План

«КВАЗИПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ВЛИЯНИЯ

ДВИЖЕНИЯ ЯДРА НА ТОНКИЙ СДВИГ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ

ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ В ВЫСШИХ ПОРЯДКАХ ТЕОРИИ

ВОЗМУЩЕНИЙ»

Авторы: Бойкова Н.А., Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н.1), Фаустов Р.Н.2)

1) Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

2) Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН

Е-mail: [email protected], [email protected]

mailto:[email protected]





План

1. Введение.

2. Квазипотенциальный метод.

3. Перекрестный обмен кулоновскими фотонами.

4. Параллельный обмен кулоновскими фотонами.

5. Дополнительный поправки в обмен двумя

кулоновскими фотонами.

6. Выводы.

ВведениеЗадача двух тел, имеющая фундаментальное значение для

описания процессов взаимодействия, полностью не решена в релятивистской механике и квантовой теории поля. Водородоподобный атом наиболее доступен как теоретическому изучению, так прецизионным измерениям параметров на практике.

Благодаря использованию методов двухфотонной лазерной спектроскопии, интервал в атоме водорода [1] измерен с точностью до десятка Гц

Это позволяет с рекордной точностью определить значение такой фундаментальной величины, как постоянная Ридберга.

[1] M. Niering, R. Holzwarth, J. Reichert et al, Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. №.24. P.5496.

.Гц)46(103187413061466221 SS

SS 12

Атом водорода

Эксперимент M. Niering, R. Holzwarth, J. Reichert et al.

(2000)

v1S-2S=2 466 061 413 187 103(46) Гц

Теорияv1S-2S=2 466 061 413.6(1) МГц

232 P

9 9 1 0 М Г ц 212 S

1 0 5 8 М Г ц 212 P

2 4 6 6 Т Г ц

211 S

8 1 7 3 М Г ц

211 S и з т е о р и и Д и р а к а

Мюоний

Эксперимент Meyer, Bagaev et al. (1999)

v1S-2S=2 455 528 941.0(9.8) МГц

Теорияv1S-2S=2 455 528 934.9(0.3) МГц

Meyer V., Bagaev S. N., Baird P. E. G., et al. Phys. Rev. Lett. Vol. 84. (2000) P.1136.

232P

9875 МГц 212S

1047 МГц 212P

2455 ТГц

211S

Квазипотенциальный подходДля применения к расчету уровней энергии связанных

состояний квазипотенциальное уравнение

преобразуем к виду

где - квазипотенциал, энергия связи,

qdEVmpmpE EE332

222

12 )();,()2()( qqpp

.)();,]([)2()(2

3kin

32

qdEVVp

W EE qqpp

);,( EV qp ЕmmEmmEW 21С21

.11

2)()2();,(

222

211

43

kin

pp MmMm

pEV qpqp

,iipip mM ,22iip mp ,2,1i

В кулоновской калибровке в низшем приближении квазипотенциал равен

где ядра отвечают обмену одним кулоновским и одним поперечным фотоном соответственно, – кулоновский потенциал.

Поправки к уровням энергии определяются выражением

Расчет с точностью до четвертого порядка по константе тонкой структуры для атома водорода дает следующие результаты

Суммируя эти выражения, получаем тонкую структуру уровней энергии водородоподобных атомов и тонкий сдвиг с точностью до четвертого порядка по константе тонкой структуры α.

,)()( TCC KKV

)(и)( TC KK

C

).();,()()2( CC336

CC qqpp EVqpddVE

,2

12

)(21

4

СCCС

mmK

,)(21

24

СTС mmK

.8

15

8

5

21

244

СkinС mmV

Квазипотенциал через амплитуду рассеяния Т определяется следующим образом:

Амплитуду можно разложить в ряд по теории возмущений и с точностью до второго порядка теории возмущений, получаем

Ограничиваясь рассмотрением обменов двумя кулоновскими фотонами, получим

(1)

.)1( 1 FTTV

,2С1 VVV .С11 VV

, ,

))(()()()( CCCkinTCCkinCC KFVKKVE

.)()()())(( CCCCCC0CkinkinCkinCC KFKGKFVVVFK

Диаграммы перекрестного и параллельного обмена представляются в виде:

)k(k ,0

),( 022 q qEq

),( 011 ppEp

),( 000 qkp qkp

),( 011 qqEq

mn),( 022 p pEp

),( 002 qk kqE),( 011 ppEp m

),( 001 kp kpE

),( 001 kp kpE

),( 011 qqEq

),( 022 q qEq),( 022 p pEp

),( 0 kk

),( 0 kk

),( 002 kp kpEn

),( 000 qkp qkp

Определяя сдвиг и ограничиваясь рассмотрением обменов двумя кулоновскими фотонами, получаем

Поправка к сдвигу основного уровня энергии от двухфотонного перекрестного кулоновского обмена имеет вид:

(2)

Используем – приближение , тогда (3)

Выражение (3) совпадает с формулой (3.9) работы [2].

[2] Fulton T., Martin C. Phys. Rev. 1954. V.95, №3. P.811.

.)()( CCCCCC0CCСС KFKGKE

.)( ССССcr KE

)0()()2()( С33

С pp

.))(())((

1

)0(2 1212

2211

2121

2211

214

32

С

2crmax

mm

mm

mm

mm

k

kdE

kk

kk

kk

kk

kk

Перекрестный обмен

В квазипотенциальном подходе простейшему взаимодействию лестничного типа соответствует выражение для сдвига уровня энергии

(4)Или

(5)

Используем в выражении для сдвига уровня энергии (5) приближение больших компонент

Параллельный обмен

.0

1)(

pui

.)( СССС0ССpar FKGKE

.)()()()(

)()()()(

)()()()()()()()(

)()()()(

2

2211

21*2

*1

212211

21

2211

212121*2

*1

22

3

2222

3

2222

3

6

57par

mm

uuииIuu

mm

mmии

kd

q

qd

p

pdE

kkkk

kk

qqppqq

kk

kkkkkkpp

qkkp

А также преобразуем знаменатель и применим – приближение волновых функций

(6)

Учитывая выражение , получим

(7)Выражение (7) совпадает с формулой (3.6) работы [2].[2] Fulton T., Martin C. Phys. Rev. 1954. V.95, №3. P.811.

12211 )( mm kk

.))((2))(())((

2

2211

2211

2112

2211

2121

2211

214

3

2

35kinpar

mm

mm

mm

mm

mm

mm

k

kdE

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

СkinkinkinСkin FVVVE

.1

))((2))(())((

2

21

21

12

22

1

1

2

2

21

2

21

2211

2211

2112

2211

2121

2211

214

3

2

35par

kk

k

kk

k

kkkk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

M

M

M

Mmm

MM

k

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

k

kdE

Учитываем зависимость от внешних импульсов и в спинорах матричной структуры. Выпишем полное выражение для спиноров

(8)

Используем следующее приближение

(9)

а также замену . Для выделения полюсного слагаемого используем следующее преобразование

(10)

,1

2)(

ip

i

ip

ipi

M

Mu pp

.12

)(*

ip

i

ip

ipi M

Mu

pp

.0

1)(,

2

1)()( d

2

1

1d1

pppp u

muui

22 mk

Поправки к параллельному обмену

.2

1

)()(

)()()(

)()(

22

12

2

122

d11

d*1

3

2222

3

2222

3

6

57kinpar

kk Mm

k

M

uukd

q

qd

p

pdE

qkkp

qkp

.2

1

)(

12

12

2

12

12

21

2211 kk

kk

kk Mm

k

Mkmm

M

mm

p q

Для перекрестного обмена в указанном приближении получаем(11)

Тогда поправки порядка и от перекрестного и параллельного кулоновских обменов в приближении (9) определяются следующим выражением:

(12)

Выражение (12) совпадает формулой работ[3].

(13)

[3] Doncheski M., Erickson G. W., Grotch H. Phys. Rev. 1991г. V.43. №5. P.2611.

.2

)(1

)()(

)()()(

)()(

22

12

2

2121

22

d11

d*1

3

2222

3

2222

3

6

57cr

kkk Mm

k

MmM

uukd

q

qd

p

pdE

pqqpk

qkpk

qkp

.)(

)()(

)()()(

)()(

2)(

21

2

22

d1

d*1

3

2222

3

2222

3

26

576parcr 1

kM

kuukd

q

qd

p

pd

mE

pqqpk

qkpk

qkp

Поправки к перекрестному и параллельному обмену в общем случае

5 6

.8

31

3

4)(

21

356parcr

mmE

Откажемся от использования приближения (9). В этом случае

(14)

Для исследуемого выражения новая дополнительная поправка

(15)

Полученный результат (15) дополняет поправку (13) порядка .

Численное значение новой поправки составляетдля атома водорода для атома мюония

.05179974.1где

,4

1

84

2

91

3

2

12

3221

36

A

m

mA

mmE

Дополнительные поправки

6

.])(22[2

)2()(

])(22[2

)2()(

2)(

)()()(

)()()()(

2)(

1122

22

1122

22222

21

1*1

22

3

2222

3

2222

3

26

576kinparcr 1

kk

k

Mmmp

q

Mmmq

qqpk

M

uukd

q

qd

p

pd

mE

kp

kppk

kq

kqqkpqqpk

qkp

qkpk

кГц,629.12Н Е

кГц.303.15Mu Е

Выводы

• Применяемый в нашей работе квазипотенциальный метод является наиболее общим из существующих подходов к прецизионному исследованию тонких сдвигов уровней энергии в водородоподобном атоме;

• Приближения (9), используемые при исследовании матричной структуры, преобразуют квазипотенциальные выражения в соответствующие формулы для тонких сдвигов, полученных другими авторами [2,3];

• Используемый метод квазипотенциала открывает возможность для повышения точности расчетов величины тонких сдвигов водородоподобных атомов;

• В нашей работе получена новая поправка шестого порядка по константе тонкой структуры от двухфотонных кулоновских взаимодействий в водородоподобном атоме.

[2] Fulton T., Martin C. Phys. Rev. 1954. V.95. №3. P.811. [3] Doncheski M., Erickson G. W., Grotch H. Phys. Rev. 1991. V.43. №5. P.2611.

Documents

План