数学物理方法概论

数学物理方法概论数学物理方法概论之——（格林函数）（格林函数）

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第四章格林函数

格林函数在电磁场理论中有广泛的应用，本节将在线性空间的框架下，建立格林函数的定义和应用分析。

事实上，希尔伯特空间中的 S-L 系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。

1 、点源函数法回顾；2 、格林函数的引入；3 、格林函数与函数；4 、一维格林函数；5 、三维格林函数；6 、格林函数在电磁学中的应用；7、并矢格林函数

第四章格林函数

§4.1 点源函数法回顾 §4 格林函数

经典的格林函数方法在力学、电磁场理论中有广泛的应用。从点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源等），根据叠加原理，通过点源场的有限积分来得到任意源的场。这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函数法，又称为点源函数法或影响函数法。

§4 格林函数

4.1.1 格林函数法的回顾

首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加，利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。回顾内容包括：

1 、点源函数的性质； 2 、格林函数的一般求法（电像法）等；3 、格林函数求解边值问题的途径。

§4.1 点源函数法回顾

§4 格林函数例如：空间中，静电荷产生的电势问题，

M

O

X

Y

Z

,M

r

0r

0r r

电荷源电荷密度M

空间 M 处的电势满足泊松方程：

2u

实际上：由静电学可知，位于点的单位正电荷在 r 处的电势为0r

00

1 1( , )

4 | |G r r

r r


§4 格林函数

00 0

0

( )( ) ( , ) ( )

4 | |V V

ru r dV G r r r dV

r r

表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得：

1 ）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场—即格林函数（或称点源函数，影响函数）2 ）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般源的场—即通过有限积分表示原问题的解。

—— 格林函数法（点源法）

根据迭加原理，任意电荷分布的电势为：


§4 格林函数

从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是：1 ）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界条件的局限），2 ）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题；3 ）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换为关键是求解点源的相对简单的问题。


§4 格林函数 4.1.2 函数


§4 格林函数

0 0( )

0

xx

x

( ) 1x dx

2 、定义 —— 函数

更普遍的定义为


§4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾


§4 格林函数

3 、三维函数0

00

0, ( )

,

M MM M

M M

0( ) 1M M dv

0 0 0 0( ) ( , , )M M x x y y z z 其中为三维函数

0 0 0 0 0 0( , , ) ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z 且具有性质：

这表明，高维函数等于一维情况的乘积，由此，高维函数也具有一维函数的所有的性质。


§4 格林函数

1

00 0 0

0

( )4 [ ( )] , ( ) 0

| ( ) |

6 ( ) 0; ( ) ( )

0 x<x8 ) ( )

17 ( ) ( ); ( ) ( )

, ( )1

( ) ( )| |

9

x>x

1

ki

ii i

x xx x x

x

x x

ax x x

x x x

dx

x a a x

x H x x H

a

x xx

a

d

5、函数是偶函数，函数是奇函数

、

、函数的

、其中是的单

付氏变

根

、（

换为

、

，拉氏变换也为1。


§4 格林函数

其中，为不同时为零的常数。为了得到定解问题 (1)(2)


4.1.3 泊松方程的边值问题

, 的解的积分表达式，首先引入格林公式

一、泊松方程的基本形式

( , , ) ( , , )

( )

u x y z v x y z

u v d u v d

u vd u vd

设函数和在区域直到边界上具有连续一阶导数，而在中具有连续的二阶导数，则由高斯

格林

公式有：

第一公式


二、格林公式

此式称为

化为体积分

( ) ( )

( ) ( )

v u d v ud v ud

u v v u d u v v u d

v uu v d u v v u d

n n

两式相减，有

格

同

林

理有：

即：

第二公式


此式称为



三、积分公式——格林函数法目标：求解


由于

其中为 M与M0 之间的距离

(3)

2 2 20 0 0( ) ( ) ( )r x x y y z z


0

0 0

0

0 0

0 0

1 ( , ) ( ) (3)

, , ) ( ,

( , ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( , ) ( )

( ) ( )

[ )

)

1

( (

G M M u M

M x y z G M

G M M u M u M G

M M

M

M M

u M M M G M M h M

u GG u d G u u G d

n n

u M

（）得：

对（积分，注意以为奇点

（在挖去的小球体体积元）同时利用

第二格林函数，有

0 0) ( , ) ( )]M M G M M h M d

若能由此式化简整理得到 u(M), 则一定是方程（ 1 ）的解

这里 G 就相当于格林第二公式中的 v



0 0( ) ( ) ( , ) ( )u G

G u d u M G M M h M dn n

于是有：


负号来自内小球面的法向与矢径方向相反


注意到格林函数的对称性：0 0( , ) ( , )G M M G M M

上式的物理意义很难解释清楚，右边第一项， G(M,M0)代表 M0 点的点源在 M 点产生的场，而 h (M)代表的却是 M点的源。

将上式中的 G(M0,M)用 G(M,M0)代替且，将 M和M0 在公式中互换，可得


（ 4 ）

0

0 00

,d

M Mn

0其中，d 分别表示在区域中体分布源和面分布源

内对取体积元和面积元。表示对求导。

0 0 0

0 0 0 0 00 0

( ) ( , ) ( )

( , ) ( ) ( , )

u M G M M h M d

uG M M d u M G M M d

n n


0 0 0

0 0 0 0 00 0

( ) ( , ) ( )

( , ) ( ) ( , )

u M G M M h M d

uG M M d u M G M M d

n n

物理意义：（ 1 ）右边第一项积分代表在积分区域中体分布源 h(M0)在M 点产生的场的总和；（ 2 ）右边第二、三积分项则是边界上的源所产生的场。这两种影响都是由同一格林函数给出的。

上式给出了泊松方程解的积分表达，但由于 G(M,M0)未知且不同边值条件也需做进一步的分析。


2 、泊松方程边值问题的积分公式(A) 第一类边界条件 0

1( ) ( )u g M f M

基本公式变为

0 0 0 0 0 00

( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )u M G M M h M d f M G M M dn

由

边界条件变为

只要 G(M,M0) ，满足定解问题，则上式 u (M) 就都为已知量表示

0 0

0

( , ) ( ),

( , ) 0

G M M M M M

G M M

G(M,M0) 所构成的定解问题即

下式称为泊松方程的狄氏问题 ( ),

( )

u h M M

u f M

满足狄氏问题的格林函数，简称为狄氏格林函数。


0 0 0 0 0 00

( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )u M G M M h M d f M G M M dn

——狄氏积分公式

0

基本积分公式变为


0 0 0 0 0 0

1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )u M G M M h M d G M M g M d

(B) 第二类边界条件

1( )

ug M

n

由

边界条件变为

但此式不存在，因为在第二类0 0( , ) ( )G M M M M

齐次边界条件下无解。0G

n

表示在边界上是绝热的，由于边界绝热，从点源出来的


从物理上看，其意义十分明显。方程可看成稳定的热传导方程在 M0 点有一个点热源，而边界条件

热量，会使体积内的温度不断升高，而不可能达到稳定状态。

0 0( , ) ( )G M M M M

显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程

0G

n

0 0( , ) ( )G M M M M 使之与边界条件相容，0G

n

这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。


0, 0

代入基本积分公式，得

0 0 0 0 0 0

1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )u M G M M h M d G M M g M d

(C) 第三类边界条件

0 0( , ) ( , ) 0G M M G M Mn

若要求 G(M,M0) 满足第三类的齐次边界，即

则当 G(M,M0) 乘，以 u(M) 乘上式再相减，得

0 0 0

1( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )

uG M M u M G M M G M M g M

n n

§4.1 点源函数法回顾 §4 格林函数由上面的讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程

( ),u h M M

可以先在相应的同类齐次边界条件下解格林函数所满足的方程

0 0( , ) ( )G M M M M

再通过基本积分公式得到 u (M) 。

1) 格林函数的定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且边界条件又是齐次的，因此求解相对容易。2) 且不同泊松方程的非齐次项 h(M) 和边界条件中的不同 g(M) ，只要属于同类边值问题，函数 G(M,M0)都相同。这就将泊松方程的边值问题化为几种类型边界条件下求解格林函数的问题。


4.1.4 格林函数的一般求法一、无界空间的格林函数基本解

0 0( )G r r

1 0G G G

1 0G

从前讨论可知，确定了 G ，就能利用积分表达式求得泊松方程边值问题的解。但一般求解 G ，并非易事。只有某些特殊情况下，比较容易求出。无界区域的格林函数 G0, 又称为相应方程的基本解。

将一般边值问题的格林函数 G 分为：

对于三维泊松方程，基本解 G0 满足

G1 则满足相应的齐次方程 (拉普拉斯方程 )

它描述的是点的点源在无界空间产生的稳定场。以静电场为例，它描述在点电量为的点电荷在无界空间中所产生电场在点的电势，即

§4.1 点源函数法回顾 §4 格林函数及相应的边界条件，例如在第一边值问题中，

0 0( )G G G G

0r

0G

从而有

拉普拉斯方程的边值问题的求解是熟知的，至于方程

类似的对于二维泊松方程，可用平面极坐标求得其基本解G0 满足

0 0( )G r r

00

1

4G

r r

0r

0r

00

1 1ln

2G

r r

在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。因此，球内电势应为球内电荷直接产生的电势与感应电荷所产生的电势之和。可将 G写为

边界条件为


此处 G 便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知

0G 球面

0 0( )M r

考虑物理问题，设有一接地导体球内的点放置一电量为的点电荷。则球内电势满足泊松方程

0( )G r r

0

0 1G G G

二、用电像法求格林函数

其中 G0 是不考虑球面边界影响的电势， G1 是感应电荷引起的

G1 则可以由及上式的边界条件用分离变量法得到。

以及边界条件


这样 G0 就是基本解，

1 0 0G G G G 球面球面球面

由前面的讨论可知， G0 满足

从而 G1 满足0 0( )G r r

1 0G

但这样得到的解往往是无穷级数。以下介绍另一种方法即电像法，用电像法可以得到有限形式的解。

00

1

4G

r r

1 0G

电像法的基本思想：用一设想的等效点电荷来代替所有的感应电荷，于是可求得G1 的类似于 G0 的有限形式的解。显然，这一等效的点电荷不能位于球内，因为感应电荷在球内的场满足即球内是无源的。又根据对称性，这个等效电荷必位于 OM0 的延长线上的某点 M1 ，记等效电荷的电量为 q ，其在空间任意点M 引起的电势为


0 1OPM OM P 0 1: :r a a r

1 0G

1 10 1

( , )4

qG r r

r r

若将场点取在球面 P 点，则若

P

O0r

M1M

0M

a 1r

则相似，从而


0 0/q a r

0 1 0

1 1 1 1: :

r r r r r a

球面上球面上

因此若取，则球面上的总电势为

P

O0r

M1M

0M

a 1r正好满足

1

0 0 1 1 0 0

1 1 10

4 4 4

r ra a

r r r r r r r r r r

0G 球面

这个设想的位于 M1 点的等效点电荷称为M0 点点电荷的电像。这样，球内任一点的总电势是

00 0 1

1 1( , )

4 4

aG r r

r r r r r

2 21 0 0r a r r其中

4.2.1 格林函数的引入

在希尔伯特空间中的 S-L 系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，可将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。

注意到积分算子方程：

0( ) ( )Kf x y x y 其中 K 是积分算子，如果定义为

§4.2 格林函数的引入 §4 格林函数

( ) ( ) ( )b

aKf x i x x f x dx

而是一个积分算子的核，当这个核来自于包含微分算子方程的解时，被称为微分算子在相应边界条件下的格林函数，记为：

( )i x x

1( , ) ( )G x x i x x 它是服从边界条件的系统相对应于的格林函数。为赫维赛函数：

0( )y a y ( )dy

i f xdx

1, 0( )

0, 0

xx

x

由此，根据微分积分方程的关系，可以引入格林函数，事实上，可以仿照以上方法，构造不同边界条件下的格林函数。


例：方程2

2( )

d yf x

dx

下的解为

0 0( ) , ( )y a y y a y

0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x

a

b

a

y x y y x a x x f x dx

y y x a x x x x f x dx

因此，可以引入格林函数

2 ( , ) ( ) ( )G x x x x x x

作为算子在本问题边界条件下的格林函数。 2

2

d

dx

§4.2 格林函数的引入 §4 格林函数在边界条件

同样这个方程，改变边界条件为时 0 1(0) , (1)y y y y 方程的解为

1

0 1 0 0

1

0

( ) ( ) (1 ) ( )

( ) ( ) ( )

y x y y y x x x f x dx

x x x x f x dx

因此，根据格林函数的定义有

3( , ) (1 ) ( ) ( )G x x x x x x x x

即：

3

(1 ), 0( , )

(1 ), 1

x x x xG x x

x x x x


可见： 1 、边界条件对格林函数的形式影响很大；2 、格林函数的对称性与边界条件有关，后一个边界下是对称的，满足 ( , ) ( , )G x x G x x

事实上，格林函数的对称性与算子的厄米性密切相关。

4.2.2 格林函数的对称性

若算子 L 对任意函数 f 和 g 有

( , ) ( , )Lf g f Lg

则 L 是对称的，即自伴算子。

在给定边界条件下，正因为微分算子的对称性，格林函数也具有对称性。


4.2.3 微分方程与积分方程

2

2( )

d yf x

dx

0 1 0

1

30

( ) ( )

( , ) [ , ( )]

y x y y y x

G x x f x y x dx

( )dy

i f xdx

1( ) ( , ) [ , ( )]x

ay x G x x f x y x dx

[0,1]x显然，在，通过格林函数，可以把微分方程转化为积分方程，从而使问题简化。这种作用是通过将微分算子转化为以格林函数为核的平方可积的积分算子，这种平方可积类型的核具有许多很好的性质，可以把任何有界函数的无穷序列变成一个包含有平均收敛子序列的序列，容易和矩阵理论相结合，使问题容易求解。


2

2( , )

d yf x y

dx

1

0( ) ( , ) [ , ( )]y x G x x f x y x dx

( , )dy

i f x ydx

[0,1]x

0 1(0) , (1)y y y y

§4.2 格林函数的引入 §4 格林函数若需求解

它不能直接积分求解，在此意义下它才是真正的微分方程。

[0,1]x

积分号下包含有未知函数的方程称为——积分方程

类似的，对

其中可得相应的积分方程1

0 1 0 30( ) ( ) ( , ) [ , ( )]y x y y y G x x f x y x dx

设有算子方程 Ly f

不妨设 L 具有一个正交完备的本征函数集合，即有 ( )n x

( ) ( )n n nL x x 则将解 y 和已知函数 f 都表示为

1

( ) ( )n nn

y x x

1

( ) ( )n nn

f x x

代入算子方程，有

1 、格林函数的本征表述

§4.3 格林函数与函数 §4 格林函数

1 1 1

( ) ( ) ( )n n n n n n nn n n

Ly L x x f x

即

1

( ) ( ) 0n n n nn

x

由于线性无关，因此 n

n n n

所以 1

( ) ( )n n nn

y x x

注意，这里的，并且假设对所有的 n 有( , )n n f 0n

§4 格林函数 §4.3 格林函数与函数

可得：

1 1

1

1 1( ) ( )( , ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( , ) ( )

n n n nn nn n

n n

n n

y x x f x f x dx

x xf x G x x f x dxdx

因此格林函数的本征函数表达式为

1

( ) ( )( , ) n n

n n

x xG x x

是实数，算子 L 是厄米的，则格林函数是对称的。n


例：求在区间 [0,1] 内，算子 2

2, [0,1]

dL x

dx

对应的格林函数的本征函数表示。

解： L 的端点值为零的归一化的本征函数是

( ) 2 sin , 1, 2,n x n x n

本征值是 2 2n n 故格林函数为

2 21

2 sin sin( , )

n

n x n xG x x

n

它一致收敛于一个连续函数，即前边所给的 3G


2 、格林函数与函数进一步，把 L 作用到 G 上，

1 1

( ) ( )

1

( ) ( ) ( ) ( )( , )

( ) ( ) ( , )n n n

n n n n

n nn n

L x xn n

n

x x L x xLG x x L

x x I x x

注意到，对任意函数 f (x) 有

1 1

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , )n n n nn n

I x x f x dx x x f x dx x f

而是一个正交归一完备集合，右端就是 f(x) 的本征函数展开，因此有

n


( , ) ( ) ( )I x x f x dx f x 因此 I 具有函数的性质，从而得到

( , ) ( )LG x x x x

这正是我们预期的结果。至此，格林函数表示方程的解为

( ) ( , ) ( )y x G x x f x dx

对 Ly f边界条件

有

其中是对应齐次方程的通解，常数项由边界条件确定。 0Ly


设一般的二阶线性微分算子为 2

0 1 22( ) ( ) ( )

d dL f t f t f t

dt dt

对齐次方程： ( ) 0Lx t

的两个线性无关的解为，我们希望求解方程 1 2( ) ( )x t x t和

( , ) ( )LG t t t t

比较上两个方程可以看到，除了外， G必须满足方程，因此，对， G 应该是方程（ 1 ）的两个解的线性组合，对类似。于是我们得到

t tt tt t

（ 1 ）

（ 2 ）

§4 格林函数 §4.4 一维格林函数

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ), ( , )

( ) ( ),

a x t a x t t tG t t

b x t b x t t t

而在处， G必须连续，因为如果它不连续，就包含一个函数，因此就应包含函数的导数，但是（ 2 ）式中只有一个函数，所以 G 是连续的。

t t dG dt22d G dt

但是是不连续的，而且我们可以从（ 2 ）式两边从从到进行积分来确定它的跃度。即把（ 2 ）式两边积分

dG dt

t t t t

（ 3 ）



2

0 12

2

( , ) ( , )( ) ( )

( ) ( , ) 1

t t

t t

t

t

d G t t dG t tf t dt f t dt

dt dt

f t G t t dt

假设连续，由考虑到很小，这些函数在积分范围内的变化可以忽略（即提到积分号外），用它们在处的值替代，再化简，得到 G 的导数在的跃度为：

t tt t

0 1 2, ,f f f

0

( , ) ( , ) 1

( )t t t t

dG t t dG t t

dt dt f t

（ 4 ）

利用 G 在处的连续性，加上（ 4 ）式，可得 t t

21 1

0

( )

( ) ( )

x ta b

f t W t

1

2 20

( )

( ) ( )

x ta b

f t W t

，

其中 W 是朗斯基行列式，它是

1 21 2 1 2

1 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t x tW t x t x t x t x t

x t x t

因此， G 可以表示为：


1 2 1 21 1 2 2

0

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,

( ) ( )( , )

( ) ( ),

x t x t x t x tb x t b x t t t

f t W tG t t

b x t b x t t t

可以证明总不为零，可以通过边界条件确定，格林函数的最终形式与边界条件的类型有很强的依赖关系。如果边界条件是各种单点型，则要求，格林函数可表示为：

0 ( ) ( )f t W t

1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( )

( ) ( )

x t x t x t x tG t t t t

f t W t

1 2,b b

1 2 0b b


而由格林函数表示的解为

01 2( ) ( ) ( ) ( , ) ( )

t

tx t Ax t Bx t G t t F t dt

其中为初始时刻，当我们用单点边界条件时，可以把积分项看作不存在一样来确定 A和 B.

0 0 0 0( ) , ( )x t x x t x

对于边界条件是两端点型时，如

0 0 1 1( ) , ( )x t x x t x

同样可以把解写成（ 5 ）式，只是恰当选择 G 中的，使

（ 5 ）

0 1( , ) 0 ( , )G t t G t t

1 2,b b

从而再由解（ 5 ）式确定 A和 B 的值。


那么对非齐次微分方程，如

( ) ( , )Lx t f t x

它能够被写成积分方程的形式

( ) ( ) ( , ) [ , ( )]x

ax t t G t t f t x t dt

其中是齐次方程满足边界条件的解的线性组合， G是 L 满足相应边界条件的格林函数。

( )t ( ) 0Lx t


例：算子

在给定两点边界条件下的格林函数：

2202

dL w

dt

1 0 2 0( ) sin , ( ) cosx t w t x t w t


解：因为

1 2 1 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )W t x t x t x t x t w 而：

0 1f

从而 0

1 0 2 00

1 0 2 0

sin ( )sin cos ,

( , )

sin cos ,

w t tb w t b w t t t

wG t t

b w t b w t t t

为了方便，把端点。由得 0 10, 1t t (0, ) 0G t 2 0b


又由得(1, ) 0G t

1 0 00

1sin sin (1 ) 0b w w t

w

所以： 1 0 0 0

0 0

1 1sin cosb ctgw w t w t

w w

代入 G 的表达式，得

0 0 0 00

0 0 0 00

1[ sin cos ]sin ,

( , )1

[ sin cos ]sin ,

ctgw w t w t w t t tw

G t t

ctgw w t w t w t t tw

可见边界条件影响格林函数的结果。

对比单点边界条件（经典力学）的格林函数 (5.35a) 为

0

0

sin ( )( , ) ( )

w t tG t t t t

w

在三维情况下，研究算子 2

0H

其中是拉普拉斯算子，2 2

2

0,

2

k

mE

拉普拉斯方程或泊松方程

亥姆霍兹方程

薛定谔方程

事实上，三维算子方程计算格林函数的方法不同于一维的情况，我们作如下讨论：

对算子方程 0 ( ) ( )H r F r

（ 1 ）

§4 格林函数 §4.5 三维情况下的格林函数

假设式和的傅立叶变换存在

33 2

1( ) ( )

(2 )ik rF k e F r d r

33 2

1( ) ( )

(2 )ik rk e r d r

对（ 1 ）两边进行傅立叶变换，有

- 2 33 2

1( ) ( ) ( )

(2 )ik re r d r k F k

利用格林公式 2 2 3 ˆ( ) ( )

V S

F G G F d r F G G F nds

令 , ( )ik rF e G r 则有

（ 2 ）


( )r ( )F r

2 3 2 33 2 3 2

3 2

1 1[ ( ) ( )

(2 ) (2 )

1ˆ[ ( ) ( ) ]

(2 )

ik r ik r

V V

ik r ik r

S

e r d r r e d r

e r r e nds


积分域是整个三维空间，因此在计算表面积分时，我们把表面取成半径为 R 的球面，然后取 R趋于无穷的极限即可。此时正好是径向的单位矢，所以面积分项为

n̂

3 2

23 2

1ˆ[ ( ) ( ) ]

(2 )

1 ( )lim [ ( ) ]

(2 )

ik r ik r

S

ik r ik r

RS r R

e r r e nds

d r dR e r e d

dr dr

sind d d 其中

如果当时，足够快地趋于零，那么面积分将为趋于零，则有

2 3 2 3 23 2 3 2

1 1( ) ( ) ( )

(2 ) (2 )ik r ik r

V V

e r d r r e d r k k

其中

r

( )r

k k

，因此方程（ 2 ）变为


2( ) ( ) ( )k k F k

以下分两种情况考虑： 1. 的情况0

令，此时总不为零，有 2 2 2k

2 2

( )( )

F kk

k

所以3

3 2 2 2

1 ( )( ) ( )

(2 )ik rF k

r r e d kk

其中表示齐次方程解的任意线性组合。带入，写成由格林函数表示的解为

( )r

( )F k


2 20 ( ) ( ) 0H r r

3( ) ( ) ( , ) ( )r r G r r F r d r

其中格林函数( )

33 2 2

1( , )

(2 )

ik r reG r r d k

k

利用复变函数理论，得到

1( , )

4

r reG r r

r r

在实际物理问题中，经常要求 r 非常大时解 (3)仍有界，因此，解最终表示为

(3)


31( ) ( )

4

r rer F r d r

r r

( )r

（ 4 ）

在这种情况下，忽略 (5.49) 式中的面积分是合理的，

( ) /rr Ce r

当足够大，r

( )F r

因此，当足够大时，按指数形式下降。


( 源的分布 ) 下降得足够快 ( 有限 ) ，则

r

例：静电场的泊松方程 2 ( ) 4 ( )r r

解：

3( )( )

rr d r

r r

当足够大，，其中r

( ) /r Q r 3( )Q r d r

这个结果在我们的期盼之中，足够远距离处，可以把任何的电荷分部都看成是点电荷。


31( ) ( )

4

r rer F r d r

r r

在中令

给出

0

2. 的情况0

中当时为零。为了避开这个困难，我们假定是一个正实数和一个虚数之和，即

2( ) ( ) ( )k k F k 2k k

2( ) , 0q i

最后让，得到正常的结果。由 2( ) ( ) ( )k k F k

得2 2

( )( )

( )

F kk

k q i

采用和情况相同的处理步骤，得到 0

0


对它的处理要更细致些，因为现在

3( ) ( ) ( , ) ( )r r G r r F r d r

（ 5 ）


( )3

3 2 2

1( , )

(2 ) ( )

ik r reG r r d k

k q i

1( , )

4

iq r rr re

G r r er r

其中

由于插入了虚部，积分道路上没有了极点，可以像前边的情况继续进行下去，最后得

0

代回（ 5 ）式得 31

( ) ( ) ( )4

iq r rr re

r r e F r d rr r

其中，是齐次方程的解，它的形式( )r 2 2( ) ( ) 0q r

iq re


为

所以完全解为

33 2

1( ) ( )

(2 ) 4

iq r rr riq rA e

r e e F r d rr r

A, q 由初始条件确定。

例：求解薛定谔方程

22 2

2 2( ) ( ) ( )

mE mr V r r

在时的解。0E

解：这种情况正是上述情况，令，立刻得到波函数所满足的积分方程

0


33 2 2

( ) ( ) ( )(2 ) 2

i

i

iq r riq rA m e

r e V r r d rr r

其中，这是量子力学中散射问题的李普曼——许温格（ Lippmann—Schwinger ）方程。

22iq mE

在远区， ˆr r r n r

其中是径向单位矢量，分母上的 r r r n̂ 则

ˆ3

3 2 2( ) ( ) ( )

(2 ) 2

i i

i

iq r iq n riq rA m e e

r e V r r d rr r r


其中，则 ˆf iq q n

3 2( ) [ ( ) ]

(2 )

i

i

iq riq r s

f

A er e f q

r

称为散射振幅，它表示散射粒子流和入射流之比。( )sff q

令： 1 2ˆ 3

2

(2 )( ) ( ) ( )fiq n rs

f

mf q e V r r d r

A

1 、拉普拉斯方程在笛卡儿坐标系下的格林函数例：如图所示，一无限长矩形波导管，管壁接地，管内放一均匀细线电荷，求管内电势分布。

解：此问题可归结为 2

2 2 20 0 2

0 0

( ) ( ),

| | | | 0

t t

x x a y y b

G x x y yz

G G G G

这样的问题中，仍可用前边讨论的一维微分算子格林函数的思想，即把包含源的空间分为唯一的两个区域，而源只考虑一次。对本二维问题，可以按源的左边和右边划分，也可按源的上边和下边划分。结果相同。

x

y

z单位线源

O ,0,0a

0, ,0b

0 0, ,0x y

§4 格林函数 §4.6 格林函数在电磁学中的应用

(1) 在的区域，有 0y y2

1

1 0 1 1 0

0

| | | 0x x a y

G

G G G

代入上式得 1 ( ) ( )x yG G x G y

( ) / ( ) ( ) / ( ) 0x x y yG x G x G y G y 从而有：

2( ) / ( ) ( ) / ( ) (x x y yG x G x G y G y a 常数）

注意到上边界条件，得解为


令

注意到上边界条件上式化为

1m=1

sin shm

m x m yG C

a a


0

0

| | 0x x

x x x x a

G G

G G

相应的本征函数为 sin x

本征值为 m

a

故考虑了边界条件的方程的解为

(2) 在的区域，有 0y y2

2

2 0 2 2

0

| | | 0x x a y b

G

G G G

其解为： 2

m=1

( )sin shm

m x m b yG D

a a

(3) 由 , 处的 G 的性质确定系数和： 0y y

由 G 的连续性（即电势的连续性）：

0 01 2| |y y y yG G


mDmC

即： 0 0

m=1

( )[ sh sh ]sin 0m m

m y m b y m xC D

a a a

由三角函数的正交性，得0 0( )

sh sh 0m m

m y m b yC D

a a

(a)

下边讨论 G 对 y 的导数在源处的跃度

1

sin ym

m xG G

a

0

0

sh ,

( )sh ,

m

y

m

m yC y y

aGm b y

D y ya

其中：


令：

把 G 代入原微分方程 20 0( ) ( )tG x x y y 得

22

0 021

[ ( ) ]sin ( ) ( )ym

m d m xG x x y y

a dy a

两边乘以，并在 [0,a] 上积分，由正交性得 sinm x

dxa

22 0

02

2[ ( ) ] sin ( )y

m xd mG y y

dy a a a

这就是所满足的常微分方程，由前边讨论的跃度公式

yG

0

( , ) ( , ) 1

( )t t t t

dG t t dG t t

dt dt f t


可得 0 0

02siny y

y y y y

dG dG m x

dy dy a a

即： 0 0 0( ) 2

ch ch sinm m

m y m b y m xC D

a a m a

结合 0 0( )sh sh 0m m

m y m b yC D

a a

可得

0 0( )sin sh2

=sh

m

m x m b y

a aCm bma


0 0sin sh2=

shm

m x m y

a aDm bma

最后可得格林函数为

1 0 0

0 00

m=1

( , ; , )

( )2 1sin sin sh sh ,

sh

G x x y y

m x m b ym x m yy y

m bm a a a aa

2 0 0 1 0 0 0( , ; , ) ( , ; , ),G x x y y G x x y y y y


或0 0 1 0 2 0( , ; , ) ( ) ( )G x x y y G y y G y y

y

x

z

O

单位点源0 0 0( , , )P z

, ,a l

2 、拉普拉斯方程在柱面坐标系下的格林函数例 : 如右图所示，求接地的圆柱形导电匣内的电位问题，匣内的一个单位源在点上。 0 0 0( , , )P z

解：格林函数满足的方程是

2 0 0 0

0

( ) ( ) ( )

0a z z l

z zG

G G G

类似上例，把圆柱导电匣内分成两个区域：

0 0z z z z 和

（ 1 ）


(1) 在区域 0z z2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

1 1 0

1 10

0a z

G G G G

z

G G

用分离变量法可求得其解为

1 00 1

cos shmn mnmn m

m n

zG A J m

a a

其中是的第 n 个根。 mn 0mJ x

(2) 在区域 0z z

2 0

0 1

cos sh mnmnmn m

m n

l zG B J m

a a


(3) 在处 G 的性质决定系数。由 G 的连续性 0z z ,mn mnA B

0 02 1z z z zG G

00sh sh mnmnmn mn

l zzA B

a a

得：

0 1m n z

m n

G G G G

令：

其中：

0

0 0

cos

sh sh

m

mnn m

mnmnz mn mn

G m

G Ja

l zzG A z z B z z

a a


代入原方程（ 1 ），并化简得

2 2

0 20 1

0 0 0

cos

1( ) ( ) ( )

mn mnmn z

m n

dJ sh m G

a a dz

z z

将两边乘以并在和上对积分，并考虑正交性得 G z 满足：

0cosq qlJ a q d d [0, ]a [0, 2 ],

0

2 2

02 2 20 1

2

1

mnm

mnz

m m mn

Jd a

G z za dz a J

0

1 0

0 0m

m

m

其中从而


0 0

0

2 20 1

2

1

mnm

z zz z z z

m m mn

JdG dG adz dz a J

即：

0

002 2

0 1

2ch ch

1

mnm

mnmnmn mn

m m mn mn

Jl zz aa

A Ba a a J

联立前边得到的 00sh sh mnmn

mn mn

l zzA B

a a

,mn mnA B


可得系数

进而得

0

2 21 0 0 00 10 1

0

0

2, ; , ; ,

1

sh sh cos ,

sh

mn mnm m

mn m m mnm n

mnmn

mn

J Ja a

G z za J

zl z a

am

l

a


当时0z z

当时0z z

2 0 0 0 1 0 0 0 0, ; , ; , , ; , ; ,G z z G z z z z

由于所得格林函数解对所有的 a, l 值都成立，所以我们可以把所得结果推广而求得另外一些问题的格林函数。

推广 1 : 如果使 l 变成无穷大，则能够求出具有一端开路的一个半无穷长接地圆柱形匣的格林函数。这个问题还能够进一步推广以得到一个无限长接地圆柱的格林函数。这个问题的解是

0

2 21 0 0 00 10 1

0 0 0

1, ; , ; ,

1

cos exp ,

mn mnm m

mn m m mnm n

mn

J Ja a

G z za J

m a z z z z

2 0 0 0 1 0 0 0 0, ; , ; , , ; , ; ,G z z G z z z z


推广 2 : 若再使 a 变为无穷大，就得自由空间中的一个单位源在柱面坐标下的格林函数。此时格林函数的径向关系的傅立叶级数的表达式转化为一个傅立叶积分表达式，成为

0

1 2 0 000 0

1cos

2 1z z

m mm m

G G G m e J J d

式中用取代了并且使用了由的渐近式所得出的值。然而从静电学知道，柱面坐标下自由空间的格林函数是

mn a m mnJ

mn1

4G

R

其中 2 22 2 2 20 0 0 0 1 02 cosR z z z z

两者应该是完全一致的。


对于矢量方程，我们可以采用两种处理方法：一是标量分解；二是直接引入矢量格林函数（并矢格林函数）来求解，这种方法在电磁场问题中经常用到。

1 、用矢量势函数求解麦克斯韦方程：

已知麦克斯韦方程组的微分形式：

0

t

t

DH J

BE

B

D

对于时谐场在自由空间传播

0

0

0

0

/

i

i

E

H J E

E H

H

0

0

( , , ; ) Re[ ( , , ) ]i tx y z t x y z e

E E

D E

B H

§4 格林函数 §4.7 并矢格林函数

t

B A

AE

由此，引入矢量势 A 和标量势：

最终可得关于矢势 A及标势的方程：

及洛伦兹条件： 0 0 0

t

A

2 20

2 20/

k

k

A A J

2 20 0k


其中

解以上方程等于解四个标量亥姆霍兹方程，解可以由标量格林函数表示，即：

30 0( ) ( ) ( )G d A r J r r,r r

30

0

1( ) ( ) ( )G d

r r r,r r


这里，格林函数满足 2 2

0

| |

0

( ) ( ) ( )

( )4 | |

ik

k G

eG

r r

r,r r r

r,rr r

电场和磁场矢量可以由矢势 A 表示为

2

1( )i

k E A A

0

1

H A

对于远区场：及 r r 1k r r 或

ˆ

0 ,4

ikeG

r

r r r

r r

ˆ 30 0

4 4

ikr ikrike e

e dr r

r rA r J r r N

其中 ˆ 3ike d r rN J r r 代入 E、 H 的表达式忽略高阶项


0 0

0

4 4

1ˆ ˆ

4

ikr ikr

t t

ikr

t

i e ik e

r r

ike

r

E N N

H r N r E

得：

其中 ˆt rN N N r

代表相对于的横向分量 r̂

0 0 0/ 120

因此，远区场满足所谓自由空间的辐射条件

ˆlim 0r

r ik

E Er

H H


2 、并矢定义：并矢是由两个矢量的直积构成的，它定义为

D AB

一个并矢并无任何物理解释，其意义仅当它作用到其他矢量时才表现出来。

运算：（ 1 ）标量积：有前标量积和后表量积，作用的结果是一矢量

C D C A B B C A B A C

D C A B C B C A C B A


（ 2 ）转置： D BA 为 D 的转置，有：

D C C D

（ 3 ）矢量积：结果仍是并矢

D C A B C

C D = C A B

（ 4 ）并矢的分量形式 ˆ ˆ ˆx y zA A A A x y z

ˆ ˆ ˆx y zB B B B x y z

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

xx xy xz

D yx yy yz

zx zy zz


通常一个并矢具有九个分量。因此，有时也写成三个分量的形式，而每一分量为一矢量，即

ˆ ˆ ˆx y z D D x D y D z

ˆ ˆ ˆxx x y x z x xA B A B A B B D x y z A

ˆ ˆ ˆyx y y y z y yA B A B A B B D x y z A

ˆ ˆ ˆzx z y z z z zA B A B A B B D x y z A

即有： ˆ ˆ ˆ, ,x y z D x D D y D D z D


其中

（ 5 ）并矢的散度和旋度 ˆ ˆ ˆx y z D D x D y D z


ˆ ˆ ˆx y z D D x D y D z

（ 6 ）单位并矢：

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ I xx yy zz

A I I A A明显有：

( I 其中是标量函数）

3 、矢量格林函数对于自由空间的电磁辐射问题，我们已经知道场量分别满足下列方程


20

20

k i

k i

E r E r J r

H r H r J r

引入矢势和标势函数以后，可得场量为

2

0

11

1

ik

E r A r

H r A r

其中： 30 ,G d A r r r J r r

0 ,4

ikeG

r r

r rr r

而电磁场矢量 E、 H取决于源的分布。


由以上结果，我们引入矢量格林函数，然后再定义并矢格林函数。现在考虑这样一个源：位于处取向为 x 方向的无穷小电流源，其强度为，即

0

1

i

r

0

1ˆ

i

J r r r x

则由 A 的表达式得 : 0

1ˆ,G

iA r r r x

把这基本源产生的电场用来表示，则 0 ,x G r r

0 02

1ˆ, 1 ,x

k

G r r G r r x


它是下列方程的解

20 0

ˆ, ,x xk

G r r G r r r r x

对于远区满足辐射条件：

0 0ˆlim , , 0x x

rr ik

G r r r G r r

称为自由空间 x 方向点源的矢量格林函数，因此加上了上标 (x) 。

0xG

由于点源还可能指向 y 方向和 z 方向，因此我们还可以得到另外两个方向的自由空间的矢量格林函数，分别用表示，它们分别满足方程

0 0,y zG G


20 0

20 0

ˆ, ,

ˆ, ,

y y

z z

k

k z

G r r G r r r r y

G r r G r r r r

且：

0 02

0 02

1ˆ, 1 ,

1ˆ, 1 ,

y

z

G yk

G zk

r r G r r

r r G r r

并矢包含有三个矢量函数，因此很自然地想利用一个并矢函数来表示以上这三个各别的矢量格林函数

4 、并矢格林函数

0 0 0 0ˆ ˆ ˆ, , , ,x y z

G r r G r r x G r r y G r r z

称为自由空间的并矢格林函数，满足方程


20 0, ,k

G r r G r r I r r

并矢格林函数与标量格林函数的关系：

0 0 02 2

1 1, 1 , ,G G

k k

G r r r r I I r r

总之，一旦我们求得了并矢，同样地，任何电流分布所产生的场就能由关于的积分来表示

0 ( , )r r

G

三个矢量格林函数的辐射条件结合在一起，构成了并矢格林函数的辐射条件

0 0ˆlim , , 0r

r ik

G r r r G r r


0 ( , )r r

G

300( ) ( , ) ( )E r i r r J r d r

G

而和前面讨论的标量格林函数有密切的联系。引进并矢格林函数主要是求解矢量微分方程表述上的方便。

0 ( , )r r

G

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数学物理方法概论