图论（二）

图论（二）

李子星

内容提要• 最短路径问题

– 单源最短路径问题• Dijkstra算法• Bellman-Ford算法• SPFA算法

– 任意点对最短路径问题• Floyd算法

• 最小生成树问题– 无向图的最小生成树问题

• Prim算法• Kruskal算法

– 有向图的最小生成树问题

单源最短路径问题

给定一个有 n个点的带权有向图，问从指定的起点开始，到其他所有点的最短路径。


1

2

6 5

3

4

1

2

8

4

5

3

3

1

1

103

4

单源最短路径问题• 带权图中一个点到另一个点的最短路径一定唯一存在？–有路径通达且没有“负权回路”则一定存在–不一定唯一

• 单源最短路径是否一定能构成一棵树？–如果源点到其他所有点的最短路径都存在，则一定能找到一棵以指定的起点为根的树（边的方向总是从父亲指向儿子）


1

2

6 5

3

4

1

2

8

4

5

-3

3

1

1

103

4

Dijkstra算法

如果边权没有负值，可以用 Dijkstra算法求解单源最短路径问题。

Dijkstra算法算法流程：1. 初始化所有点的 dist值为 +∞，起点的 di

st值为 0

2. 从所有点中找到未被标记的 dist值最小的点 x，将 x点标记

3. 检查所有 x引出的边，用 x点的 dist值与这条边的权值之和更新这条边指向的点的dist值（这个过程又被称为“松弛操作”）

4. 重复步骤 2和 3直到所有点都被标记

Dijkstra算法• 一个点的 dist值就是“已知的从起点到达它的最短路径长度”

• 如果记下每个点的 dist值最后一次更新是由哪条边的松弛操作完成的，这条边就是“已知的从起点到达它的最短路径的最后一条边”

• 一个点被标记也就意味着“这个点的 dist值已经不可能再被更新”，即“起点到它的最短路径已经求得”

Dijkstra算法

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2

6 5

3

4

1

2

8

4

5

3

3

1

1

103

4

dist:0

dist:+∞

dist:+∞ dist:+∞

dist:+∞

dist:+∞

dist:1

dist:10

dist:3

dist:3

dist:5dist:2

dist:9

Dijkstra算法朴素的 Dijkstra算法的时间复杂度为 O(n^2)。

如果所有点的 dist值用一个堆来维护，“更新某个点的 dist值”和“寻找 dist值最小的点”就可以在 O(logn)的时间复杂度内完成。总时间复杂度就变成了 O(elogn)，其中 e为图中的边数

实际上 Dijkstra算法就是 h函数为 0的 A*算法

Bellman-Ford算法

如果边权可以为负值，那么可以使用 Bellman-Ford算法求解单源最短路径问题。

Bellman-Ford算法算法流程：1. 初始化所有点的 dist值为 +∞，起点的 dist值为

0

2. 检查所有边 uv，用 u点的 dist值与这条边的权值之和更新 v点的 dist值。即对所有的边执行一次松弛操作。若此步骤中某个点的 dist值更新了，那么可以说此步骤是“有收获的”

3. 直到上一轮步骤 2没有收获，或步骤 2已经重复了 n轮，否则再重复一次步骤 2。若最后一轮步骤 2仍旧是有收获的，那么说明起点能够到达一个负权回路，否则目标就已经达成了。

Bellman-Ford算法证明：• 如果起点能够到达某个负权回路，那么显然，步骤 2总是会有收获。

• 如果起点无法到达一个负权回路，那么当所有点的 dist值到达最低值时，步骤 2就不再有收获了。

• 而一条最短路径一定没有环，即一条最短路径经过的边数一定不会超过 n-1（经过了所有其他的点），所以 n-1轮后，任何一个点作为终点的最短路径一定已经求得。

Bellman-Ford算法

时间复杂度显然是 O(ne)

SPFA算法

稍微改进一下 Bellman-Ford算法的过程，就得到 SPFA（ Shortest Path Faster Algorithm）算法。

SPFA算法算法流程：1. 初始化所有点的 dist值为 +∞，起点的 di

st值为 0 “，将起点加入一个待检查点”的队列 q

2. 从队列 q的队首中取出一个节点 x，对 x引出的所有边执行松弛操作，若某个点的dist值被更新了且这个点不在队列 q中，则将其加入队尾

3. 重复步骤 2直到某个点入队超过 n次或队列为空

SPFA算法

有理论能够证明， SPFA算法的平均时间复杂度为 O(e) 。但是有可能退化，最坏会到 O(en)。

比较适合于稀疏图中求解单源最短路径。

如果不用队列，改用栈可以么？


算法时间复杂度

Dijkstra O(n^2)，或者用堆优化到 O(elogn)

Bellman-Ford O(en)

SPFAO(e)，只是平均情况，最坏可能退化到 O(en)，但一般来说效果很好

任意点对最短路径问题

给定一个有 n个点的带权有向图，问任意两个点之间的最短路径长度。

Floyd算法代码如下（ w最初是图的邻接矩阵，算法结束后是任意点对间的最短路径长度）：

for k=1 to n do

for i=1 to n do

for j=1 to n do

if (w[i,k]+w[k,j]<w[i,j])

w[i,j]=w[i,k]+w[k,j]

Floyd算法for k=1 to n do

// 此时的 w[x,y]为： x到 y的“中途只能// 经过 1..k-1这些点的”最短路径长度// 下面的二重循环则是求“中途只能// 经过 1..k这些点的”最短路径长度for i=1 to n do

for j=1 to n do if (w[i,k]+w[k,j]<w[i,j])

w[i,j]=w[i,k]+w[k,j]

在 w[i,j]被更新时记下其因哪个 k被更新，将之存储在mid[i,j]中，则mid[i,j]就是 i到 j的最短路径中经过的编号最大的点，由此可以还原出任意点对间的具体的最短路径。

Floyd算法

k

x y只经过 1..k-1

只经过

1..k-1

只经过1..k-1

Floyd算法如果有负权边但没有负权回路， Floyd算法还是正确的么？

答案是依然正确。但是 Floyd算法没法判断图中是否有负权回路存在。

时间复杂度显然是 O(n^3)的。

Floyd算法

如果图中有负权回路存在， Floyd算法最后得到的会是什么？

如果要求图（可能是无向图）的最小环， Floyd算法可以给你什么启示么？

最短路径问题

如果要求次短路径，甚至第 k短路径呢？

如果这个图存在负权回路，但要求每个点不走两次的最短路径呢？

无向图的最小生成树问题给定一个连通的带正权无向图，求此图的一个边集，要求：（ 1）将不在此边集的边全删除后，图依然连通；（ 2）边集中的边的权值之和最小。

易知这个边集一定构成一棵树，因此它又被称为“最小生成树”

无向图的最小生成树问题

1

2

5 4

3

2 3

1 4

2

3

4

17

3


• 将原图点集分成两个不相交的集合 A和 B

• 原图中所有连接了 A和 B的边中权值最小的那条，一定可以作为最小生成树中的一条边


1

2

5 4

3

2 3

1 4

2

3

4

17

3

Prim算法算法流程：1. 任选一个点 s得到集合 A={s}，初始化 di

st[i]为 w[s,i]， link[i]=s

2. 在 V-A中选取 dist最小的点 x，将 x加入集合 A，检查所有 V-A中的点 i，若 w[x,i]<dist[i]则 dist[i]=w[x,i]且令 link[i]=x

3. 重复步骤 2直到 A=V，此时所有 V-{s}中的点 i与 link[i] 相连的边就构成了原图的一个最小生成树，此外 dist[i]就是连接了 i与 link[i]的边的权值

Prim算法

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2

5 4

3

2 3

1 4

2

3

4

17

3

Prim算法

时间复杂度是为O(n^2)的。

正确性依赖于之前说的原理。

虽然最小生成树本身是“无根树”，但 link数组实际上对应了一棵以 s为根的“有根树”，对于每个节点 i， link[i]就是其在这棵树中的父节点。

Kruskal算法算法流程：1. 将所有的边按权值从小到大排序，初始化

A[i]={i}对所有的 i， A[1..n]构成原图点集的一个划分

2. 依边权从小到大依次检查每条边，若这条边连接的两个点不在一个划分块中，则标记这条边，然后将这两个划分块合并

3. 重复步骤 2，直到所有点都在一个划分块中为止。最后所有标记的边构成原图的一个最小生成树

Kruskal算法

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2

5 4

3

2 3

1 4

2

3

4

17

3

Kruskal算法

原图点集的划分通常使用并查集来维护，所以 Kruskal算法的时间复杂度就是 O(eloge)。

显然，如果图是稀疏图， Kruskal算法效率应该好于 Prim算法，而对于稠密图则相反。


如果图是动态变化的呢？比如图中的边会不断增加，或者不断减少。

如果要求的不是最小生成树，而是次小生成树，甚至第 k小生成树呢？

如果每条边有两个参数 c和 w，要求选出的边集的 c之和与 w之和的比值最小呢？这个又被称为“最优比率生成树”

有向图的最小生成树问题给定一个连通的带正权有向图，并指定其中的某个点 s，求此图的一个边集，要求：（ 1）将不在此边集的边全删除后， s到其他所有点都有路径。（ 2）边集中的边的权值之和最小。显然这个边集一定构成一棵以 s为根的有根树，且这棵树中的边都是父节点指向儿子节点的。这样的边集又被称为原图以 s为根的“最小树形图”。

有向图的最小生成树问题

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2 4

3 5

35

5

4

2 6

3

7

有向图的最小生成树问题算法流程：1.对 s 外的每个点 i，找到指向 i的边中权值最小的那条，将这些边放入边集 A0

2.若图中没有环且没有收缩点，则 A0即为所求，算法结束；若有环则进入步骤 3 ；若没有环但有收缩点，则进入步骤 4

3.将每个环收缩为一个点，同时将这个环中的边从A0 剔除，然后回到步骤 1。收缩的具体操作如下：1. 假设收缩产生的新点为 P2.对于任意环外点 x指向环内点 y的权值为 w的边 xy，生成一条边 xP，并且权值改为 w 减去环中指向 y的边的权值，这条边实际上是原本的 xy的“等价边”


S

9 5

39 4

3738 5

9

48

46

S

9-7 5-33

9-48-3

9-5

4-36

4 8-5

收缩

有向图的最小生成树问题4. 此时的 A0（没环）对于现在的图（有收缩点）来说，就是一棵以 s为根的最小生成树了，但由于存在收缩点，所以现在的图还不是原图，所以需要把收缩点展开，以还原到原图。展开后可能依然存在收缩点，需要重复此步骤直到没有收缩点为止，那时的 A0即为所求1. 展开时需要将其在收缩时从 A0中剔除的边加回到 A0

2. 对每个展开后的收缩点，其中肯定有一个点有两条边指向它，其中一条是所在收缩点外的某点指向它的，另一条则是收缩点内的某点指向它的，将后者从 A0 剔除


S

9-7 5-33

9-48-3

9-5

4-36

48-5

S

9 5

39 4

3738 5

9

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46

展开

有向图的最小生成树问题这个过程简而言之就是：• 找最小边• 收缩• 找最小边• 收缩• ……

• 展开• 展开• ……

练习题• POJ1502

• POJ3637

• POJ1511

• POJ1062

• POJ1860

• POJ1797

• POJ2253

• POJ1125

• POJ1258

• POJ2485

• POJ2075

• POJ3625

• POJ1679

• POJ3164

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图论（二）