教学目标：（ 1 ）了解二元二次方程、二元二次方程组的概念；

（ 2 ）掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程

组成的方程组的解法，会用代入消元法求这类方程

组的解；

(3) 会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两

个二元一次方程组成的方程组的解法。

重点：用代入、换元及因式分解法解方程组。

难点：解各类方程组时的变形技巧。

所需课时： 2 课时。

一元二次方程的根与系数的关系是什么？若方程 )0(02 acbxax 的两根

为 21, xx 那么，有：

a

bxx 21 a

cxx 21

复习旧知：

如何求作一个方程，使它的两根为 21, xx

0)( 21212 xxxxxx

复习旧知：

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组

一 . 复习 1 、什么叫做方程的元，什么叫做方程的次？ 2 、说出二元一次方程组的定义及二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组有几组解？ 3 、二元一次方程组的主要解法有哪几种？ 4 、说出二元一次方程组的解法和一元二次方程的解法 .

什么叫二元二次方程？

什么叫二元二次方程？

含有两个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，称为二元二次方程二元二次方程。

二 . 新课

关于关于 xx 、、 yy 的二元二次方程的一的二元二次方程的一般形式是：般形式是： axax22+bxy+cy+bxy+cy22+dx+ey+f=+dx+ey+f=00 其中，其中， axax22 、、 bxybxy 、、 cycy22 叫做叫做

方程的二次项，方程的二次项， dxdx 、、 eyey 叫做一次叫做一次项，项， ff 叫做常数项。叫做常数项。

二元二次方程的一般形式是什么？

二元二次方程的一般形式是什么？

1. a1. a 、、 bb 、、 cc 不全为不全为 00 ；；

2.2. 含含 xx 或或 yy 的项的系数不全为零。的项的系数不全为零。注注意意

例例 1. 1. 判断下列二元二次方程解的情况：判断下列二元二次方程解的情况：

（（ 11 ）） xx22+y+y22-4y=0-4y=0

（（ 22 ）） xx22+y+y22-4x-6y+13=0-4x-6y+13=0

（（ 33 ）） xx22+y+y22-2x+4y+10=0-2x+4y+10=0

xx22+(y+2)+(y+2)22=4=4 无数解无数解

(x-2)(x-2)22+(y-3)+(y-3)22=0=0 只有一个解只有一个解

(x-1)(x-1)22+(y+2)+(y+2)22= -5= -5 无解无解

与二元一次方程不同，二元二次方程的解可能有无穷多组解、只有一组解、或无解。

二元二次方程组的一般形式是：二元二次方程组的一般形式是：

其中一个方程的其中一个方程的二次项系数二次项系数不不全为零，另一个方程全为零，另一个方程未知数的系数未知数的系数不全为零。不全为零。

二元二次方程组有如下两种类型：二元二次方程组有如下两种类型：第一种类型第一种类型

(a(a 、、 bb 、、 cc 不全不全为零为零 ))(m(m 、、 nn 不全为不全为零）零）第二种类型第二种类型

(a(a11 、、 bb11 、、 cc11 不全为不全为零零 ))(a(a22 、、 bb22 、、 cc22 不全为不全为零零 ))

已知两个数的和是 7 ，积是 12 ，求这两个数

解法（ 1 ）：设这两个数分别是 x ， y ，得：

12

7

xy

yx

解法（ 2 ）：根据根与系数的关系可知， 这两数是方程

01272 xx 的两根。

例题 1 ：

例 2 ： 解下列方程组；

7

29)2(

12

8)1(

22

yx

yx

xy

yx

6

7)4(

18)(

9)3(

33

yx

yx

yxxy

xyyx

例 3. 解方程组： 3x-2y=3 xy=3{

例 4. 解方程组： {

26y

1

x

133

211

yx

选讲：解方程组：

81

2

331

yyx

yxy

x

练习：

k 取何值时，方程组 4x²-y²=16 ①

y=kx ②

（ 1 ）有两组不同的实数解？

（ 2 ）有两组相同的实数解？

（ 3 ）没有实数解？

{

思考：

若方程组

nxy

myx

3

2有两组不同的实数

解，求 m ， n 之间的应满足的关系。

四、小结

1 、解方程组的过程通常是用一连串一个比一个简单的同解方程组来依次代换，最后得到原方程组的解。

2 、并非所有的二元二次方程组都能解出，我们只学两类二元二次方程组的解法。

3 、有些二元二次方程组，虽然不属于第一类、第二类二元二次方程组，但经过转化，仍可用第一类或第二类二元二次方程组的解法。

五、作业：

思考题：思考题：

方程方程 xx22-y-y22=1990=1990 是否有整数解？是否有整数解？

若有，求出所有的整数解。若有，求出所有的整数解。

由一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程组成的方程组一、复习

1. 什么叫做二元二次方程？

2. 什么叫做二元二元二次方程？

3. 什么叫做二元二次方程组的解？

4. 上节学过的由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的最基本的解法是什么？

二、新课本节学习另一类二元二次方程组的解法，这一类方程组的特点是：

由一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程组成的方程组。

例 1 、解方程组： x²+y²=20

x²-5xy+6y²=0{

例 2 、解方程组： x²+2xy+y²=9

(x-y) ²-3(x-y)+2=0{

例 3 、解方程组： x ²-xy+y ²=21(x-y)

xy=20{例 4 、解方程组： x ²+3xy=28 xy+4y ²=8{

三、练习1 、把下列方程化为两个二元一次方程：（ 1 ） x²-3xy+2y²=0（ 2 ） x²-4xy+3y²=0（ 3 ） x²-6xy+9y²=16（ 4 ） 2x²-5xy=3y²（ 5 ） (x+y) ²-10=3(x+y)（ 6 ） x²-4xy+4y²=2x-4y+3

2 、解下列方程组：

（ 1 ） x²-3y²=2xy 4y-x²=0

（ 2 ） (x-2y-1)(x-2y+1)=0 (3x-2y+1)(2x+y-3)=0

（ 3 ） x²+2xy+y²=9 (x-y) ²-3(x-y)-10=0{

{

{

3 、已知方程组 x²-y²=0 ①

(x-a) ²+y²=0 ②

有实数解，求 a 的值。

{

4 、已知方程组 x²-(2K+1)y-4=0 ①

y=x-2 ②

⑴ 求证：无论 K 为何值时，此方程组总一定有实数解；

⑵ 设等腰△ ABC 的三边长分别为 a 、 b 、c ，其中 c=4 ，且 x=a x=b

y=a-2 y=b-2

是该方程组的两个解，求三角形 ABC 的周长。

{

{ {

四、小结

1. 本节的解法关键是先通过因式分解，把二元二次方程降次为两个二元一次方程。

2. 在用因式分解法解方程时，方程的一边必须是零，而方程的左边的因式分解，有时要求技巧较高，需要用换元等方法，尤其要注意二次齐次三项式 ax²+bxy+cy² 在 b²-4ac≥0 时，总可用求根公式法分解因式。

3. 有时需要对原方程组中的方程进行适当的加、减、乘，构造出一个能分解因式的二元二次方程，由此制造出一个与原方程组同解的方程组。

五、作业：