5_EDO_DE_ORDEN_N

DINMICA Y CONTROL DE PROCESOS

ILM 1

5 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN N

Sin intentar entrar en un enfoque matemtico del tema, recordemos que muchos de

nuestros sistemas (y particularmente todos los que varan en el tiempo) se expresarn

como ecuaciones diferenciales. De forma general un sistema estar caracterizado por

una ecuacin del tipo

utbdt

dutb

dt

udtb

dt

udtbxta

dt

dxta

dt

xdta

dt

xdta

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 011

1

1011

1

1 ......

donde x es la variable de estado que vara en el tiempo, u es la variable a manipular y

ai y bj son los coeficientes o parmetros de la ecuacin. En muchos casos estos

coeficientes son invariables en el tiempo tambin y la resolucin del sistema es ms

sencilla.

Veamos un ejemplo: sea un reactor discontinuo donde se llevan a cabo dos reacciones

consecutivas A B C ambas de primer orden con constantes cinticas k1 y k2 . Las ecuaciones que definen el sistema surgen de los balances de masa:

Ahora bien, la primera ecuacin se integra directamente pues es una ecuacin a

variables separables.

Que se puede escribir en forma adimensional llamando

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

tau

conversin

BC

BAB

AA

Ckdt

dC

CkCkdt

dC

Ckdt

dC

2

21

1

tkAA eCtC 10

tkC

CCx

Ao

AAo1

ex 1


ILM 2

La segunda ecuacin la podemos escribir de esta manera

Y derivando

dt

dC

k

k

dt

Cd

kdt

dC BBA

1

2

2

2

1

1

Sustituyendo en la primera ecuacin

Que es una ecuacin diferencial homognea a coeficientes constantes

0012

2

2 xadt

dxa

dt

xda

Cuya ecuacin caracterstica es

Por lo tanto los valores propios son

Y la solucin es

Para hallar las constantes se necesita conocer las condiciones iniciales:

A su vez

Por lo tanto la solucin es

Que se puede escribir en forma adimensional llamando

0 1 2 3 4 5 6 7

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

tau

x

0.5

2.0

BB

A Ck

k

dt

dC

kC

1

2

1

1

0212122

BBB Ckk

dt

dCkk

dt

Cd

021212 kkkk

021 kk

21 kk

tkctkctCB 2211 expexp

2100 ccCB

Ao

B Ckdt

dC1

0

tktkkk

CktC AoB 21

12

1 expexp

1

2

1

k

k

tk

C

Cx

Ao

B

expexp

1

1x


ILM 3

Ver ejem5.1.sce.

En general para una ecuacin diferencial homognea a coeficientes constantes

Escribimos el polinomio caracterstico 0... 01

1

1

aaaan

n

n

n Las races del polinomio caracterstico (o polos en la terminologa de control) son los

valores propios (eigenvalues) de la ecuacin.

Si las races son distintas entonces la solucin es de la forma

tntt nececectx

...21 21

Por ejemplo para la ecuacin vista anteriormente 01 A

A Ckdt

dC

la ecuacin caractersitca es k1 = 0 con valor propio -k1 con lo cual la solucin

es tk

A ectC1

1

y conociendo la condicin inicial se obtiene tk

AA eCtC1

0

.

Por ejemplo para la ecuacin

0212122

BBB Ckk

dt

dCkk

dt

Cd

Cuya ecuacin caracterstica es 02121212 kkkkkk con valores

propios = - k1 , 2 = - k2 La solucin es tktkB ecectC 21 21

. Con la condicin

inicial CB(0) = 0 se obtiene c1 = - c2 . Puede observarse tambin que a t = 0

01

0A

B Ckdt

dC

por lo que tomando la derivada de CB y sustituyendo las condiciones

iniciales se llega a

tktkAB eekk

CktC 21

12

01

Cuando se tienen races repetidas la solucin es de la forma

trriiii ietctctcc 11221 ...

Por ejemplo si en el caso anterior k1 = k2 = k

02 22

2

BBB Ck

dt

dCk

dt

Cd

k 21 kt

B etcctC 21

0... 011

1

1

xadt

dxa

dt

xda

dt

xda

n

n

nn

n

n


ILM 4

Para t = 0 001 BCc

Derivando

ktktB etkcecdt

tdC 22

Para t = 0

0

0

2 A

t

B kCdt

dCc

Por lo tanto ktAB etkCtC

0

Que escrito en forma adimensional equivale a

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

tau

x

Cuando las races son complejas la solucin general es de la forma

Y por lo tanto la solucin oscila.

Por ejemplo sea la ecuacin

02

2

xdt

dx

dt

xd

Cuya ecuacin caracterstica es 012 con races

j2

3

2

1

La solucin sera

Que considerando la identidad de Euler sincos je j y reagrupando

tjcctccetx

t

2

3sin

2

3cos 2121

2

y llamando c3 = c1+ c2 y c4 = c1 c2

exptx

tBjtAetx iiti sincos

tjctjctx

2

3

2

1exp

2

3

2

1exp 21

tjctcetx

t

2

3sin

2

3cos 43

2


ILM 5

por ejemplo con x(0)=1 y x(0)=1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

t

x

Para las ecuaciones no homogneas se sigue el siguiente procedimiento:

1) Resolver la ecuacin homognea 2) Determinar los coeficientes de una funcin particular de prueba (escogida segn

la funcin del lado derecho)

3) Combinar las dos soluciones

Por ejemplo el sistema tkAABA

B eCtCCkCkdt

dC1

021

puede ser considerado

como una ecuacin diferencial ordinaria no homognea:

La solucin homognea es tk

H ectx2

1

La funcin de prueba, segn el formato del lado derecho es tk

P ectx1

2

Sustituyndola en la ecuacin tk

A

tktk eCkeckeck 111 012221

12

012

kk

Ckc A

Combinando las dos soluciones

Si en condiciones iniciales CB0 = 0

Y por lo tanto

tk

ABB eCkCk

dt

dC1

012

tkAtkB

PH

ekk

CkectC

txtxtx

12

12

011

12

011

kk

Ckc A

tktkAB eekk

CktC 21

12

01


ILM 6

que, obviamente, coincide con el resultado obtenido anteriormente.

Para el caso de ecuaciones con coeficientes que varan en el tiempo la resolucin

analtica suele ser ms engorrosa. Por ejemplo para las ecuaciones de la forma

una manera de resolverlas es utilizar un factor de integracin

Multiplicando ambos lados de la igualdad

Integrando

Y usando las condiciones iniciales

Veamos un ejemplo: Reactor Semi-Batch con reaccin A B y caudal de entrada constante v (sin salida) (densidad constante). Las ecuaciones del modelo son

Expandiendo el lado derecho

Si el flujo es constante y el volumen inicial es 0, V = vt

Que es de la forma deseada. De la consideracin del factor de integracin

surge

tqxtpdt

dx

dttpt exp

tqtxtptdt

dxt

tqdttpxtpdttpdt

dxdttp expexpexp

tqdttpdttptxdt

d expexp

Cdtdttptqdttptx expexp

dtdttptqxdttptx exp0exp

AinA

A vCkVCdt

VCd

vdt

dV

dt

dCV

dt

dVC

dt

VCd AA

A

AinAA C

V

vCk

V

v

dt

dC

AinAA C

tCk

tdt

dC 11

dttpt exp

1ln

1ckttdtk

tdttp

kttcckttckttdttp expexpexplnexplnexpexp 211


ILM 7

y multiplicando a ambos lados de la ecuacin

pero

integrando

y finalmente

Vase otra forma (numrica) de resolver el problema en ejem5.2.sce.

La estabilidad de las soluciones debe entenderse en el sentido de que converja hacia un

valor determinado. En general, como vimos del formato general de las soluciones, en las

que se presentan trminos exponenciales, debe cumplirse que los valores propios (o

polos) sean negativos. Hallar los valores propios es sencillo para ecuaciones de primer o

segundo grado pero puede complicarse para sistemas de rdenes superiores.

Eventualmente hay que recurrir a mtodos numricos.

Un mtodo alternativo es el propuesto por Routh: sea la ecuacin

00... 011

1

n

n

n

n

n aaaaa

La condicin necesaria para la estabilidad es que todos los coeficientes sean positivos:

ak > 0 para todo k

Para la condicin suficiente es necesario construir el arreglo de Routh:

..

...

...

...

...

21

321

531

42

cc

bbb

aaa

aaa

nnn

nnn

1

31512

1

21311

1

5412

1

3211

b

baabc

b

baabc

a

aaaab

a

aaaab

nnnn

n

nnnn

n

nnnn

Etc. Y debe cumplirse que todos los elementos de la primera columna sean positivos.

AinAA CktCktktdt

dCktt exp1expexp

dt

CkttdCktkt

dt

dCktt AA

A exp1expexp

1expexp ktk

CtCkt AinA

ktkt

CC AinA exp1

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