ค32214 คณิ�ตศาสตร์สาหร์�บคอมพิ�วเตอร์ 4

การ์เร์�ยงส�บเปลี่��ยนแลี่ะการ์จั�ดหม !ส��งที่��ไม!แตกต!างก�น

ต�วอย!างจังหาจัานวนว�ธี�การ์เร์�ยงส�บเปลี่��ยนต�วอ�กษร์ในคาว!า

‘odd’ ว�ธี�ที่า เน'�องจัาก ‘odd’ ม�ต�วอ�กษร์ d ซ้ำ)าก�น 2 ต�ว

จั*งจั�ดเร์�ยงได+ 3 แบบ ด�งน�)odd, dod, ddo _________(1)สมมต�ว!า ‘d’ ที่�)งสองต�วน�)นต!างก�น โดยแที่นด+วย d

ก�บ D จัะสามาร์ถจั�ดเร์�ยงต�วอ�กษร์ได+ 6 แบบด�งน�)odD, doD, dDo, oDd, Dod, Ddoจัะเห.นว!าว�ธี�ที่�� 1 เป/นคร์*�งหน*�งของว�ธี�ที่�� 2

ว�ธี�เร์�ยงส�บเปลี่��ยนของที่��ไม!แตกต!างก�น

ให+ S เป/นส��งของ k ส��งแบ!งเป/นของที่��ซ้ำ)าก�น n ปร์ะเภที่ โดยที่��

n1 เป/นจัานวนของส��งของที่��ซ้ำ)าก�นปร์ะเภที่ที่�� 1n2 เป/นจัานวนของส��งของที่��ซ้ำ)าก�นปร์ะเภที่ที่�� 2…nk เป/นจัานวนของส��งของที่��ซ้ำ)าก�นปร์ะเภที่ที่�� kจัะได+จัานวนว�ธี�เร์�ยงส�บเปลี่��ยนค'อ n! n1!n2!...nk!

ต�วอย!างจังหาจัานวนว�ธี�การ์เร์�ยงส�บเปลี่��ยนต�วอ�กษร์ในคาว!า

‘banana’ ว�ธี�ที่า เน'�องจัาก ‘banana’ ปร์ะกอบด+วยต�วอ�กษร์ 6

ต�วแลี่ะเป/นต�วอ�กษร์ที่��ซ้ำ)าก�นอย ! 3 กลี่2!ม ค'อกลี่2!มต�วอ�กษร์ a ม� 3 ต�วกลี่2!มต�วอ�กษร์ b ม� 1 ต�วกลี่2!มต�วอ�กษร์ c ม� 2 ต�วจัะได+จัานวนว�ธี�การ์เร์�ยงส�บเปลี่��ยนต�วอ�กษร์ที่�)ง 6 ต�ว ค'อ 6! = 6•5•4•3! = 6•5•4 = 60 ว�ธี�1!3!2! 1!3!2! 2

ต�วอย!างม�เหร์�ยญที่�)งหมด 12 เหร์�ยญ เป/นเหร์�ยญส�บ 2 เหร์�ยญ

เหร์�ยญห+า 3 เหร์�ยญ เหร์�ยญสอง1บาที่เหร์�ยญ แลี่ะเหร์�ยญบาที่6เหร์�ยญ จังหาว�ธี�การ์เร์�ยงเหร์�ยญที่�)ง 12 เหร์�ยญ

ว�ธี�ที่าจัะได+จัานวนว�ธี�การ์เร์�ยงส�บเปลี่��ยนเหร์�ยญที่�)ง 12 เหร์�ยญ

ค'อ 12! = 12•11•10•9•8•7•6! 2!3!1!6! 2!3!1!6!

= 12•11•10•9•8•7 = 55,440 ว�ธี� 12

กฎการ์เลี่'อกของ s คร์�)งจัาก t อย!าง

จัานวนว�ธี�เลี่'อกของ S คร์�)งจัากของที่��ม�อย !ที่� )งหมด t อย!างค'อ

C(s+t-1,s)หร์'อ (s+t-1)! (t-1)!s!

ต�วอย!างต+องการ์แคะเหร์�ยญจัากกร์ะป2ก 5 เหร์�ยญโดยใน

กร์ะป2กม�เหร์�ยญ 3 ชน�ดค'อเหร์�ยญบาที่ เหร์�ยญห+าแลี่ะเหร์�ยญส�บ เหร์�ยญแต!ลี่ะชน�ดม�มากกว!า 5 เหร์�ยญ จังหาว�ธี�เลี่'อกเหร์�ยญที่��แตกต!างก�น

ว�ธี�ที่า ในที่��น�) s=5 แลี่ะ t=3จัากหลี่�กการ์เลี่'อกของ = (s+t-1)! = (5+3-1)! (t-1)!s! 2!5! = 7! = 21 ว�ธี� 2!5!

ต�วอย!างร์+านขนมโร์งเร์�ยนม�ค2+กก�)ต!างก�นอย ! 4 ชน�ด จัง

หาว�ธี�จั�ดค2+กก�)ต!างๆก�น 12 ช�)น ลี่งในกลี่!องว�ธี�ที่า ในที่��น�) s=12 แลี่ะ t=4จัากหลี่�กการ์เลี่'อกของ = (s+t-1)! = (12+4-1)! (t-1)!s! 3!12! = 15! = 455 ว�ธี� 3!12!