重陽子を数値的に解いてみる！

重陽子を数値的に解いてみる！

第４コマ

重陽子 …

Proton

Neutron

Deuteron

Deuteron

• Jπ=1+, T=0• Binding energy = 2.22 MeV• Rrms = 1.9 fm• Electric Quadrupole moment Qd = 0.286 fm2

二核子系、唯一の束縛状態

非常に弱い束縛状態　・・・　一核子当たり 1 MeV

cf) 通常の原子核では一核子当たり約 8 MeV

非常に空間的に広がっている状態　・・・　二核子間距離 4fmcf) 通常の原子核中では二核子間距離約 2fm

Qd が有限（　　　の期待値）　　　　二核子間は単純な s-wave ではない。22mr Y

重陽子を数値的に解いてみる！二体問題だが核構造計算をやる上でのエッセンスが詰まっている。簡単だが、実は簡単ではない。

重陽子は弱く束縛し、空間的に大きく広がった系

核力の斥力芯による短距離部分への影響と同時に遠方まで広がった tail を同時に取り扱う必要がある。

ガウス基底で解く… 構造計算では頻繁に使われる

… 軌道角運動量とスピンを合成して、　　全角運動量を作る。

クレプシュ・ゴルダン係数（ CG 係数）の練習

Proton

Neutron

Deuteron

テンソル力によって主に束縛　　 One Pion Exchange

… テンソル力は複雑な働き方をする。• Spin triplet (S=1) にしか働かない。• 軌道角運動量を混ぜる。 S 波 (L=0) と D 波 (L=2) の混合結合チャンネル問題 (Coupled channel)

計算上

S + D

Repulsive core

☆ Hamiltonian

2

2122

C T LS

C T LS

H T V V V

V r V r S V r

l s

2

2

2T

：運動エネルギー 2NM ：換算質量

C CV V r ：中心力

12T TV V r S ：テンソル力

LS LSV V r l s ：ＬＳ力

1 212 1 22

3Sr

σ r σ rσ σ

1 2,i l r s s s

2i iσ s

, ,C T LSV r V r V r ：動径座標 r についての関数

12 , ,S l s ：演算子

☆ 試行関数

3 31 1U r S W r D

S 波 (L=0) 、 D 波 (L=2) 各々の動径波動関数 U(r), W(r) を Gaussian で展開

( 0) 2 ( 0)0

( 2) 2 2 ( 2)2

exp

exp

L Ln n n n

n n

L Ln n n n

n n

U r C b r C g r

W r C r b r C g r

max

1

1max

11

n

NN

n

bb b

b

ここで Gaussian の広がりパラメータは等比級数に取るのがミソ！

1 1max

max1

1

N

Nn n

bb b

b

1 2 3 max, , , ,n Nb b b b b

☆ 対角化

( ) 3, 1

0,2

Ln L n

L n

C g r L

重陽子の波動関数を　　　　　　　　　　　　　　　という基底で展開した。 3, 1L ng r L

3, 1L ng g r L ,L n

ii C g

未知係数　　　　　　　を求める。 iC

☆ 対角化

ii iH

解く問題　＝　ハミルトニアンの固有値を求める

i i iH C g C g

i i iC H g C g

左から　　　　を掛けてgi i iC g H g C g g

0i iH N C

0i iH N C

H g H g ハミルトニアン行列ノルム行列

N g g

固有値固有ベクトル

☆ 対角化

3, 1L ng r L

という基底で Hamiltonian を対角化するという問題になる。

未知の展開係数　　　　　　を決定。 iC

☆ 計算手順… 　二段階対角　　 Gaussian は直交基底ではないため、一度 Gaussian から直交系を作り、　　それを用いて Hamiltonian を対角化

1. Norm 行列を対角化し、直交系を作る。

2. 得られた直交系を用い、 Hamiltonian 行列を作る。

3. Hamiltonian 行列を対角化して、エネルギー固有値、固有状態が得られる。

3 3, 1 ', 1, , 'L n L mN g L g L , , ',L n L m と、まとめている。

p p p p p pN N f f

f f

1p p

pf f g

3, 1,L ng g L

,p q

p qf f

p qpqH f H f

i i i i i ipq q p

q

H H d f d d

i p ii p

p

d f C g

1i i p

p pp

C d f

☆ 計算手順計算に必要なもの

0i iH N C

H g H g

ハミルトニアン行列の行列要素

ノルム行列の行列要素

N g g

☆ 各種行列要素1. Norm matrix

2. Kinetic energy matrix

3 3, 1 ', 1

0

, '2

3

, , '

1 1( ' 0)

4

15 1( ' 2)

16

L i L j

Lij

i j i j

L LLij

i j i j

N g L g L

O for L Lb b b b

O for L Lb b b b

23 2 3

, 1 ', 1

0

2

, '

2

, , '2

6 ( ' 0)

214 ( ' 2)

L i L j

i jLij

i j

L Li jL

iji j

T g L g L

b bO for L L

b b

b bO for L L

b b

☆ 各種行列要素

動径方向に関する積分

3. Potential energy matrix

3 3, 1 ', 1

3 3 3 3 3 3, 1 ', 1 , 1 ', 1 , 1 ', 1

, , '

, , ' , , ' , , '

C T LSL i L j

C T LSL i L j L i L j L i L j

V g L V V V g L

g L V g L g L V g L g L V g L

3 3 3 3, 1 ', 1 , 1 ', 1

3 3, ', 1 1

, , ' , , '

'

XL i L j L i X L j

L i X L j

g L V g L g L V r X g L

g V r g L X L

角度及びスピンに関する積分

0 2,expX

X n X nn

V r V a r

各ポテンシャルの動径成分は Gaussian で記述されている。（ Tamagaki potential など）そうでないものは数値的に Gaussian で展開しておく。（ Argonne potential など）

☆ 各種行列要素3. Potential energy matrix

0 2 2, ', , , ',0

, ,

02

, ,

3, ,

exp

1 1' 0

4

3 10, ' 2

8

15 1' 2

16

XL i X L j n L i X n L j

n

i j X n i j X n

Xn

n i j X n i j X n

i j X n i j X n

g V r g V r dr g r a r g r

for L Lb b a b b a

V for L Lb b a b b a

for L Lb b a b b a


☆ 各種行列要素3. Potential energy matrix

3 31 1 '

12

' 1,

0 ' 0

8 0, ' 2 ,

2 ' 2

0 ' 0

3 ' 2 ,

0 '

L LL X L X Central

for L L

for L L X S Tensor

for L L

for L L

for L L X LS

for L L

l s

角度及びスピンに関する積分

CV

2 3C T LSV V V

8 TV

8 TV

0

2

0 2LL’

3 31 1'L V L

☆ 各種行列要素の計算の仕方について

1. Norm matrix

3 3, 1 ', 1

3 3, ', 1 1 , ', , '

, , '

'

L i L j

L i L j L i L j L L

N g L g L

g g L L g g

,2

',0 L i L jdr g r X r g rr

2

, ,

2, ,0

2 1

0

3

1 1( ' 0)

4

15 1( ' 2)

16

i j

Lij L i L j

L i L j

i j i jb b rL

i j i j

O g g

r dr g r g r

for L Lb b b b

dr r e

for L Lb b b b

0. 動径方向に関する積分



23 2 3

, 1 ', 1, , '2L i L jT g L g L

2

2 22 2

1 d dr

r dr dr r

l

22

3 2 3, 1 ', 12 2

2 22 3 3 3 3

, ', 1 1 , ', 1 12 2

22

, ' , , , ,2 2

1, , '

2

1 1' '

2

1 11

2

L i L j

L i L j L i L j

L L L i L j L i L j

d dT g L r g L

r dr dr r

d dg r g L L g g L L

r dr dr r

d dg r g L L g g

r dr dr r

l

l



22

2 2 2, , , ,2 20

2

0

0

2 3

2

4

1 1

6 ( 0)

3 1 156 14

8 16

1054 ( 2)

32

ji

L i L j L i L j

b rb rL L

i jLij

i j

j

i j i ji j i j

j

i j i j

d d d dg r g r dr g r r g r

r dr dr r dr drd d

dr r e r r edr dr

b bO for L

b b

b

b b b bb b b b

bfor L

b b b b



2

2, , , ,2 20

2 1

0

2

1 11 1

1

0 ( 0)

3 16 ( 2)

8

i j

L i L j L i L j

b b rL

i j i j

L L g g L L r dr g r g rr r

L L dr r e

for L

for Lb b b b

22

, ' , , , ,2 2

0

2

, '

2

1 11

2

6 ( ' 0)

214 ( ' 2)

L L L i L j L i L j

i jLij

i j

L Li jL

iji j

d dT g r g L L g g

r dr dr r

b bO for L L

b b

b bO for L L

b b



0 2 2, ', , , ',0

expXL i X L j n L i X n L j

n

g V r g V r dr g r a r g r


2 2, , ',0

2 2 2 ' 2,0

' 2 2,0

, ,

2, ,

,

exp

exp exp exp

exp

1 1' 0

4

3 10, ' 2

8

15

1

L i X n L j

L Li X n j

L Li j X n

i j X n i j X n

i j X n i j X n

i j X n

r dr g r a r g r

r dr r b r a r r b r

dr r b b a r

for L Lb b a b b a

for L Lb b a b b a

b b a

3,

1' 2

6i j X n

for L Lb b a



角度及びスピンに関する積分3 3

1 1'L X L

ＬＳ力の場合 X l s

j l s

22 2 2 2 j l s l s l s

2 2 21

2 l s j l s

2 ' 1 2 1 2 ' 1 2 2 2 2 1' '

2 ' 1 2 1'

2 ' 1 2 1'

, ' , ' , '

1' '

21

' 1 1 121

1 1 1 '21

1 1 12

S S S SJ J J J

S SJ J

S SJ J

J J L L S S

L L L L

L J J L L S S L

J J L L S S L L

J J L L S S

l s j l s

2 1 2 1 11 1 1

2S S

J JL L J J L L S S l s

ブラ・ケット間で J,L,S が異なる場合は 0



角度及びスピンに関する積分 3 31 1'L X L

テンソル力の場合 12X S

やり方

3 3 3 312 , 1 , , 11 1J L L J L L J L L JS L a L a L a L

一般には、ある状態にテンソル演算子を作用させると、全角運動量 J は保存したまま、異なる軌道角運動量 L の状態が混ざる。この事実から、テンソル演算子を作用させた状態を可能な L の状態で展開しておいて、簡単な場合について両辺を比較して、展開係数 {aL,L’} を決定する

こうして3 3

12 , ''J J L LL S L a が分かる。

•　「大学院　原子核物理」　中村誠太郎監修　吉川庄一、森田正人、玉垣良三、谷畑勇夫、大塚孝治著　講談社サイエンティフィク　４章“核力の多面性”　４．５．２節

ここは結構ややこしい。。。


（練習：簡単な場合… L=J の場合）

3 312 ,J J J JS J a J

磁気量子数も露わに書くと

この場合、 S12 が作用しても　　１． J は保存される　　２．パリティは保存される　　　　…パリティ保存から L=J-2, J, J+2 が許される。　　　　　しかし L=J±2 とスピン S=1 を組んで J を作ることはできない。これらのことから L=J のみ。

3 312 ,, ,J J J JS J M a J M

ここで 3 , ,1 | , 1,Jm

J M C J m M m J M J m M m

,1 | , 1,Jmm

C J m M m J M Y M m 軌道角運動量スピン



12 1 2 2,2,

241

5S Y

σ σ rテンソル演算子 S12 はと書けるので、

312 1 2 2,2,

2, 1 2 2,,

24, 1

5

,1 | 1,

241 ,1 | 1,

5

J

Jmm

Jmm

S J M Y

C J m M m J M Y M m

C J m M m J M Y Y M m

σ σ r

r

r r σ σ

軌道角運動量スピン

ここで扱いやすいケースとして , 0, 0

1M

rを考える。

この時 2, ,

5 2 10,0 , 0,0

4 4J m m

JY Y

このスライド末尾の「以下補足」を参照


（練習：簡単な場合… L=J の場合）よって

312

1 2 2,,

1 2 2,0

0, 0 , 1

24 5 2 11 ,11 | 1 1,1

5 4 4

24 5 2 10,11| 1 1,1

5 4 4

J

mm

S J M

JC J m m J m

JC J J

σ σ

σ σ

スピンあとはスピン部分の計算

21 2 2,0

1,0,1

1,1 , 1 | 20C

σ σ

2 21 2 0 02,0

2

1,1 10 0 | 20 10 0 | 20

10 0 | 20 2 2

2 1 1 22 2

3 2 2 3

z z

z z

C C

C S S

σ σ

μ=±1 の場合、 σ(1)μ σ(2)

-μ のどちらかがスピンをアップさせる演算子になる。しかし１，２のスピンは共にすでに↑なので、これ以上上げることはできない。つまり作用しても０になってしまう。

クレプシュ・ゴルダン係数の値はこのスライドの最後のページを参照



312

24 5 2 1 20, 0 , 1 0,11| 1

5 4 4 3J

JS J M C J J

他方

3 2 10, 0 , 1 0,11| 1

4J

JJ M C J J

これらを比較することで3 3

12 ,J J J JS J a J

を満たすような aJ,J は

, 2J Ja

☆ 各種行列要素の計算の仕方について（重陽子の場合… L=J±1 の場合）

L=J-1, L=J+1 は共にスピン S=1 と組んで全角運動量 J の状態を作ることが出来る。またパリティも同じ。

ただし前回と違い、未知係数が複数あるので、複数の磁気量子数 M を考える。

テンソル演算子によって混ざることが出来る。

3 3312 , 1 , 11 1J L J L JJ J

S L a J a J

ここで 1L J

係数 aL,J±1 を求める手順は、先と同様に簡単な場合を考える。 , 0, 0 r

3312 , 1

3

, 1

0, 0 , 0, 0 1 ,

0, 0 1 ,

J L J J

L J J

S L M a J M

a J M

1L J


○右辺

3

1,1 , 1 ,1 | , 1,J mJm

J M C J m M m J M Y M m

3 2 1 10, 0 1 , 1 0, 1 | 1,

4J

JJ M C J M J M M

,

2 10,0

4J m m

JY


○左辺

312 1 2 2,2,

,

2, , 1 2 2,,

24, 1

5

,1 | 1,

241 ,1 | 1,

5

J

L mm

L mm

S L M Y

C L m M m J M Y M m

C L m M m J M Y Y M m

σ σ r

r

r r σ σ

先の L=J の時と全く同様、テンソル演算子　　　と状態　　　　　　　を書き下す。3 ,JL M12S

312 1 2 2,0

2 10, 0 , 6 0,1 | 1,

4J

LS L M C L M J M M

σ σ

2,

,

50,0 ,

4

2 10,0

4L m m

Y

LY


○左辺

続いてスピン部分 1 2 2,01,Mσ σ

21 2 2,0

1,0,1

1 | 20C

σ σ

・ M=1 の時

先の L=J でやっている 1 2 1 22,0 2,0

2 21,1 1,1

3 3

σ σ σ σ

・ M=-1 の時

1, 1 M=1 の時と同様、 μ=0 しか作用できない。… 　 μ=1,-1 では σμ がどちらかのスピンを　　　更に下げようとしてしまう。

21 2 0 02,0

21, 1 10 0 | 20

3C σ σ

1 2 1 22,0 2,0

2 21, 1 1, 1

3 3

σ σ σ σ

M=1 の時と全く同様にして

クレプシュ・ゴルダン係数の値はこのスライドの最後のページを参照


○左辺

続いてスピン部分 1 2 2,01,Mσ σ

21 2 2,0

1,0,1

1 | 20C

σ σ

・ M=0 の時

21 2 2,0

21 1

20 0

21 1

11, 0 1 | 20

2

111 1| 20

2

110 0 | 20

2

11 1 1| 20

2

C

C

C

C

σ σ

11, 0

2

1

1

0

i i

i i

i iz

S

S

S

スピンを上げる

スピンを下げる

スピンを変えない

を考慮して生き残る配位を残すクレプシュ・ゴルダン係数の値はこのスライドの最後のページを参照


○左辺

21 2 2,0

2

2

1 11, 0 2 2

6 2

2 12 2

3 2

1 12 2

6 2

z z

S S

S S

S S

σ σ

ここで

0

1

2

1 12 2

2 2

i i iz z

i i i i i ix y x y

S

S S S

1 2 2,0

2 1 21, 0 2 2 1, 0

3 2 3 σ σ


○左辺

ここまでスピン部分の結果をまとめると

1 2 2,01, 1,MM b Mσ σ

21

3

22 03

M

for Mb

for M

この bM を使って左辺は

312

2 10, 0 , 6 0,1 | 1,

4J M

LS L M C L M J M b M


○以上の左辺と右辺の式を用いて。。。

312

2 10, 0 , 6 0,1 | 1,

4J M

LS L M C L M J M b M

3312 , 1

3

, 1

0, 0 , 0, 0 1 ,

0, 0 1 ,

J L J J

L J J

S L M a J M

a J M

3 2 1 10, 0 1 , 1 0, 1 | 1,

4J

JJ M C J M J M M

, 1

, 1

6 0,1 | 2 1

1 0, 1 | 2 1

1 0, 1 | 2 3

M

L J

L J

C L M J M L b

a C J M J M J

a C J M J M J

21

3

22 03

M

for Mb

for M


○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。

1, 1

1, 1

6 1 0,1 | 2 1

1 0, 1 | 2 1

1 0, 1 | 2 3

M

J J

J J

C J M J M J b

a C J M J M J

a C J M J M J

・ L=J-1 の時

・ L=J+1 の時

1, 1

1, 1

6 1 0,1 | 2 3

1 0, 1 | 2 1

1 0, 1 | 2 3

M

J J

J J

C J M J M J b

a C J M J M J

a C J M J M J



これらの式に現れるクレプシュ・ゴルダン係数を計算しておく

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

1 0,1 |

1 1 1 11

2 2 12 1 1 2 1 2

1 1 1 10

2 12 1 1 1 1

C J M J M

J M J M Jfor M

JJ J

J M J M Jfor M

JJ J

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

1 0,1 |

1 1 11

2 2 32 1 2 1 1

1 1 10

2 31 2 1 1

C J M J M

J M J M Jfor M

JJ J

J M J M Jfor M

JJ J



これらの式に現れるクレプシュ・ゴルダン係数を計算しておく

1/ 2

1/ 2

1 0,1 |

11

2 2 1

02 1

C J M J M

Jfor M

J

Jfor M

J

1/ 2

1/ 2

1 0,1 |

12 2 3

10

2 3

C J M J M

Jfor M

J

Jfor M

J

つまり



1/ 2 1/ 2 1/ 2

1 1, 1 1, 1

1 16 2 1 2 1 2 32 2 1 2 2 1 2 2 3M J J J J

J J JJ b a J a J

J J J

・ L=J+1 の時

1/ 2 1/ 2 1/ 2

1 1, 1 1, 1

16 2 3 2 1 2 32 2 3 2 2 1 2 2 3M J J J J

J J JJ b a J a J

J J J

L=J±1 の各場合について、 M=±1 及び M=0 のクレプシュ・ゴルダン係数を代入

・ L=J-1 の時

M=±1

1/ 2 1/ 2 1/ 2

0 1, 1 1, 1

16 2 1 2 1 2 32 1 2 1 2 3M J J J J

J J JJ b a J a J

J J J

M=0

1/ 2 1/ 2 1/ 2

0 1, 1 1, 1

1 16 2 3 2 1 2 3

2 3 2 1 2 3M J J J J

J J JJ b a J a J

J J J

M=±1

M=0



1, 1 1, 12 1 1 J J J JJ J a J a

・ L=J+1 の時

1, 1 1, 12 1 J J J JJ J a J a

bM も代入して、整頓すると

・ L=J-1 の時

M=±1

1, 1 1, 14 1J J J JJ J a J a M=0

1, 1 1, 14 1 1J J J JJ J a J a

M=±1

M=0

21

3

22 03

M

for Mb

for M


○これら４つの方程式を連立させて解くと。。。

未知係数は４つ： 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1, , ,J J J J J J J Ja a a a

方程式も４本あるので求まる。

1, 1

1, 1

1, 1 1, 1

2 1

2 1

2 2

2 1

6 1

2 1

J J

J J

J J J J

Ja

J

Ja

J

J Ja a

J


これまでの結果のまとめ … L=J, J±1 に対して、中心力　　　、ＬＳ力　　　　、テンソル力　　　　を考える。

CV LSV

TV

2 1

2 11

C T

LS

JV V

JJ V

6 1

2 1 T

J JV

J

J-1LL’

3 3 'J JL V L

J J+1

J-1

J

J+1

2C T LSV V V

2 2

2 12

C T

LS

JV V

JJ V

6 1

2 1 T

J JV

J

0

0

0 0

☆ 各種行列要素の計算（補足）　よく使う Gauss 積分

2210

2 1 !! 1

2n ax

n n

ndx x e

a a

一般に

2

2

2

2

0

220

420

630

1

2

1 1

4

3 1

8

15 1

16

ax

ax

ax

ax

dx ea

dx x ea a

dx x ea a

dx x ea a

☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 )

Potential for 3E channel

32

, ,1

32

12 12 , ,1

exp

exp

C C C i C ii

T T T i T ii

V V r V r

V V r S S V r

R. Tamagaki, Prog. Theor. Phys. 39, 91 (1968)

Core hight = 1.8 GeV

☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-2 )

Potential for 3E channel

32

, ,1

32

12 12 , ,1

exp

exp

C C C i C ii

T T T i T ii

V V r V r

V V r S S V r

R. Tamagaki, Prog. Theor. Phys. 39, 91 (1968)

Core hight = 0.3 GeV

☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 )結果

r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]

基底の Gaussian （ S, D 状態、両方）広がりパラメータ　最小 bmin =0.1 fm, 最大 bmax = 20 fmN=40 この等比級数で用意

S-wave U(r)

D-wave W(r)


r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]

・中心力の斥力芯によって、 S-wave の短距離部分　（ 1 fm以下）が強く抑制されている。

S-wave U(r)

D-wave W(r)


r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]


・ Long tail はテンソル力から。

D-wave W(r)

S-wave U(r)


r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]


・ Long tail はテンソル力から。

D-wave W(r)

S-wave U(r) 各波動関数の最大値で規格化した


r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]

基底の Gaussian （ S, D 状態、両方）広がりパラメータ　最小 bmin =0.1 fm, 最大 bmax = 20 fmN=40 この等比級数で用意

S-wave U(r)

D-wave W(r)


r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]

・ S-wave の短距離部分（ 1 fm以下）の抑制度合いは　 G3RS-1 に比べ弱い。　← G3RS-2 は斥力芯が低いため。

S-wave U(r)

D-wave W(r)

☆ 基底数を変えて行った時の様子Tamagaki potential (G3RS-1) を使用

N= 5bmin =0.1, bmax = 20

r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]


N= 6bmin =0.1, bmax = 20

r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]


N= 7bmin =0.1, bmax = 20

r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]


N= 8bmin =0.1, bmax = 20

r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]


N= 9bmin =0.1, bmax = 20

r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]


N=10bmin =0.1, bmax = 20

r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]


N=20bmin =0.1, bmax = 20

r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]


N=30bmin =0.1, bmax = 20

r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]


N=40bmin =0.1, bmax = 20

r [fm]

Wav

e fu

nctio

n [f

m-3

/2]

☆ 参考文献

•　「角運動量の基礎理論」　ローズ（山内恭彦・森田正人訳）　みすず書房

•　基礎物理数学　Ｖｏｌ .1　「ベクトル・テンソルと行列式」　ジョージ・アルフケン、ハンス・ウェーバー著　（権平健一郎、神原武志、小山直人訳）　講談社　ｐ．２８８～２９０

•　「大学院　原子核物理」　中村誠太郎監修　吉川庄一、森田正人、玉垣良三、谷畑勇夫、大塚孝治著　講談社サイエンティフィク　４章“核力の多面性”　４．５．２節

世話人を始め、皆様、

ありがとうございました！！

☆ 以下補足

☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確認

テンソル力が“テンソル力”と呼ばれるのは、演算子 S12 が「空間とスピン各々から作った二階のテンソルをスカラー（０階テンソル）に組んだもの」であるため。

12T TV V r Sテンソル力 :

1 212 1 22

1 2 1 2

3

3

Sr

σ r σ rσ σ

σ r σ r σ σ

テンソル演算子

rr r

このテンソル演算子は以下のように書ける：

12 1 2 2 2

1 2 2, 2,

3

3 1m

m mm

S

σ σ r r

σ σ r r

12 1 2 2,2,

241

5m

mmm

S Y

σ σ r

さらに次のように書きなおせる：


各二階テンソル：

各ベクトルの球面成分：

1 21 2 2,

2,

1 ,1 | 2

1 ,1 | 2

mm

mm

C m m

C m m r r

σ σ

r r

1111

22

0 , 0

1 11 1

2 2

i ix yx y

i izz

i ix yx y

r ir fori for

for r r for

i for r ir for

様々な量の定義


12 1 2 1 2 1 2 2, 2,3 3 1

m

m mm

S

σ r σ r σ σ σ σ r r

証明の仕方

1 2 2, 2,,

m mσ σ r r最右辺の　　　　　　　　　　　　　　に、各二階テンソルの定義を代入。

さらに各球面ベクトルの成分を直交座標成分で書きなおし、左辺に一致することを確認する。

2 2 21x y zr r r にも注意。


12 1 2 1 2 2,2, 2,2,

243 1 1

5m m

mm mmm m

S Y

σ σ r r σ σ r

つまり 2,2,

243

5 mm

Y

r r r を各 m について確認

22

2,0

2, 1

22 2

2, 2

5 53cos 1 3 1

16 16

15 15cos sin

8 8

15 15sin

32 32

Z

iZ x y

ix y

Y r

Y e r r i r

Y e r i r

r

r

r

1 1, 1 1| 2 2 1

1 1, 1 0 | 2 1 1 0, 1 1| 2 1 1 2

1 1, 1 1| 2 0 1 6

1 0, 1 0 | 2 0 2 3

C

C C

C

C

参考

球面調和関数 2,mY r クレブシュ・ゴルダン係数 1 , 1 | 2C m M m M

※ 全て複合同順

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重陽子を数値的に解いてみる！