ทฤษฎี�เบื้�องต้ นของความน�าจะเป็�น

การดำ�าเน�นการของเซต้ของเหต้ การณ์" ผลการเร�ยนร& ท�'คาดำหว(งรายคาบื้

1. หาย&เน�ยน (Union), อ�นเต้อร"เซ*กชั่('น (Intersection), คอมพล�เมนต้" (Complement)และผลต้�าง (Difference) ของเหต้ การณ์"ท�'ก�าหนดำให ไดำ

2. บื้อกไดำ ว�าเหต้ การณ์"ท�'ก�าหนดำให 2 เหต้ การณ์"ใดำๆ เป็�นเหต้ การณ์"ท�'เก�ดำร�วมก(นหร�อไม�

การดำ�าเน�นการของเซต้ของเหต้ การณ์"

การกระทำ�าก�นของเซตทบื้ทว

น ต้(วอย�างเม�'อ U={1,2,3,4,5,6}A={1,2,3} ,B={2,3,4}

ความหมายสั(ญล(กษณ์"

การดำ�าเน�นการ

A’ = {4,5,6}B’ = {1,5,6}

สมาชิ�กทำ��ไม�อยู่��ในเซตน��นแต�อยู่��ใน U

’คอมพลี�เมนต (Complement)

A B={1,2,3,4}เอาสมาชิ�กรวมก�นยู่�เน�ยู่น (Union)

A B={2,3}หาสมาชิ�กร�วมก�น

อ�นเตอร เซ#กชิ��น(Intersection)

A B = {1}B A = {4}

ลีบ สมาชิ�กทำ��ซ��าก�บเซตหลี�งออก

ผลีต�าง(Difference)

ย&เน�ยนของเหต้ การณ์" (Union of Events)

บื้ทน�ยามท�' 1 ถ้'า E1 แลีะ E2 เป็)นเหต*การณ์ สองเหต*การณ์ แลี'ว ยู่�เน�ยู่นของเหต*การณ์ E1 แลีะ

E2 เป็)นเหต*การณ์ ซ,�งป็ระกอบด้'วยู่สมาชิ�กของเหต*การณ์ E1 หร.อของเหต*การณ์ E2 หร.อทำ��งสองเหต*การณ์ ซ,�ง

เข�ยู่นแทำนด้'วยู่ E1 E2

ต�วอยู่�างทำ�� 1 ในการทำอด้ลี�กเต/า 1 ลี�ก 1 คร��ง จะได้'ว�า แซมเป็1ลีสเป็ซ S = { 1,2,3,4,5,6 }

ให' E1 เป็)นเหต*การณ์ ทำ��ได้'แต'มซ,�ง หารด้'วยู่ 3 ลีงต�ว

ดำ(งน(น E1 E2 = { 1,3,5,6 } ให' E2 เป็)นเหต*การณ์ ทำ��ได้'แต'มเป็)นจ�านวนค��

ค�อเอา

สัมาชั่�ก E1

รวม ก(บื้ E2

E1 E2

น��นค.อ E1= { 3,6 } น��นค.อ E2 = { 1,3,5}

อ�นเต้อร"เซ*กชั่('นของเหต้ การณ์" (Intersection Events)

บื้ทน�ยามท�' 2 ถ้ า E1 และ E2 เป็�นเหต้ การณ์" สัองเหต้ การณ์" แล ว อ�นเต้อร"เซ*กชั่('นของเหต้ การณ์"

E1 และ E2 เป็�นเหต้ การณ์"ซ4'งป็ระกอบื้ดำ วยสัมาชั่�กท�'อย&�ใน

เหต้ การณ์" E1 และเหต้ การณ์" E2 เข�ยนแทนดำ วย E1 E2

ต้(วอย�างท�' 2 ในการโยู่นเหร�ยู่ญ 3 อ�น 1 คร��ง จะได้'ว�า แซมเป็1ลีสเป็ซ S = {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT} ให' E1 เป็)นเหต*การณ์ ทำ��โยู่นได้'ห�ว 2 คร��ง น��นค.อ E1={HHT,HTH,THH}

ดำ(งน(น E1 E2 = {

ให' E2 เป็)นเหต*การณ์ ทำ��ได้'ห�วในการโยู่นคร��งแรก น��นค.อ E2 = {HHH,HHT,HTH,HTT}

ค�อหาสัมาชั่�ก E1 ร�วม ก(บื้ E2

E1 E2

HHT,

HTH }

คอมพล�เมนต้"ของเหต้ การณ์" (Complement of an Events)

ต้(วอย�างท�' 3 ในการโยู่นเหร�ยู่ญ 2 อ�น 1 คร��ง

บื้ทน�ยามท�' 3 ถ้ า E เป็�นเหต้ การณ์"ซ4'งอย&�ใน แซมเป็5ลสัเป็ซ S แล ว คอมพล�เมนต้"ของ

เหต้ การณ์" E ค�อ เหต้ การณ์"ท�'ป็ระกอบื้ดำ วยสัมาชั่�ก ท�'อย&�ในแซมเป็5ลสัเป็ซ S แต้�ไม�อย&�ในเหต้ การณ์" E

ซ4'งเข�ยนแทนดำ วย

E

จะได้'ว�า แซมเป็1ลีสเป็ซ S = {HH,HT,TH,TT} ให' E เป็)นเหต*การณ์ ทำ��โยู่นได้'ห�วทำ��ง 2 เหร�ยู่ญ น��นค.อ E = {HH}

ดำ(งน(น = { HT,TH,TT }

E ค.อสมาชิ�กทำ��ไม�อยู่��ในเซตน��นแต�อยู่��ใน U

E

ผลต้�างของเหต้ การณ์" (Difference of Events)

บื้ทน�ยามท�' 4 ถ้ า E1 และ E2 เป็�นเหต้ การณ์" สัองเหต้ การณ์" แล วผลต้�างของ E1 และ E2

หมายถ้4ง เหต้ การณ์"ท�'ป็ระกอบื้ดำ วยผลล(พธ์"ใน E1 แต้�ไม�เป็�นผลล(พธ์"ใน E2 เข�ยนแทนดำ วยสั(ญล(กษณ์"

E1 - E2 ต�วอยู่�างทำ�� 4 ในการทำอด้ลี�กเต/า 1 ลี�ก 1 คร��ง

จะได้'ว�า แซมเป็1ลีสเป็ซ S = { 1,2,3,4,5,6 } ให' E1 เป็)นเหต*การณ์ ทำ��ได้'แต'มซ,�งหารด้'วยู่ 3 ลีงต�ว น��นค.อ E1= { 3,6 }

ดำ(งน(น E1 E2 = { 6 } ให' E2 เป็)นเหต*การณ์ ทำ��ได้'แต'มเป็)นจ�านวนค�� น��นค.อ E2 = { 1,3,5}

ค.อลีบสมาชิ�ก E

1 ทำ��ซ��าก�บ E2 ออก

E1 E2

เหต้ การณ์"ท�'ไม�เก�ดำร�วมก(น (Mutually Exclusive Events)

บื้ทน�ยามท�' 5 ถ้ า E1 และ E2 เป็�นเหต้ การณ์" สัองเหต้ การณ์"ท�'ม� E1 E2 = แล วจะเร�ยก

เหต้ การณ์" E1 และ E2 ว�าเหต้ การณ์"ท�'ไม�เก�ดำร�วม ก(น

ต�วอยู่�างทำ�� 4 ในการทำอด้ลี�กเต/า 1 ลี�ก 1 คร��ง จะได้'ว�า แซมเป็1ลีสเป็ซ S = { 1,2,3,4,5,6 }

ให' E1 เป็)นเหต*การณ์ ทำ��ได้'แต'มเป็)นจ�านวนค�� น��นค.อ E1= { 2,4,6} ให' E2 เป็)นเหต*การณ์ ทำ��ได้'แต'มเป็)นจ�านวนค�� น��นค.อ E2 = { 1,3,5}

ดำ(งน(น E1 E2 = เหต้ การณ์"ท�'ไม�เก�ดำร�วมก(นค�อ

เหต้ การณ์"ท�' =

E1 E2

แบื้บื้ฝึ8กท(กษะท�' 2

ทฤษฏี�เบื้�องต้ นของความน�าจะเป็�น

1 . โยนล&กเต้;า 1 ล&ก ใน 1 คร(ง ผลล(พธ์"ท�'สันใจ ค�อ แต้ มของล&กเต้;า จะไดำ ว�า 1 แซมเป็5ลสัเป็ซ ค�อ

2) ให E1 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ แต้ มเป็�นจ�านวนค&� E2 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ แต้ มเป็�นจ�านวนเฉพาะ

S 1,2,3,4,5,6

1E 2,4,6 2E 2,3,5

3) ย&เน�ยน ของเหต้ การณ์" E1 และ E2 ค�อ

4) อ�นเต้อร"เซ*กชั่(น ของเหต้ การณ์" E1 และ E2 ค�อ

1 2E E 2,4,6 2,3,5

2,3,4,5,6

1 2E E 2,4,6 2,3,5

เอาสมาชิ�กรวมก�น

หาสมาชิ�กร�วมก�น

2

2. ม�คน 5 คน ในจ�านวนน� ม� นายดำ�าและนายแดำงรวมอย&�ดำ วย ให คน

ท(งหมดำเร�ยงแถ้วยาวอย�างสั �ม จะไดำ ว�า 1) จ�านวนผลล(พธ์"ในแซมเป็5ลสัเป็ซ ค�อ

2) ให E แทนเหต้ การณ์"ท�'นายดำ�าและนายแดำงย�นแยกจากก(นจงหาn(E )

n(s) 5 4 3 2 1 5! 120

n(E ) (4 3 2 1) 2 4!2! 24 2 48

ย�นต้�'าแหน�งท�' 1ท(ง 5 คนม�สั�ทธ์�=น('ง 5 ว�ธ์�

ย�นต้�'าแหน�งท�' 2 เหล�อ 4 คนม�สั�ทธ์�=น('ง 4 ว�ธ์�

ย�นต้�'าแหน�งท�' 3 เหล�อ 3 คนม�สั�ทธ์�=น('ง 3 ว�ธ์�

เหต้ การณ์"ท�'นายแดำงและนายดำ�าย�นต้�ดำก(น

นายแดำงย�นต้�ดำนายดำ�าว�ธ์�ค�ดำม(ดำนายแดำงก(บื้นายดำ�าไว ดำ วยก(นเหล�ออ�ก 3 คน สั�'งท�'น�ามาจ(ดำจาก 5 ว�ธ์� เป็�น 4 ว�ธ์� ต้�าแหน�งท�' 1 ม�สั�ทธ์"น('ง 4 ว�ธ์�

นายแดำงย�นต้�ดำนายดำ�าสัล(บื้ไดำ อ�ก 2 ว�ธ์�จ4งต้ องค&ณ์ดำ วย

2

3. โยนล&กเต้;า 1 ล&ก ใน 1 คร(ง ผลล(พธ์"ท�' สันใจ ค�อ แต้ มของล&กเต้;าให E1 แทนเหต้ การณ์"ท�'

ไดำ แต้ มเป็�นจ�านวนค�' E2 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ แต้ มเป็�นจ�านวน

ท�'หารดำ วย 3 ลงต้(ว E3 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ แต้ มเป็�นจ�านวน

ท�'มากกว�า 2 จงหา

1) แซมเป็5ลสัเป็ซ ค�อ

2) E1 , E2 , E3 E1 = {1 , 3 , 5}

S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 }

E2 = { 3 , 6}

E3 = {3 , 4 , 5 ,6 }

1 23) E E

2 34) E E

1 2E E 1,3,5 3,6

1,3,5,6

2 3E E 3,6 3,4,5,6

3,4,5,6

เอาสมาชิ�กรวมก�น

เอาสมาชิ�กรวมก�น

1 2 35) E E E

1 26) E E

1 2 3E E E 1,3,5 3,6 3,4,5,6

1,3,4,5,6

1 2E E 1,3,5 3,6

3

หาสมาชิ�กร�วมก�น

2 37) E E

1 2 38) E E E

2 3E E 3,6 3,4,5,6

3,6

1 2 3E E E 1,3,5 3,6 3,4,5,6

3

4 . กล�องใบื้หน4'งม�ล&กบื้อลสั�แดำง หมายเลข 1 2 3 4 หมายเลขละล&ก และม�ล&กบื้อลสั�ขาวหมายเลข 1 2, ,

3 4 5 หมายเลขละล&ก สั �มหย�บื้ล&กบื้อล 1 ล&ก จากกล�องใบื้น� จะไดำ ว�า 1) แซมเป็5ลสัเป็ซ ค�อ

S = {

1 2 3 1 3 5, , , , ,, , , }2) ให E1 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ ล&กบื้อลสั�แดำง E2

แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ ล&กบื้อล หมายเลขท�'เป็�นจ�านวนค&� จงหา E1 , E2E1 = { }

E2 = {

}

, , ,

, , ,

2 44

3) หา E1 - E2 และ E2 - E1

E1- E2 = {E2- E1={

E1 = {

E2 = {

} 1 2 3 4, , ,

2 4 2 4 }, , ,

},

, }

สัมาชั่�กอย&�ใน E1แต้�

ไม�อย&�ใน E2

สัมาชั่�กอย&�ใน E2แต้�

ไม�อย&�ใน E1

1 3

2 4

5. โยนล&กเต้;า 2 ล&ก ใน 1 คร(ง ผลล(พธ์"ท�'สันใจ ค�อ ผลรวมแต้ มของล&กเต้;าท(ง

สัองล&ก จะไดำ ว�า

1) แซมเป็5ลสัเป็ซ ค�อS = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 }2) ให E1 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ ผลรวมแต้ มไม�น อยกว�า10 E2 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ ผลรวมแต้ มเป็�นจ�านวน

ท�'หารดำ วย 5 ลงต้(ว จงหา E1 , E2E1 = { 10 , 11 , 12 }E2 = { 5 , 10 }

3) หา E1 E2 และ E2 E1

1 2E E = {10 , 11 , 12 } { 5 , 10 }

2 1E E = { 5 , 10 } { 10 , 11 , 12 }

= { 5 , 10 , 11 , 12 }

= { 10 }

เอาสมาชิ�กรวมก�น

หาสมาชิ�กร�วมก�น

E1 = { 10 , 11 , 12 }E2 = { 5 , 10 }

6. โยนเหร�ยญ 1 เหร�ยญ และล&กเต้;า 1 ล&กใน 1 คร(ง ผลล(พธ์"ท�'สันใจ

ค�อ หน าของเหร�ยญและแต้ มของล&กเต้;าท�'ข4น 1) จงหาแซมเป็5ลสัเป็ซ

S = { (H,1),(H,2),(H,3),(H,4),(H,5),(H,6), (T,1),(T,2),(T,3),(T,4),(T,5),(T,6)}

หน าของเหร�ยญ

หน าของเหร�ยญ

แต้ มของล&กเต้;าท�'ข4น

แต้ มของล&กเต้;าท�'ข4น

3) หา E1 - E2 และ E2 - E1

2) ให E1 แทนเหต้ การณ์"ท�'เหร�ยญข4นหน าห(ว E2 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ แต้ มของล&กเต้;าเป็�นจ�านวนค�' จงหา E1 , E2

E1 = { (H,1),(H,2),(H,3),(H,4),(H,5),(H,6) }

E2 = { (T,1),(H,1),(T,3),(H,3),(T,5),(H,5) }

E1 - E2 = { (H,2),(H,4),(H,6) }E2 - E1 = { (T,1),(T,3),(T,5) }

เหร�ยญข4นหน าห(ว

แต้ มของล&กเต้;าเป็�นจ�านวนค�'

7. สั �มหย�บื้ไพ� 1 ใบื้ จากไพ�สั�าร(บื้ หน4'ง ผลล(พธ์"ท�'สันใจ ค�อ

ดำอกไพ�ท�'ไดำ จงหาว�า 1) แซมเป็5ลสัเป็ซ

2) ให E แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ ไพ�โพแดำง จงหา E และE

E = { Aโพแดำง,2โพแดำง, 3โพแดำง, . . . ,J โพแดำง,Qโพแดำง, Kโพแดำง}

E = {Aโพดำ�า, 2โพดำ�า, 3โพดำ�า, . . . ,J โพดำ�า , Qโพดำ�า, Kโพดำ�า Aหลามต้(ดำ, 2หลามต้(ดำ , 3หลามต้(ดำ, . . . ,J หลามต้(ดำ,Qหลามต้(ดำ, Kหลามต้(ดำ Aดำอกจ�ก,2ดำอกจ�ก, 3ดำอกจ�ก, . . . ,Jดำอกจ�ก,Qดำอกจ�ก, Kดำอกจ�ก}

ไพ�สั�าร(บื้หน4'งม� 52 ใบื้

8. สั �มหย�บื้ไพ� 1 ใบื้ จากไพ�สั�าร(บื้หน4'ง ผลล(พธ์"ท�'สันใจ ค�อ แต้ มของ

ไพ�ท�'เป็�นต้(วอ(กษรภาษาอ(งกฤษท�'ไดำ จงหาว�า 1) แซมเป็5ลสัเป็ซ ค�อ

2) ให E แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ ไพ� J จงหา E

S = { Aดำอกจ�ก, Aหลามต้(ดำ, A โพแดำง, A โพดำ�า , Jดำอกจ�ก, J ข าวหลามต้(ดำ, J โพแดำง, J โพดำ�า ,

Qดำอกจ�ก, Q ข าวหลามต้(ดำ, Q โพแดำง, Q โพดำ�า , Kดำอกจ�ก, K ข าวหลามต้(ดำ, K โพแดำง, K โพดำ�า }

E = { Jดำอกจ�ก , Jข าวหลามต้(ดำ , Jโพแดำง , Jโพดำ�า }

9. กล�องใบื้หน4'งม�ล&กป็5งป็องสั�ขาว 3 ล&ก สั�แดำง 2 ล&ก สั�เข�ยว 1 ล&ก สั �มหย�บื้ล&กป็5งป็อง จากกล�องสัามล&ก จงหา

1) แซมเป็5ลสัเป็ซ ค�อ

1 2 1 23 1

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 3 11 3 2 1 3 1 1 1 11 1 2 1 2 12 3 1 2 3 2 2 3 12 2 1

2 1 2 2 1 13 21 3 2 1 1 2 1

สัามารถ้หาไดำ จากการค�านวณ์

n!nCr (n-r)!r!6!6C =3 (6-3)!3!

6×5×4×3!=3!×3×2×1 =20

3 1 1

ม�ล&กป็5งป็อง6 ล&ก ต้ องการเล�อกมา 3 ล&ก n=6 r=3 แทนค�าในสั&ต้ร จะไดำ ดำ(งน�

1 2 3

2) ให E1 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ ล&กบื้อลสั�แดำงสัองล&ก E2 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ

ล&กบื้อลสั�ขาวเพ�ยงหน4'งล&ก จงหา E1 , E2

1E = 1 1 2 2 1 23 21 1 2 1

2E

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

2 1 1 3 21 3 2 13 1 1

=

สัามารถ้หาไดำ จากการค�านวณ์

n!nCr (n-r)!r!2 4C ×C2 1

2! 4!= ×(2-2)!2! (4-1)!1!

=4

สัามารถ้หาไดำ จากการค�านวณ์

n!nCr (n-r)!r!3 3C ×C1 1

3! 3!= ×(3-1)!1! (3-1)!1!=9

ม�ล&กป็5งป็องสั�แดำง3 ล&ก ต้ องการเล�อกมา 2 ล&ก n=2 r=2 แทนค�าในสั&ต้ร จะไดำ ดำ(งน�

ม�ล&กป็5งป็องท�'ไม�ใชั่�สั�แดำง 4 ล&ก ต้ องการเล�อกมา 1 ล&ก n=4 r=1 แทนค�าในสั&ต้ร จะไดำ ดำ(งน�

ม�ล&กป็5งป็องสั�ขาว 3 ล&ก ต้ องการเล�อกมา 1 ล&ก n = 3 r =1 แทนค�าในสั&ต้ร จะไดำ ดำ(งน�

ม�ล&กป็5งป็องไม�ใชั่�สั�ขาว 3 ล&ก ต้ องการเล�อกมา 1 ล&ก n = 3 r =1 แทนค�าในสั&ต้ร จะไดำ ดำ(งน�

3) หา E1 E2 , E2 E1 และ E1 - E2

1 2E E

2 1E E

1 2E E

1E = 1 1 2 2 13 21 1 2 1

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

2 1 1 3 21 3 2 13 1 1

2E =

=

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

2 1 1 3 21 3 2 13 1 1

2

1 2 1

1 1 2 3 21=

1 2 1

2 1 2

=

ท กต้(วเป็�นสัมาชั่�กของ

เซต้ E2

สัมาชั่�กท�'อย&�

ในE1ท�'ไม�อย&�ใน

E2

สัมาชั่�กท�'อย&�ท(ง

ในE1และE2

สัมาชั่�กท�'อย&�

ในE1ท�'แต้�ไม�อย&�ใน E2

4) หา n( E1 ) , n( E2 ) และ n( E2 E1 )

n(E)=41

2n(E ) 9

2 1n(E E ) 3

1E = 1 1 2 2 13 21 1 2 1 2

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

2 1 1 3 21 3 2 13 1 12E =

2 1E E 1 1 2 3 21= 2 1 2

10. กล�องใบื้หน4'งม�ล&กป็5งป็อง ซ4'งม�หมายเลข 1, 2, 3, 4 หมายเลขละ 1 ใบื้ สั �มหย�บื้ล&กป็5งป็องออกมา 2 ล&กพร อมก(น ผลล(พธ์"ท�'สันใจ ค�อ หมายเลข ของล&กป็5งป็องท�'หย�บื้ไดำ จงหาว�า

1) แซมเป็5ลสัเป็ซ ค�อ

2) ให E1 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ หมายเลขเป็�นจ�านวนค&�ท(งสัองล&ก E2 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ ผลรวมของหมายเลขท(งสัองเป็�น จ�านวนค�' จงหา E1 , E2

E1 = { ( 2,4 ) }

E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,3 ) , ( 3,4 ) }

1 2 43

S = { , , , , , }

11 2 32 43 4

3) หา E1 E2 , E2 E1 และ E1 - E2

2 1E E =

1 2E E

จาก E1 = { ( 2,4 ) }E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,3 ) , ( 3,4 ) }

1 2E E ( 1,2 ) ( 1,4 ) , ( 2= { , , ( 2,4 ) , ,3 ) ( 3,4 ) }

= { ( 2,4 ) }

เน�'องจากไม�ม�สัมาชั่�กร�วมก(นใน E1 และ E2

4) หา n( E1 ) , n( E2 ) และ n( E2 E1 )

1n(E ) 1

2n(E ) 4

2 1n(E E ) 0

จาก E1 = { ( 2,4 ) }E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,3 ) , ( 3,4 ) }

2 1E E = จาก

11. กล�องใบื้หน4'งม�ล&กป็5งป็อง ซ4'งม�หมายเลข 1, 2, 3, 4 หมายเลขละ 1 ใบื้ สั �มหย�บื้ล&กป็5งป็องออกมา 2 ล&ก โดำยหย�บื้ท�ละล&ก แล วใสั�ค�นท�' ผลล(พธ์"ท�' สันใจ ค�อ หมายเลขของล&กป็5งป็องท�'หย�บื้ไดำ จงหาว�า

1) แซมเป็5ลสัเป็ซ ค�อ

2) ให E1 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ หมายเลขเป็�นจ�านวนค&�ท(งสัองล&ก E2 แทนเหต้ การณ์"ท�'ไดำ ผลรวมของหมายเลขท(งสัองเป็�นจ�านวนค�' จงหา E1 , E2

S = { ( 1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , ( 1,4 ) , ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 3,1 ) , ( 3,2 ) ( 3,3 ) , ( 3,4 ) , ( 4,1 ) , ( 4,2 ) , ( 4,3 ) , ( 4,4 ) }

E1 = { ( 2,2 ) , ( 2,4 ) , ( 4,2 ) , ( 4,4 ) } E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,1 ) , ( 2,3 ) , ( 3,2 ) , ( 3,4 ) , ( 4,1 ) , ( 4,3 ) }

3) หา E1 E2 , E2 E1 และ E1 - E2

1 2E E = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) ,

( 3,1 ) , ( 3,2 ) , ( 3,3 ) , ( 3,4 ) ,( 4,1 ) , ( 4,2 ) , ( 4,3 ) , ( 4,4 ) }

2 1E E =

1 2E E = { ( 2,2 ) , ( 2,4 ) , ( 4,2 ) , ( 4,4 ) }

จาก E1 = { ( 2,2 ) , ( 2,4 ) , ( 4,2 ) , ( 4,4 ) } E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,1 ) , ( 2,3 ) , ( 3,2 ) , ( 3,4 ) , ( 4,1 ) , ( 4,3 ) }

เน�'องจาก E1 และ E2 ไม�ม�สัมาชั่�ก

ร�วมก(นเลย

4) หา n( E1 ) , n( E2 ) และ n( E2 E1 )

1n(E ) 4

2n(E ) 8

2 1n(E E ) 0

จาก E1 = { ( 2,2 ) , ( 2,4 ) , ( 4,2 ) , ( 4,4 ) }

จาก E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,1 ) , ( 2,3 ) , ( 3,2 ) , ( 3,4 ) , ( 4,1 ) , ( 4,3 ) }

2 1E E = จาก

เน�'องจากไม�ม�สัมาชั่�ก

ในเซต้2 1E E