实验六：概率

一、概率的古典定义

P（ A ）应具有何种性质？

从直观上来看，事件 A 的概率是指事件 A 发生的可能性

抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现 6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？

若某实验 E 满足

1. 有限性：样本空间 S ＝ {e1, e 2 , … , e n }

;

2. 等可能性：（公认）

P(e1)=P(e2)=…=P(en).

则称 E 为古典概型也叫等可能概型。

古典概型与概率

设事件 A 中所含样本点个数为 N(A) ，以 N(S) 记样本空间 S 中样本点总数，则有

)(

)()(

SN

ANAP

P(A) 具有如下性质 (P7)

(1) 0 P(A) 1 ；

(2) P() ＝ 1 ； P( )=0

(3) AB ＝，则 P( A B ) ＝ P(A) ＋ P(B)

古典概型中的概率 :

二、概率的统计定义 定义 : 事件 A 在 n 次重复试验中出现 nA

次，则比值 nA/n 称为事件 A 在 n 次重复试验中出现的频率，记为 fn(A). 即

fn(A) ＝ nA/n.

频率的性质(1) 0 fn(A) 1 ；

(2) fn(S) ＝ 1 ； fn( )=0

(3) 可加性：若 AB ＝ ，则

fn(AB) ＝ fn(A) ＋ fn(B).

实践证明：当试验次数 n 增大时， fn(A) 逐渐

趋向一个稳定值。可将此稳定值记作 P(A) ，

作为事件 A 的概率历史上曾有人做过试验 , 试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。

实验者 n nH

fn(H)

De Morgan 2048 1061 0.5181

Buffon 4040 2048 0.5069

K. Pearson 12000 6019 0.5016

K. Pearson 24000 12012 0.5005

三、二项分布及泊松分布

定义 设将试验独立重复进行 n 次，每次试验中，事件 A 发生的概率均为 p ，则称这 n 次试验为 n 重贝努里试验 .

若以 X 表示 n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数，则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布。 记作 X~B （ n,p), 其分布律为：

),...,1,0(,)1(}{ nkppkXP knkk

nC

（二 . ） 泊松 (Poisson) 分布 P()

)0(,2,1,0,!

}{~ kek

kXpXk

泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当 n 很大，

p 很小时，二项分布就可近似地看成是参数 =np 的泊松分布

其中 为实数， >0 ，则称 X 服从参数为 ,2 的正态分布 , 记为 N(, 2) ，可表为 X ～ N(, 2).

若随机变量

三、正态分布

2

2

2

)(

2

1)(

x

exf