2

2sin4r

0r

02sin4

Znn ,2

Znn ,

2

กราฟผ่านขัว้เมื่อ

,.....2

3,2

3,,,2

,2

,0

ขอ้4.จงพจิารณาการผ่านขัว้ การสมมาตรกับแกนขัว้ กับเสน้ตรง

และกับจุดขัว้พรอ้มแสดงกราฟโดยสงัเขปของ

พจิารณาการผ่านขัว้ให้

(๒๕ คะแนน)

พจิารณาการสมมาตรกับแกนขัว้

0 ),( rโดยใช้พกัิด

)(2sin4 r

)22sin(4

)2sin(4

2sin4

2sin4r

สมการคงเดิมดังนัน้ กราฟสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนขัว้

แทนในสมการ

พจิารณาการสมมาตรเมื่อเทียบกับเสน้ตรง 2

โดยใชพ้กัิด ),( r

)(2sin4 r2sin42sin4r

สมการคงเดิมดังนัน้กราฟสมมาตรเมื่อเทียบกับ

2

แทนลงในสมการ

พจิารณาการสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดขัว้โดยใชพ้กัิด

),( r

)(2sin4 r

)22sin(4

2sin4r

สมการคงเดิมดังนัน้กราฟสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดขัว้

แทนลงในสมการ

สมมติค่าจาก 2

00

2

ดังน้ี

r0 0

6

32

4

4

3

32

6

2

3

4

6

0

เป็นกราฟ ROSE CURVE

แสดงกราฟโดยสงัเขปดังน้ี

5.จงแสดงกราฟในปรภิมูสิามมติิบนพกัิดมุมฉากของ

04 222 zyx

พรอ้มทัง้หาจุดตัดบนแกนพกัิดฉากและพจิารณารอยตัดของระนาบ2y บนกราฟด้วย

(๓๕ คะแนน)

พจิารณาจุดตัดบนแกนพกัิด

บนแกน x ให ้y=0,z=0 จะได้

บนแกน yให ้x=0,z=0 จะได้

บนแกน z ให ้x=0,z=0 จะได้

0

02

x

x

0

02

y

y

0

04

z

z

พจิารณารอยตัดบนระนาบพกิัดและระนาบท่ีขนานระนาบพกัิด

บนระนาบXY 0z 022 yxให้ จะได้

บนระนาบท่ีขนานกับระนาบ ให้ 0zz

จะได้

20

22 4zyx มกีราฟเป็นวงกลม

XY

เป็นจุด

บนระนาบ YZ

0xx

มกีราฟเป็นเสน้ตรงสองเสน้

022 zyzy

0x 04 22 zyให้ จะได้

บนระนาบท่ีขนานกับระนาบ ให้YZ 20

22 4 xzy

มกีราฟเป็นรูปไฮเพอรโ์บลา

zzy 2,2

จะได้

20

224 xyz

บนระนาบ ให้

จะได้

มกีราฟเป็นเสน้ตรง

บนระนาบท่ีขนานกับระนาบ

มกีราฟเป็นรูปไฮเพอรโ์บลา

ให้

จะได้XZ 0y 04 22 zx

022 zxzx

zzx 2,2

XZ 0yy 20

22 4 yzx

20

224 yxz

สำาหรบับนระนาบ จะได้

มกีราฟเป็นรูปไฮเพอรโ์บลา ดังรูป

2y 222 24 xz

122

22 xz

X

Z

แสดงกราฟได้โดยสงัเขปดังรูป

Elliptic Coneท่ีเป็นรูปวงกลม

จงึมชีื่อเรยีกอีกอยา่งวา่ Cone