6. fejezet: Vasbeton gerenda vizsgálatabmeeokepito-cd.bmeeok.hu/CD/Össze_vissza_tárgyak/Vasbetonszerkezetek... · Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet 6. fejezet: Vasbeton gerenda

Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet

6. fejezet: Vasbeton gerenda vizsgálata

6.1. Határnyomatéki ábra előállítása, vaselhagyás tervezése. A határnyíróerő ábra előállítása.

V [kN]

pd=125 kN/m

φ

6φ25

6φ16

VSd.red VSd

K - K

K Anyagok :

Beton: C25/30Betonacél: B60.50

Betonfedés:20 mmKedv.elm.: 10 mm

Megoldás:

2. A határnyomatéki-ábra meghatározása:

2.1. A mértékadó nyomatéki ábra meghatározása:

2.1.1. A megoszló p teherbõl származó nyomaték:

Mkpd L2

⋅

2:=

Mk 390.625 m kN m⋅=

61


L 2.5m:=d 390 mm=d h a−( ):=

b 250mm:=h 450mm:=a 60mm:=

Geometriai jellemzõk:

3.1. Adatok

Tegyük fel, hogy 2 helyen szeretnénk vaselhagyást végezni.

3. Vaselhagyás tervezése a mértékadó nyomatéki ábra alapján:

(eltolt) mértékadó nyomatéki ábra

így a mértékadó nyomatéki ábra:

al 175.5 mm=

al12

z⋅:=

z 0.9 d⋅:=

ahol :

(mivel 45°-os repedés, 90°-os kengyelvasalást alkalmazunk)al12

z⋅=

A hajlítás során eddig feltételeztük, hogy a gerenda a rúdtengelyre merõlegesen reped be.Ez azonban csak akkor van így, ha a tartóban nincs számottevõ nyíróerõ. Ha a nyírás jelentõs,a tartó ferdén reped be, és ezt a nyomatéki méretezés során figyelembe kell venni, mégpedig úgy, hogy a húzott vasalást a tiszta hajlításból számolt értéknél nagyobbra kell méreteznünk.Ez megoldható úgy is, hogy a nyomatéki ábrát a kedvezõtlen irányban a1 távolsággal eltoljuk, ahol a1:

62


Beton:C25/30 : fcdfck1.5

:= fcd 16.667N

mm2=

Beronacél: B60.50 : fydfyk1.15

:= fyd 434.783N

mm2=

A nyomatéki határteherbírás az 1. szakaszon: ( 6 db φ 16-os nyomott, 6.db φ.25-ös húzott vas)

Asl.66 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.6 2.945 103

× mm2=

Asl.ny.66 φny

2⋅ π⋅

4:= Asl.ny.6 1.206 103

× mm2=

Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor:

α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.ny.6 fyd⋅+ Asl.6 fyd⋅−( ) 0=

Ebbõl: xc- t kifejezve:

fyd−Asl.ny.6 Asl.6−( )

α fcd b⋅⋅( )⋅ 181.447 mm=

Asl.66 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.6 2.945 103

× mm2= : 1. szakasz

Asl.44 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.4 1.963 103

× mm2= : 2. szakasz

Asl.22 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.2 981.748 mm2

= : 3. szakasz

(a tartó teljes hosszán végig kell vezetni a teljes hosszvasalás legalább negyedét!)

Asl.ny6 φny

2⋅ π⋅

4:= Asl.ny 1.206 103

× mm2=

Asl.min maxAsl.6

4Asl.2,

⎛⎜⎝

⎞⎠

:=

Asw2 φk

2⋅ π⋅

4:= Asw 157.08 mm2

= Asl.min Asl.2:=

Anyagjellemzõk:

63


fyd−Asl.ny.2 Asl.4−( )

α fcd b⋅⋅( )⋅ 162.926 mm=

- t kifejezve:xcEbbõl:

α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.ny.2 fyd⋅+ Asl.4 fyd⋅−( ) 0=


Asl.ny.2 402.124 mm2=Asl.ny.2

2 φny2

⋅ π⋅

4:=

Asl.4 1.963 103× mm2

=Asl.44 φ

2⋅ π⋅

4:=

A nyomatéki határteherbírás az 2. szakaszon: ( 2 db φ 16-os nyomott vas, 4 db φ 25-ös húzott vas)

Tehát a keresztmetszet hajlításra megfelel!

MR.d.1 MSd>MSd 390.625kN m⋅:=

MRd.1 405.644 kN m⋅=MRd.1 xc b⋅ α⋅ fcd⋅ dxc2

−⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ Asl.ny.6 fyd⋅ d dny−( )⋅+:=

A nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

Tehát mind ahúzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak!

ξc.ny ξco.ny>ξc ξco<

ξco.ny 2.111=ξco.ny560

700 fyd−:=ξco 0.493=ξco

560fyd 700+

:=

A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete:

ξc.ny 3.78=ξc.nyxcdny

:=ξc 0.465=ξcxcd

:=

A nyomott zóna relatív magassága:

xc 181.447mm:=

64


xc 102.443mm:=

fydAsl.2

α fcd b⋅⋅( )⋅ 102.443 mm=


α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.2 fyd⋅−( ) 0=


Asl.2 981.748 mm2=Asl.2

2 φ2

⋅ π⋅

4:=

Megj: ugyan végigvisszük a2 db φ16-os nyomott vasat, de csak szerelési vasként vesszük figyelembe.

A nyomatéki határteherbírás az 3. szakaszon: (2 φ 25-ös húzott vas,)


−⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ Asl.ny.2 fyd⋅ d dny−( )⋅+:=


Tehát mind ahúzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak!

ξc.ny ξco.ny>ξc ξco<

ξco.ny 2.111=ξco.ny560

700 fyd−:=ξco 0.493=ξco

560fyd 700+

:=


ξc.ny 3.394=ξc.nyxcdny

:=ξc 0.418=ξcxcd

:=


xc 162.926mm:=

65


ha a húzott acélbetéteket kampózott végûnek alakítjuk kiαa 0.7=

ha egyenes végû acélbetéteket alkalmazunkαa 1.0=

ahol :

lb.h.net αa lb.h⋅:=

nettó lehorgonyzási hossz:

lb.h 970.497 mm=lb.hφ fyd⋅

4 fbd⋅:=

teljes lehorgonyzási hossz:

1. Húzott vas (φ 25): : bordás acélbetét, C25/30-as bet.szil.fbd 2.8N

mm2:=

Lehorgonyzási hosszak meghatározása:

MRd.3 144.606 kN m⋅=MRd.2 269.247 kN m⋅=MRd.1 405.644 kN m⋅=

A határnyomatékok összefoglalása:

A vaselhagyás tervezése


−⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅:=


Tehát a húzott acélbetétek megfolynak!

ξc ξco<

ξco 0.493=ξco560

fyd 700+:=


ξc 0.263=ξcxcd

:=


66


1 32

MRd3=144.606kNm

MRd0=405.644kNmM.sd=390.625

(eltolt) mértékadó nyomatéki ábra

MRd2=269.247kNm

Határnyomaték ábra Ezt a nyom.-ot a beton veszi fel!

A határnyomatéki ábra (szerkesztéssel):lb.ny.min 582.298 mm=

lb.ny.min max 0.6 lb.h⋅ 100mm,( ):=

A nyomott acélbetét minimális lehorgonyzási hossza:

lb.ny 621.118 mm=

lb.nyφny fyd⋅

4 fbd⋅:=


: bordás acélbetét, C25/30-as bet.szil.fbd 2.8N

mm2:=2. A nyomott vas (φ 16)

lb.h.min 291.149 mm=

lb.h.min max 0.3 lb.h⋅ 10 φ⋅,( ):=

húzott acélbetét minimális lehorgonyzási hossza:

lb.h.net 679.348 mm=

így a nettó lehorgonyzási hossz:

αa 0.7:=

tehát most

67


ahol : 1.6m d− = 1.6m 0.39m− 1.21 m=k 1.21 m=

és ρl :

ρl minAsl.6b d⋅

0.02,⎛⎜⎝

⎞⎠

:= ahol: Asl.6b d⋅

= 2945250 390⋅

0.03=

ρl 0.02=

VRd.1.1 70.785 kN=

2.szakaszon:

VRd.1.2 τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=

Megj: a konzol-befogásnál a hosszirányú vasak lehorgonyzásáról a falban gondoskodunk! (nincs határnyom. csökkenés a lehorgonyzás miatt!)

2. a határnyíróerõ-ábra meghatározása:

Az elõzõ gyakorlaton meghatároztuk a szükséges kenygyeltávolságokat az AB, BC, CD szakaszokon:

sAB.alk 120mm:= sBC.alk 210mm:= sCD.alk 300mm:=

Megterveztük a kengyelkiosztást, és meghatároztuk az alkalmazott vasalással felvehetõ nyíróerõk értékét:

1. szakaszon: 2.szakaszon: 3.szakaszon:

VW.d.AB 199.764kN:= VW.d.CD 114.151kN:= VW.d.CD 79.906kN:=

Határozzuk meg a tényleges hosszvasalás segítségével a beton által felvehetõ nyíróerõk nagyságát:

1. szakaszon:

VRd.1.1 τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=

ahol k:

k max 1.6m d− 1.0m,( ):=

68


ahol k:

k max 1.6m d− 1.0m,( ):= ahol : 1.6m d− = 1.6m 0.39m− 1.21 m=k 1.21 m=

és ρl :

ρl minAsl.2b d⋅

0.02,⎛⎜⎝

⎞⎠


= 981.75250 390⋅

0.01=

ρl 0.01=

VRd.1.3 56.726 kN=

A tényleges kengyelkiosztás felhasználásával, a hosszvasalás figyelembevételével az egyes szakaszokhoz tartozó határnyíróerõk ismeretében a tartó határnyíróerõ ábrája egyszerûen megszerkeszthetõ:

VSd.red 263.75kN:=

ahol k:


és ρl :

ρl minAsl.4b d⋅

0.02,⎛⎜⎝

⎞⎠


= 1963250 390⋅

0.02=

ρl 0.02=

VRd.1.2 70.785 kN=

3.szakaszon:

VRd.1.3 τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=

69


Hat

árny

íróer

õáb

ra

Mér

téka

dóny

íróer

õáb

ra

A

1

BC

2

D

3

VR

d.1.

3=56

.726

kN

VRd

.3.A

B=27

0.54

9kN

VRd

.3=1

70.8

77kN

VRd

.3=1

36.6

22kN

VSd

.Red

=263

.75k

N

12

3

Até

nyle

gesh

ossz

vasa

lási

"sza

kasz

ok"

VR

d.1.

2=70

.785

kNV

Rd.1

.1=7

0.78

5kN

VRd

.3=2

70.5

49kN

VR

d.3=

184.

936k

N

70


τRd 0.26N

mm2:=

fcd 13.333N

mm2=fcd

fck1.5

:=

Beton: C20/25

Anyagjellemzők:

c 320mm:=φk 10mm:=h 600mm:=

lnet 3.80m:=φ 20mm:=b 450mm:=

Alapadatok:

Betonfedés:25 mmKedv.elm.: 10 mm

Terhek:

g=80 kN γG=1.35 q=100kN γQ=1.5

Anyagok :

Beton: C20/25Betonacél: B60.50Kengyel: B38.24

Elméleti támaszvonal

φ

φ

7.2. Határnyomatéki és határnyíróerõ ábra elõállítása felhajlított vas esetén.

71


z 0.9 d⋅:=

ahol :

(mivel 45°-os repedés, 90°-os kengyelvasalást alkalmazunk)al12

z⋅=

a nyomatéki ábra eltolása:

1.1. Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra elõállítása:

1. A határnyomatéki ábra elõállítása:

leff 3.99 m=

lnet c+ 4.12 m=

1.05 lnet⋅ 3.99 m=ahol:leff min 1.05 lnet⋅ lnet c+,( ):=

Az elméleti támaszköz:

zs 510 mm=zs h 2 25 10+202

+⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ mm−:=

A felsõ és az alsó vasak közötti távolság:

d 545 mm=d h 25 10+202

+ 10+⎛⎜⎝

⎞⎠

mm−:=

A hasznos magasság:

Asw 157.08 mm2=Asw

2 φk2

⋅ π⋅

4:=

Asl 2.827 103× mm2

=Asl9 φ

2⋅ π⋅

4:=

Geometriai jellemzõk:

fyd.w 208.696N

mm2=fyd.w

fyk.w1.15

:=

Kengyel acél: B38.24

fyd 434.783N

mm2=fyd

fyk1.15

:=

Betonacél: B60.50

72


al12

z⋅:=

al 245.25 mm=

A tartó totális terhelésébõl keletkezõ nyomaték a tartó közepén:

MS.d.maxγG g⋅ γQ q⋅+( ) leff

2⋅

8:= MS.d.max 513.423 kN m⋅=

így az eltolt mértékadó nyomatéki ábra:

M.sd=514.71

1 2 3

1.2. Az alkalmazott hosszvasalásokkal felvehetõ max. nyomatékok

A nyomatéki határteherbírás az 1. szakaszon: (feltéve, hogy a húzott ac.betétek folynak,elvileg megjelenik +1 db A.s.ny a felhajlított vas miatt, de ennek hatását elhanyagoljuk)

Asl.77 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.7 2.199 103

× mm2=


Ebbõl: xc- t kifejezve:Asl.7

fydα fcd b⋅⋅( )

⋅ 159.356 mm=

73


ξc 0.334=ξcxcd

:=


xc 182.121mm:=

Asl.8fyd

α fcd b⋅⋅( )⋅ 182.121 mm=



Asl.8 2.513 103× mm2

=Asl.88 φ

2⋅ π⋅

4:=

A nyomatéki határteherbírás az 2. szakaszon: (feltéve, hogy a húzott ac.betétek folynak)


−⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅:=


Tehát a húzott acélbetétek megfolynak !

ξc ξco<

ξco 0.493=ξco560

fyd 700+:=


ξc 0.292=ξcxcd

:=


xc 159.356mm:=

74


ξc ξco<

ξco 0.493=ξco560

fyd 700+:=


ξc 0.376=ξcxcd

:=


xc 204.886mm:=

Asl.9fyd

α fcd b⋅⋅( )⋅ 204.886 mm=



Asl.9 2.827 103× mm2

=Asl.99 φ

2⋅ π⋅

4:=

A nyomatéki határteherbírás az 3. szakaszon: (feltéve, hogy a húzott ac.betétek folynak)


−⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅:=



ξc ξco<

ξco 0.493=ξco560

fyd 700+:=


75


lb.h.net αa lb.h⋅:=

ahol :

αa 1.0= ha egyenes végû acélbetéteket alkalmazunk

αa 0.7= ha a húzott acélbetéteket kampózott végûnek alakítjuk ki

tehát most

αa 0.7:=

így a nettó lehorgonyzási hossz:

lb.h.net 634.058 mm=

húzott acélbetét minimális lehorgonyzási hossza:

lb.h.min max 0.3 lb.h⋅ 10 φ⋅,( ):=

lb.h.min 271.739 mm=

A felvekvési hossz ellenõrzése:

25mmφ

2+ lb.h.min+ 306.739 mm= < c 320 mm= megfelel !



Ekkor:MRd.3 xc b⋅ α⋅ fcd⋅ dxc2

−⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅:= MRd.3 544.042 kN m⋅=

Tehát a határnyomatékok az egyes szakaszokon:

MRd.1 444.911 kN m⋅= MRd.2 496.031 kN m⋅= MRd.3 544.042 kN m⋅=

1.3. A húzott acél lehorgonyzási hossza:

fbd 2.4N

mm2:= : bordás acélbetét, C20/25-as bet.szil.1. Húzott vas (φ 25):


lb.hφ fyd⋅

4 fbd⋅:= lb.h 905.797 mm=

nettó lehorgonyzási hossz:

76


1.4 Tehát a határnyomatéki ábra:

M.RD.2=496.031kNm

M.RD.1=444.911kNm

1 2

M.RD.3=544.042kNm

M.sd=514.71

3

Kinagyítva a legfontosabb részletet:

elm. támaszvonal

2. A határnyíróerõ ábra elõállítása

2.1 A mértékadó nyíróerõ ábra meghatározása:

A tartó szélén akkor kapunk max. nyíróerõt, ha az állandó és a hasznos terheka tartó egészén hatnak.

77


VS.d.AγG g⋅ γQ q⋅+( ) leff⋅

2:= VS.d.A 514.71 kN=

A középsõ keresztmetszetben akkor kapunk max. nyíróerõt, ha a teher csak a tartó felén hat.Feltéve, hogy az állandó teher egyenletesen oszlik meg a tartó teljes hosszán, a nyíróerõ a tartóközepén csak a tartó felén ható hasznos teherbõl keletkezik:

VS.d.K γQ q⋅leff8

⋅:= VS.d.K 74.813 kN=

A két számított pont között a nyíróerõábra másodfokú parabola. A biztonság javára történõ közelítésselezt most lineárisnak vesszük fel.

Mivel az elméleti megtámasztástól d távolságra ható megoszló teherrõl feltesszük, hogy közvetlenüla támaszra adódik át, így a redukált nyíróerõábra maximuma:

VSd.red VS.d.A γG g⋅ γQ q⋅+( ) d⋅−:=

VSd.red 374.1 kN=

így a mértékadó nyíróerõ ábra:

VSd.RED=374.10

VSd.K=74.813

78


k 1.055 m=1.6m 0.545m− 1.055 m==1.6m d−ahol :k max 1.6m d− 1.0m,( ):=

ahol k:

VRd.1.1 τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=

s.1 szakaszra:

Határozzuk meg a tényleges hosszvasalás segítségével a beton által felvehetõ nyíróerõk nagyságát:

sk.b 120mm:=

A középsõ szakaszon:

sk.sz 70mm:=

A függõleges kengyelek távolsága a tartó szélsõ 1440mm-es szakaszán:

s4 780mm:=

s3 280 mm=s3leff2

s1− s2− 780mm−:=

s2 390mm:=

s1 545mm:=

Így a geometriából:

1. tartó középvonalának megszerk.2. a felh. vasak és a közép- vonal metszéspontjának meghat.3. a metszéspontok közötti szakasz felezõpontjának meghat.

kb.= z*ctgα

A felhajlított vasak hatástávolságának határai:

2.2. a határnyíróerõ ábra tervezési értékének meghatározása:

79


Asl.7b d⋅

= 2199450 545⋅

8.966 10 3−×=

ρl 0.01=

VRd.1.2 108.302 kN=

s.3 szakaszra:

VRd.1.3 τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=

ahol k:


és ρl :

ρl minAsl.9b d⋅

0.02,⎛⎜⎝

⎞⎠


= 2827450 545⋅

0.012=

ρl 0.012=

VRd.1.3 111.749 kN=

és ρl :

ρl minAsl.7b d⋅

0.02,⎛⎜⎝

⎞⎠


= 2199450 545⋅

8.966 10 3−×=

ρl 8.967 10 3−×=

VRd.1.1 104.855 kN=

s.2 szakaszra:

VRd.1.2 τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=

ahol k:


és ρl :

ρl minAsl.8b d⋅

0.02,⎛⎜⎝

⎞⎠

:= ahol:

80


Asl.1 314.159 mm2=ésfyd 434.783

N

mm2=ahol :Vwd.felh 0.9 d⋅

Asl.1 fyd⋅

s⋅ 2⋅:=

Asw 157.08 mm2=és fyd.w 208.696

N

mm2=ahol :Vwd.kengyel 0.9 d⋅

Asw fyd.w⋅

s⋅:=

Vcd τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=

Ahol:

szakasz Vcd VRd3s Vw d.kengyel s V.w d.felh

1 104,855 70 228,8 545 173,9 457.62 108,302 70 228,8 390 243,1 457.63 111,749 70 228,8 - - 340,54 111,749 120 133,5 - - 245,2

V.w d.felh.Vw d.kengyel

A határnyíróerõ tervezési értékeit az alábbi táblázatban adjuk meg:

Tehát a geometriai kialakítás megfelelõ!

VSd.red 374.1 kN= >VRd.2 882.9 kN=

ν 0.6=

ν max 0.7fck200

− 0.5,⎛⎜⎝

⎞⎠

:=

ahol:

VRd.212

ν⋅ fcd⋅ b⋅ 0.9⋅ d⋅:=

A beton tönkremeneteléhez tartozó nyíróerõ:

VRd.1.3 111.749 kN=VRd.1.2 108.302 kN=VRd.1.1 104.855 kN=

Tehát a beton által felvehetõ nyíróerõ:

81


VRd.3 Vcd Vwd.kengyel+ Vwd.felh+:=

Vagy:

VRd.3 2 Vwd.kengyel⋅:= Megj : EC2 előírás, hogy amennyiben nyírási vasalást alkalmazunk, a gerendára ható nyíróerő legalább felét függőleges kengyelekkel kell felvenni!

A határnyíróerõ ábra tehát:

82

Documents

6. fejezet: Vasbeton gerenda vizsgálatabmeeokepito-cd.bmeeok.hu/CD/Össze_vissza_tárgyak/Vasbetonszerkezetek... · Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet 6. fejezet: Vasbeton gerenda