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电磁学. 静电场. 稳恒磁场. 电磁感应. 电磁波. 第八章 真空中的静电场. 基本内容. 电荷 库仑定律. 电场 电场强度. 电通量 高斯定理. 静电场力的功 电势. A. +. +. B. A. +. +. B. A. +. +. B. §8.1 电荷 库仑定律. 一、电荷 (charge). 1 、电荷与电性. 自然界只存在两种电荷 , 同性相斥、异性相吸。. 规定 : 用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷； 用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷。. 使物体带电的方法有以下几种：. - PowerPoint PPT Presentation
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电磁学静电场稳恒磁场电磁感应电磁波
第八章 真空中的静电场
基本内容 电荷 库仑定律电场 电场强度电通量 高斯定理静电场力的功 电势
+ +A B + +A B + +A B
§8.1 电荷 库仑定律一、电荷 (charge)
1 、电荷与电性 自然界只存在两种电荷 , 同性相斥、异性相吸。
使物体带电的方法有以下几种：① 、接触起电（电荷的转移，电子的转移）
规定 : 用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷； 用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷。
② 、感应起电+
A B
-+C
- +
A B
+
C
e = （ 1.6021892±0.0000046 ） ×10-19C
A B
③ 、 摩擦起电
2 、电荷守恒定律 电荷既不能创造也不能被消灭，只能从一个物体转移到另外一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。 也就是说，对一个孤立系统而言，任何物理过程中的电荷的代数和都守恒
3 、电荷的量子化
（ 密里根油滴实验可证实）
（此定律可作为判据）
r0
F
Q
q
其中：
r0
F方向：与电荷电性及 有关
0r
方向：由原因指向结果
二、库仑定律（ Coulomb’s Law)
1 、库仑定律：
2 、适用范围① 、静电场 ② 、点电荷
r
即：
012 2 1 28 85 10 . C N m
F
rr
1
4 02 0
k 1
4 0 ，
02r
r
QqkF
P•
q0
q1•
•
•
q2
qN •
Q 0r4
dqq rF 20
0
Qrdq q0
•P
② 、带电体 ------ 矢量积分
① 、点电荷系 ------ 矢量和 ( 平行四边形法则 )
3 、库仑力符合矢量叠加性
01
20
0
4 i
N
i i
i rr
qqF
F
2 、当带电体在场中移动时电场力对其作功 3 、静电场能使场中的导体产生静电感应，使电介质极化
§8.2 电场 电场强度
电场是一种特殊的物质，与其它实物一样具有能量、动量和质量。
1 、静电场对处于场中的带电体有力的作用
一、电场（ Electric Field ）
静电场的对外表现：
与其它实物不同的是，它具有空间叠加性（矢量叠加）。
E→
→U
1 、定义：电场中某点的电场强度，等于位于该点单位正电荷所受的电场力。
二、电场强度（ Electric Field Intensity ）
、单位：牛顿 / 库仑（ N/C ）
q0 为试验电荷（带电量充分小，几何线度充分小） ① 、矢量性（大小和方向）；
2注意
② 、对给定电荷分布的电场，场强分与试验电荷所带电量无关；
布
0q
FE
E E E EN 1 2
F F F FN 1 2
F
q
F
q
F
q
F
qN
0
1
0
2
0 0
由 q1 、 q2 、… qN N 个点电荷组成的点电荷系，其在空间某点产生的电场场强，等于各个点电荷单独存在时 , 在该点产生的电场强度的矢量和。即
三、电场强度的叠加原理
P•
q0
q1•
•
•
q2
qN•
F
2 、点电荷系电场中的场强
rr
4
1F 3
0
P
qi
q1
1E
iE
1 、点电荷电场的场强四、电场强度的计算
rr
Q
q
FE
3
04
i
n
i i
i rr
q
rr
qr
r
qE
13
0
2320
213
10
1
4
....44
rdq
•Pr
r4
dqEd
30
E dE
dq
rr 4 0
3
则带电体在 P 点产生电场的电场强度为 :
注：此式为矢量式，其标量分量式为 :
3 、连续带电体电场中的场强 如图 , 电荷元 dq 在 P点产生电场的电场强度为 :
; xx dEE ; yy dEE ; zz dEE
kEjEiEE zyx
则：
rr
dl
4
1E 3
0
rr
ds
4
1E
30
rr
dv
4
1E
30
面分布 :
体分布 :
P
r
l ( )
dl
线分布 :
对于不同分布的带电体，上述公式可分别写作 :
dldq
dsdq
dvdq
+l
-q +q
+l 2 2l
P
r
+q-q
E+
E
E
)r(
q4
1
42l20
E
21
422
21
4220 )()(4
12ll rr
q
cos2 EE
23
42l20 )r(
ql4
1
30
e
r4
P
r04 3
qlE
qe = lp电偶极距
若 r>>l ，则有：
电场强度的计算[ 例 1] 求电偶极子的电场分布
解：
22l0 )r(
q4
1E
E+
E P'
r+L/2+q-q
L/2
22l0 )r(
q4
1E
若 r>>l ，则有：3
04
2
r
Pe3
04
2
r
qlE
写成矢量形式即为：3
04 r
PE e
E
E
rr
qEEE
])
21
(
1
)21
(
1[
4 220
电偶极子在电场中所受的力矩
e sinp= E θ
M = ep E×
写成矢量形式，即为：
= f l sinθ
θf
f
E
304
2
r
PE e
θl= qE ins +l
ep
=2f sinθM2
l
解题步骤：
E 的大小d3. 确定的方向确定 Ed2.
q 、 θθ1已知： 2 。a 、、
4. 建立坐标 , 将 E 投影到坐标轴上
1. 选电荷元 dq=λdl
dEY=dEsin
cos
r
dl
4
1dE 2
0X
q
θaθ1
2
0
ldl
X
Y
Ed
r
r4π0E =
2
1d dλ l
[ 例 2] 如图，求一均匀带电直线在 O点的电场。
dEX=dEcos
xX dEE
l = actg=actg(-)
dl=acsc2 d
故
5、选择积分变量选作为积分变量，则
cos
csca
dcsca
4
1dE 22
2
0x
cosa
d
4
1
0
2
1
dcosa4 0
)sin(sin4 12
0
a
θ1θ 2
q
a
0
ldl
X
Y
Ed
r
=-actg
=acsc
sin
ar
)sin(
a
sin
a
a2)cos(cos
a4E
021
0y
0)sin(sina2
E 120
x
因此无限长均匀带电直线在其周围产生的电场的场强就为：
a02E
同理可得：
讨论： 当带电直线长度 → 时， 1 →0 ， 2 → ,
)cos(cos4
sin4 21
00
2
1
a
da
dEE yy
a
x
px
aq x、已知： 、
当 dq 位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。故由对称性知
E E=y =z 0
Ed
dq
r 选电荷元 dq ，确定 dE
a
z
x
Ed
y
[例 3] 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x 处的电场。
20 r
dq
4
1dE
解：
a
x
px
Ed
dq
r
cosdEdEE x
cos=x/r
讨论：（ 1 ）、若 x=0 （即 P 位于圆环中心）时， E=0（ 2 ）、若 x>>a时，
204 r
qE
场强表达式
与点电荷相同
dq
r4
x3
03
0r4
qx
23
220 )ax(4
qx
r
x
r4
dq2
0 dEE
已知： 求：q xR，， EP
RPxq r
dr
dE
dq=ds= 2rdr
2R
q
R
rx
rdrx0 2
322
0 )(4
2
))(
1(2 2
122
0 Rx
xE
[例 4] 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场
23
220 )(4
2
rx
rdrxdE
23
220 )(4 rx
dqxdE
dEE
解：
))Rx(
x1(
2E
21
220
讨论：（ 1 ）、当 R>>x时， 02
E
（ 2 ）、当 R<<x时，
22
2
)x
R(
2
11)
x
R1( 2
1
2
0
2
0
)x
R(
2
1
2))
x
R(
2
111(
2E
2R
q
再次得点电荷公式2
0r4
qE
21
22 )ax(
x
① 、分析电场分布，选择适当模型 ② 、建立坐标系，确定积分元
③ 、统一变量，积分求解
[ 例 5] 有一半径为 R 的半球面，均匀带有电荷，电荷面密度为，求其球心处的场强。
23
220 )xr(
xdq
4
1dE
解：选圆环作为模型，建立如图坐标系，确定积分元：
R
r
x
E
x
o
o'
解题步骤
环宽： Rd ； 面积 2rRd ； r=RcoS
dq=2R2cosd
2/3220
2
)rx(2
dcosRxdE
dcossin2
dE0
x
04
2
00
dcossin2 xdEE
积分求解
而 r2=R2-x2 x=Rsin
R
r
x
E
x
o
o'
另选点电荷作为模型
建立如图坐标系，确定积分元 dq=Rrdd
00
1 rR
drd
4
1Ed
Sin
R
drd
4
1dE
0
2
000 4
dCosSin2
2
0
2
00
drSindR4
dEE
( 其中 r=Rcos)
R
r
x
E1
d
d
E
电荷元的场强沿如图 方向，合场强方向沿1E
E方向。
EdS
E
五、电场的几何描述 ------- 电力线
② 、电力线的疏密程度代表场强的大小。
描述：①、线上某点的切线方向代表此点的场
强方向。
负电荷
正电荷
+
S
NE
性质：、电力线起于 +q ，止于 -q ，不自行闭合 、在没有电荷处，电力线不相交。
规定： 在电场中任一点，垂直通过该点附近，单位面积上的电力线根数，等于该点电场强度的值。
即：
、电力线指向电势降低方向。
一对等量异号电荷的电力线
+
一对等量正点电荷的电力线
+ +
一对异号不等量点电荷的电力线
2q q+
定义：通过电场中任意一个给定曲面的电力线的根数，称为该曲面的电场强度通量或电通量。用符号“ e” 表示。
为任意场为任意曲面，、 ES2
：有夹角与）（ ES2
SEcosESe
s
dScosE s
ee d s
SdE
S
E
S
S
θ E
Eθ
Sd
1 、匀强电场的情况
一、电场强度通量—电通量§ 8.3 电通量 高斯定理
:ES
ESe (1)
dS 面上电通量：de > 0 有电力线穿出
（ 1 ） 局部曲面电通量
dS’ 面上电通量：de < 0 有电力线穿入（ 2 ） 整个 S闭合曲面上电通量
Se SdE
>0
<0=0
穿出 >穿入穿入 >穿出穿入 =穿出
{
dS
dS’
E
3 、 S 为闭合曲面， 为场强E
二、高斯定理（ Gauss’s Law ）
r+
q
E
Sd
0cosdSr4
qSdE
S S 20
S20
dSr4
q
o
q
（ 1 ）、 q 若为负值，则有
故当式中的 q 理解为代数值时，有：
讨论：0
S
qSdE
0S
qSdE
1 、特例引证：
（ 2 ）、若封闭面不是球面，则积分值不变（下图）
n
1i 0
i
S
qSdE
（ 4 ）、若面内有 n个电荷，则积分值为：
（ 3 ）、若电荷在面外，则有几条电力线穿进面内，必然有同样数目的电力线从面内穿出来，此积分值为零。
2 、定理：通过静电场中任一闭合曲面的电通量 e ，等于包围在该闭合曲面内所有电荷代数和的 1/0倍，而与封闭面外电荷无关。即：
n
1ii
s 0e q
1SdE
3 、说明： ① 、静电场是有源场。
② 、 e 由曲面内所围电荷产生与外部电荷无关，它是标量； 公式中的电场强度 E ，指面上任意点的场强，是由曲面内外所有电荷共同产生，是矢量； qi 是曲面内所围电荷； qi 是曲面内部所围电荷的代数和。
③ 、封闭面上 ( 或封闭面的一部分上 ) ，各点的场强大小 E 为常量， 且方向与曲面处处成一 确定的角度，
高斯面的对称中心与场的对称中心相重合
4 、应用：求一些具有特殊对称性的电场的场强
② 、封闭面的形状应尽量简单，且一般高斯面具有与电场相同的对称性，
关键：选取高斯面，① 、高斯面要通过待求场强的点
条件：电场具有特殊的（球、面、轴）对称性
以便于积分。
一般原则
或 E值虽然变化，但 E 与曲面法线相垂直。
R+
+
++
+
+
+
+
Q① 、分析对称性 解题步骤：
② 、选取适当的高斯面 ③ 、利用高斯定理求场强
解： （ 1 ） r<R
2r4E s
dSEs
e d SE
0q1 n
1ii
0
r
[ 例 1] 求一半径为 R 的均匀带电球面的电场分布高斯定理的应用
E 内 =0
（ 2 ） r>R
R+
+
++
+
+
+
+
Q
r
高斯面
E
r0
r21
R
20R 4
Q
0
n
1ii
0
1
24 rEdSESdEe
点外 Er
QE
204
rR 4
QrE3
0
内
r R
Q
E
3
3
0 R
rQ
E 的大小与到球心的距离成正比
E
r0 R
20R 4
Q
[ 例 2] 求一半径为 R 的均匀带电球体的电场分布解： （ 1 ） r<R
3
3010
2
3
4
34
11
4
rR
rEdSESdE
n
ii
ss
e
（ 2 ） r>R
RE
r
高斯面
0
n
1ii
0
1
E
r0
r 2
1
R
20R 4
Q
外 r4
QE 2
0 点E
24 rEdSESdEss
e
λ
R
hl
r
高斯面
01
10
n
iiq
[ 例 3] 求均匀带电圆柱面的电场分布（沿轴线方向单位长度带电量为 λ，忽略边缘效应）
0E 内
解： （ 1 ） r<R
下底侧面 上底SdESdESdEdSE
s
rlESdE 2侧面
上底 下底SdESdE
0
（ 2 ） r>R
0
n
1ii
0
lq
1
r2E
0
r
E
0 R
R 20
下底上底侧面SdESdESdESdE
s
rl2ESdE 侧面
E
高斯面
lr
上底 下底
SdESdE
0
右底左底侧面
SdESdESdESdEs
SESdE 左左底
SESdE 右右底
E 左 =E 右 =E
ES2SdEs
0
n
1ii
0
Sq
1
0SdE 侧面
[ 例 4] 求均匀带电无限大平面的电场分布
EE
σ
高斯面
S
解：
常数02
E
电场分布 : 面对称，选高斯面
EE
x
d
S
o x
SE2SdES 外
02
dE
外
内部：选另一高斯面
SESESdES
外内
0
sd
0
)(
sxd
[ 例 5] （ 8-16 ） 一厚度为 d 的均匀带电无限大平板，体电荷密度为，求平板内、外各点的场
强。解：
讨论：当 x > d/2 时 ,
方向向左）内 ()x
2d
(E
0
Q
ab
r
方向向右）内 ()
2d
(xE
0
[ 例 6] 有一带电球壳，内、外半径分别为 a 和 b ，电荷体密度为 =A/r ，在球心处有一点电荷 Q 。证明：当 A=Q/(2a2) 时，球壳区域内场强的大小与 r 无关。
E’=0 , 解 A)（提示：令
0
)(
sxd
SESE
外内
当 x < d/2 时 ,0
)(
sxd
SESE
外内
r
dlrdr
Era
rbq
a
b
q0
dl
§8.4 静电场力的功 电势
一、电场力的功1 、单个点电荷产生的电场
故：
IdEqIdFdA
0
drdl
dlEq
cos
cos0
drr
qqEdrqdA
20
00 4
drr
qqdAA
b
a
r
r
b
aab 2
0
0
4
2 、点电荷系产生的电场由 q1 、 q2 、… qN N 个点电荷组成点电荷系
可见，在点电荷产生的电场中，电场力对试验电荷所作的功与路径无关，只与始末位置及试验电荷的带电量 q0 有关。
)11
(44 0
02
0
0
ba
r
r
b
aab rr
qqdr
r
qqdAA
b
a
IdEqAb
aab
0
IdEqIdEqIdEqb
a N
b
a
b
a
02010 ...
)11
(4 0
0
ibiai
i
rr
0ldE
任意带电体可以划分成许多电荷元，每个电荷元可以看成是一个点电荷，这样任意带电体就可以看成是一个特殊的点电荷系。
结论：试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与试验电荷电量的大小及其始末位置有关，与路径无关。
3 、任意带电体产生的电场
说明静电场力是保守力，静电场是保守力场。 4 、静电场中的环路定理
ldEqA 0
ldEqldEq
a
b 0
b
a 0
0ldEq
a
a 0
E
取如图高斯面： -E1S+E2S=0 E1=E2
(2) 证在垂直于电力线方向，任意两条电力线上 E值相等作如图环路
DACDBCABl
ldEldEldEldEldE
C D
B A
ABAABlEldE
CDDCD
lEldE
0 0
0lElEldE CDDABAl
DA EE
（ 1 ）证明同一条电力线上各点 E 相等
[ 例 1] （ 8-28 ） 用高斯定理和环路定理证明：静电场中，电力线为平行直线的无电荷的区域，必为匀强电场
S
E1 E2
证毕
与重力场类似，带电体在电场中处于一定位置时也具有一份与位置相对应的能量，称之为电势能。
电势能是一个相对量，要计算静电场中某点的电势能，必须首先选择参考点（即电势能的零点）。
二、电势能
对有限的带电体，通常选无穷远处为静电势能的零点 ( 在实际问题中，有时选择地球表面为零势能点 )。即
与重力场中的重力作功对比，得电场力所作的功，等于势能的减少量，或说等于势能增量的负值。
abba AWW b
a 0 ldEq
)WW( ab
a0 dlcosEq aAaa WWW
三、电势（ Electric Potential ）
c
adlEcos
0
aa
q
WU
c
aldE
b
adlcosEba UU
b
aldE
1 、定义：① 、电势
② 、电势差
物理意义： a 点的电势在数值上等于将单位正电荷从 a 点移到零势能点（ c），静电场力对它所作的功。 显然电势也是一个相对量 , 对有限大的带电体 ,
常取无穷远处的电势为零 , 对无限的带电体 ,取有限空间中的某点为电势零点 , 在实际应用中，常取地球为电势零点。
c
a
c
a
Aa ldEdlE
q
WU cos
0
Aab=q0(Ua-Ub)
P 20
drr4
q
PP ldEU
N21 EEEE
由 q1 、 q2 、… qN N 个点电荷组成的点电荷系产生的电场在 P 点的电场强度为：
r4
q
0
2 、静电场力的功和电势差的关系：
① 、点电荷电场中电势 3 、电势的计算：
② 、点电荷系电场中的电势
q2
q1
则 P 点的电势为 :
此即为电势的叠加原理（标量叠加）
N
i i0
i
r4
qN21 UUU
P P P N21 ldEldEldE
P
P ldEU
r4
dqdU
0
r4
dqU
0
整个带电体在 P 点所产生的电势为
P
r1r 2
③ 、连续带电体电场中的电势，取电荷元 dq ，其在 P 点产生的电势为
a b
q 1 2q0q
r rr
r4
q
r34
qU
0
2
0
1b
=-2.46 103(V)
Aab=q0(Ua-Ub)=2.46 10-5 (J)
[ 例 1] 已知： q1=-q2=410-8C
电势的计算
)q3
q(
4
12
1
0
求：把电荷 q0 从 a点移到 b点过程中，静电场力所作的功
Aab=q0(Ua-Ub)
r=0.10mq0=1.010-8C
Ua=Uq1+ Uq2 =0解：
R
xP
dqr
r4
dqdU
0
21
)Rx(4
q22
0
r4dq
0dUUP
方法 1 ：叠加法
[ 例 2] 求一均匀带电圆环轴线上一点的电势。 已知： q 、 R、 X
dq 如图以无穷远处作为电势零点，取电荷元③ 、写出积分元，积分求解② 、建立坐标系确定零势点
① 、分析电场分布，选择 适当模型
解题步骤：
R
xP
x
23
220 )Rx(4
qxE
PP ldEU
2
1
)Rx(4
q22
0
方法 2 、定义法
② 、 建立坐标系， 求出电场中的电场分布 以无穷远处作为电势零点，
① 、分析电场分布， 确定零电势点
③ 、确定积分路径，积分求解
解题步骤：
dx)Rx(
qxp 2
322
轴线上的场强为
R
+
++++
+
++
q
P.r r4
q2
0
)Rr(
)0 Rr(
（ 1 ） r<R
R
r RdrEdrE 外内P
l
P dEU
drr
qR
204
0
[例 3] 求一均匀带电球面的电势。已知： q 、R， 求：空间各点电势分布。
解： 空间电场分布为：
R4
q
0
E {
=常数 带电球面内为等势区！
P
drE外l
PP dEU
电势分布曲线
场强分布曲线
E
rO
U
rO
R
R
（ 2 ） r>R
drr4
q2
0r
r4
q
0 点U
设柱面上电势为零E 内 =0
r>R : r2E
0
外r2 0
Rln
r
drEUR
外外
rln
2drEU
0r
外外
[ 例 4] （ 8-23 ）无限长均匀带电圆柱面，半径为 R ，单位长度上的电量为。计算此圆柱面内、外任一点的电势。
r<R ：解：
若选无限远处为零势点
此时无法描述空间各点电势的差异！！
无限大带电平面的零势点如何选
？
R
r0drEU 内内
对无限长均匀带电直线，通常取何处为电势零点？
为等势区！
4 、电势的图示法—等势面
静电场中，电势相同点构成的曲面称等势面。
+
++ ++++ +++
画法规定： 相邻两等势面间的电势差相同。
定义：
电偶极子的等势面
+
A
Boq
③ 、电力线与等势面处处正交，场强指向电势降低方向。 E
d l
θ0dlcosEq
0
ldEqdA 0
0cos
等势面特点： ① 、沿等势面移动电荷，电场力作功为零；
② 、两等势面永不相交； )0)UU(qA( ba0ab
2
四、电场强度与电势的关系
ll )gradU(E
z
UEz
ldEU
UgradUE
2 、微分关系：
电场强度大小等于沿法线方向的电势变化率，其方向和电势梯度的方向相反。
故等势面越密的地方电场强度越大
1 、积分关系：
x
UEx
；
y
UEy
；
小 结
UE 、
020
rr
4
1F
n
1ii
s 0e q
1SE
0ldE
二、基本规律：库仑定律 高斯定理 环流定律
三、电场强度的求解方法： 1 、积分法（选模型） 2 、微分法（求解 U ） 3 、高斯定理（选高斯面）四、电势的求解方法：
2 、叠加法 （选模型）
一、基本概念：
）（求E
1 、定义法
五、解法说明：（一）、电场强度的求解方法： 1 、积分法
解题步骤
① 、分析电场分布，选择适当模型 ② 、建立坐标系，确定积分元
③ 、统一变量，积分求解 2 、高斯定理
解题步骤： ① 、分析电场分布，看是否具有特殊对称性 ② 、建立坐标系，选取适当的高斯面 ③ 、利用高斯定理求得场强
特殊对称性： 面对称（无限大平面、忽略边缘效应的有限大平面） 轴对称（长直导线、长圆柱面、长圆柱体等） 球对称（球体、球壳等）
3 、微分法：利用场强与电势的关系求解
)kz
Uj
y
Ui
x
U(EUE
即
分析电场分布，写出电势分布方程 建立坐标系，沿各个轴方向分别求电势的梯度 写出场强的矢量式
步骤
求电势分布，化矢量运算为标量运算关键：
（二）、电势的求解方法
2 、叠加法 ① 、分析电场分布 ,选适当的模型 ② 、建立坐标系 , 确定零电势的位置 ③ 、确定积分元 , 积分求解
解题步骤：
① 、确定零电势的位置，建立坐标系1 、定义法
零电势的选取： “有限大” 的带电体选无穷远处为电势零点，“无限大”带电体选空间有限区域内某一点为电势零点。
解题步骤：
六、高斯定理与环流定律的应用
② 、求出所需电场分布③ 、据场强分布确定积分路径，并积分
基本内容
电介质中的电场、高斯定理、
静电场中的导体电容和电容器
电场的能量
第九章 静电场中的导体和电介质
无外电场时
E外
加上外电场后
E外
加上外电场后
+ E外
加上外电场后
+
+
加上外电场后
E外+
+
+
§9.1 静电场中的导体一、导体的静电平衡
1 、静电感应 在静电场力作用下，导体中电荷重新分布的现象。
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外+
+
+
+
+
+++++
① 、导体是等势体
2 、静电平衡： 导体中的电荷宏观定向移动终止，电荷分布不随时间变化，此时的导体即达到静电平衡。
用场强描述
3 、导体的静电平衡条件：
① 、导体内部任何一点场强为零（ E=0)
② 、导体表面为等势面
② 、导体表面任一点场强方向垂直于导体表面 用电势描述
q
0
E
S
S
净电荷分布在导体的表面表面附近的电场强度与电荷密度成正比
0qn
ii E=0
n
ii
0S
q1
SdE
导体内：
导体外：
二、静电平衡时导体上的电荷分布 1 、实心导体带有净电荷 q ，则这些电荷如何分布？
0
q
结论
S
R Qqr
定性规律： 孤立导体表面上的电荷面密度 e 的大小 , 与表面的曲率半径有关。导体表面小的地方，电荷较密集， e较大； 大的地方， e较小。
100
20 44
r
r
q
r
rq21 4 r
q
22 4 R
Q
R4
Q
r4
qU
00
rR
2
1
20
20
R
R4
RQ
+ Q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
结论：静电平衡时，导体内表面没有电荷，电荷只能分布在外表面 。
（ 1 ）、腔内无带电体的情形
空腔内电场强度处处为零，电势处处相等，但不一定为零。
2 、若导体为导体壳时，电荷又如何分布？
静电平衡时，导体内表面分布的电荷与腔内电荷的代数和为零，净电荷分布在外表面，其数值为导体所带电荷与腔内电荷的代数和。
Q
q S
Q+q
q -q
一个接地的空心导体，可以隔绝放在它空腔内的带电体和外界带电体之间的静电作用，这就是静电屏蔽原理。
++
+
-- - q1+
（ 2 ）、腔内有带电体的情形
重要结论
[例1 ] 已知两金属板带电量分别为q1 、q2 ,求其表面的电荷面密度1、2、 3、4。
2qq1
σσ σσ21 43
•a
1E
2E
3E
4E
b•
4E
3E
2E
1E
a 点 :
02222 0
4
0
3
0
2
0
1
b 点 :
121 qSS
243 qSS 联立可解得 : q
S2
q2132
S2
qq 2141
02222 0
4
0
3
0
2
0
1
CU
q
式中的 C 是一个与导体的尺寸和形状有关，而与 q 、 U 无关的常数，称之为该孤立导体的电容。2 、物理意义： 使导体每升高单位电位所需的电量3 、单位 F （法） F PF （ 106进位）
§9.2 电容、电容器一、孤立导体的电容
1 、定义 使一孤立导体带电 q ，它将具有一定的电位 U ，理论与实验均表明，随着 q 的增加， U将按比例增加，但它们的比值为一定值，即
二、电容器及其电容
由两个导体组合成的系统，如果它们在带电时所带的电荷量总是等值异号，则这样的导体组合就称为电容器。
1 、电容器 : 用于存储电荷或电能的装置
常见的电容器有： 平行板电容器（忽略边缘效应）、圆柱形电容器（同轴柱面，忽略边缘效应）、球面电容器（同心球面）等。电容器
的符号
每一个导体称为电容器的一个极板，任一个极板上的电荷的绝对值称为电容器的电量。
CU
q
2 、电容器的电容 定义：理论与实验表明，使电容器的带电量 q增加，电容器两个极板间的电势差U将按比例增加，但其比值为一定值，即：
式中 C 是只与两个极板的尺寸、形状及其相对位置有关，而与 q 、 U 无关的常数，称之为电容器的电容（孤立导体可否看成电容器 ？）
计算电容步骤 ② 、求两极板间的电势差（求 U
）
③ 、利用电容的定义式求电容（求 C ）
① 、设两极板分别带电 ±Q ，求电场的分布（求 E ）
d
[ 例 1] 已知平行板电容器的极板面积为 S，板间距离为 d ，求此平行板电容器的电容 .
i
0S
q1
SdE + -
++
+
+
++
-
--
-
-
-S
0q i E=0 （）
S1
SE0 0
E
② 、求 U EdldEU
③ 、求 C UqC
① 、求 E
解：设电容器两极板分别带电 ±q ，电荷面密度分别为 +、 -.
EdS
dS0
r2E
0
② 、求 U
rh2EESSdES
rS h0
i0
hq
1
R2
R1
l① 、求 E
[ 例 2] 如图所示，同轴圆柱形电容器 ,内外半径分别为 R1 、 R2 ，长度为 l ，求电容 .
2
1
R
RldEU
drr2
2
1
R
R0
解：设电容器两极板分别带电 ±q ，电荷线密度分别为 +、 -。
-
③ 、求 C
U
qC
U drr2
2
1
R
R0
1
2
0 R
Rln
2
1
2
0 RR
ln2
l
1
2
0
RR
ln
l2
rR1
R2
2
s
r4ESdE
20r 4
QE
② 、求 U
2
1
R
RldEU
③ 、求 CU
QC
① 、求 E
[ 例 3] 如图所示，同心球面形电容器的内 外半径分别为 R1 、 R2 ，求此电容器的电容。
0
Q
drr4
Q2
1
R
R 20
)
R
1
R
1(
4
Q
210
12
210
RR
RR4
解：设电容器两极板分别带电 ±Q
Q-Q
dR
+ -
•x
xR d-Ro
r2E
0
)xd(2x2E
00
解：①、求 E
[ 例 4] 两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距 d，导线半径都为 R（ R<<d），设导
线上电荷密度分别为 +和 -，试求该导体组单
位长度上的电容。
② 、求 U
dx)xd
1
x
1(
2U
Rd
R0
)Rd
Rln
R
Rd(ln
2 0
R
Rdln
0
U
qC
③ 、求 C
U
R
Rdln
0
RRd
ln
0
3 、电容器的串、并联（ 1 ）、串联
（ 2 ）并联
n21 C
1
C
1
C
1
C
1
n21 UUUU n21 qqq
n21 CCCC
n21 UUU n21 qqqq
= = =…
+ -
==
=……
+ -
+ -+ - + -
+
++
--
-
HCl等 有极分子：分子正负电荷中心不重合，如： H2O、
+C
H+
H+H+
H
甲烷分子正负电荷中心重合
水分子
正电荷中心
负电荷中心
eP
H
O
+H+ +
分子电偶极矩）（ Pe
§9.3 电介质
无极分子：分子正负电荷中心重合，如： H2 、 CH4
一、电介质的极化1 、电介质：（没有或只有极少量的自由电荷）
+ff
l+
pe
E
加上外电场后，在电场力作用下，介质分子正负电荷中心不再重合，出现诱导电偶极矩 . ep
2 、电介质的极化机理① 、无极分子 :
无外电场时，分子正负电荷中心重合，整个介质不带电。
位移极化
由于诱导电偶极矩的出现，在介质左右两个端面上出现极化电荷层。
+
E外
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
++
+++++
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
++
无外电场时，有极分子的电偶极矩取向不同，整个介质不带电。
② 、有极分子 :旋转极化（取向极化）
Ef
f
= e EM p ×
有外电场时，有极分子的固有电偶极矩要受到一个力矩作用。在此力矩作用下 ,使电偶极矩方向趋向于和外电场方向接近。
+pe
+
E外
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
++
+++++
转向后，在介质左右两端面上同样出现极化电荷
由于两种介质极化后宏观效果相同，故一般不加以区分
自由电荷的场强E0
E 介质中的合场强
极化电荷的场强E
EEE 0
EEE 0
++ ++ +'E
-'
0E
+0+ + + ++
-0
E
0
00E
0
E
0
00 EEE
实验和理论都可得到：r
0EE
0r
11
二、电介质中的电场（以平行板电容器为例）
真空 空气1.0001
橡胶 玻璃 纯水 变压器油
3.5 6 ~ 8 80 3
为介质的相对介电常数，是一个只与介质本身性质有关的无量纲的 1 的纯数
。
r其中
几种介质的相对介电常数
（称绝对介电常数）
r
0EE
适用条件：
各向同性的均匀电介质充满电场所在空间
则在本问题中，有：r0
0E
令 r0
适用条件？
0
结论普遍适用
！！0rCC 即：
U
qC
ldEU
三、极间充满均匀电介质的电容器的电容
仍以平板电容器为例，此时两极间电势差为：
Edr
0dE
d
r0
0
d
S
r0
0
0
d
S0r
1 、电容值
电容来进行测量的装置称电容传感器；而能将非电量转换成
2 、电容传感器（ 1 ）定义：
（ 2 ）分类：（ 3 ）举例：
能将非电量转换成电量来进行测量的装置称传感器；
介质型面积型、极距型、电容测厚仪、电容压力计、
液位（或粮位）的 测量等3 、电容器耐压值的实质
电容器超过耐压值的结果 电容器被击穿。微观实质 电容器不能容纳无限多电荷
故电容器耐压值是电容器容纳电荷极限的外在表现，一般耐压值高的电容器体积较大（为什么？）
r+ + +
σ
σ
+ + ++ +
σ
σ
00
S1
S
Sd
E
S1
0r0
0q 0 S S
r0 E Sd
由高斯定理可得：
S
四、电介质中的高斯定理以充满介质的平行板电容器为例
EED r0
令 称为电位移矢量
S
0qSdD
则有
此即为介质场中的高斯定理。它指出 : 通过闭合曲面的电位移通量，等于此闭
合曲面内所含的自由电荷的代数和。注 ①、 D 是一个辅助量，为方便应用而引入。
② 、 q0指曲面内所包围的自由电荷的代数和，与极化电荷无关。
、 D 由空间所有自由电荷共同产生。
无限长带电直线的电场中
真空中 介质中
r 2E
0
r 2D
2r 4
QD
五、电位移矢量与电场强度的比较 1 、 E 与 D 的比较
点电荷的电场中
真空中 介质中
20r 4
QE
2
r 0r 4
QE
2r 4
QD
r 2E
r 0
r 2D
电力线（ E 线）：源于一切正电荷，2 、电力线与电位移线的比较
终止于负的自由电荷起源于正的自由电荷电位移线（ D 线）：
电位移通量：通过某一面积的电位移线的条根数电通量：通过某一面积的电力线的根数
3 、电通量与电位移通量的比较
结论：电场强度 E 的数值，在不同的介质分界面上不连续，而电位移矢量 D 的数值, 在不同的介质分界面上具有连续性。
止于一切负电荷
A
B
+ + ++ +0
-0
1r
2r
d1
d2
E1
E2
① 、求 E
解：设极板的 自由电荷面
密度为 0
[ 例 1] 如图所示，无限大平板电容器，极板间充满两层各向同性均匀电介质。电介质的界面都平行于电容器极板，两层电介质的相对介电常数各为 r1 和 r2 ，厚度分别为 d1
和d2 。求此电容器的电容。
[ 方法一 ] 利用真空中场强结论求
0
00E
1r
0E
1E
1r0
0
；2r
02
EE
r0
0
1S
SdD
01D
2S
SdD
02 D
1
11
DE
[ 方法二 ] 利用介质中高斯定理求
11 SD 10 S
1r0
0
22 SD 20 S
2
22
DE
2r0
0
A
B
+ + ++ +0
-0
1r
2r
d1
d2
E1
E2
D1
D2S2
S1
2211
B
AdEdEldEU
③ 、求C
U
qC
)dd
(
S
2r
2
1r
1
0
② 、求 U
U
S0
R1
R2
R3
or1
r2
设电容器带电量为 q（使外球壳带负电） r
1S
SdD
2r4
qD
22r0
2 r4
qE
解：①、求 E （先求 D ）
[ 例 2] 半径分别为 R1 和 R3 的同心导体球面组成球形电容器，中间充满相对介电常数分别为 r1 和 r2 的两层各向同性均匀电介质，它们的分界面为一半径为 R2 的同心球面
。试求此电容器的电容
2r4D q
21r0
1 r4
qE
；
rdErdE3
2
2
1
R
R 2
R
R 1
ldEU3
1
R
R
③ 、求C
U
qC
② 、求 U
)]R
1
R
1(
1)
R
1
R
1(
1[
4
q
322r211r0
)R1
R1
(1
)R1
R1
(1
4
322r211r
0
空间叠加性 电场的物质性： 能量动量、质量、
++ +
+
++
++ +
+
+
+++Q
一、带电体系的能量
Q
0dq)q(UW
外力作功 体系带电
激发电场 电场能量
=？
§9.4 静电场的能量
电场的特殊性：
dqUdW )q(
t 时刻，两个极板的带电量分别为 +q(t) 、 - q(t) ，两极板间的电势差为 u(t) 。
U
qC
外力所作的功：
dqUdW )t(
在整个充电过程，外力所作的功：
Cqdq
1Q
0dWW 2CU
2
1
二、电容器的储能
)t(
)t(
U
q
dqC
q )t(
C
Q
2
1 2
QU2
1
KE R
C
dq+
C
-+
C
-+
-+
C
-+
-+
+ -
-q(t)+q(t)u(t)
-+
-+
+ -
+ -C
-+
-+
+ -
+ -C
+ -
-++Q -Q
U
U=Edd
SC
2)Ed(d
S
2
1 VE2
21
E
电容器的充电过程，也即电容器两极板间建立电场的过程，
C
Q
2
1W
2
-+
-+
+ -
+ -C
+ -
-++Q -Q
U
d
三、电场的能量
2CU2
1 QU
2
1
2CU2
1W SdE
2
1 2
外力克服静电场力所作的功转化为电容器的储能，故电容器储存能量为 S
V edVW
其中 ,V指电场占据的空间范围
电场的能量为：
221 E
VW
e
能量密度：
ED21
eDE
21
dVDE2
1V
-Q
R1
R3
o+Q R1
R3
o
r2
r1
+Q
R2
它们的分界面为一半
[ 例 1] 如图，两个半径分别为 R1 和 R3 的同心导体球面，带电量分别为 +Q 、 -Q ，其中间充满相对介电常数分别为 r1 和 r2 的两层各向同性均匀电介质，径为 R2 的同心球面。求此带电体系产生电场的能量。
分析电场分布，求 E 。解：选取球形高斯面，
2r4
QD
r
S1
Qr4DSdD 2
S1
则
21r0 r4
Q1E
22r0 r4
Q2E
12
11
EDe
R1
R2
R3
or1
r2
-Q
+Q1
2
r
S1
12
1DE 4
102
2
32 r
Q
r
22 2
1EDe
22
1DE 4
202
2
32 r
Q
r
ED r0
V
edVW
drrr
QW
R
Rr
24
102
2
432
2
1
drr4dV 2
21 V
2eV
1e dVdV R1
R2
R3
or1
r2
-Q
+Q1
2
)11
(8
)11
(8 3220
2
2110
2
RR
Q
RR
Q
rr
drrr
QR
Rr
24
202
2
432
3
2
另法：将此带电体系看成两个球形电容器的串联
C
QW
2
2
1
)11
(
4
21
101
RR
C r
21
111CCC
)()(3220
2
2110
211
811
8 RRQ
RRQ
rrW
R1
R2
R3
or1
r2
-Q
+Q1
2
)11
(
4
32
202
RR
C r
20 4r
qE
写出能量密度 e
DEe 2
1
求整个电场的场强
aq
r
dr
aq
解：分析电场分布，求 E
[ 例 2] 求一半径为 a 、带电量为 q 的孤立金属球产生的电场的能量 .
22
00 )
4(
2
1
r
q
V
edVW drrr
qa
222
00 4)
4(
2
1
a
q
0
2
8
1r+ + ++ +0
2r-0
d1
d2
A
B
021 DD
1
11 D
E 10
0
r
2
22
DE
20
0
r
两层介质中解：
[ 例 3] 有一无限大平板电容器，极板间充满两层各向同性均匀电介质。电介质的界面都平行于电容器极板，两层电介质的相对
介求此电容器储存的能量。
电常数各为 r1 和 r2 ，厚度分别为 d1 和 d2 。
2211 VVW ee
111 2
1EDe
222 2
1EDe
10
20
2 r
20
20
2 r
220
20
110
20
22SdSd
rr
)(2 2
2
1
1
0
20
rr
ddS
