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用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa 1
2
:1 22a ,2212221212211 abxaaxaa
:2 12a ,1222221212112 abxaaxaa
，得两式相减消去 2x
一、二阶行列式的引入
;212221121122211 baabxaaaa ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ）（
时，当 021122211 aaaa 方程组的解为
，21122211
2122211
aaaa
baabx
）（3.
21122211
2112112
aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定.
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
)4(2221
1211
aa
aa
定义
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作
）所确定的二阶称为数表（表达式
即 .21122211
2221
1211aaaa
aa
aaD
11a 12a
22a12a
主对角线
副对角线
对角线法则
2211aa .2112aa
二阶行列式的计算
若记 ,2221
1211
aa
aaD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa对于二元线性方程组
系数行列式
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,2221
1211
aa
aaD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,222
121
1ab
abD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,2221
1211
aa
aaD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,222
121
1ab
abD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.221
111
2ba
baD
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
11
aa
aa
ab
ab
D
Dx
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
.
2221
1211
221
111
22
aa
aa
ba
ba
D
Dx
例1
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组
解12
23 D )4(3 ,07
11
2121
D ,14
12
1232 D ,21
D
Dx 1
1 ,27
14
D
Dx 2
2 .37
21
二、三阶行列式
定义
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有
记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
3231
2221
1211
aa
aa
aa
.312213332112322311 aaaaaaaaa
(1)沙路法
三阶行列式的计算
322113312312332211 aaaaaaaaa D
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D .列标
行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa
.322311 aaa
(2)对角线法则
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
322113 aaa312312 aaa
312213 aaa 332112 aaa
如果三元线性方程组
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ,0
利用三阶行列式求解三元线性方程组
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D 若记
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D 或
1
2
1
b
b
b
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D 记
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D 即
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D 得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D 得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D .
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D
则三元线性方程组的解为:
,11
D
Dx ,2
2D
Dx .3
3D
Dx
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D
2-43-
122-
4-21
D 计算三阶行列式例２
解 按对角线法则，有
D 4)2()4()3(12)2(21
)3(2)4()2()2(2411
24843264
.14
.0
94
32
111
2
x
x求解方程例3
解 方程左端
1229184322 xxxxD
,652 xx
解得由 052 xx
3.2 xx 或
例4 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
D 111 132
121 111 122 131
5 ,0
同理可得
110
311
122
1
D ,5
101
312
121
2
D ,10
011
112
221
3
D ,5
故方程组的解为:
,111
D
Dx ,22
2 D
Dx .13
3 D
Dx
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.
对角线法则二阶与三阶行列式的计算
.21122211
2221
1211aaaa
aa
aa
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
三、小结
思考题
使求一个二次多项式 ,xf
.283,32,01 fff
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
,2
cbxaxxf
由题意得 ,01 cbaf
,3242 cbaf ,28393 cbaf
得一个关于未知数 的线性方程组,cba ,,
又 ,020 D .20,60,40 321 DDD
得 ,21 DDa ,32 DDb 13 DDc
故所求多项式为
.1322 xxxf
