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4.3.1 复数简介1. 复数表达式

jbaA

b

aO

£«j

£«1

P

r

)2(arctan

22

a

b

baAr

sin

cos

rb

ra

4.3 正弦量的相量表示法

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2. 复数运算法则

(1)复数的代数形式

jbaA

(2) 复数的三角形式

sincos jrrA

(3) 复数的指数形式 jreA

(4) 复数的极坐标形式 rA

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解： A1 的模 5)3(4 221 r

9.364

3arctan1 （在第四象限）

54)3( 222 r

辐角

9.1263

4arctan2 ( 在第二象限 )

则 A2 的极坐标形式为

A2 的模

9.126/52A

例 1

A1=5 -36.9°则 A1 的极坐标形式为 辐角

写出复数 A1=4-j3, A2=-3+j4 的极坐标形式。

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O ¡ä

£«j

£«1

t

£«j

B

O

A

b

t1a

U m

图 4.10 正弦量的复数表示

UU

tjUtU

eUeeU

mm

tjm

tjjm

)sin()cos(

)(

4.3.2 正弦量的相量表示法

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例 2 已知同频率的正弦量的解析式分别为

i=10sin(ωt+30°),

, 写出电流和电压的相量 , 并绘出相量图。

解 ： 由解析式可得

)45sin(2220 tu

UI、

VU

AI

452

2220

3025302

10

30 ¡ã

O

£«j

£«145¡ã

¡¤U

¡¤I

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思考题

写出下列各正弦量对应的向量，并绘出向量图。

Ati

Ati

Vtu

Vtu

)90sin(14.14)4(

)30cos(210)3(

)240sin(2110)2(

)100sin(2220)1(

2

1

2

1

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2 、已知 如图 4.12 所示，判断下列表达式的正误。

,)120sin(2220,sin2100 21 VtutVu

21

21

21

21

)4(

)3(

)2(

)1(

mmm UUU

UUU

UUU

uuu

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1 、电压与电流的关系

RIUR

UI

tItR

U

R

ui

tUu

RmRmRm

Rm

RmRmR

R

RmR

或

)sin()sin(

)sin(

iR

u R R

1) 电阻元件上电流和电压之间的瞬时关系

R

ui RR

2) 电阻元件上电流和电压之间的大小关系

若

4.4 电阻元件伏安关系的相量形式

西藏职业技术学院机电系

3) 电阻元件上电流和电压之间的相位关系

0 t

uR

(a )

uR

iR

¡¤IR

U R¡¤

(b )

iR

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例 1一电阻 R=100Ω, R 两端的电压 求

(1) 通过电阻 R 的电流 IR 和 iR 。

(2) 电阻 R 接受的功率 PR 。

(3) 作 的相量图。

VtuR )30sin(2100

RR IU

、

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AI

At

t

R

ui

R

RR

12

2

)30sin(2

100

)30sin(2100

所以

WRPWIUP RRRR 100100110011002 22 或或、

3 、 相量图如图所示。

解 1 、因为

RURI

£«1

£« j

30 oo

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思考题 1 、以知电阻 R=10Ω ，关联参考方向下，通过电阻的电流 i=1.41sin(t+60)A 。求 （ 1 ） uR 及 UR 。 （ 2 ）电阻接受的功率 P 。 2 、一电阻 R 接到 f=50Hz ， 的电源上，接受的功率为 200W 。求 （ 1 ）电阻值 R 。 （ 2 ）电流 。 （ 3 ）作电流、电压向量图。

VU 60100

RI

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iL

u L Ldt

diLuL

1 、瞬时关系

)2

sin()cos(

)sin(

uLmiLmL

L

iLmL

tUtLIdt

diLu

tIi

fLLX

LIULIU

L

LLLmLm

2

或

XL 称为感抗 , 当 ω 的单位为 1/s ， L 的单位为 H 时， XC 的单位为 Ω 。

4.5 电感元件伏安关系的相量形式

西藏职业技术学院机电系

电感元件上电压较电流超前 90°

2

iu

O

i

t

u

i

u

2. 相位关系

西藏职业技术学院机电系

tUI

tUI

tItUiup

tUu

tIi

LL

LmLm

LmLmLL

LmL

LmL

2sin

2sin2

1

sin)2

sin(

)2

sin(

sin

3 、 瞬时功率

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T

LL

Tdttiu

Tdtp

TP

0002sin

11

4 、平均功率

例 1

VtuL )60314sin(2220 已知一个电感 L=2H, 接在

的电源上 , 求

(1) XL 。

(2) 通过电感的电流 iL 。

(3) (3) 电感上的无功功率 QL 。

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var7735.0220

)150314sin(235.0

15035.0628

60220

6282314

UIQ

Ati

AjjX

UI

LX

L

L

L

LL

L （ 1 ）

（ 2 ）

（ 3 ）

解：

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思考题 1 、判断下列表达式的正（√）误（ × ）：（选定电感元件的电流与电压为关联参考方向） （ 1 ） uL=ωLIL （ ） （ 2 ） UL=ωLIL （ ） （ 3 ） uL= ω LiL （ ）

（ 4 ） （ ）

2 、已知 L=0.1H 。

试求 XL 和 并绘出电压、电流向量图。

Lj

UI L

L

,)301000sin(2220 VtuL

LI

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1 、瞬时关系

dt

duCi C

C iC

uC C2 、大小关系

)sin()2

sin(

)2

sin()2

sin(

)2

sin()cos(

)sin(

iCmuCmC

uCmuCmC

uCmuCmC

C

uCmC

tItIi

tItIi

tCUtCUdt

duCi

tUu

4.6 电容元件伏安关系的相量形式

西藏职业技术学院机电系

fCCX

X

U

C

UCUI

CUI

C

C

CCCC

CmCm

2

11

1

其中

XC 称为容抗 , 当 ω 的单位为 1/s ， C 的单位为 F 时， XC 的单位为 Ω

西藏职业技术学院机电系

2

ui

0

i

2

t

u C

iC

u

3 、相位关系

西藏职业技术学院机电系

tIUtItUiup CCCmCmCC 2sin)2

sin(sin

4 、瞬时功率

5 、平均功率

02sin111

0 00 dttiu

Tpdt

Tpdt

TP

T T

CC

T

西藏职业技术学院机电系

已知一电容 C=50μF, 接到 220V, 50Hz 的正弦交流电源上 , 求

(1) XC 。

(2) 电路中的电流 IC 和无功功率ＱＣ。

(3) 电源频率变为 1000 Hz 时的容抗。

例 1

西藏职业技术学院机电系

18.31050100014.32

1

2

1

1000

var75945.3220

45.37.63

220

7.6350105014.32

1

2

11

6

6

fCX

Hzf

IUQ

AX

UI

fCCX

C

CCC

C

CC

C

时当

解 (1 ）

(2)

(3)

西藏职业技术学院机电系

思考题1 、一电容 C=31.8F ，外加电压为

在电压和电流为关联参考方向时，求 XC 、 、 i C 、 QC ，并作出相量图。

I

,)60314sin(210 Vtu

2 、一高压电缆的电容 C=10F ，外加电压为

求在关联参考方向下的电流及储存的最大电场能量。

,314sin210 tkVu

西藏职业技术学院机电系

4.7.1 基尔霍夫定律的相量形式一、 KCL 定律

0U

0I

二、 KVL 定律

4.7 基尔霍夫定律的相量形式

西藏职业技术学院机电系

A 2A 1

A

L

i2i1 R

i

£«

£

u

A 2A 1

A

L

i2i1 R

i

£«

£

u

A 3

i3C

(a ) (b )

例 1如图 4.27 （ a ）、 (b) 所示电路中 , 已知电流表 A1 、 A2 、 A3 都是 10 A, 求电路中电流表 A 的读数。

西藏职业技术学院机电系

解 ：设端电压 VUU

0

(1) 选定电流的参考方向如图 (a) 所示 , 则

( 与电压同相 )

（滞后于电压 90° ）

AIII

AI

AI

452109010010

9010

010

21

2

1

西藏职业技术学院机电系

电流表 A 的读数为 。 注意 : 这与直流电路是不同的 , 总电流并不是 20A 。

A210

AI

AI

AI

9010

9010

010

3

2

1

(2) 选定电流的参考方向如图 (b) 所示 , 则

AIIII 1090109010010321

电流表 A 的读数为 10A 。

西藏职业技术学院机电系

VjUUU

452505050905005021

由 KVL

所以电压表 V 的读数为 V250

选定 i 、 u1 、 u2 、 u3 的参考方向如图 (b) 所示 , 则

VU

VU

VU

9050

9050

050

3

2

1

西藏职业技术学院机电系由 KCL

电流表 A 的读数为 50V 。

VjjUUUU 5050505090509050050321

西藏职业技术学院机电系

ZIjXRIU

XXjRIjXIjXIRIUUUU

jXIU

jXIU

RIU

II

CLCLCLR

CC

LL

R

)(

)]([

0

一、电压与电流的关系4.8 R 、 L 、 C 串联电路及复阻抗

西藏职业技术学院机电系

1. 电感性电路 : XL>XC 此时 X>0, UL>UC 。阻抗角 φ >0 。

2. 电容性电路 : XL<XC 此时 X<0, UL<UC 。 阻抗角 φ <0 。

3. 电阻性电路 : XL=XC 此时 X=0, UL=UC 。阻抗角 φ=0 。

0arctan R

X二、 电路的三种情况

西藏职业技术学院机电系

有一 RLC 串联电路 , 其中 R=30Ω, L=382mH, C=39.8μF, 外加电压 试求 (1) 复阻抗 Z, 并确定电路的性质 ;

(2); ; 　　 (3) 绘出相量图。

Vtu )60314sin(2220

CLR UUUI

、、、

例 1

西藏职业技术学院机电系

1.53504030)80120(30

)8.39314

10382.0314(30

)1

()(

6

jj

j

CLjRXXjRZ CL

所以此电路为电感性电路。

解（ 1 ）

,01.53

西藏职业技术学院机电系

(2)

V

IjXU

V

jXIU

VRIU

AZ

UI

CC

LL

R

1.83352

90809.64.4

9.96528

901209.64.4

9.6132309.64.4

9.64.41.5350

60220

西藏职业技术学院机电系

(3) 相量图如图 4.35 所示。

.U R

. .U

U X £½U L£«U C

I

. . .

£«1

£«j

60¡ã6.9¡ã

O

U C

.

U L

.

西藏职业技术学院机电系

思考题

30iO UU 越前于如图所示为 RC 串联电路，已知 R=10Ω ， 求 XC 。

＋

－

＋

－

C

Ru i u o

i

ͼ 2

西藏职业技术学院机电系

21

21

21

22

1

11

1

ZZ

ZZZ

Z

UIII

jXR

U

Z

UI

jXR

U

Z

UI

C

L

C

iR1 R 2

u i1

L

£«

£

i2

一、 RLC 并联电路的电压、电流关系

4.9 R 、 L 、 C 并联电路及复导纳

西藏职业技术学院机电系

jXRZ

Z 的实部为 R, 称为“电阻” , Z 的虚部为 X, 称为“电抗” , 它们之间符合阻抗三角形。

R

X

XRZ

arctan

22

R

X| Z |

图 4.30 阻抗三角形

二、复导纳

西藏职业技术学院机电系

复阻抗的倒数叫复导纳 , 用大写字母 Y 表示 , 即

ZY

1

在国际单位制中 , Y 的单位是西门子 , 用“ S” 表示 , 简称“西”。 由于 Z=R+jX, 所以

jBGZ

Xj

Z

R

XR

jXR

jXRZY

2222

11

西藏职业技术学院机电系 复导纳 Y 的实部称为电导 , 用 G 表示 ; 复导纳的虚部称为电纳 , 用 B 表示 , 由上式可知

2

2

Z

XB

Z

RG

复导纳的极坐标形式为 'YjBGY

|Y| 为复导纳的模 , φ′ 为复导纳的导纳角 , 所以有

G

B

BGY

arctan'

22

西藏职业技术学院机电系

已知加在电路上的端电压为 u=311sin(ωt+60°)V, 通过电路中的电流为 求 |Z| 、阻抗角 φ 和导纳角 φ′ 。 解 ： 电压的相量为

AI

3010

90

90)30(60

2210

220

90)30(602

311

iu

I

UZ

U

例 1

西藏职业技术学院机电系

例 2

图 4.45 所示为 RLC 并联电路 , 已知端电压为

(1)并联电路的复导纳 Y;

(2) 各支路的电流 和总电流 (3) 绘出相量图。

FCmHLRVtu 159,127,10,)30314sin(2220

CLR III

、、

I

西藏职业技术学院机电系

SjjCjjX

Y

Sjj

jXY

SR

Y

C

L

05.0101593141

025.010127314

1

1.010

11

63

32

1

解 选 u 、 i 、 iR 、 iL 、 iC 的参考方向如图所示。

西藏职业技术学院机电系

1 、判断下列叙述的正误（ 1 ）电路中的电压 一定越前电流 为 φ 角。　（ 2 ）同一电流中的阻抗角和导纳角 相差 180°。（ 3 ）电路的导纳角等于总电流的初相角与总电压的初相角，即　　 φ=θi- θu .　　　　　　　　　　

思考题

U

I

西藏职业技术学院机电系

£«

£

jXL£ j XC

U s1

.R

£«

£

U s2

.I1

. I2

.

a

b

I3

.

Im 1

.Im 2

.

一、网孔法

4.10 正弦交流电路的分析计算

西藏职业技术学院机电系

213,2211

222111

22

211211

22222121

11212111

,

,

,

mmmm

SSSS

L

C

smm

smm

IIIIIII

UUUU

jXRZ

RZZjXRZ

UIZIZ

UIZIZ

西藏职业技术学院机电系

二、 节点法

321

2211

YYY

YUYUU

ssab

RY

jXY

jXY

LC

1,

1,

1321

西藏职业技术学院机电系

图 4.52 所示电路中 , 已知 ,01001 VU s

解 ： 选定各支路电流 、 、 和网孔电流 、 的参考方向如图所示 , 选定绕行方向和网孔电流的参考方向一致。 列出网孔方程为

1

I 2

I3

I1mI

2mI

jIjI

IIj

mm

mm

100)86(6

01006)86(

21

21

例 1

8,8,6,901002 CLs XXRVU

8,8,6,901002 CLs XXRVU

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AIII

AII

AII

AjI

AjI

jIjj

I

IjI

mm

m

m

m

m

mm

mm

456.171088.91989.9

1088.9

1989.9

1088.925.93

1989.913.338.9

1006

]100)86)[(86(6

6

100)86(

213

22

11

2

1

11

12

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图 所示电路中已知数据同例 4.30, 试用节点法求各支路电流。 解 以 b 点为参考节点 , 各支路电流 参考方向如图所示

311

III

SR

Y

SjjX

Y

SjjX

Y

L

C

6

11

8

11

8

11

3

2

1

例 2

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AR

UI

Aj

j

jX

UUI

AjjX

UUI

ab

L

sab

C

abs

457.176

45106

10889.9908

185.632

8

100451.106

1989.99064

715.632

8

451.106100

3

22

11

Vj

jj

jj

jU ab

451.106)1(8

600

61

81

81

8100

8100

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一、电路基本元件的功率

R

URIIU

dtCOSIUT

dPT

P

R

RRR

tR

T

Rt

T

RR

22

00)21(

11

＝

1 、电阻元件的功率

2 、电感元件的功率

tIUtCOSUiUP LLLLLL sin2

4.11 正弦交流电路的功率

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3 、电容元件的功率

tItUiUP CCCCC sin2cos2

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)]2cos([cos

)]cos()[cos(2

12

sin)sin(2`

sin2)sin(2

)sin(2

sin2

tUI

ttttUI

ttUI

tItUuip

tUu

tIiZ

U.

I.

二、二端网络功率1 、瞬时功率

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我们把一个周期内瞬时功率的平均值称为“平均功率” , 或称为“有功功率”， 用字母“ P” 表示 , 即

+ +

£ £ £

p, u, i

p£½ui

i

u

2 t

P£½UI cos

0

瞬时功率波形图

2 、 有功功率

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RIIUP

IUPUIP

UIUIP

UIdttUIT

dtUIT

dttUIT

pdtT

P

R

RR

TT

TT

2

00

00

cos

cos

0cos)]2cos([1

)cos(1

)]2cos([cos11

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CL QQQ

UIQ

sin

3 、无功功率

4 、 视在功率

UIS

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SQ

P

功率三角形S

PP

Q

QPS

QPS

cos

tan

22

222

5 、 功率三角形

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已知 40W 的日光灯电路如图 4.56 所示 , 在 =220V 的电压之下, 电流值为 I=0.36A, 求该日光灯的功率因数 cosφ 及所需的无功功率 Q 。

I

U.

.

R

jXL

例 1

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解 ： cosUIP

5.036.0220

40cos

UI

P

由于是电感性电路 , 所以 φ=60°电路中的无功功率为

var6960sin36.0220sin UIQ

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思考题

＋

－

U

I

Z0

Z1

VU 15220　 　

6010　 　Z下图所示为两阻抗串联电路，已知 Z １＝ 60+j30 Ω ，测得U=220V,I=1A ，电路的总功率为 P=200W ，求Z0

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功率因数低引起的不良后果如下：(1) 电源设备的容量不能得到充分的利用。(2) 增加了线路上的功率损耗和电压降。

1 、 提高功率因数的意义

2 、 提高功率因数的方法

IR

U

jL

£«

£

.

.IC

.

£ j C1

(a )

IC

.

I1

.IC

.I.

U.

(b )

I1

.

4.12 功率因数的提高

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)tan(tan

)tan(tan

cos

sin

cos

sinsinsin

cos,cos

cos,cos

21

21

2

2

1

1211

21

1211

U

PCU

CUX

UI

U

P

U

P

U

PIII

U

PIUIP

U

PIUIP

CC

C

并联电容前后公式变化

由图可以看出

又因

代入上式可得

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)tan(tan

)tan(tan

21

2

22

2

212

PQU

QC

CUX

UXIQ

U

PC

C

C

CCC

即

得

解得

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如图 所示为一日光灯装置等效电路 , 已知 P=40W, U=220V, I=0.4A, f=50Hz, 求(1) 此日光灯的功率因数 ; (2) 若要把功率因数提高到 0.9, 需补偿的无功功率 QC 及电容量 C 各为多少？

i

u

R

L

C

例 1

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解： 1 、 因 cosUIP

所以 455.04.0220

40cos

UI

P

2 、 由 cosφ1=0.455 得 φ1=63°, tanφ1=1.96 。由cosφ2=0.9 得 φ2=26°,tanφ2=0.487 。利用式得

var9.58)487.096.1(40 CQ所以

FFU

QC C

88.31088.3

22014.32

9.58 622

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思考题

１ . 能否用串联电容器的方法提高功率因数？

2. 在正弦交流电路中，负载获得最大功率的条件是什么？

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i

u

R

L

C

£«

£

ZjXRXXjRZ CL )(

当 X=XL-XC=0 时 , 电路相当于“纯电阻”电路 , 其总电压 U 和总电流 I 同相。 电路出现的这种现象称为“谐振”。

1 、现象4.13 串联谐振

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CLCL XXXX 或0

CL

1

1) 当 L 、 C固定时 , 可以改变电源频率达到谐振

LCT

LCf

LC

2

2

1

1

0

0

0

2 、产生谐振的条件

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2) 当电源的频率 ω 一定时 , 可改变电容C 和电感 L使电路谐振。

CL

LC

2

2

1

1

3 、串联谐振的特征1 ）复阻抗和电源

谐振时， X ＝ 0 ，复阻抗 Z=R+Jx=R 电流将达到最大值，

R

UI 0

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2) 特性阻抗和品质因素

C

L

CL

00

1

＝

电抗

品质因素CRR

L

RQ

0

0 1

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　　图示为一 R 、 L 、 C 串联电路 , 已知 R=10Ω, L=500μH, C 为可变电容 , 变化范围为 12～ 290pF 。若外施信号源频率为 800kHz, 则电容应为何值才能使电路发生谐振。

i

u

R

L

C

例 1

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pF

LfLC

2.79

10500)108002(

1

)2(

11

623

22

解： 因

所以

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思考题 1.什么叫串联谐振？串联谐振有那些特征？

2. 串联谐振电路的特性阻抗、品质因数的含义是什么？品质因数对串联谐振曲线有何影响？

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1) 电路的复导纳为

1 、产生谐振的条件

CjLR

Lj

LR

R

jXjXRY

LL

2222 )()(

11

4.14 并联谐振

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即

2) 当 Y 的虚部为零时，为并联电路振荡条件

22 )( LR

LC

2

2

0

1

L

R

LC角频率

但 RL

LC

10

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思考题1 、什么叫并联谐振？特征是什么？2 、如果并联电路总 R趋近零，分析电路工作状态？