密度矩阵重整化群及其在凝聚态物理中的应用

向 涛向 涛

中科院理论物理所中科院理论物理所

一个多体相互作用系统在某个特定状态(例如基态 ) 下的物理性质

困难点：不可微扰

凝聚态物理多体理论需要解决的问题是什么？

用密度矩阵挑选所要保留的基矢

用有限的几个基矢来近似表示一个无穷维空间中的一些状态

密度矩阵重整化群

系统的总自由度随粒子数呈指数增长 :

mN (m = 2, 3, …, N ~1023)

优化处理多粒子相互作用体系的一种数值重整化群方法

S = 1/2 Heisenberg 模型

N

1i1ii SSH

Total degrees of freedom: 2N

10

01

2

1S

0i

i0

2

1S

01

10

2

1S

z

y

x

xyyx SSSS 量子效应：

Heisenberg 相互作用 :

H2 分子

21 SSJ

TripletJ4

1

SingletJ4

3

SSJ 21

能量

三重态

单态J

Particle in a box

N

1i1iii1i ccccH

01

101

.........

101

101

101

10

H

1Ncos2E

i1N

isin

0

N

1i0

所研究的矩阵的特点

• 维数高 : mN

• 稀疏： 90％或更多矩阵元为零

• 有一定的对称性（或守恒量〕：矩阵可分块对角化

重整化群思想

irrelevant,'Ad,Ad/W

0

W

0

标度变换：

作用量 A 与 A’ 具有相同的泛函形式 ( 称之为可重整性 ) ，这也是量子场论方法的基础

重正化群：只是一个半群

保留 H4 的 p 最小本征态

1ii

i SSH

212 SSH

32R2

L24 SSHHH

1nnRn

Lnn2 SSHHH

经典重整化群方法 : 按能量保留状态

保留 H2 的 p 最小本征态

经典重整化群方法失败的原因

• 边界误差太大

• 切断误差太大

共 p2个状态

仅 p 个被保留

• 按能量取舍状态有可能丢掉了一些有用的状态而保留

了一些无用的状态

两个开边界子系统合在一起其衔接部分的状态与实际差的很远

改进的重整化群方法

• 边界误差减小

• 切断误差减小

2p个状态，保留 p个

密度矩阵重整化群

系统 环境

Superblock

按系统的约化密度矩阵的本征值保留状态

Henvsys eTr

enve,s

e,ssys

HH

HH

约化密度矩阵

es

Tr

e,se,s

envsys

e

e,'s*

e,s's,ssys

ss

s,

sys

0e,e

2

约化密度矩阵的本 征值 等于其对应

的本征态 |> 在基态上的投影振幅

DMRG 迭代过程

系统和环境中各加进一 个点并初始化或更新

H=Hsys+Henv+Hsys,env

用 Lanczos或其它稀疏矩阵对角化方法对角化H 求出基态波函数

构造并对角化约化密度矩阵

做基矢切断并求出变换 矩阵 Unp

Lanczos方法

3b2a1b2H

2b1a0b1H

1b0a0H

322

211

10

MM

M1M1M

433

322

211

10

ab

bab

bab

bab

bab

ba

H

2

12

10101

021

210100

b4aaaa2

1a

ab4aaaa2

1a

DMRG与其它方法比较

10-13

10-10

10-7

10-4

0 20 40 60 80 100

Err

or o

f th

e G

roun

d St

ate

Ene

rgy

Number of States Retained

L=70

50

30

1D free fermions, half filling

Monte Carlo或其它近似方法

误差 ~ 1%

1D量子系统DMRG的误差远小于其它近似方法

总自由度数： 2L

• 零温，实空间： 1992

• 热力学计算 (TMRG) ：经典系统 1995 ， 1D 量子系统 1996• 高维空间：动量空间 1995 ，分子第一性原理计算 1998 ，待进一步发展• 动力学关联函数计算：零温及 1D 有限温度 1999• 非平衡态 ( 含时演化 ) 问题： 2001 ，待进一步发展• 与 Monte Carlo 方法的结合： 1999 ，有很大的发展空间

密度矩阵重整化群方法发展的主要进展

计算量

• 主要 CPU时间用于矩阵的对角化• 实际计算的矩阵的维数： 104 － 106

稀疏程度： 10-30％• 需要对角化的矩阵的个数： 103 － 105

• 矩阵与矢量相乘的总次数： 105 － 107

• 硬盘： 10G － 200G

转移矩阵重整化群：有限温度 DMRG 方法 2/N

maxNk

2/Nk

2/NH TrTTreZ

转移矩阵

空间

L/HL/HH eee 时间

转移矩阵重整化群与 DMRG的比较

T=0 DMRG TMRG

Target Matrix Hamiltonian H

Symmetric

Transfer Matrix T

Non-symmetric

Target State Ground state max | max>

Density matrix Symmetric Non-symmetric

Lattice size Finite Infinity

(Finite time slices)

S=1/2 Heiserberg 模型的磁化率

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.01 0.1 1

ln(T/J)

lnT/T0)]

, T0 ~ 7.7

m = 80

0

1

2

0 0.5 1

DD

log 10

(z)

T/J

z

-1 = T [2 - 1/ln(T0/T)]

T0 = 2

m = 80

S=1/2 Heiserberg 模型的关联长度

二维密度矩阵重整化群方法

核心问题： 2D 格子如何向 1D 格子映射？

B

H

G

I

D

F

多链方法 2D 方法Condmat/0102200

-0.4

-0.38

-0.36

-0.34

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Gro

und

Sta

te E

nerg

y

1/L

-0.26

-0.24

-0.22

-0.2

-0.18

0 0.1 0.2 0.3

Gro

und

Sta

te E

nerg

y

1/L

Y = M0 + M1*x + ... M8*x8 + M9*x9

-0.18144M0

-0.12382M1

-0.39072M2

0.34025M3

1R

Heisenberg 模型的基态性质

Square Lattice Triangle Lattice

Square Triangle

DMRG -0.3346 -0.1814

MC -0.334719 -0.1819

SW -0.33475 -0.1822

小 结

• 密度矩阵重整化群是目前研究一维量子多体系统最为精确的数值计算方法

• 但在研究高维或非平衡态系统的物理性质方面还有许多需要解决的数学问题