单项式乘多项式法则的再认识 —— 因式分解（一）

常州市北环中学 沈良琴

探究活动一1 、计算： 375×2.8 ＋ 375×4.9 ＋ 375×2.3

为什么 375×2.8 ＋ 375×4.9 ＋ 375×2.3 可以写成 375×(2.8 ＋ 4.9 ＋ 2.3)? 依据是什么 ?

=375×(2.8 ＋ 4.9 ＋ 2.3)

=375×10

=3750 ．

解： 375×2.8 ＋ 375×4.9 ＋ 375×2.3

2 、如图，三个小长方形拼成一个大的长方形，你能表示出大长方形的面积吗？

am bm cm ( )m a b c

3 、填空：

2 ( )a ab a a b

2 2 22 ( )a ab b a b

2 2 ( )( )a b a b a b

和 积2( )a a b a ab

2 2( )( )a b a b a b 2 2 2( ) 2a b a ab b

积 和A 组 B 组

像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解．

2 ( )a ab a a b

2 2 22 ( )a ab b a b

2 2 ( )( )a b a b a b

和 积A 组

2 ( )a ab a a b

2 2 22 ( )a ab b a b

2 2 ( )( )a b a b a b

和 积

2( )a a b a ab 2 2( )( )a b a b a b

2 2 2( ) 2a b a ab b

积 和

A 组

B 组整式乘法

因式分解

下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是 ?

是

是

不是

不是

不是

辨一辨 :

一个多项式各项都含有的因式 , 称为这个多项式各项的公因式．

观察多项式 ma + mb + mc 的每一项，你有什么发现吗 ?

m 是多项式 ma + mb + mc 各项都含有的因式．

探究活动二

　　找出下列多项式各项的公因式并填写下表．

4

x

(a-b)

4a

6a2b

　　根据上面的填表过程，你能归纳出找一个多项式各项的公因式的方法吗 ?

趁热打铁 :C

3x3 y2

2x-1

(a-b)

4

x

(a-b)

4a

6a2b

　　如果多项式的各项含有公因式，那么就把这个公因式提出来，把多项式写成公因式与另一个多项式积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 .

(x+y)

(m-n)

(m-n)

(3x+2y)

(2ax+3by)

例题精讲 :　　例 1. 把 6a3b － 9a2b2c 分解因式．

解： 6a3b － 9a2b2c=3a2b · 2a － 3a2b · 3bc=3a2b(2a － 3bc)

例题精讲 :

　　根据例 1 的解答过程，你能归纳出用提公因式法分解因式的一般步骤吗 ?

　　例 2 . 把 6a3b － 9a2b2c + 3a2b 分解因式．解： 6a3b － 9a2b2c + 3a2b

= 3a2b · 2a － 3a2b · 3bc + 3a2b · 1 = 3a2b (2a － 3bc + 1)

　　 1. 如果提取的公因式与多项式中的某项相同，那么提取后多项式中的这一项剩下“ 1” ，结果中的“ 1” 不能漏写．　　 2. 多项式有几项，提公因式后另一个因式也有几项．

例题精讲 :

　　根据例 1 的解答过程，你能归纳出用提公因式法分解因式的一般步骤吗 ?

　　例 3 . 把 － 8a2b2 + 4a2b － 2ab 分解因式．解：－ 8a2b2 + 4a2b － 2ab

= － ( 8a2b2 － 4a2b + 2ab )

= － ( 2ab · 4ab － 2ab · 2a + 2ab · 1 )

= － 2ab (4ab － 2a + 1 )

　　当多项式第一项的系数是负数时，通常把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号！

1. 把下列各式分解因式：

小结与反思 :

1. 本节课你学到了什么？

2. 你还有什么疑问？

　　课本 p71/ 练一练 1 、 2 、 3 、 4

　　根据例 1 的解答过程，你能归纳出用提公因式法分解因式的一般步骤吗 ?

例 4. 把 3a(x + y) － 2b(x + y) 分解因式．

　　用提公因式法分解因式时，公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

解： 3a(x + y) － 2b(x + y)

= (x + y)(3a － 2b) ．

　　分析：这个多项式就整体而言可分为两大项，即 3a(x + y) 与－ 2b(x + y) ，每项中都含有 (x + y) ，因此可把 (x + y) 作为公因式提出来．

拓展与延伸 :

拓展与延伸 :

　　根据例 1 的解答过程，你能归纳出用提公因式法分解因式的一般步骤吗 ?

例 5 . 把下列各式分解因式：(1) x(a － b) + y(b － a) ；(2) 6(m － n)3 － 12(n － m)2 ．

　　分析： 因为 b － a= － (a － b) ，所以 (1) 式中的公因式为 (a － b) ； 因为 (n － m)2 =(m － n)2 ，所以 (2) 式中的公因式为 6(m － n)2 ．