1. 分式的定义 :

2. 分式有意义的条件 : B≠0

分式无意义的条件 : B = 0

3. 分式值为 0 的条件 : A=0 且 B ≠0

A>0 ,B>0 或 A<0, B<0

A>0 ,B<0 或 A<0 ,B>0分式 < 0 的条件 :A

B

4. 分式 > 0 的条件 :A

B

A

B形如 , 其中 A ,B 都是整式 , 且 B 中含有字母 .

1. 下列各式 (1) (2) (3) (4) (5)

是分式的有 个。

32x 3

2xx2x2 x

∏1-

32x

2. 下列各式中 x 取何值时 , 分式有意义 .

(1) (2) (3) (4)X - 1

X + 2 X2 -1

4x X -1

1

X2 - 2x+3

1

3. 下列分式一定有意义的是 ( )

A B C DX+1x2

X+1

X2+1 X - 1

X2 +1 1

X - 1

3

B

4. 当 x .y 满足关系 时 , 分式 无意义2x + y2x - y

5. 当 x 为何值时 , 下列分式的值为 0?

(1) (2) (3) (4)X-4

X+1 X -2X-1 X -3

X-3X2 -1

X2 +2x+1

2x=y

X=4 X=1 X=-3 X=1

2x=-y 且 2x≠y

值为零

6. 当 x 为何值时 , 分式

(1) 有意义 (2) 值为 0

2x (x-2)

5x (x+2)

7. 要使分式 的值为正数 , 则 x 的取值范围是1-x

-2

X≠0 且 x≠-2 X=2

X>1

8. 当 x 时 , 分式 的值是负数 .X2+1

X+2

9. 当 x 时 , 分式 的值是非负数 .X-7

X2+1

10. 当 x 时 , 分式 的值为正 .X+1

X2-2x+3

<-2

≥7

>-1

1. 分式的基本性质 :

分式的分子与分母同乘以 ( 或除以 ) 分式的值

用式子表示 :

( 其中 M 为 的整式 )

AB

A X M( )

AB

A ÷ M( )

= =

2. 分式的符号法则 :A

B=

B

( )=

A

( )=

- A

( )

-A

-B=

A

( )=

B

( )=

-A

( )

一个不为 0 的整式 不变

B X M B÷M

不为0

-A

-B -B

B

-A

B

1. 写出下列等式中的未知的分子或分母 .

(1) (2)

(3) (4)

a+bab

=a2b

( ) ab+b2

ab2+b=

a+b( )

a -ba+b

=a2 –b2

( ) a+bab

=2a2+2ab( )

a2+ab

ab+1

a2+b2-2ab

2a2b

2. 下列变形正确的是 ( )

A B

C D

a

b=

a2

b2

a-ba

=a2-ba2

2-x

X-1=

X-2

1-x

4

2a+b=

2

a+b

3. 填空 :

-a-bc-d =

a+b( )

-x +yx+y

=x-y

( )

C

d-c -x-y

4. 与分式　　　　　的值相等的分式是（　　　　）

Ａ　　　　　Ｂ　　　　　　Ｃ　　　　　Ｄ

２ m －３４－ m

４－ m３－２ m ２ m- ３

４－ m

３－２ m

４－ m３－２mm －

４

５．下列各式正确的是（　　　）

－ x ＋ y

－ x －y

－ x ＋ y

－ x －y

－ x ＋ y

－ x －y

－ x ＋ y

－ x －y

＝X －yX ＋

y

＝－ x － y

X ＋ y

＝X ＋yX － y

＝ X － y

X ＋ y

Ａ Ｂ

Ｃ Ｄ

A

A

6 ．不改变分式的值，将下列分式的分子．分母的最高次项的系数变为正数．

（１）

（２）

（３）

－ x ２＋１x －２

x － x ２

３ x ＋１

２－ xx － x ２

1. 下列各代数式中，哪些是分式？

1x

a

b2

3

2xx

x

2

13 2

技能训练

2. 下列各式中不正确的变形是 ( )

(A) = 　 　 　 (B) =

(C) = 　 (D) =c

ab c

ba

c

ab c

ba

c

ba c

ba

c

ba c

ba

7 ．如果把分式　　　　中的 x 和 y 的值都扩大３倍，

则分式的值（　　　）

Ａ　扩大３倍　Ｂ不变　　Ｃ缩小１／３　Ｄ缩小１／６

x

x ＋y

8 ．如果把分式　　　　中的 x 和 y 的值都扩大３倍，

则分式的值（　　　）

Ａ　扩大３倍　Ｂ不变　　Ｃ缩小１／３　Ｄ缩小１／６

xy

x ＋y

B

A

xyx ＋ y呢？

9 ．若 x ， y 的值均变为原来的 3 倍　，则分式　 　的值 （　　）．

Ａ　是原来的１／３　　　Ｂ　是原来的１／９

Ｃ　保持不变　　　　　　Ｄ　不能确定

３ xy

x ２＋ y ２

１ 0 ．已知分式　　　　　的值为　５／３，

若 a ， b 的值都扩大到原来的５倍，则扩大后分式的值是

３ a

２ a ＋ b

C

5/3

: 把分子 . 分母的最大公因式 ( 数 ) 约去 .

把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式 .

关键是找最简公分母 : 各分母所有因式的最高次幂的积 .

1. 约分

2. 通分 :

1. 约分(1) (2)

(3)

-6x2y

27xy2

-2(a-b)2

-8(b-a)3

m2+4m+4

m2 - 4

2. 通分

(1) (2)x

6a2b与

y

9ab2c

a-1

a2+2a+1与

6

2a2-2

约分与通分的依据都是 : 分式的基本性质

　　两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。把分母相乘的积作为积的分母。　　　　

bd

ac

d

c

b

a用符号语言表达：用符号语言表达：

　　两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。　

bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a用符号语言表达：

分式的加减

同分母相加

异分母相加

A

CB

A

C

A

B

AD

ACBD

AD

CA

AD

BD

D

C

A

B

通分

{在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；注意：过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式。

整数指数幂有以下运算性质：（（ 11 ）） aamm·a·ann=a=am+nm+n (a≠0) (a≠0)（ 2 ） (am)n=amn (a≠0) （ 3 ） (ab)n=anbn (a,b≠0)（ 4 ） am÷an=am-n (a≠0)

（ 5 ） （ b≠0 ）n

n

n

ba

ba )(

当 a≠0 时， a0=1 。（ 6 ）(7)n 是正整数时 , a-n 属于分式。并且

nana 1 (a≠0)

⑴ ⑴ aab

ba 11

cabacba )(⑵⑵

2222 ab

b

ba

a

⑶⑶

bababa

ba

ba

b

ba

a

))((2222

2b

a

cb

a

ba 1

⑷⑷ 22

211

ba

b

baba

02)( bbaba

))((

2)(

baba

bbaba

99 、、下列各式的运算对不对？如果不对，错在哪下列各式的运算对不对？如果不对，错在哪里？里？应怎样改正？应怎样改正？

1. 已知 , 试求 的值 .x2 =

y

3 =Z

4

x+y-z

x+y+z

2. 已知 , 求 的值 .1

x +1

y = 52x-3xy+2y

-x+2xy-y

3. 已知 x + =3 , 求 x2 + 的值 .1x

1

x2

变 : 已知 x2 – 3x+1=0 , 求 x2+ 的值 .1

x2

变 : 已知 x+ =3 , 求 的值 .1

x

x2

x4+x2+1

若 =___1 1 2 3 2

3,2

x xy y

x y x xy y

则分式

已知： 2

24 2

6 1 0,1

xx x

x x

求 的值。

2

2 2

3

4

y x y y

x x y x y x y

已知 ，求 的值

若 x ＋ y=4 ， xy=3 ，求 的值 .y x

x y

22 )2(2)2(

3

x

B

x

A

x

x（ 8 ） 已知 求 A,B

（ 8 ）2

2

2

2

4

44

4

3

16

69

x

xx

x

x

x

xx

2

2

2

2

4

44

4

3

16

69

x

xx

x

x

x

xx

解：

)2)(2(

)2(

3

4

)4)(4(

)3( 22

xx

x

x

x

xx

x

)2)(4(

)2)(3(

xx

xx

82

62

2

xx

xx

（ 7 ）当 x = 200 时，求

的值 .xxx

x

x

x 1

3

6

3 2

解 :xxx

x

x

x 1

3

6

3 2

)3(

3

)3(

6

)3(

2

xx

x

xx

x

xx

x

)3(

92

xx

x

)3(

)3)(3(

xx

xx

x

x 3

当 x = 200 时 , 原式 =200

3200 200

203

（ 6 ）计算：

xyx

y

yx

x

x

yx

2

2

解： xyx

y

yx

x

x

yx

2

2

)()()(

))(( 22

yxx

y

yxx

x

yxx

yxyx

xyx

yxyx

2

2222

0

1

122)5(

x

xx

计算 2 3

2 2

1(6).

a b b a

ab a a b

2 3 4 2

2

5 2(7)

10

x y x y z

x y

有一道题“先化简，再求值： ，其中。”小玲做题时把“ x=-3” 错抄成了“ x=3” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

2 2

2 4 1

2 4 4

x x

x x x

（ ）

例 2. 计算 :

（ 2 ） ；93

4

3

2 2

x

x

x

x

（ 3 ） ；a

a

a

a

2

4

2

1

（ 4 ） .mm

3

1

9

52

3

12

14

32

2

x

x

x

xx （ 1 ） ；