谷曼丹

13.9 正方形

菱形

矩形

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

定义：

正方形的特征：1. 它是平行四边形2. 它有一组邻边相等

3. 有一个角是直角

正方形

一组邻边相等

一个角是直角

正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理 2

正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

正方形具备哪些一般菱形或矩形所没有的性质？

对边相等且平行四条边都相等

四条边都相等

四个角都是直角

对角相等

四个角都是直角

对角线相等互相平分

对角线互相垂直和平分 ,并且每一条对角线平分每一组对角

对角线相等且互相垂直和平分 , 并且每一条对角线平分每一组对角

边 角 对角线

矩形

菱形

正方形

矩形 ,菱形 ,正方形性质比较表

平行四边形，正方形，矩形和正方形各集合之间的关系如图：

矩形集合菱形集合

正方形集合

平行四边形集合

练习

判断题（ 1）正方形既是平行四边形，又是矩形，也是菱形。（ 2）正方形的每条对角线相等，且互相垂直。（ 3）正方形的每一条对角线平分一组对角。

（ 4）一组邻边相等，且两条对角线相等的平行四边形是正方形。

（ 5）两条对角线相等，且互相垂直的四边形是正方形。

选择题：

1. 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是 ( )

(A)平行四边形 ,但不是矩形 (B)矩形但不是菱形

(C)菱形但不是矩形 (D)正方形

D

2. 下列命题为真命题的是 ( )

(A)四边相等的四边形是正方形 .

(B)四角相等的四边形是正方形 .

(C)对角线相等的菱形是正方形

(D)对角线相等且平分的四边形是正方形 .

.

C

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 .

例 求证 :

分析 :(1) 如何利用正方形的基本性质证明 OAB 是等腰直角三角形 ?(2) 如何证明 OAB≌OBC?边角边

正方形 ABCD AC=BD,ACBDOA=OC,OB=OD

OA=OB

AOB=90°

OAB 是等腰直角三角形同理 , OBC,OCD, ODA 都是等腰直角三角

形

证明 :

A

B C

D

O

已知 : 如图 , 正方形 ABCD, 对角线

AC,BD 交于点 O. 求证 :OAB,OBC,

OCD, ODA 都是等腰直角三角形 ,

且 OAB OBC OCD ODA

例 :已知 :如图 ,正方形 ABCD的对角线交于点 O,E是 OA上任一点 CFBE于 F,CF交 DB于 G

求证 :OE=OGA

B C

D

O

EF

G

分析 :(1) 注意观察 OE 和 OG 所在的位置 , 用什么方法证明这两线段相等 ?判定三角形全等(2) 如何证明三角形全等 ? AAS

(3) 证明三角形全等 , 主要用正方形的什么性质 ? 对角线的性质

证明 :正方形 ABCD的对角线交于点O

OC=OD

ACBDCFBE

OCG= FCE

EDC= OCE

OE=OGRtOEC RtODG

练习 1: 如图 , 分别以 ABC 的边 AB,AC 为以边画正方形

AEDB 和正方形 ACFG, 连接 CE,BG.

求证 :BG=CE

E

D

B C

A

F

G

练习 2:在正方形 ABCD中 ,G 为 CD上任意一点 , 以 CG为一边画正方形 CEFG.

求证 :BG=DE

A

B

D

C E

FG

O

A

B C

D

正方形的定义 :有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形

正方形性质定理 1

正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理 2

正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

想一想

把一个长方形纸片按图 (1),(2) 那样折叠 ,就可以裁出正方形纸片 ,为什么 ?

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