Geometra

Pgina 371

SEMANA 5

CIRCUNFERENCIA I

1. En la figura, calcule m AB ; si m CDE 145 .

D

B

A

E

o

C

A) 70 B) 145 C) 72,5

D) 140 E) 90

RESOLUCIN

Como CDE 145

m CME 290 ....( inscrito)

m CDE 70

m COE 70 ......( central)

mAB 140 .......( inscrito) RPTA.: D

2. Del grfico, Calcule x.

A) 25 B) 20 C) 30 D) 40 E) 15

RESOLUCIN

Como: m BCA x

mAB x 2

Por ngulo interior CD 180 2x Por teorema de los recuadros:

180 2x 2x40

2

x=25 RPTA.: A

3. Segn el grfico, mBM mBN . Calcule :

A) 120

B) 150

C) 90

D) 130

E) 180

40

x

N

B

CA

M

D

B

A

E

o14570

C

M

40

x

C

B

D

2x

180-2x

A

Geometra

Pgina 372

RESOLUCIN

Sea mMB mBN a

mMA b, mAC c, mCN d

Del grfico

2 a d...(I) .....( interior)

Por interior

b c a

2

b c a...(II) 2

Sumando (I) y (II):

a d b c a 2 2

2 2 360

180

RPTA.: E

4. Segn el grfico, calcule la diferencia entre las medidas del

mayor y menor AB.

A) 90 B) 45 C) 180 D) 270 E) 135

RESOLUCIN

Por prop. del ex inscrito: m ACB 45

mABmenor =90

mABmayor =360-90=270

mAB mayor - mAB menor =180 RPTA.: C

5. Segn el grfico, calcular x, si

ABCD es un paralelogramo.

A) 120 B) 60 C) 70

D) 90 E) 80

RESOLUCIN

B

A

A

B C

x

D

x

x

x

x

x

DA

B

E

C

2x

x

N

B

CA

M

aa

c

bd

B

A

C

90

45

Geometra

Pgina 373

En el grfico:

BCE x BAE x 2 como ABCD

es un paralelogramo m c x Luego: BDC es equiltero.

x = 60 RPTA.: B

6. En un trapecio ABCD

BC // AD inscrito en una circunferencia , su altura mide H. Calcule la longitud de la base

media del trapecio, si:

mBC mAD 180 .

A) H

3 B)

H3

2 C) H

D) H2

3 E)

H

2

RESOLUCIN

Como BC // AD

Trapecio ABCD (Issceles)

* Por dato BC AD 180

AB CD =180

AB CD 90 m CAD m BDA 45

* Del grfico, la base media es:

a H H a

H

2

RPTA.: D

7. Segn el grfico, A, B y T son puntos de tangencia. Calcule x.

A) 60 B) 30 C) 45

D) 37 E) 53

RESOLUCIN

En el MNP: ...(I) 60

En el ATB , por propiedad

m T 90

x 90...(II)

Reemplazando (I) en (II) x = 30

RPTA.: B

120

T

x

A B

P

T

x

A B

C

22

N

M

120

C

D

H-aB

90 90

A45

HH

a

H

a45

Geometra

Pgina 374

8. En el grfico, calcule x, si

AE=2(BC) y mCD 20

A) 130

B) 120

C) 110

D) 150

E) 160

RESOLUCIN

Dato:

Sea BC a ; AE = 2a

AO OE a En la semi circunferencia: el

ABE es rectngulo BO a

mCDE 180

Como: mCD 20 DE 160 Luego:

BC BO OE a entonces los arcos son iguales.

BC BO OE CDE 360 180

BC BO OE 60

BCD BC CD 60 20 80 m BED 40

x = 130 RPTA.: A

9. En el grfico:

AT 7mTB mCD, m

BC 1 y T es

punto de tangencia m. Calcule

m TEO .

A) 60 B) 30 C) 50

D) 80 E) 40

RESOLUCIN

Como:

mAT 7mAT 7k; mBC k

1mBC

OHE: m EOH = 60....(1)

En el grfico: k CD 60

k TB 7 120 ..(2)

(2)(1) k TB CD 6 60 6k + 0 = 60

k 10

TB CD 50 m TOE 50

x = 40......( OTE) RPTA.: E

xDC

EoA

B

oA

T

E

D

C

B

30

x

C

D

B

AEa o

40a

a

a

oA

T

E

D

CB

30

60

120

7k

x

k

50

50

H

Geometra

Pgina 375

10. Segn el grfico; calcule mBT , si

ABCD es un paralelogramo (D es punto de tangencia).

A) 60

B) 70

C) 140

D) 120

E) 35

RESOLUCIN

mAB mTD ........ Propiedad

m ADT = 70 En el paralelogramo ABCD:

m BAD + m ADC = 180

mTDC = 40

Luego:

m TD = 80

Pero:

mBDT = 140 ...(ngulo inscrito)

mBT = 140 80 = 60

RPTA.: A

11. Del grfico, Calcule la m BAP,

Siendo T y P son puntos de

tangencia, TB = 4 y r = 5

A) 37 B) 53 C) 30 D) 60 E) 45

RESOLUCIN

Como P y T son puntos de

tangencia, entonces:OP PA y OT TA, adems:

OT OP r 5(dato) En el PHO (notable);

m OPH 53 m BPA 37 x = 53 .....( PBA)

RPTA.: B

D

B

A70

T C

r

TB

A

P

D

B

A70

T C

70

40

70

TB

A

P

5

o

5

x4

5 3

H

Geometra

Pgina 376

12. Calcule x, si AB=BC =DE=FE y

mABC 120 .

A) 60 B) 70 C) 40 D) 30 E) 50

RESOLUCIN

Como:

ABC BOC BOA 120 60 Los tringulos BOC y AOB son

equilteros luego, ODEF es un rombo, donde

m DEF m DOF x DF x

120 xx

2

...........( exterior)

3x = 120

x= 40 RPTA.: C

13. Del grfico, P y T son puntos de tangencia, adems R=3r. Calcule

mPT .

A) 60 B) 105 C) 100

D) 120 E) 90

RESOLUCIN

Del grfico, como TA = R = 3r

AO = 2r

Luego, m TOP 120

mTP 120 RPTA.: D

14. Segn el grfico, calcule

mTC mBC, si AB BC

A) 120 B) 150 C) 180 D) 100 E) 90

T

P

Rr

C

T

B

A

A

C

B

F

D

Eo x

T

P A

2rr

r

30

o

A

C

B

F

D

E

120

x x x60

60

o

Geometra

Pgina 377

RESOLUCIN

En la semi circunferencia el m TBC es recto

El ATC es issceles.

AT TC =2x luego, en el grfico

TC BC 2 2 2 =180

90 =180

RPTA.: C

15. En la figura, mST mQT. 2 Calcule

PS, si T,Q y S son puntos de tangencia.

A) 5

B) 3

C) 2,5

D) 4

E) 6

RESOLUCIN

Sea mQT a

por dato mST a 2

luego, O1 TO2(notable)

1 2m TO O =53

a = 53

PS = 4 RPTA.: D

16. Segn el grfico; AB = 1, BC = CD = 2, adems B, C y T

son puntos de tangencia. Calcule x.

A) 30 B) 37 C) 53

D) 60 E) 53

2

RESOLUCIN

Sea m ATC mTC 2

AB

C

D

x

T

S

T

3

Q 2

P

C

T

B

A

2

2

AB

C

D

x

T

4

3

x2

1

2

2

S

a

3 Q

P

2a

2O2

3

353 53

T4

O1

Geometra

Pgina 378

Como T y C son puntos de tangencia

AT AC 3 m ACT tambin B y T son puntos de

tangencia BD =TD=4

Entonces ATD(notable)

m ADT 37 ; + x = 90 ...(I)

2 2x

372

.........( exterior)

x ...(II) 37

De (I) (II): 2x=53

53

x2

RPTA.: E

17. Si O es el centro del cuadrado ABCD y PA =AD=8. Calcule AM.

A) 6 B) 4

3 C) 3

D) 8

3 E)

2

3

RESOLUCIN

Como ABCD es cuadrado

el lado del cuadrado =8

AH=HD=4

Como O es centro OH=4

Luego: m OPH = 37

2

PA 3x

8 = 3x

x 8

3

RPTA.: D

18. En la figura, calcule ; si T, Q y P

son puntos de tangencia y CB=2(BT)=4(AQ).

A) 53 B)53

2 C) 37

D) 37

2 E) 45

RESOLUCIN

Sea AQ=a BT=2a y BC=4a

Luego ABC (notable)

m BAQ 127

mQP 53

53

2 ..........( inscrito)

RPTA.: B

T

B

C

A

P

Q

D

BC

P A

MO

D

BC

P A

M

o

4x

8 4 H 4

T

B

C

A

P

Q

37

a

2a

2a

a

4a

Geometra

Pgina 379

19. Se tiene el tringulo ABC inscrito

en una circunferencia, en el arco

BC se ubica el punto P, tal que

AP BC , luego se traza PH

perpendicular a AC en H. Calcule

la m EHP si la m ABC 70 y

AP BC = E .

A) 53 B) 35 C) 10

D) 20 E) 30

RESOLUCIN

* En AHB: m HAB 20

* Se traza AQ que pasa por D.

* Por proa. AEDH es inscriptible

m DHE m EAD x

* Por proa.m EPD m HCD

mAB 2 m BPA Luego BPD(issceles)

BE ED ABD (issceles)

x=20 RPTA.: D

20. En la figura mED a y

mBCD b . Calcule x.

A) a b

2 B)

b a

2

C) b a D) a b2

2

E) b a2

2

RESOLUCIN

* Sea: FE c

a cm FAD

2

.......( inscrito)

* En la menor: mFG a c luego

por pro. ex -inscrito: a c

2

A

B

F

E

D

Cx

CH

Q

x

P

A

70

x

D

E

B

2

20

A

B

F

E

D

C

G

a c

2

bx

c a

Geometra

Pgina 380

* En la mayor: T. cuerdas

c mBC

2

.............( interior)

a c c BC

BC a2 2

mCD b a

b a

x

2

RPTA.: B