复习回顾

________1 xx

口答：口答：

________11 xx

________732 xx

xx 2

12 x

xx 146 2

问题： 630 可以被哪些整数整除？

解决解决这个问题，需要对这个问题，需要对 630630进行分解质因数进行分解质因数630 = 2×32×5×7

类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式

以便于更好的解决一些问题以便于更好的解决一些问题

新课引入

试试看(将下列多项式写成几个整式的乘

积 )

__________2 xx

__________12 x

1xx

11 xx

回忆前面整式的乘法

1112 xxx

　　上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。分解因式

因式分解

12 x 11 xx因式分解

整式乘法

因式分解与整式乘法是逆变形

依照定义，判断下列变形是不是因式分解 （把多项式化成几个整式的积）

422 2 xxx①2334 326 xyyxyx ②

2242

2

3

2

3

4

9

xx

xx

xx③

yxyxyx 222 235 ④

m ( a + b + c ) = ma + mb + mc

下面两个式子中哪个是因式分解？

在式子 ma + mb + mc 中， m 是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做 。

公因式

ma + mb + mc = m ( a + b + c )

ma + mb + mc = m ( a + b + c )

在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。

这种方法叫做提公因式法。

提公因式法一般步骤： 1 、找到该多项式的公因式，

2 、将原式除以公因式，得到一个新多项式，

3 、把它与公因式相乘。

如何准确地找到多项式的公因式呢？

1 、系数 所有项的系数的最大公因数

2 、字母 应提取每一项都有的字母，

且字母的指数取最低的

3 、系数与字母相乘

cabba 22 159 ①

解：用提取公因式法因式分例题精讲

pqqppq3

1

9

7

9

5 22 ③

2323 4812 ststts ②最大公因数为 3

= 3

a 的最低指数为 1

a

b 的最低指数为 1

b (3a–5bc)

= – 4 s t2 (3s2–2t+1)

pq (5q+7p+3)=9

1

第 3课时

第 2课时

复习回顾

还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：

完全平方公式：

22 bababa 222 2 bababa 222 2 bababa 222 2 bababa

________22 xx计算：

计算： __________5 2 a

____________77 mm

42 x

25102 aa

49142 mm

= (999+1)(999–1)= (999+1)(999–1)

此处运用了什么公式此处运用了什么公式 ??新课引入

试计算：试计算： 99999922 – 1 – 112

= 1000×998 = 998000= 1000×998 = 998000

平方差公式逆用

因式分解因式分解 :: （（ 11 ）） xx22 – ; – ; （（ 22 ）） yy22 ––

4 254 2522 52

= (= (xx+2)(+2)(xx–2)–2) = (= (yy+5)(+5)(yy–5)–5)

这些计算过程中都这些计算过程中都逆用了平方差公了平方差公式式

即：即： bababa 22

bababa 22

此即运用平方差公式进行因式分解 此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。

尝试练习 ( 对下列各式因式分解 ) ： ① a2 – 9 = ___________________ ② 49 – n2 = __________________ ③ 5s2 – 20t2 = ________________ ④ 100x2 – 9y2 =_______________

(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)

(10x+3y)(10x–3y)

= = y2 – 4x2 = ( = (yy+2+2xx)()(yy–2–2xx))

== (x2)2 – 12 = (= (xx22+1) (+1) (xx22–1)–1)

– ② – ② 44xx22 + + yy22

③ ③ xx44 – 1 – 1

(x2–1)

= = – ( 4x2 – y2 ) = – (2 = – (2xx++yy)(2)(2xx––yy))

(x+1)(x–1)

因式分解一定要分解彻底 !

④ ④ xx22 – – xx66

= = x2 – (x3)2

= (= (xx++xx33)()(xx––xx33))

= = x·(1+·(1+xx22)·)·x·(1–·(1–xx22))

= = xx22(1+(1+xx22))(1+x)(1–x)

④ ④ xx22 – – xx66

= = x2 (1– (1–xx44))

= = xx22 (1+x2)(1–x2)

= = xx22 (1+ (1+xx22))(1+x)(1–x)

在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。

⑤ ⑤ 66xx33 – 54 – 54xyxy22

= = 6x ( (xx22–9–9yy22))

= 6= 6xx (x+3y)(x–3y)

⑥ ⑥ ((xx++pp))22 – ( – (xx––qq))22

= [ (= [ (xx++pp)+()+(xx––qq) ]·[ () ]·[ (xx++pp)–()–(xx––qq) ]) ]

= (2= (2xx++pp––qq)()(pp++qq))

YX

YXYX

复习回顾

还记得前面学的完全平方公式吗？还记得前面学的完全平方公式吗？ 222 2 bababa 222 2 bababa 222 2 bababa

__________44 xx计算：

计算： __________7 2 b

____________99 mm

1682 xx

49142 bb

81182 mm

新课引入

试计算：试计算： 99999922 + 1998 + 1 + 1998 + 12×999×1

= (999+1)2 = 106

此处运用了什么公式此处运用了什么公式 ??完全平方公式逆用

就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。

即： 222 2 bababa

222 2 bababa

这个公式可以用文字表述为：这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

牛刀小试 ( 对下列各式因式分解 ) ： ① a2+6a+9 = _________________ ② n2–10n+25 = _______________ ③ 4t2–8t+4 = _________________ ④ 4x2–12xy+9y2 = _____________

(a+3)2

(n–5)2

4(t–1)2

(2x–3y)2

完全平方式的特点： 1 、必须是三项式（或可以看成三项的）

2 、有两个同号的平方项

3 、有一个乘积项（等于平方项底数的 ±2倍）

简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。

22 2 baba

① ① 1616xx22 + 24 + 24xx + 9 + 9

– ② – ② 44xx22 + 4 + 4xyxy – – yy22

④ ④ 44xx22 – 8 – 8xyxy + 4 + 4yy22

= (4x+3)2

= – (4x2–4xy+y2) = – (2x–y)2

= 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2

⑤⑤ – – 22aa22 + +

⑥ ⑥ ((pp++qq))22 – 12( – 12(pp++qq) + 36) + 36

aa4411

= (a2–1)2

= (a+1)2 (a–1)2

= [(a+1) (a–1)]2

= (p+q–6)2

X X

X

知识结构

因式分解常用方法

提公因式法

公式法

十字相乘法

分组分解法

拆项添项法

配方法

待定系数法

求根法

……

一、提公因式法

只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。

提公因式法随堂练习：

11 ）） 15(15(mm––nn)+13()+13(nn––mm))

22 ）） 4(4(xx++yy)+4()+4(xx–3–3yy))

二、公式法

只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。

接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。

常用公式1 、 (a+b)(a–b)=a2–b2

（平方差公式）2 、 (a±b)2=a2±2ab+b2

（完全平方公式）3 、 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

4 、 a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）

5 、 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

（完全立方和公式）6 、 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq

7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导

222

222222

222

222

2

1

2222

1

2222222

1

zyzxyx

zyzyzxzxyxyx

yzxzxyzyx

yzxzxyzyx

这是公式这是公式 xx22++yy22++zz22++xyxy++xzxz++yzyz 的推导过程的推导过程

不要与不要与 ((xx++yy++zz))22==xx22++yy22++zz22++2xyxy++2xzxz++2yzyz 混淆混淆

公式法随堂练习：

11 ）） ((aa22–10–10aa+25)(+25)(aa22–25)–25)

22 ）） xx33+3+3xx22++33xx+1+1

二、公式法

只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。

三、十字相乘法①

前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：

(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq

我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）

例 1 ：因式分解 x2+4x+3

可以看出常数项 可以看出常数项 3 = 3 = 1××3

而一次项系数 而一次项系数 4 = 4 = 1 + + 3

∴∴ 原式原式 =(=(xx+1)()(xx+3))

暂且称为暂且称为 p 、 q 型因式分解

例 2 ：因式分解 x2–7x+10

可以看出常数项可以看出常数项 10 = 10 = (–2)×(–5)

而一次项系数 –而一次项系数 – 7 = 7 = (–2) + (–5)

∴∴ 原式原式 =(=(xx–2)()(xx–5))

这个公式简单的说，这个公式简单的说，

就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，

而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数

十字相乘法①随堂练习：

11 ）） aa22–6–6aa+5 2+5 2 ）） aa22–5–5aa++66

33 ）） xx22–(2–(2mm+1)+1)xx++mm22++mm–2–2

三、十字相乘法②

试因式分解 6x2+7x+2 。这里就要用到这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。。

既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成 ((axax++bb)()(cxcx++dd)) 的形式。的形式。

((axax++bb)()(cxcx++dd)=)=acxx22++(ad+bc)xx++bd

所所以，需要将以，需要将二次项系数与与常数项分别拆成分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。分解就成功了。

= 17

3 x2 + 11 x + 10

6 x2 + 7 x + 2

2

3

1

2

4 + 3 = 7

∴∴66xx22+7+7xx+2=(+2=(2xx++1)()(3xx++2))

1

3

5

2

2 + 15= 11

1

3

2

5

5 + 6

∴∴33xx22+11+11xx+10+10=(=(xx++2)()(3xx++5))

= –6

5 x2 – 6 xy – 8 y2

试因式分解 5x2–6xy–8y2 。这里仍然可以用这里仍然可以用十字相乘法。。

1

5

–2

4

4 – 10

∴∴55xx22–6–6xyxy–8–8yy2 2

=(=(xx–2yy)()(5xx++4yy))

简记口诀：

首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

十字相乘法②随堂练习：

11 ）） 44aa22–9–9aa+2+2

22 ）） 77aa22–19–19aa–6–6

33 ）） 2(2(xx22++yy22)+5)+5xyxy

四、分组分解法

要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。

例 1 ：因式分解 ab–ac+bd–cd 。

解：原式 解：原式 = = (ab – ac) + + (bd – cd)

= = aa (b – c) + + dd (b – c)

= = (a + d) ((bb – – cc))

还有别的解法吗？

四、分组分解法

要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。

例 1 ：因式分解 ab–ac+bd–cd 。

解：原式 解：原式 = = (ab + bd) – – (ac + cd)

= = bb (a + d) – – cc (a + d)

= (= (a a + + dd)) (b – c)

例 2 ：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。

解：原式 解：原式 = (= (xx55++xx44++xx33)+()+(xx22++xx+1)+1)

= (= (xx33+1)+1)(x2+x+1)

== (x+1)(x2–x+1)((xx22++xx+1)+1) 立方和公式

分组分解法随堂练习：

11 ）） xyxy––xzxz––yy22+2+2yzyz––zz22

22 ）） aa22––bb22––cc22–2–2bcbc–2–2aa+1+1

回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。

另解：原式 另解：原式 = (= (xx55++xx44)+()+(xx33++xx22)+()+(xx+1)+1)

= (= (xx+1)(+1)(xx44++xx22+1)+1)

= (= (xx+1)(+1)(xx44+2x2+1+1–x2))

= (= (xx+1)[+1)[(x2+1)2––xx22]]

== ((xx+1)+1)(x2+x+1)(x2–x+1)

五 * 、拆项添项法

怎么结果与刚才不一样呢？

因为它还可以继续因式分解

拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。

最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。

五 * 、拆项添项法

因式分解 因式分解 xx44 + 4 + 4

解：原式解：原式 = = xx44 + 4x2 + 4 + 4 – 4x2

= (= (xx22+2)+2)22 – (2 – (2xx))22

= (= (xx22+2+2xx+2)(+2)(xx22–2–2xx+2)+2)

都是平方项

猜测使用完全平方公式

完全平方公式

平方差公式

拆项添项法随堂练习：

11 ）） xx44–23–23xx22yy22++yy44

22 ）） ((mm22–1)(–1)(nn22–1)+4–1)+4mnmn

配方法

配方法是一种特殊的拆项添配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式项法，将多项式配成完全平方式，，再用平方差公式进行分解。再用平方差公式进行分解。

因式分解 a2–b2+4a+2b+3 。解：原式 解：原式 = (= (aa22+4+4aa+4) – (+4) – (bb22–2–2bb+1)+1)

= (= (aa+2)+2)22 – – (b–1)2

= (= (aa++bb+1)(+1)(aa––bb+3)+3)

配方法 ( 拆项添项法 )分组分

解法完全平方公式

平方差公式

二、新课

1. 我们把 )0(2 acbxax 叫做 x 的二次三项式。这个式子的 x 的最高次项是 2 ，并有一次项和常数项，共有三项。

2. 请同学说出 x 的二次三项式 )0(2 acbxax

和 x 的一元二次方程 )0(02 acbxax形式上有什么不同？

答案：二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号。

3. 用配方法把 222 xx 分解因式。

分析：对 xx 22 再添一次项系数的一半的平方

（注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时 减去一次项系数一半的平方）

解：

)31)(31()3()1(

3)1(21122222

222

xxx

xxxxx

这是配方的关键

4. 分解因式 682 2 xx

分析：把二次项系数化为 1 ，便于配方，但不能各项 除以 2 ，而是各项提取公因数 2

我们知道在解一元二次方程时，配方法的步骤是固定模式的，即“千篇一律”，它的一般模式就是解一元二次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解必定与方程的根有关系，这个关系是什么

]72][72[2])7()2[(2]7)2[(2

]34)44[(2)34(2682222

222

xxxx

xxxxxx

解：

从以上例 2 的因式分解来研究。

与二次三项式 682 2 xx 对应的一元二次方程是

682 2 xx =0 这个方程的两根是

7222

)6(24)8(8 2

x

72,72 21 xx

由此可以看出例 2 的因式分解的结果与两根的关系是什么？

))((2)]72()][72([2682 212 xxxxxxxx

这个关系是：二次三项式系数乘以 x 减去一个根的差，再乘以 x 减去另一个根所得的差。

以上的结论怎样证明？

证明：设一元二次方程

a

acbbx

a

acbbx

xxacbxax

2

4,

2

4

)0(0

2

2

2

1

212

则

，的两根是

)(

),(

,

22

2121

2121

a

cx

a

bxacbxax

xxa

cxx

a

ba

cxx

a

bxx

就是

))((])([ 2121212 xxxxaxxxxxxa

结论：在分解二次三项式

例如，已知一元二次方程 2,10462 212 xxxx 的两根是

就可以把二次三项式分解因式，得

)2)(1(2462 2 xxxx

然后写成的两根公式求出方程

的因式分解时，可先用

212

2

,0

)0(

xxcbxax

acbxax

))(( 212 xxxxacbxax

三、例题讲解

例 1 把 865 2 xx 分解因式

10

146

10

1966

52

)8(5466

0865

2

2

x

xx 的根是解：方程

2,5

421 xx即：

)2)(5

4(5865 2 xxxx

)2)(45( xx此步的目的是去掉括号内的分母

例 2 分解因式把 22 582 yxyx

22

)5(24)8(8

0582

22

22

yyyx

yxyxx 的根是的方程解：关于

yyy

2

64

4

628

)2

64)(

2

64(2582 22 yxyxyxyx

本题是关于 x 的二次三项式，所以应把 y 看作常数

注意： 1. 因式分解是恒等变形，所以公式

))(( 212 xxxxacbxax

中的因式 千万不能忽略。

2. 在分解二次三项式 cbxax 2

的因式时，可先用求根公式求出方程

02 cbxax 的两个根 x1,x2 然后 , 写成

))(( 212 xxxxacbxax

a

2. 选择题

（ 1 ）已知方程 ,2

13032 2 和的两根为axx

分解因式的结果为则 32 2 axx （ ）

)2

1)(3( xxA、 )

2

1)(3(2 xxB、

)2

1)(3(2 xxC、 )

2

1)(3(2 xxD、

（ 2 ）下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ）

156 2 xxA、

22 42 yxyxC 、 22 542 yxyxD 、

D

D

五、本课小结

1. 对于不易用以前学过的方法：

cbxax 2

))(()(2 bxaxabxbax

分解二次三项式 宜用一元二次方程的求根公式分解因式。

2. 当 因式；在实数范围内可以分解时， cbxaxacb 22 04

因式；在实数范围内不能分解时，〈 cbxaxacb 22 04当

( 例如：分解因式 232 2 xx 在实数范围内不能分解 )

3. 用求根公式分解二次三项式 )0(2 acbxax其程序是固定的，即：

（ 1 ）第一步：令 02 cbxax

（ 2 ）第二步：求出方程①的两个根 ;, 21 xx

① ；

（ 3 ）写出公式 ))(( 212 xxxxacbxax

并把 ;, 21 xx 的值代入公式中的 21, xx 处。