第十章

第十章含有耦合电感的电路

10. 1 互感

10. 2 含有耦合电感电路的计算

10. 3 空心变压器

10. 4 理想变压器

重点：重点：

同时，有部分磁通穿过临近线圈 2 ，在线圈 2 中产生互感磁通为 21 ，

i1 称为施感电流。称为施感电流。

11

21

i1

10. 1 互感10. 1 互感

当线圈 1 中通入电流 i1 时，在线圈 1 中产生磁通 11 ，产生

的自感磁通链为 11 ， 11 = N1 11 。

产生的互感磁通链为 21 , 21 = N2 21 。

+ –u11 + –u21

N1N2

当线圈 2 中通入电流 i2 时，在线圈 2 中产生磁通 22 ，产生的自感磁通链为 22 ，同时，有部分磁通穿过临近线圈 1 ，产生互感磁通链为 12 。每个耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁通链的代数和。即：

+ –u11 + –u21

N1N2

1 = 11±12

2 = ± 21+22

12

22

i2

当线圈周围无铁磁物质 ( 空心线圈 ) 时， 11 、 21 与 i1 成正比， 12 、 22 与 i2 成正比。即：

11 = L1 i1 ， 21 = M21 i1

22 = L2 i2 ， 12 = M12 i2

。为自感系数，单位亨称， H)( 11

111 L

iL

）。的互感系数，单位亨（对线圈为线圈称， H21 211

2121 M

iM

M21 = M12 =M M 恒大于零

1 = 11 ± 21 =L1 i1 ± M i2

2 = ±12 + 22 =± M i1 + L2 i2

1 = 11 ± 21 =L1 i1 ± M i2

2 = ±12 + 22 =± M i1 + L2 i2

互感的作用有两种可能性。若互感磁链与自感磁链方向一致，称为互感的增助作用，此时， M 前符号为正；若互感磁链与自感磁链方向相反，称为互感的削弱作用，此时， M 前符号为负。

i2

M 前的正负号的确定？

？

21

+ –u11 + –u21

11

N1 N2i1

L1 L2

为便于反映互感的增助或削弱作用，简化图形表示，采用同名端标记方法。对两个有耦合的线圈各取一对端子 ( 产生的磁通方向相同 ) ，用相同的符号如“”或“ *” 加以标记，则称这一对端子为同名端。

i1

* *L1 L2

+

_u11

+

_u21

i2M

i2

21

+ –u11 + –u21

11

N1 N2i1

L1 L2

当有两个以上的电感彼此之间存在耦合时，同名端当有两个以上的电感彼此之间存在耦合时，同名端应一对一对地加以标记。每一对采用不同的符号。如应一对一对地加以标记。每一对采用不同的符号。如果每一电感都有电流时，则每一电感中的磁通链将等果每一电感都有电流时，则每一电感中的磁通链将等于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和。于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和。

+ –u11 + –u21

i1

11

0

N1 N2

+ –u31

N3

s

**

**△ △

图示电路，图示电路， ii11=10A=10A ，， ii22=5cos(10t)=5cos(10t) ，， LL11=2H=2H ，， LL22=3H=3H ，，

M=1HM=1H ，求两耦合线圈的磁通链。，求两耦合线圈的磁通链。

11 = L1 i1 =20Wb

22 = L2 i2 =15cos(10t) Wb

21 = M i1 =10Wb

12 = M i2 = 5cos(10t) Wb

1 = L1 i1 + M i2 =[20+ 5cos(10t)] Wb

2 = M i1 + L2 i2 =[10+ 15cos(10t)] Wb

i1

L1 L2

+

_

u1 u2

i2M

_

+

解：

P233 例 10 － 1

当两个线圈同时通以变动的电流时，各电感的磁链将随电流的变动而变动，在每个线圈两端将产生感应电压（包含自感电压和互感电压），设L1 和 L2 的电压和电流分别为 u1 、 i1 和u2 、 i2 ，且方向为关联参考方向，互感为 M ，则有：

dt

diL

dt

diMuu

dt

dΨu

dt

diM

dt

diLuu

dt

dΨu

22

12221

22

2111211

11

i1

L1 L2

+

_

u1 u2

i2M

_

+

dt

diL

dt

diMuu

dt

dΨu

dt

diM

dt

diLuu

dt

dΨu

22

12221

22

2111211

11

“ ”取－。参考方向“ ”方向取＋，非关联流参考方向是关联参考

的电压与电前的正负号：各自线圈和dt

diL

dt

diL 2

21

1

一般情况：

“ ”；反之取－。“ ”的同名端，则取＋线圈在参考方向的高电位端也的同名端；如果电位端在线圈

的高从同名端流入，则前的正负号：若

1

1

1

22

2

udt

diMi

dt

diM

)10sin(150

)10sin(50

22

12

2111

tdt

diL

dt

diMu

tdt

diM

dt

diLu

图示电路，图示电路， ii11=10A=10A ，， ii22=5cos(10t)=5cos(10t) ，， LL11=2H=2H ，，

LL22=3H=3H ，， MM=1H=1H ，求两耦合线圈的端电压，求两耦合线圈的端电压 u1 和和 u2 。。

Mi iLΨdt

dΨu

Mi iLΨdt

dΨu

12222

2

21111

1

,

,

P234 例 10 － 2

i1

L1 L2

+

_

u1 u2

i2M

_

+

解：

在正弦交流电路中，其相量形式的方程为

2212

2111

jj

jj

ILIMU

IMILUj L1

1

I 2

I

j L2

+

– –

+2

j

IωM 1

j

IωM

+

–

2

U

+

–

1

U

dt

diL

dt

diMu

dt

diM

dt

diLu

22

12

2111

i1

L1 L2

+

_

u1 u2

i2M

_

+

耦合系数 k ：工程上为了定量描述两个耦合线圈的耦合程度，把两线圈工程上为了定量描述两个耦合线圈的耦合程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的比值的几何平均值定义为耦合的互感磁通链与自感磁通链的比值的几何平均值定义为耦合因数，用因数，用 k 表示。表示。 k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。

全耦合 : 11= 21 ， 22 =12

212211

2112def

LLMk

1

,

,

,

212

212112

2

12112

1

21221

2

2222

1

1111

k

LLMLLMM

iΦN

MiΦN

M

iΦN

LiΦN

L

可以证明， k1 。

tiM

tiLiRu

dd

dd

111

)(21

21 LLM

互感不大于两个自感的算术平均值。02 21 MLLL

tiMLLiRRuuu

dd)2()( 212121

10.2 含有耦合电感电路的计算10.2 含有耦合电感电路的计算

一、串联反接

tiM

tiLiRu

dd

dd

222

R L

tiLRi

dd

i

R

L

u

+

–u2

+

–

u1

+

–

i

M

R1

R2

L1

L2

u

+

–

MLLLRRR 2 2121

tiLRi

tiMLLiRR

iRtiM

tiL

tiM

tiLiRu

dd

dd)2()(

dd

dd

dd

dd

2121

2211

MLLLRRR 2 2121

二、串联顺接i

R

L

u

+

–

i

M

R1

R2

L1

L2

u

+

–

u2

+

–

u1

+

–

在正弦激励下：

* *1

U + –

R1 R2j L1

+ –+ –

j L2

2

U

j M

U

I

2j 2121 I)MLL(ωI)RR(U

I

1 IR

1j ILω

j IMω

2 IR

2j ILω

j IMω

1

U

2

U

U

I

1 IR

1j ILω

j IMω

2 IR

2j ILω

j IMω

1

U

2

U

U

相量图：

(a) 正串 (b) 反串

图示电路中，正弦电压的 u=50V ， R1=3 ，L1=7.5 , R2=5 ， L2=12.5 , M=8 。求该耦合电感

的耦合因数 K 和该电路中吸收的复功率。解：耦合因数解：耦合因数 KK 为：为：

826.05.125.7

8))(( 2121

LL

MLL

Mk

AVjZIS

AVjZIS

ZUIU

jZZZjMLjRZjMLjRZ

)63.14025.156(

)63.1575.93(

57.2659.5/,050

485.45)(5.03)(

22

2

12

1

...21

222

111

：各支路吸收的复功率为则：令

P236 例 10 － 3

u2

+

–

u1

+

–

i

M

R1

R2

L1

L2

u

+

–

三、同侧并联三、同侧并联* *+

–

R1R2

1I 2I3I

j L1 j L2

j M

U1222

2111

jj

jj

IMILRU

IMILRU

）（

）（

213

III

2223

1113

][

][

IMLjRIMjU

IMLjRIMjU

）（

）（

+

–

R1R2

1I 2I3I

j La j Lb

j Lc

U

Lc = MLa =L1 － MLb = L2 － M

四、异侧并联四、异侧并联*

*

+

–

R1R2

1I 2I3I

j L1 j L2

j M

U1222

2111

IMjILjRU

IMjILjRU

）（

）（

213

III

2223

1113

][

][

IMLjRIMjU

IMLjRIMjU

）（

）（

+

–

R1R2

1I 2I3I

j La j Lb

j Lc

ULc = － MLa =L1 ＋ MLb = L2 ＋ M

含有互感电路的去耦等效电路：含有互感电路的去耦等效电路：

11 ）串联：等效为一个电感，）串联：等效为一个电感， L = LL = L1 1 + L+ L2 2 ± 2± 2MM

顺接时取“顺接时取“ +”+” ，反接时取“－”，反接时取“－”22 ）并联：如果耦合电感的）并联：如果耦合电感的 22 条支路各有一端与第条支路各有一端与第 33 支路支路

形成一个仅含形成一个仅含 33 条支路的共同结点，则可以用条支路的共同结点，则可以用 33条无耦合的电感支路等效替代，条无耦合的电感支路等效替代， 33 条支路的等条支路的等效电感分别为：效电感分别为：

同侧并联异侧并联同侧并联异侧并联

Lc = M Lc = Lc = M Lc = －－ MM

La = L1La = L1 －－ M La = L1M La = L1 ＋＋ MM

Lb = L2Lb = L2 －－ M Lb = L2M Lb = L2 ＋＋ MM

注意：互感注意：互感 MM 前的符号。前的符号。

例 10-4 图示电路中，正弦电压的 U=50V ， R1=3 ， L1

=7.5 , R2=5 ， L2=12.5 , M=8 。求支路 1 、2 吸收的复功率。

* *+

–

R1R2

1I 2I3I

j L1 j L2

j M

U

85.4

5.0

2

1

MLMLLMLL

c

b

a

+

–

R1R2

1I 2I3I

j La j Lb

j Lc

U

)7.9335.34(

)74.18897.111(

1.10199.1

3.5939.4

)///(

8

5.45

5.03

050

22

11

2

21

21

213

3

22

11

jIUS

jIUS

I

IZZ

ZI

ZZZUI

jMjZ

jLjRZ

jLjRZ

U

b

a

令+

–

R1R2

1I 2I3I

j La j Lb

j Lc

U

8

5.4

5.0

5

3

50

2

1

c

b

a

L

L

L

R

R

VU

S2111

j)j(

UIMILωR

0)j(j 2221

IZLωRIM

22

2

11

1

S

in

22

2

11

S1

)(

)(

Z

MZ

I

UZ

ZM

Z

UI

Z11=R1+j L1 ， Z22=(R2+R)+j( L2+X)

1

I

+

–S

U

Z11

22

2)(

Z

ωM

原边等效电路

* *

j L1

1

I 2

I

j L2

j M

+

–S

U

R1 R2

Z=R+jX

10.3 空心变压器10.3 空心变压器

这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。

lll XRXR

XMω

XR

RMω

XR

Mω

Z

MZ jj

j

)(222

222

2222

222

222

2222

2222

22

22

2

Zl= Rl+j Xl ：副边对原边的引入阻抗。

引入电阻

2

22

2

22

22

22

XR

RMωRl

引入电抗

2

22

2

22

22

22

XR

XMωX l

负号反映了副边的感性阻抗反映到原边为一个容性阻抗

11in2 , ,0 ZZI 即副边开路当

112

22

11S2

/)(

/j-

ZMZ

ZUMI

同样可解得：

2

I+

–oc

U Z22

11

2)(

Z

Mω

11

Soc

j

Z

UMωU

11

2)(

Z

Mω— 原边对副边的引入阻抗。

副边等效电路

— 副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。

* *

j L1

1

I 2

I

j L2

j M

+

–S

U

R1 R2

Z=R+jX

S2111

j)j(

UIMILωR

0)j(j 2221

IZLωRIM

Z11=R1+jL1 ， Z22=(R2+R)+j(L2+X)

* *

j L1

1

I 2

I

j L2

j M

+

–S

U

R1 R2

Z=R+jX

例 10-5 图示电路， R1=R2=

0 ， L1=5H,L2=1.2H,

M=2H ， us=100cos(1

0t) ， ZL=RL+jXL=3 。求原副边电流 i1 、 i2 。

:,0250

IU S 用原边等效回路求电流解：

)37.3184.7()123/(400/)(

)123(,50

222

222111

jjZM

jLjZZjLjZ L

84.12666.5

2.675.3/)(

22

12

222

11

1

Z

IMjI

ZMZ

UI

S

Ati

Ati

)84.12610cos(266.5

)2.6710cos(25.3

2

1

当 L1 ,M, L2 ， L1/L2 比值不变 ( 磁导率 ) , 则有

一 . 理想变压器

21 UnU

211 In

I

* *

1

I 2

I+

–

2

U

+

–

1

U

n : 1

理想变压器的元件特性

理想变压器的电路模型

2

1

2

1

2

1

L

L

L

M

M

L

N

Nn

1

I 2

I+

–

2

U

+

–

1

U2

1

In

1

1

Un

10.4 理想变压器10.4 理想变压器

ZnI

Un

In

Un

I

U 2

2

22

2

2

1

1 )( 1

(a) 阻抗变换性质

二、理想变压器的性质

* *

1

I 2

I

+

–

2

U

+

–

1

U

n : 1

Z

1

I+

–

1

U n2Z

(b) 功率性质：

21 nuu

211 in

i * *

+

–

n : 1

u1

i1 i2

+

–

u2

0)(1

11112211 niun

iuiuiup

由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。

*

*

+

–

1 : 10

u1

i1 i2

+

–

u2

+

–

us R2

R1例例 10-6 10-6 图示理想变压器，图示理想变压器，

匝数比为匝数比为 11 ：： 1010 ，已，已知知 uuss=10cos(10t)V=10cos(10t)V ，，RR11=1 =1 , , RR22=100 =100 。。求求 uu22 。。

0

KVL

222

111

uiR

uuiR s

方程为：解：两回路的

21

21

1010

1

,

ii

uu

VCR

有：由理想变压器的

Vtuu s )10cos(5052

*

*

+

–

1 : 10

u1

i1 i2

+

–

u2

+

–

us R2

R1

11.0)( 222 RZnReq：二解

+

–

u1

i1

+

–

us

R1

Req

Seqeq

S uRRR

uu 5.0

11

Vtuuu S )10cos(50510 12

以下为附加内容

同名端表明了线圈的相互绕法关系。确定同名端的方法：

(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 ( 或流出 ) 时，两个电流产生的磁场相互增强。（根据绕向判别）

i1

1'

2

2'*

*(2) 当随时间增大的时变电流从一

线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。 (实验法判别 )

V+

–

i1

1'

2

2'

**R S

电压表正偏。

0 ,0 '22 dtdiMu

dtdi

如图电路，当闭合开关 S 时， i 增加，

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第十章