Embed Size (px)
Citation preview
1
به نام خدا
مبحث نمودارها
ارائه ي تمام نکات تستی و کنکوري
همراه با تست هاي سراسري و سنجش و خارج از کشور
(1380-92)
ویژه ي داوطلبان رشته ي ریاضی و تجربی
مولف : ابراهیم پناهی
مخابرات-دانشجوي دکتري مهندسی برق
دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی
دانشگاه آزاداستاد
دبیرستان هاي تهران دبیر
Email : [email protected] My Phon : 09196025850
مرداد ماه 1392
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
2
توضیحات :
وارد بازار خواهد شد .این کتاب کمک آموزشی که 92جزوه تهیه شده در واقع بخشی از کتاب کمک آموزشی اینجانب است که زمستان سال سال اخیر و به صورت شبانه روزي تهیه شده است.2اکنون در مرحله ي ویرایش نهایی است , به مرور زمان و طی
ت همه ي آنها تست هاي ارائه شده و عوامل مهمی باعث نگارش این کتاب شده است,یکی این که در اکثر کتاب هاي کمک آموزشی و شاید بشه گف تهیه شده براي داوطلبان عزیز کنکور به صورت مخلوط و غیراستاندارد است.
عدم استاندارد بودن تست ها یکی از عواملی است که در تمرکز داوطلبان کنکور نقشی بسیار منفی دارد.دیگه اینکه تمام چیزایی رو که یک بزنه در این کتاب آورده شده است. %100آنها می تونه درس ریاضی را داوطلب کنکور با دانستن و رعایت
مباحث یک سري فاکتورها را در وجود خود تقویت کنید.فاکتورهایی مانند (افزایش قدرت محاسباتی
اینجانب به نوبه ي خودم هرگز به شاگرداي خصوصی خودم طی چند سال اخیر اجازه ندادم که به جز تست هاي سراسري و سنجش و خارج از ر نیز گواه درستی این ادعاست.کشور , تست دیگري را مطالعه کنند؛موفقیت آنها طی سال هاي اخیر در آزمون کنکو
شاید برخی از شماها بگید که در این صورت ممکنه با کمبود تست مواجه شوید.اما می تونید یک تست رو چندین بار حل کنید خوب.تکرار و تمرین خودش یکی از عوامل موفقیت طی هر فرایندي ست.
این بوده است که براي همه ي مباحث روش هایی و راهکارهایی سریع که شما در کتاب آموزشی که پیش روي شماست , تمام سعی اینجانب برر بخش داوطلبان را در کوتاه ترین زمان ممکن به پاسخ صحیح می رساند ارائه شده است.البته این راهکارها و ترفندها در همه ي مباحث درسی و د
هاي مختلف ارائه شده است.
ل بر توصیه ي بنده به همه ي داوطلبان عزیز این است که براي اینکه به بهترین رتبه هاي کنکور نائل شوید فقط یادگیري مطالب و حتی تسلط کاممباحث نیز نمی تواند ضامن موفقیت شما در کنکور باشد.اگر قصد دارید جزو رتبه هاي برتر کنکور باشید سعی کنید عالوه بر تسلط کافی بر
تکنیک هاي –پرهیز از نوشتن تا حد ممکن –محاسباتی و ...).
ر گیرد.امیدوارم که جزوه هاي تهیه شده که در خدمت شما داوطلبان عزیز و گرامی قرار می گیرد موجب رضایت شما داوطلبان عزیز قرا
مبحث نمودارها نیز یکی از مباحث ریاضیات است که معموال یک سوال از آن در آزمون کنکور سراسري براي شما داوطلبان ریاضی و تجربی طرح می شود.
مربوط به نمودار ها و شما داوطلبان عزیز کنکور می توانید با دانستن نکاتی که در واقع می توان از آنها به عنوان نکات گره گشا در حل تست هاي یاد برد , به راحتی از عهده ي این گونه تست ها بر بیائید.
داوطلبان عزیز می توانند براي تهیه ي جزوات کنکوري به صورت موضوعی و کالس خصوصی با اینجانب تماس بگیرید.
موفق باشید.
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
3
*بررسی نمودار توابع :
yبه صورت تابع درجه ي دوم : -1 = ax + bx + c نمودار آن به شکل سهمی قائم بوده و به صورت زیر است :بیان می گردد و
aماکزیمم < 0 داراي aنیمم > 0 دارايمی
دست می آید :طول راس سهمی یا محور تقارن منحنی توابع درجه ي دوم به صورت زیر به
راسسهمی → (−b
2a ,−∆
4a)
y ها : 퐱نقطه ي تالقی با محور * = 0
xها : 퐲*نقطه ي تالقی با محور = 0
*در مورد تعداد نقاط تالقی و ریشه هاي معادله ي درجه ي دوم همانطور که می دانیم روابط زیر برقرار است :
⎝
⎜⎛∆> دونقطهيتالقیبامحورطولها0∆= مماسبرمحورطولها0∆< محورطولهاراقطعنمیکند0
x + x = −ba , x x =
ca
تابع درجه ي سوم :*
f(x)به فرم کلی = ax + bx + cx + d: بیان می گردد
퐱مرکز تقارن منحنی توابع درجه ي سوم همان طول نقطه ي عطف آنها یعنی = − 퐛ퟑ퐚
می باشد.
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
4
*بررسی نمودار توابع درجه ي سوم :
مشتق تابع دو ریشه داشته باشد : الف –
عطف
a > 0a < 0
نقطه ي عطف دارد و نقطه ي عطف آن از قضا وسط پاره خط واصل بین نقاط ماکسیمم و می نیمم آنهاست.این تابع همانطور که دیده می شود دو اکسترمم و یک
طولنقطهيعطف =x + x
2 عرضنقطهيعطف =y + y
2
مشتق تابع ریشه مضاعف داشته باشد : –ب
ها خواهد بود.xدر این حالت تابع اکسترمم نداشته و یک نقطه ي عطف خواهد داشت. ضمنا مماس بر نقطه ي عطف افقی و موازي محور
a > 0a < 0
مشتق ریشه نداشته باشد :–ج
نداشته و یک نقطه ي عطف خواهد داشت که مماس در این نقطه مایل است.در این حالت تابع اکسترمم
a > 0a < 0
w w w . k o n k u r . i n
f o r u m . k o n k u r . i n
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
5
*نمودار توابع مثلثاتی :
ره ي تناوب آنهاست. در حالت کلی دوره ي تناوب در توابع مثلثاتی یکی از مهم ترین فاکتورهایی که در رسم این گونه نمودار ها ما را کمک می کند , دانستن دو مثلثاتی به صورت زیر به دست می آید :
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
f(x) = asinbx
T =2π|b|
f(x) = acosbxf(x) = atgbx
T =π
|b|f(x) = acotgx
در یک دوره ي تناوب به صورت زیر است :cosbxو sinbx*نمودار توابع
퐓퐓
یم شاره کن* مجانب ها نقش مهم و تعیین کننده اي در حل سواالت مربوط به نمودار ها دارند. قبل از اینکه به مهم ترین نکات موجود در این زمینه ااندازه اي این مبحث را مرور می کنیم :براي یادآوري تا ,
*مجانب ها :
مجانب ها خطوط مستقیمی هستند که رفتار تابع را در بی نهایت مشخص می کنند و بر سه نوع اند :
:مجانب قائم–الف
xخط = a را مجانب قائم نمودار تابعf: گویند هرگاه داشته باشیم
lim→
f(x) = ±∞
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
6
نکته :
xشرط اینکه خط = a مجانب قائم نمودار تابعf باشد , آن است که تابع در آن نقطه تعریف نشده باشد و وقتی کهx از دوطرف و یا فقط از یکی از سمت هايبی کران افزایش یا کاهش یابد. لذا مجانب قائم معموال در توابع کسري و یا توابع لگاریتمی وجود دارد.f(x)میل کند , aراست و چپ به سمت
*محاسبه ي مجانب قائم در توابع کسري :
براي محاسبه ي مجانب قائم در توابع کسري , مخرج کسر را مساوي صفر قرار داده و ریشه یا ریشه هاي مخرج را به دست می آوریم.
فر نکنند.را صکسر دقت داشته باشید که به شرطی ریشه هاي مخرج , مجانب قائم درنظر گرفته می شوند که صورت ) :1نکته ي (
اگر برد تابع محدود باشد تابع داراي مجانب قائم نخواهد بود.) : 2نکته ي (
*مجانب افقی :
yخط = a را مجانب افقی تابعf: گویند هرگاه داشته باشیم
y = lim→±
f(x) = a
در صورت نامحدود بودن دامنه ي تابع , کافی ست حد تابع در بی نهایت را محاسبه نموده و در صورتی که حاصل fلذا براي به دست آوردن مجانب افقی تابع عدد حقیقی باشد آن را به عنوان مجانب افقی درنظر می گیریم.
هر تابع حداکثر دو مجانب افقی دارد.) : 1نکته (
مخرج باشد , تابع مجانب افقی ندارد.در توابع کسري , اگر درجه ي صورت بیشتر از ) : 2نکته (
*مجانب مایل :
را مجانب مایل مایل نمودار تابع خط y = ax + bf می نامیم و براي محاسبه ي مقدارa وb: به صورت زیر عمل می کنیم
a = lim→±
f(x)x
b = lim→±
f(x) − ax
ندارد.اگر دامنه یا برد تابع محدود باشد , آنگاه تابع مجانب مایل
w w w . k o n k u r . i n
f o r u m . k o n k u r . i n
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
7
) : 1نکته مهم (
نکته مهم (
توابع کسري در صورتی مجانب مایل دارند که درجه ي صورت دقیقا یک واحد بیشتر از درجه ي مخرج باشد. اگر درجه ي صورت برابر یا کمتر از درجه ي مخرج باشد , تابع مجانب افقی خواهد داشت.
یک واحد دقیقا بیشتر باشد , خارج قسمت صورت بر مخرج همان مجانب مایل است.در توابع کسري اگر درجه ي صورت از درجه ي مخرج) : 2
ندر توابعی که کسري نیستند و به صورت حاصل جمع یا تفاضلی از توابع به ویژه رادیکالی با توابع دیگر داده می شوند , براي به دست آورد) : 3نکته مهم ( را در بی نهایت محاسبه نماییم.مجانب مایل نمودار تابع , کافی ست حد تابع
*عطف افقی و قائم :
است. یا افقی و یا قائممشتق دوم تابع تغییر عالمت می دهد و مماس بر نمودار تابع در این نقطه در نقطه ي عطف
اما حتما باید در این نقطه تغییر عالمت دهد.دقت داشته باشید که لزومی ندارد که در نقطه ي عطف تابع حتما مقدار مشتق دوم تابع صفر باشد.
*مهم ترین نکات در حل مسائل مربوط به نمودارها :
fاگر تابع در یک نقطه اي داراي مماس افقی باشد , در آن نقطه الزاما -1 (c) = خواهد بود.0
fدر نقطه ي عطف یک تابع , مشتق دوم برابر صفر خواهد بود : -2 (c) = 0
fدر نقاط ماکسیمم و می نیمم نسبی نیز تابع داراي مماس افقی بوده و مشتق تابع در آن نقاط نیز صفر خواهد شد. -3 (c) = 0
ها مماس باشد و در آن نقطه داراي ماکسیمم و یا می نیمم باشد , بالطبع تابع باید در آن نقطه داراي ریشه ي مضاعف یا xهرگاه قسمتی از نمودار بر محور -4 مکرر باشد و همانطور که می دانیم شرط داشتن ریشه ي مضاعف براي یک تابع درجه ي دوم , صفر بودن مبین یا دلتاي آن معادله است.
∆= b − 4ac = 0
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
8
xهرگاه خط -5 = aتنها مجانب نمودار تابع باشد و عبارت مخرج تابعی درجه ي دو...آنگاه مخرج کسر باید ریشه ي مضاعف داشته باشد و البته به مثبت و منفی بودن مجانب قائم نیز در نمودار داده شده حتما توجه نمائید.
نطور که می دانیم شرط صعودي بودن یک تابع مثبت بودن مشتق آن و شرط همابه صعودي و نزولی بودن نمودار تابع داده شده هم حتما توجه داشته باشید.-6 است.xنزولی بودن آن , منفی بودم مقدار مشتق تابع به ازاي همه ي مقادیر
به نقاطی که نمودار از آن ها می گذرد حتما توجه داشته باشید. مخصوصا نقاط تالقی نمودار با محورهاي مختصات.-7
در یک نقطه یعنی مقدار حدي آن از سمت چپ و راست نقطه حتما توجه داشته باشید.به رفتار تابع -8
حاصل می شوند.∞±حتما دقت داشته باشید که مجانب افقی و مایل تابع به ازاي چه مقادیري از -9
و می نیمم ماینکه نقطه ي ماکسیمم و می نیمم نسبی تابع روي محور افقی باشد توجه کنید. می دانید که در این حالت مقدار تابع به ازاي نقاط ماکسیمبه-10 نسبی باید برابر صفر باشد.
ار دارند.همواره توجه داشته باشید که نقاط اکسترمم نسبی و عطف تابع در کدام ناحیه ي محورهاي مختصات قر-11
limحتما به یاد دارید که : -12→±
√ax + bx + c ≅ √a x +
شرط همواره مثبت یا منفی بودن یک تابع درجه ي دوم را هم باید در نظر داشته باشید :-13
هموارهمثبت ∶ a > 0,∆< هموارهمنفی0 ∶ a < 0,∆< 0
مقدار اختیار می کنند. -1و 1همانطور که می دانید توابع معکوس مثلثاتی سینوس و کسینوس یک کمان همواره بین دو مقدار -14
متقارن باشد زوج و هرگاه نسبت به مبداء حتما به زوج و فرد بودن تابع توجه داشته باشید. می دانیم که از لحاظ نموداري هرگاه تابع نسبت به محور عرض ها-15 مختصات متقارن باشد فرد خواهد بود.
نقاط ماکسیمم و می نیمم نسبی و عطف تابع در ضابطه ي تابع صدق می کند.-16
ت ل کدام اکسترمم نسبی به دسگاهی باید توجه داشته باشید که اگر معادله ي درجه ي دوم حاصل از مشتق تابع داراي دو ریشه باشد , باید ببینید که طو-17 بتوانید به مثبت بودن یا منفی بودن جمع دو اکسترمم پی ببرید.آمده بیشتر است تا
دریکمعادلهيدرجهيدوم → مجموعدوریشه = −ba ضربدوریشهو =
ca
به صورت یک دایره ي توخالی نمایش داده باشند , اما در آن نقطه داراي حد هرگاه تابع در یک نقطه تعریف نشده باشد. یعنی در نمودار داده شده آن نقطه را-18اشد تا صورت نیز بباشد , باید دقت داشته باشید که در صورتی که عبارت داده شده کسري باشد و به ازاي آن نقطه مخرج تابع صفر شود , این عدد باید ریشه ي
بتوانید مقدار حدي تابع در آن نقطه را محاسبه کنید.کسر به حالت مبهم درآمده و با رفع این ابهام
حتما به رفتار تابع در بی نهایت دقت کنید.-19
:ندآزمون مشتق دوم نیز یکی از مواردي است که در تعیین جهت تقعر منحنی و تشخیص گزینه ي صحیح از بین نمودارهاي داده شده به ما کمک می ک-20
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
9
تقعر منحنی تابع(نقاط اکسترمم نسبی) :آزمون مشتق دوم براي تعیین جهت
مشتق پذیر باشد , آن گاه می توان گفت :cروي یک بازه ي باز شامل fفرض می کنیم تابعی مانند
fاگر –الف (c) > y, تقعر منحنی نمایش تابع 0 = f(x) در نقطه ي(c, f(c))).رو به باالستf درc(.مینیمم نسبی دارد
fاگر -ب (c) < y, تقعر منحنی نمایش تابع 0 = f(x) در نقطه ي(c, f(c))) .رو به پایین استf درc(.ماکسیمم نسبی دارد
fاگر -ج (c) = , آزمون بی نتیجه است.0
حتما به مثبت یا منفی بودن عرض از مبداء نمودار تابع داده شده دقت داشته باشید.-21
یا باالي مجانب مایل تابع باشد نیز حتما توجه کنید.به اینکه نمودار تابع داده شده تماما زیر-22
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
10
"تست هاي جامع سنجش و سراسري داخل و خارج از کشور"
퐲شکل روبرو نمودار تابع -1 = 퐚퐱ퟒ + ퟐ퐱ퟑ + 퐛퐱ퟐ .است퐚 92کدام است؟(سراسري تجربی(
1(−ퟏ 2 (−ퟏퟐ
3 (−ퟏퟒ
4 (ퟏퟒ
y
3x
صحیح است.2گزینه ي
اطالعاتی که می توانیم از نمودار تابع داده شده به دست آوریم را اعمال می کنیم :
*مبداء مختصات تابع هم نقطه ي عطف تابع بوده و هم مماس در این نقطه افقی است :
f (0) = 0 → 4ax + 6x + 2bx = 0 → 0 = 0 دده اطالعاتخاصیبهمانمی
f (0) = 0 → 12ax + 12x + 2b = 0 → 2b = 0 → b = 0
xهمانطور که مشاهده می شود تابع در نقطه ي = داراي ماکسیمم نسبی نیز هست و می توان نوشت :3
f (3) = 0 → 4ax + 6x + 2bx = 0 → 108a + 54 + 6b = 0 108a + 54 = 0 → a = −54
108 = −12
퐲شکل روبرو قسمتی از نمودار تابع -2 = 퐚퐬퐢퐧훑(ퟏퟐ
+ 퐛퐱) .است퐚.퐛 92کدام است؟(سراسري ریاضی(
1(2 2 (2.5 3 (3 4 (4.5
퐲
2
−ퟐ.ퟓퟑ.ퟓ퐱
-2
صحیح است.1گزینه ي
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
11
اطالعاتی که از نمودار تابع به دست می آید به صورت زیر است :
x*مقدار تابع در = است. پس می توان نوشت :2برابر 0
f(0) = 2 → asinπ2 = 2 → a = 2
محاسبه ست برايدر چنین تست هایی توجه داشته باشید که با توجه به اینکه نمودار تابع در طول یک دوره ي تناوب چندین بار صفر گردیده است , پس بهتر ا* , از دوره ي تناوب تابع کمک بگیرید :bي مقدار عددي
قبل اینکه دوره ي تناوب تابع را به دست آوریم , بهتر است ضابطه ي تابع را ساده تر کنیم :
y = asinπ12 + bx = asin
π2 + bπx = acosbπx → T =
2π|bπ| =
2|b|
همانطور که از نمودار تابع پیداست می توان نوشت :
7T4 = 3.5 → 7T = 14 → T = 2
| |
2|b| = 2 → |b| = 1 → b = ±1 → a. b = ±2
در گزینه ها موجود است.2که فقط مقدار عددي
퐟(퐱)شکل روبرو نمودار تابع با ضابطه ي -3 = 퐱ퟑ 퐚퐱ퟐ
퐱ퟐ 퐛퐱 퐜퐛퐜)است. عدد − 퐚)92ی ضکدام است؟(سراسري ریا(
1(2- 2 (1- 3 (1 4 2 (
퐲
ퟏ퐱
صحیح است.1گزینه ي
اطالعاتی که از نمودار داده شده به دست می آیند به این صورت می باشند :
x*خط = خرج تابع یک عبارت درجه ي دوم است , باید دو ریشه داشته باشیم , چون فقط یک مجانب قائم داریم یعنی این منمودار است.اما چون مجانب قائم 1 ریشه , یا مجانب قائم تابع , ریشه ي مضاعف مخرج عبارت داده شده باید باشد و می توان نوشت :
f(x) = x + bx + c = (x − 1) = x − 2x + 1بامقایسهنظیربهنظیر
b = −2, c = 1
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
12
x*نمودار تابع از مبداء مختصات می گذرد. یعنی به ازاي = مقدار تابع نیز باید صفر شود : 0
x + axx + bx + c = 0 → x + ax = 0 → x (x + a) = 0 → x = 0 → x = 0
x + a = 0 → x = −a → a = 0
در نتیجه با توجه به مقادیر به دست آمده خواهیم داشت :
bc − a = (−2)(1)− 0 = −2
퐲شکل روبرو نمودار تابع -4 = 퐱ퟑ 퐚퐱ퟐ
퐱ퟐ ퟐ퐱 퐛퐚است. + 퐛 92کدام است؟(سنجش جامع ریاضی(
1(2 2 (3 3 (4 4 (5
صحیح است.3گزینه ي
اما مشتق اول و دوم *همانطور که از نمودار تابع پیداست , تابع در مبداء مختصات داراي نقطه ي عطف بوده و مماس در این نقطه از منحنی افقی است. یعنی الز تابع در این نقطه باید صفر باشد :
باید صفر باشد و نیازي به این نیست که شما قاعده ي مشتق تقسیم را براي یک و یا حتی دو بار در aدانش آموزان عزیز توجه داشته باشند که الزاما مقدار عددي این تست به کار ببرید. چرا؟
می رسید که این نکته را به ما الزام می دارد که 2aبدون توجه به مشتق سایر عبارات , به عبارت axبراي اینکه با یکبار و دوبار حتی مشتق گرفتن از عبارت صفر باشد.aباید مقدار عددي
. درسته که هیچ عددي در نمودار به ما نداده شده است , اما می توانید با تقسیم صورت کسر به مخرج آن به محانب مایل نمودار تابع برسید
x x − 2x + b
−x + 2x − bxx + 2
2x − bx
−2x + 4x − 2b
(4− b)x − 2b
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
13
y = x + 2 +(4 − b)x − 2b
x − 2x + b
را قطع نمی کند الزاما باید با توجه به اینکه نمودار تابع خط مجانب y = x + و در نتیجه 2 4 − b = 0b = باید باشد.4
a + b = 0 + 4
퐲نمودار تابع -5 = 퐱ퟑ
퐱ퟐ ퟏ )91در حوالی مبداء مختصات چگونه است؟(سراسري تجربی
صحیح است.4گزینه ي
سعی کنید در این گونه تست ها ابتدا به تفاوت موجود در نمودارهاي داده شده در گزینه ها توجه نمائید.
xمماس بر منحنی در نقطه ي 4در نمودار داده شده در گزینه ي = است. یعنی باید در این نقطه مقدار مشتق تابع صفر باشد.یعنیء مبداء مختصات افقی 0
پس مقدار مشتق تابع را به ازاي این نقطه محاسبه می کنیم :
y =3x (x + 1) − (2x)(x )
(x + 1) =x + 3x(x + 1) y (0) = 0
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع -6 = 퐚퐱ퟐ 퐛퐱 ퟐ퐱ퟐ ퟏ
)91ریاضی کدام است؟(سراسري (퐚,퐛)است. دوتایی مرتب
1((ퟏو − ퟐ) 2 ((ퟏوퟐ) 3 ((ퟐو − ퟒ) 4 ((ퟐوퟒ)
퐲
퐱
صحیح است.3گزینه ي
اطالعاتی که از نمودار داده شده به دست می آید را مورد بررسی قرار می دهیم :
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
14
x*نمودار تابع مجانب افقی خود را در = xقطع کرده است. براي به دست آوردن مجانب افقی تابع می توان به راحتی با محاسبه ي مقدار تابع به ازاي 0 = 0 مجانب افقی تابع را محاسبه نمود :
f(x = 0) =21 = 2 → y = 2
yپس خط = محاسبه نمود. با این حساب مجانب افقی تابع بوده و همانطور که می دانیم براي محاسبه ي مجانب افقی یک تابع حد بی نهایت آن را باید2 خواهیم داشت :
y = lim→±
f(x) = lim→±
ax + bx + 2x + 1 ≅
axx = a
درنتیجهa = 2
yبا خطfها مماس است. پس معادله ي تالقی تابع xها بر محور yدر سمت راست محور f*با توجه به شکل نمودار تابع = یعنی باید ریشه ي مضاعف دهد. 0 باید داشته باشیم :
ax + bx + 2x + 1 = 0 → ax + bx + 2 = 0
میدانیمکهشرطداشتنریشهيمضاعفصفربودنمبینیادلتااست∆= b − 4a(2) = 0
퐚 ퟐb − 16 = 0 → b = ±4
در معادله ي درجه xها مماس شده است , ریشه ي مضاعف باید مثبت باشد. پس مقدار ضریب عددي xها بر محور yمحور چون منحنی در سمت راست محور bي دوم مفروض باید منفی باشد که با این شرایط مقدار عددي = ,a)قابل قبول بوده و زوج مرتب 4− b) قابل قبول است.(4−,2)به صورت
퐲نمودار تابع -7 = 퐱ퟖퟓ − ퟒ퐱
ퟑퟓ 91در حوالی مبداء مختصات چگونه است؟(سراسري خارج از کشور تجربی(
1( 2 (3 (4 (
صحیح است.1گزینه ي
توابع داده شده , ویژگی هاي موجود در نمودار ها را تجزیه و تحلیل می کنیم :قبل اینکه به حل این تست بپردازیم , با نگاهی اجمالی به نمودار
xاین نمودار در حوالی نقطه ي –) 1نمودار شماره ي ( = همواره نزولی بوده و از طرفی مشتق دوم تابع در این نقطه تغییر عالمت می دهد و همانطور که 0 مشاهده می شود مماس بر نمودار تابع در این نقطه قائم است. یعنی این نقطه عطف قائم تابع می باشد.
ی باشد و طبق ویژگی هاي این نمودار , مشتق دوم تابع باید در این نقطه در این نمودار تابع در مبداء مختصات داراي می نیمم نسبی م–) 2نمودار شماره ي ( صفر باشد.
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
15
xاین نمودار نشان می دهد که مشتق تابع در نقطه ي –) 3نمودار شماره ي ( = تعریف نشده است ولی در حوالی این نقطه مشتق تابع تغییر عالمت می 0 دهد.
در این نقطه طه ي عطف تابع به حساب می آید و) مماس بر منحنی در مبداء مختصات افقی بوده و این نقطه , نق4(در نمودار شماره ي –) 4نمودار شماره ي ( صفر باشد.ممکن استمشتق دوم تابع
و دوم تابع است. حال طبق ویژگی هایی که براي نمودار هاي داده شده اشاره شد , آنچه که ما را به پاسخ صحیح تست رهنمون می سازد محاسبه ي مشتق اول پس داریم :
f (x) =85 x −
125 x =
45 x (2x − 3) =
4(2x − 3)5√x
با این ویژگی 4و 2همانطور که مشاهده می شود , مشتق اول تابع در مبداء مختصات , تعریف نشده است و صفر نمی شود. نمودارهاي داده شده در گزینه هاي سازگار نیستند و نادرست می باشند.
ي مشتق دوم تابع در این نقطه می پردازیم :حال به محاسبه
f (x) =2425 x +
2425 x =
2425 x (1 + x ) =
2425 x 1 +
1x =
2425 (
x + 1x√x
)
یز از طرفی در این نقطه مشتق دوم تابع نکامال معلوم است که مشتق دوم تابع نیز در مبداء مختصات تعریف نشده است و اطراف این نقطه تابع همواره نزولی است. 1پس گزینه ي برقرار است.1عالمت می دهد و این نقطه , نقطه ي عطف قائم تابع محسوب می شود و این شرایط فقط در نمودار داده شده در گزینه ي تغییر
به خاطر اینکه همواره نزولی نیست نمی تواند پاسخ صحیح تست باشد.3پاسخ صحیح تست بوده و گزینه ي
퐟(퐱)شکل مقابل قسمتی از نمودار تابع -8 = 퐚퐜퐨퐬ퟒ퐱 + 퐛퐬퐢퐧ퟐ퐱 .است퐛 91کدام است؟(سراسري خارج از کشور ریاضی(
1(2 2 (2- 3 (√ퟑ 4 (−√ퟑ
퐲
훑ퟏퟐ퐱
−ퟑ
صحیح است.1گزینه ي
چه اطالعاتی از نمودار تابع داده شده می توان استخراج کرد :
x*همانطور که مشاهده می شود نمودار تابع در داراي ماکسیمم نسبی است. پس مشتق تابع در این نقطه برابر صفر است و می توان نوشت :=
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
16
fπ
12 = 0 → f (x) = −4asin4x + 2bcos2x = 0− 4asin
π3 + 2bcos
π6 = 0 →
−4a√32 + 2b
√32 = 0
÷√
b = 2a
شده است. البته با توجه به این نکته که طول این می نیمم نسبی -3*اطالع دیگري که از نمودار به دست می آید آن است که مقدار می نیمم نسبی تابع عدد مقداري منفی است :
f (x) = −4asin4x + 2bcos2x −4asin4x + 4acos2x = 0
aبا شرط ≠ خواهیم داشت :تقسیم کنیم , 4a−اگر طرفین معادله را بر 0
sin4x − cos2x = 0.
2sin2x. cos2x − cos2x = 0 → cos2x(2sin2x − 1) = 0
→cos2x = 0 → 2x = −
π2 → x = −
π4
sin2x =12 → 2x = −(π +
π6) → x = −(
π2 +
π12)
ه فوق دلیل اینکقبل اینکه به حل تست ادامه دهیم ذکر مطلبی ضروري ست و آن اینکه در معادالت به صفر نزدیکتر است. −همانطور که مشخص است مقدار است.ه صفرنزدیکترین عدد و ریشه به صفر انتخاب شده است , آن است که نقطه اي که براي اولین بار از سمت چپ می نیمم شده است , نزدیکترین نقطه ب
پس باید داشته باشیم :
f −π4 = −3 → acos(−π) + bsin −
π2 = −3 → a(−1) − b = −3 → a + b = 3 3a = 3 → a = 1
b = 2a = 2
퐲شکل مقابل نمودار تابع -9 = 퐚퐱ퟐ 퐛퐱 퐜퐱ퟐ 퐦퐱 ퟐ
)91کدام است؟(سنجش جامع ریاضی 퐦است.
1(2- 2 (1- 3 (1 4 (2
퐲
ퟏ
ퟏퟐ퐱
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
17
صحیح است.1گزینه ي
*منحنی فوق از مبداء مختصات می گذرد. پس باید داشته باشیم :
f(0) = 0 → c = 0
y*خط = مجانب افقی نمودار تابع است و باید داشته باشیم :1
y = lim→±
f(x) = lim→±
ax + bx + cx + mx + 2 ≅
axx = a
درنتیجهa = 1
می گذرد : (ퟐ,ퟎ)نمودار تابع از نقطه ي *
ax + bx + cx + mx + 2 = 0 4a + 2b + c = 0
,
معادله به صورت زیر درمی آید :
4 + 2b = 0 → b = −2
با توجه به اطالعات به دست آمده
y =x − 2x
x + mx + 2محورتقارننمودارتابع خط
x = −b
2a = −m2 = 1 → m = −2
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -10 = ퟏퟒ퐱ퟒ + 퐚퐱ퟑ + 퐛퐱ퟐ + ퟐ .است퐚 + 퐛 90کدام است؟(سراسري تجربی(
1(1- 2 4 1) 3) صفر (2
صحیح است. 1گزینه ي
x*در نقاط = 0, x = مماس بر منحنی افقی است. یعنی مقدار مشتق مرتبه ي اول تابع در این نقاط صفر است.3
f (x) = x + 3ax + 2bx → f (3) = 27 + 27a + 6b = 0(1)
fتوجه داشته باشید که (0) = تابع به ما نمی دهد!هیچ اطالعاتی از مجهوالت 0
x*در نقطه ي = که نقطه ي عطف تابع می باشد , تابع تغییر عالمت داده و همانطور که می دانیم مشتق مرتبه ي دوم تابه نیز باید در این نقطه برابر صفر0 باشد :
f (x) = 3x + 6ax + 2b → f (0) = 2b = 0 → b = 0 → 27 + 27a = 0 → a = −1 → a + b = −1
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
18
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار -11 = 퐚퐱 ퟑ퐱ퟐ 퐛퐱
)90کدام است؟(سراسري ریاضی (퐚,퐛)است. دوتایی مرتب
1((−ퟐو − ퟐ) 2 ((ퟐوퟎ) 3 ((−ퟐوퟎ) 4 ((ퟐوퟐ)
퐲
ퟑ퐱
صحیح است.3گزینه ي
x*خط = تنها مجانب قائم نمودار تابع محسوب می شود و الزاما باید داشته باشیم :0
x + bx = x(x + b) → x = 0, x = −b → bالزاما = 0
x*نمودار تابع در نقطه ي = داراي می نیمم نسبی است و مشتق تابع در این نقطه برابر صفر خواهد بود :3
f(x) =ax + 3
x =ax +
3x → f (x) = −
ax −
6x = 0 −
a9 −
627 = 0
×3a + 6 = 0 → a = −2
,a)در نتیجه دوتایی مرتب b) پاسخ صحیح تست است.3بیان می شود و گزینه ي (2,0−)به صورت
یادآوري :
(عددx ) = −
عددx ,
fg =
f g − g fg
퐟(퐱)شکل مقابل قسمتی از نمودار تابع با ضابطه ي -12 = 퐱ퟐ 퐚퐱 퐛
)90به کدام صورت اند؟(سراسري خارج تجربی 퐛و 퐚است. مقادیر
1(퐚 > 퐛 = −ퟏ 2 (퐚 < 퐛 = −ퟏ 3 (퐛 > 퐚 = −ퟏ 4 (퐛 < 퐚 = −ퟏ
퐲
ퟏ퐱
صحیح است.2گزینه ي
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
19
x*خط = مجانب قائم نمودار تابع محسوب می شود. پس باید داشته باشیم :1
x + b = 0 1 + b = 0 → b = −1
xاگر به رفتار تابع در نقطه ي * = خواهید شد که حد راست تابع در این نقطه به صورت زیر بیان شده است :توچه کنید , متوجه 1
lim→
f(x) = −∞ → lim→
x + ax − 1 =
1 + a0 = −∞ → الزاماصورتکسربایدمنفیباشد
1 + a < 0 → a < −1
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -13 = 퐚퐱 + √퐱ퟐ + 퐛퐱 + ퟓ .دوتایی مرتب است(퐚,퐛)90کدام است؟(سراسري خارج ریاضی(
1((−ퟏو − ퟒ) 2 ((−ퟏوퟒ) 3 ((ퟏو − ퟒ) 4 ((ퟏوퟒ)
퐲
ퟐ
−ퟏ퐱
−ퟐ
صحیح است.2گزینه ي
ویژگی هاي اصلی نمودار داده شده به شرح زیر می باشد :
yی به معادله ي منحنی تابع داده شده داراي خط مجانب افق* = x است. البته زمانی که 2 → +∞
,1−)*منحنی داراي مجانب مایلی است که از نقاط 0), xمی گذرد. این مجانب مایل به ازاي (2−,0) → حاصل می شود.∞−
y = lim→±
ax + x + bx + 5 = ax + x +b2 →
x → +∞ ∶ y = (a + 1)x +b2 = 2 → a = −1, b = 4
x → −∞ ∶ y = (a − 1)x −b2
퐲نمودار تابع -14 = 퐚퐱 ퟏ(퐱 ퟒ퐛 ퟏ)ퟑ
퐱بر محورهاي مختصات مجانب است و در نقطه ي = ퟐ .می نیمم نسبی دارد퐚 − 퐛 کدام است؟(سنجش جامع )90ریاضی
1(2- 2 (1- 3 ( 1 4 (2
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
20
صحیح است.2گزینه ي
x*خط به معادله ي = مجانب قائم نمودار تابع نام برده شده است. پس باید داشته باشیم :0
x + 4b − 1 = 0 4b − 1 = 0 → b =14
xدر نقطه ي * = تابع در این نقطه برابر صفر است.نمودار تابع داراي می نیمم نسبی است . پس مشتق 2
f(x) =ax + 1
x → f (x) =ax − 3x (ax + 1)
x = 0 8a − 12(2a + 1) = 0 → −16a − 12 = 0 → a = −34
a − b = −1
퐱خط -15 = ퟒ훑ퟑ
퐲مجانب بر منحنی = 퐚 퐜퐨퐬퐱ퟏ 퐛퐜퐨퐬퐱
ퟐ훑)است و ماکسیمم منحنی در بازه ي ퟑ , ퟒ훑
ퟑ퐚هاست. 퐱روي محور ( + 퐛 کدام است؟(سنجش
)90ریاضی جامع
1(1- 2 (1 3 (2 4 (3
صحیح است.4زینه ي گ
تابع , مخرج کسر باید صفر باشد. یعنی داشته باشیم :*به ازاي مجانب قائم نمودار
1 + bcos4π3 = 0 → 1 −
b2 = 0 → b = 2
با استفاده از مشتق تابع مقدار ماکسیمم منحنی تابع را به دست می آوریم :*
y =−sinx(1 + 2cosx) + 2sinx(a + cosx)
(1 + 2cosx) = 0 → −sinx − 2sinx. cosx + 2asinx + 2sinx. cosx = 0
(2a − 1)sinx = 0 → sinx = 0 → x = π ∈ (2π3 ,
4π3 )
هااست ماکسیمممنحنیرويمحورa + cosπ = 0 → a − 1 = 0 → a = 1
a + b = 3
퐲شکل مقابل نمودار تابع -16 = 퐱ퟑ + 퐚퐱ퟐ + 퐛퐱 است. دوتایی مرتب(퐚,퐛) 89به کدام صورت می تواند باشد؟(سراسري تجربی(
1(−ퟑوퟒ 2 (−ퟏوퟑ 3 (−ퟔوퟏퟐ 4 (ퟑوퟐ
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
21
퐲
퐱
صحیح است.3گزینه ي
منحنی صفر است و با توجه به اینکه نقطه ي عطف منحنی تابع در ناحیه ي اول قرار دارد , پس الزاما مشتق اول تابع باید داراي ریشه ي *در نقطه ي عطف شیب دوم درجه ي مضاعف باشد. چرا؟ کامال معلوم است خوب! چون یه نقطه ي عطف داریم و طول آن هم مثبت است. پس معادله ي درجه ي دوم حاصل از مشتق تابع
باید دلتا یا مبین اش صفر باشد تا یک ریشه ي مکرر با طول مثبت به ما دهد.!
f (x) = 3x + 2ax + b = 0 → ∆= b − 4ac = 4a − 12b = 0 → a = 3b
چنین شرایطی را دارد.3کامال مشخص است که تنها گزینه ي
حل مساله نیست , آن است که طول نقطه ي عطف تابع مثبت است. و البته نیازي هم به دانستن آن براي اطالع دیگري که می توان از نمودار تابع به دست آورد یعنی اگر مشتق دوم تابع را به دست آوریم , خواهیم داشت :
f (x) = 6x + 2a = 0 → x = −a3
باید منفی باشد.aپس با توجه به اینکه طول نقطه ي عطف تابع مثبت است , مقدار عددي
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -17 = 퐀퐫퐜퐭퐠 퐚퐱 퐛퐱 ퟏ
)89به کدام صورت است؟(سراسري ریاضی (퐚,퐛)مرتب است. دوتایی
1((ퟏوퟏ) 2 ((ퟏو − ퟏ) 3 ((ퟎوퟏ) 4 ((−ퟏوퟎ)
퐲
훑ퟒ
−ퟏ퐱
صحیح است.1گزینه ي
با توجه به شکل نمودار تابع داده شده , دو خاصیت اصلی نمودار مشهود است :
y*مجانب افقی منحنی خط است. =
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
22
y = lim→±
Arctgax + bx − 1 = Arctga =
π4 → a = 1
,1−)*نمودار تابع از نقطه ي می گذرد : (0
Arctg−a + b−2 = 0 → −a + b = 0 → a = b
,a)در نتیجه دوتایی مرتب b) بیان می شود.(1,1)به صورت
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -18 = 퐚퐱 + √퐱ퟐ + 퐛퐱 است. دوتایی مرتب(퐚,퐛) 89کدام است؟(سراسري ریاضی(
1((−ퟏو − ퟐ) 2 ((−ퟏوퟐ) 3 ((ퟏو − ퟐ) 4 ((ퟏوퟐ)
퐲
ퟏ
퐱
−ퟏ
صحیح است.1گزینه ي
با توجه به شکل نمودار تابع سه مطلب اصلی مهم مشهود است.
y*مجانب افقی تابع خط = xاست , البته زمانی که 1− → +∞
lim→
ax + x + bx ≅ ax + x +b2 = −1 → (a + 1)x +
b2 = −1 → a = −1, b = −2
سایر ویژگی ها را گرچه در حل مساله کمکی نمی کند را بیان می داریم :*
می کند از نقطه ي مجانب مایل تابع زمانی که - x → می گذرد.(1و0)∞−
می باشد.(2و0)منجنی در خارج بازه ي -
퐲شکل مقابل نمودار تابع -19 = 퐚퐱ퟑ + 퐛퐱ퟐ − ퟒ퐱 است. کدام دوتایی براي(퐚,퐛) 89می تواند مورد قبول باشد؟(سراسري خارج تجربی(
1((−ퟏوퟑ) 2 ((−ퟏوퟔ) 3 ((ퟏو − ퟐ) 4 ((ퟏوퟒ)
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
23
صحیح است.1گزینه ي
ویژگی هاي نمودار داده شده به شرح زیر است :
نمودار داده شده همواره نزولی است.یعنی باید داشته باشیم :*
f (x) = 3ax + 2bx − 4 < 0 → a < 0,∆< 0 ∶ 4b + 48a < 0
aنتیجه ي < نادرست هستند.4و 3می گوید که گزینه هاي 0
aو با اختیار مقدار 2و 1حال از بین گزینه هاي = , باید رابطه ي زیر برقرار باشد :1−
4b + 48a < 0÷
b < 12
, گزینه ي یک می تواند پاسخ صحیح تست باشد.2و 1مشخص است از بین گزینه هاي
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -20 = 퐀퐫퐜퐬퐢퐧 퐚퐱 퐛퐱 ퟐ
)89سراسري خارج از کشور ریاضی کدام است؟((,퐛퐚)است. دوتایی مرتب
1((ퟎو − ퟏ) 2 ((ퟏوퟎ) 3 ((ퟏوퟏ) 4 ((ퟎوퟏ)
퐲
ퟏퟑ퐱
صحیح است.4گزینه ي
ویژگی هاي اصلی نمودار به شرح زیر بیان می شوند :
y*خط = مجانب افقی تابع می باشد :0
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
24
y = lim→±
Arcsinax + bx − 2 = Arcsina = 0 → a = 0
پاسخ صحیح تست است.4یا 1یعنی یکی از گزینه هاي
x بیان شده است.موضوع دیگر در مورد دامنه ي تعریف تابع است که با توجه به شکل نمودار به صورت * ≤ 1orx ≥ 3
است. با این حساب می توان گفت :1و -1دو عدد همانطور که می دانیم محدوده ي مقادیري که یک عبارت سینوسی می تواند اختیار کند بین
−1 ≤b
x − 2 ≤ 1 →−1 ≤
bx − 2 → x − 2 ≤ −b → x ≤ 2− b
bx − 2 ≤ 1 → x − 2 ≥ b → x ≥ b + 2
b = 1
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -21 = 퐱ퟐ 퐚퐱 ퟑ퐱ퟑ 퐛
)89کدام است؟(سراسري خارج از کشور ریاضی (,퐛퐚)است. دوتایی مرتب
1((ퟎوퟎ) 2 ((ퟎوퟏ) 3 ((ퟏوퟎ) 4 ((ퟐوퟎ)
صحیح است.1گزینه ي
x*خط به معادله ي = محسوب می شود.مجانب قائم نمودار تابع 0
x + b = 0 → b = 0
*ویژگی دیگري که می توان از روي شکل حدس زد , آن است که تابع نسبت به مبداء مختصات متقارن بوده و فرد است.
f(−x) = −f(x) →x − ax − 3
−x = −x − ax + 3
x → a = الزاما0
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
25
퐲شکل مقابل نمودار تابع -22 = −퐱ퟑ + 퐚퐱ퟐ + 퐛퐱 + ퟐ است. زوج مرتب(퐚,퐛) 88است؟(سراسري تجربی کدام(
1((ퟎو − ퟑ) 2 ((ퟏو − ퟐ) 3 ((ퟎوퟑ) 4 ((ퟎوퟔ)
퐲
퐱
صحیح است.3گزینه ي
ها قرار دارد. یعنی مشتق دوم تابع در مبداء مختصات برابر صفر است : y*همانطور که از نمودار تابع نیز پیداست , نقطه ي عطف تابع روي محور
y = −3x + 2ax + b,y = −6x + 2a = 0 a = 0
طول نقطه ي می نیمم نسبی عددي منفی و مقدار تابع در آن نقطه برابر صفر است.*
a = 0 →y = −3x + b = 0 → x =b3 → x = −
b3
f −b3 = 0 →−(−
b3) + b −
b3 + 2 = 0 →
b3
b3− b = −2 → −
b3
−2b3 = −2
÷
b3
b3 = 1 → b = 3
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -23 = 퐚퐱 퐛퐱ퟐ ퟏ
)88کدام است؟(سراسري تجربی 퐚است.
1(1 2 (2 3 (3 4 (4
퐲
ퟐ
퐱
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
26
صحیح است.4ي گزینه
با رویت نمودار تابع دو ویژگی اصلی آن واضح است.
داشته باشیم :نمودار تابع از مبداء مختصات می گذرد. پس باید *
f(x) =ax + bx + 1 = 0 → ax + b = 0 ⎯ b = 0
واحد است.2مقدار تابع در نقطه ي ماکزیمم نسبی *
f(x) =ax
x + 1 → f (x) =a(x + 1) − 2ax
(x + 1) = 0 → −ax + a = 0÷
x = 1 → x = ±1
xچون طول نقطه ي ماکسیمم نسبی تابع مثبت است , پس = قابل قبول است.1
*و همانطور که می دانیم مختصات نقطه ي اکسترمم نسبی در ضابطه ي تابع صدق می کند :
(1, 2) → 2 =a2 → a = 4
퐲شکل مقابل نمودار تابع -24 = ퟐퟑ퐱ퟑ + 퐚퐱ퟐ + 퐛퐱 است. زوج مرتب(퐚,퐛) 88باشد؟(سراسري خارج تجربی به کدام صورت می تواند(
1((−ퟏو − ퟒ) 2 ((−ퟏوퟒ) 3 ((ퟏو − ퟒ) 4 ((ퟏوퟒ)
صحیح است.1گزینه ي
تابع , تابع داراي یک ماکزیمم و می نیمم نسبی است و این بدان معناست که معادله ي درجه ي دوم حاصل از مشتق تابع باید داراي مبین یا*با توجه به نمودار دلتاي بزرگتر از صفر باشد :
y = 2x + 2ax + b → ∆= 4a − 8b > 0÷
a > 2b(1)
که در این رابطه صدق نمی کنند , حذف می شوند.4و 2یعنی گزینه هاي
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
27
درجه ي*همانطور که مشاهده می شود طول نقطه ي می نیمم نسبی تابع بیشتر از طول نقطه ي ماکزیمم نسبی آن است . پس باید مجموع ریشه هاي عبارت دوم مشتق باید مثبت باشد و داشته باشیم :
S = −ba = −
2a2 = −a > 0 → a < 0
پاسخ صحیح و مطلوب تست است.1پس گزینه ي
퐲شکل مقابل نمودار تابع -25 = 퐱 퐛퐱ퟐ 퐚
)88کدام است؟(سراسري خارج از کشور تجربی (,퐛퐚)است. دوتایی مرتب
1((−ퟏو − ퟏ) 2 ((ퟎو − ퟏ) 3 ((ퟎوퟏ) 4 ((ퟏو − ퟐ)
صحیح است.2گزینه ي
ویژگی هاي اصلی نمودار به شرح زیر هستند :
x*خط = مجانب قائم نمودار تابع محسوب می شود. پس باید داشته باشیم :0
x + a = 0 → aالزاما = 0
xتابع در * = داراي ماکسیمم نسبی است و مشتق اول تابع به ازاي این نقطه باید صفر باشد :2
y =x + b
x =1x +
bx → y = −
1x −
2bx −
14 −
b4 = 0 → b = −1
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -26 = ퟒ퐱ퟑ 퐚퐱 퐛퐱 ퟏ
)87کدام است؟(سراسري تجربی (,퐛퐚)است. دوتایی مرتب
1((ퟎو − ퟒ) 2 ((−ퟒوퟎ) 3 ((−ퟐوퟏ) 4 ((ퟒوퟎ)
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
28
퐲
퐱
صحیح است.2گزینه ي
با توجه به شکل نمودار تابع با ضابطه ي مفروض , دو ویژگی مهم آن مشهود است.
*نمودار تابع از مبداء مختصات گذشته است و بالطبع :
f(0) = 0 → b = 0
xتابع در * = xتعریف نشده است , اما داراي حد است. یعنی چون 1 = ضورت کسر را هم صفر کند تا حد به حالت مخرج کسر را صفر می کند , الزاما باید1 مبهم تبدیل شده و بتوان مقدار حدي براي تابع قائل شد!
پس با این حساب خواهیم داشت :
4x + ax = 0 → 4 + a = 0 → a = −4
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -27 = 퐱ퟐ 퐚퐱 퐛
)87کدام است؟(سراسري خارج تجربی(,퐛퐚)است. دوتایی مرتب (ퟏو∞−)در بازه ي
1((ퟏو − ퟏ) 2 ((ퟏوퟎ) 3 ((ퟎوퟏ) 4 ((ퟎو − ퟏ)
퐲
صحیح است.4گزینه ي
اصلی نمودار داده شده را به صورت زیر می توان بیان نمود :ویژگی هاي
f(x)ها مماس است. پس معادله ي x*نمودار تابع در مبداء مختصات بر محور = باید ریشه ي مضاعف داشته باشد :0
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
29
x + ax + b = 0 → x + a = 0 → ∆= −4a = 0 → a = 0
باید منفی باشد.bطول مجانب قائم نمودار تابع مثبت است و باالطبع ریشه ي مخرج کسر باید مثبت و در نتیجه مقدار عددي *
فقط ویژگی هاي یادشده ي فوق را داراست.4با این اوصاف , گزینه ي
)87ضابطه ي تابع نمودار مقابل کدام است؟(سراسري خارج از کشور ریاضی -28
1(퐲 = 퐱(ퟏ − 퐱)ퟑ 2 (퐲 = 퐱(퐱 − ퟏ)ퟑ 3 (퐲 = 퐱(ퟏ − 퐱ퟑ) 4 (퐲 = 퐱(퐱ퟑ − ퟏ)
퐲
퐱
صحیح است.1گزینه ي
دو ویژگی اصلی نمودار داده شده به شرح زیر است :
x*نمودار در نقطه ي = به دلیل آنکه مقدار مشتق دوم آنها در نقطه ي مفروض صفر نمی باشد , 4و 3داراي نقطه ي عطف است و بالطبع گزینه هاي 1 نادرست می باشند.
, مقادیر *ویژگی بارز دیگري که در این نمودارقابل مشاهده است , رفتار تابع در بی نهایت است و با توجه به اینکه زمانی که x → میل می ∞± f(x) → −∞ پاسخ صحیح و مطلوب تست خواهد بود. زیرا تنها این گزینه است که چنین شرایطی را دارد.1کنند پس گزینه ي
퐲نمودار تابع با ضابطه ي -29 = 퐱ퟒ − ퟑ퐱ퟑ + ퟑ퐱ퟐ − 퐱 در نقطه ي퐱 = ퟏ کدام وضع را با محور퐱 86دارد؟(سراسري تجربی(
1( 2 (3 (4 (
صحیح است.4گزینه ي
تا الاقل دو گزینه ي نادرست مساله معلوم گردد.ابتدا مشتق دوم تابع را به ازاي نقطه ي داده شده محاسبه می کنیم
f (x) = 4x − 9x + 6x − 1,f (x) = 12x − 18x + 6
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
30
fبا محاسبه ي مقدار خواهیم داشت :(1)
f (1) = 12 − 18 + 6 = 0
xکه در آنها نقطه ي 4و 3نادرست بوده و یکی از گزینه هاي 2و 1پس گزینه هاي = مشاهده می شود می توانند پاسخ به عنوان نقطه ي عطف نمودار تابع 1 صحیح و مورد نظر تست باشند.
آزمون مشتق دوم بهترین راه حل است.4و 3براي تشخیص گزینه ي درست از بین گزینه هاي
fهمانطور که از ضابطه ي مشتق دوم تابع نیز پیداست , مقدار (x) به ازاي مقادیرx > پاسخ 4وده و گزینه ي مثبت و در نتیجه تقعر نمودار رو به باال ب1 صحیح تست خواهد بود.
퐟(퐱)نمودار تابع با ضابطه ي -30 = ퟏퟔ퐱ퟑ − 퐱 + 퐬퐢퐧퐱 در همسایگی퐱 = ퟎ 86چگونه است؟(سراسري ریاضی(
1( 2 (3 (4 (
صحیح است.2گزینه ي
سبت به مبداء مختصات متقارن باشد.*تابع با ضابطه ي داده شده تابعی فرد است و بالطبع نمودار آن باید ن
f(−x) = −16 x + x − sinx = −
16 x − x + sinx = −f(x)
به دلیل زوج بودن رد می شوند.4و 3پس گزینه ي
با استفاده از آزمون مشتق دوم داریم :*
f (x) =12 x − 1 + cosx → f (x) = x − sinx
xکامال معلوم است که به ازاي مقادیر > fمقدار 0 (x) > xو تقعر نمودار رو به باال و به ازاي مقادیر 0 < fمقدار 0 (x) < و تقعر نمودار رو به پایین 0 است.
از چنین ویژگی هایی برخوردار است.2مشخص است که نمودار داده شده در گزینه ي
)86شکل مقابل نمودار کدام تابع است؟(سراسري خارج از کشور ریاضی -31
1(퐲 = 퐀퐫퐜퐜퐨퐬√퐱 2 (퐲 = 퐀퐫퐜퐜퐨퐬|퐱| 3 (퐲 = 퐀퐫퐜퐬퐢퐧√퐱 4 (퐲 = 퐀퐫퐜퐬퐢퐧|퐱|
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
31
صحیح است.2گزینه ي
به دلیل آنکه توابعی نه 3و 1تابعی زوج است و گزینه هاي با توجه به شکل کامال مشخص است که تابع داده شده به دلیل متقارن بودن نسبت به محور عرض ها , زوج و نه فرد هستند , رد می شوند.
می باشد , پس گزینه ي پاسخ صحیح و مطلوب تست است.2نیز نادرست بوده و گزینه ي 4از طرفی دیگر چون y(0) ≠ 0
퐟(퐱)اگر شکل مقابل نمودار تابع -32 = 퐚퐱 + √퐱ퟐ + 퐛퐱 + 퐜 باشد , آن گاه퐚 و퐛 و퐜 86چگونه اند؟(سراسري خارج از کشور ریاضی(
1(퐚 = −ퟏ,퐛 < ퟎ, 퐜 > ퟎ 2 (퐚 = −ퟏ,퐛 = ퟎ, 퐜 > ퟎ
3 (퐚 = ퟏ,퐛 > ퟎ, 퐜 = ퟎ 4 (퐚 = ퟏ,퐛 = ퟎ, 퐜 > ퟎ
صحیح است.4گزینه ي
اصلی نمودار مفروض به شرح زیر است :هايویژگی
yبا توجه به نمودار تابع , خط * = مجانب افقی تابع بوده و نمودار داراي یک خط مجانب مایل است که از مبداء مختصات می گذرد.0
y = lim→±
ax + x + bx + c = ax + x +b2 →
x → +∞ ∶ y = (a + 1)x +b2
x → −∞ ∶ y = (a − 1)x −b2
xهمانطور که از نمودار تابع نیز پیداست , مجانب افقی آن زمانی حاصل می شود که → −∞ .
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
32
y = (a − 1)x −b2 = 0 → a = 1,b = 0
*از طرفی عرض از مبداء منحنی مثبت است . پس چون :
f(0) > 0 → c > 0
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -33 = 퐚퐱ퟑ + 퐛퐱ퟐ + ퟑ퐱 است. دوتایی مرتب(퐚,퐛) 85کدام است؟(سراسري تجربی(
1((−ퟏوퟐ) 2 ((−ퟏوퟑ) 3 ((ퟏو − ퟑ) 4 ((ퟏو − ퟐ)
퐲
ퟏ퐱
صحیح است.3گزینه ي
سه خاصیت اصلی زیر از نمودار تابع داده شده به وضوح قابل مشاهده است :
fتابع همواره صعودي است و همواره داریم : * (x) ≥ 0
xدر نقطه ي * = شیب خط مماس بر منحنی صفر است. یعنی باید داشته باشیم :1
f (x) = 3ax + 2bx + 3 f (1) = 3a + 2b + 3 = 0(1)
x*نقطه ي = نقطه ي عطف نمودار تابع نیز می باشد. یعنی باید داشته باشیم :1
f (x) = 6ax + 2b f (1) = 6a + 2b = 0 → b = −3a(2)
با جاگذاري رابطه ي اولی در دومی خواهیم داشت :
3a + 2(−3a) + 3 = 0 → 3a = 3 → a = 1,b = −3
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع -34 = 퐱ퟑ 퐚퐱ퟐ
퐱ퟐ ퟐ퐱 퐛 )85کدام است؟(سراسري ریاضی 퐛است.
1(1 2 (2 3 (3 4 (4
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
33
퐲
퐱
صحیح است.4گزینه ي
دو ویژگی بارز و اصلی نمودار تابع داده شده به صورت زیر قابل بیان است :
ها مماس شده و از آن گذشته است : x*نمودار تابع فقط در مبداء مختصات بر محور
x + axx − 2x + b = 0 →x + ax = 0 → x(x + a) = 0 → xدارد = معادلهسهریشهي0 → a = الزاما0
f(x)*ثانیا منحنی تابع صورت کسر بر مخرج آن می خط مجانب مایل خود را قطع نمی کند و همواره زیر خط مجانب است.به راحتی و با تقسیم= توان به مجانب مایل نمودار تابع دست پیدا نمود :
x x − 2x + b
−x + 2x − bxx + 2
2x − bx
−2x + 4x − 2b
(4 − b)x − 2b
رسیدید , دیگر نیازي به ادامه ي الزم به ذکر است که در تقسیم صورت کسر بر مخرج آن زمانی که به جمله ي مجانب مایل نمودار تابع یعنی خط y = x + 2 عملیات تقسیم نیست!
y = x + 2 +(4 − b)x − 2b
x − 2x + b
4) باید منفی باشد. چرا؟عبارت xبه ازاي هر مقدار − b)x − 2b
به علت آنکه نمودار تابع همانطور که اشاره هم شد , زیر خط مجانب مایل تابع قرار دارد.
پس گزینه ي
4پس الزاما باید داشته باشیم : − b = 0 → b = 4
پاسخ صحیح تست خواهد بود.4
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
34
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -35 = −퐱ퟑ + 퐚퐱ퟐ + 퐛퐱 است. دوتایی(퐚,퐛) 85کدام می تواند باشد؟(سراسري خارج تجربی(
1((−ퟏوퟎ) 2 ((ퟎو − ퟏ) 3 ((ퟎوퟏ) 4 ((ퟏوퟎ)
퐲
퐱
صحیح است.2گزینه ي
اطالعاتی که از نمودار داده شده می توان دریافت به شرح زیر است :
و مشتق دوم تابع در این نقطه صفر است :یعنی مبداء مختصات , نقطه ي عطف تابع بوده (0و0)*همانطور که از نمودار تابع نیز پیداست , نقطه ي
f (x) = −3x + 2ax + b → f (x) = −6x + 2a = 0 a = 0
درسته که مختصات نقطه ي عطف منحنی در ضابطه ي تابع صدق می کند اما این نکته در این تست کمکی به ما نخواهد کرد.تذکر :
می توان به آن دست پیدا نمود ضابطه ي خط مماس بر منحنی در مبداء مختصات , همان نیمساز ربع دوم و چهارم یعنی خططبق مشاهداتی که از نمودار *
y = −x است و شیب خط مماس بر منحنی باید مساويm = باشد.پس داریم :1−
f (0) = −1 → b = −1
,a)پس دوتایی مرتب b) 0)را می توان به صورتبیان نمود.(1−,
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار پیوسته از تابع -36 = 퐱ퟐ 퐚퐱ퟐ퐱 퐛
)85کدام است؟(سراسري خارج از کشور ریاضی 퐛است.
1(2- 2 (− ퟑퟐ
3 (1- 4 (ퟑퟐ
퐲
ퟏퟐ
퐱
صحیح است.1گزینه ي
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
35
با توجه به شکل نمودار تابع داده شده می توان ویژگی هاي زیر را براي نمودار فوق برشمرد :
xنمودار تابع در نقطه ي * = ها باید ریشه ي مضاعف داشته باشد :xها مماس است و معادله ي تالقی حاصل از آن با محور xبر محور 0
y = 0 → x + ax = 0ریشهيمضاعف
∆= a = 0 → a = 0
و0)از طرفی دیگر مجانب مایل تابع از نقطه ي * می گذرد . با تقسیم صورت کسر بر مخرج آن می توان به مجانب مایل نمودار تابع نیز دست پیدا کرد :(
x 2x + b
−x −b2 x
12 x −
b4
−b2 x
+b2 x +
b4
b
پس خط
4
مجانب مایل نمودار تابع محسوب شده و چون این مجانب از نقطه ي y = x − و0) می گذرد می توان نوشت :(
12 = −
b4 → b = −2
퐲شکل مقابل نمودار تابع -37 = ퟏ 퐚퐬퐢퐧퐱ퟏ 퐛퐬퐢퐧퐱
훑−در بازه ي ퟔو ퟏퟏ훑
ퟔ )84کدام است؟(سراسري ریاضی (,퐛퐚)است. دوتایی مرتب
1((ퟏوퟐ) 2 ((−ퟏوퟐ) 3 ((ퟐو − ퟏ) 4 ((−ퟐوퟏ)
퐲
− 훑ퟔ퐱
نمودار را می توان به شرح زیر بیان کرد :ویژگی ها ي مشهود و بارز
xخط به معادله ي * = یکی از مجانب هاي قائم منحنی است و باید داشته باشیم :−
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
36
1 + bsinx = 0 1 + bsin −π6 = 0 → 1−
b2 = 0 → b = 2
تابع به ازاي آن نقطه صفر شده است؟هاست. پس باید ببینیم کدام نقطه است که هم مقدار تابع و هم مشتق x*نقطه ي می نیمم نسبی تابع بر روي محور
y = 0 → 1 + asinx = 0(1)
y = 0 →acosx(1 + bsinx) − bcosx(1 + asinx)
(1 + bsinx) =acosx − bcosx(1 + bsinx) = 0 → (a − b)cosx = 0(2)
برداشت می شود آن است که می توان به دو نتیجه ممکن فکر کرد :2آنچه که از رابطه ي
باشد که در این صورت اول اینکه (a − b) = باید داشته باشیم :0
a = b = 2 → y = 1
کامال مشخص است که این نتیجه غیر بدیهی بوده و نمی تواند درست باشد. پس حتما باید داشته باشیم :
cosx = 0 → x =π2 → 1 + asin
π2 = 0 → 1 + a = 0 → a = −1
,a)در نتیجه دوتایی مرتب b) 1−)به صورت, پاسخ مطلوب تست است.2می تواند باشد و در نتیجه گزینه ي (2
퐟(퐱)نمودار تابع با ضابطه ي -38 = ퟐ + 퐬퐢퐧퐱 − 퐱퐜퐨퐬퐱 در همسایگی퐱 = ퟎ 83به کدام شکل است؟(سراسري ریاضی(
1( 2 (3 (4 (
صحیح است.4گزینه ي
xی نقطه ي آنچه که مسلم است باید جهت تغییرات و تقعر نمودار تابع را در همسایگ = باید مورد بررسی و تحلیل قرار داد :0
f(0) = 2,f (x) = cosx − cosx + xsinx = xsinx,f (x) = sinx + x. cosx
xدقت داشته باشید که به ازاي = مشتق تابع در همه ي نمودارها صفر است و این نکته کمکی به حل مساله نخواهد نمود.0
xاما اگه دقت داشته باشید مشتق دوم تابع نیز به ازاي = حتما نادرست 2و 1صفر است و این یعنی اینکه این نقطه , نقطه ي عطف منحنی است و گزینه ي 0 می باشند.
f (x = 0) = sin0 + (0). cos0 = 0
خوب چیزي که میمونه تشخیص اینه که تابع صعودي هستش یا نزولی؟
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
37
xاگه تابع را در همسایگی = −)یعنی بازه ي 0 , بررسی کنیم , با استفاده از آزمون مشتق دوم خواهیم داشت :(
f −π2 = −1f (0) = 0f
π2 = 1
−)یعنی تقعر نمودار در بازه ي , ,0)رو به پایین و تقعر نمودار در بازه ي (0 xرو به باالست. به عبارتی نمودار در همسایگی نقطه ي ( = صعودي است 0 پاسخ صحیح و مطلوب تست است.4و گزینه ي
x −π2 0
π2
y + 0 −
y − 0+
퐟(퐱)شکل مقابل قسمتی از نمودار تابع با ضابطه ي -39 = ퟏ 퐚퐬퐢퐧퐱퐛 퐜퐨퐬퐱
퐟(훑است. ퟑ
)83کدام است؟(سراسري ریاضی (
1(ퟏ − √ퟑ 2 (ퟐ − √ퟑ 3 (ퟏ + √ퟑ 4 (ퟐ + √ퟑ
훑ퟐퟑ훑
ퟐ
صحیح است.4گزینه ي
با توجه به شکل , نمودار تابع با ضابطه ي مفروض داراي سه مشخصه ي اصلی است :
xخط * = مجانب قائم منحنی است و باید داشته باشیم :
b + cosx = 0 b + cosπ2 = 0 → b + 0 = 0 → b = 0
)fدقت داشته باشید که * ) ≠ limو 0→
f(x) = = 0 → 1 + asin = 0 → 1 + a(−1) = 0 → a = 1...
,aحال که به مقادیر عددي b دست پیدا کردیم , به راحتی می توانیم مقدارf( را حساب کنیم :(
www.konkur. in
forum.konkur. in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
38
fπ3 =
1 + sinxcosx =
1 + sinπ3cosπ3
=1 + √3
212
= 2 + √3
퐲نمودار تابع با ضابطه ي -40 = 퐱 ퟏ퐱ퟑ 퐱
)82در نزدیکی مجانب قائم آن به کدام صورت است؟(سراسري ریاضی
1( 2 (3 (4 (
صحیح است.3گزینه ي
y =x + 1x + x =
x + 1x(x + 1) x = مجانبقائم0
xپس خط = نمودار تابع محسوب شده و براي اینکه به نمودار تابع پی ببریم , باید به رفتار تابع در اطراف مجانب قائم دقت داشته باشیم :مجانب قائم0
lim→
x + 1x(x + 1) = +∞,lim
x + 1x(x + 1) = −∞
→
خواهد بود : (منحنی در ناحیه ي اول و سوم به مجانب نزدیک می شود.)با این ویژگی ها نمودار تابع در نزدیکی مجانب قائم تابع به صورت زیر
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار با ضابطه ي -41 = 퐱ퟑ 퐚퐱ퟐ
퐱ퟐ 퐛퐱 ퟏ )82کدام است؟(سراسري ریاضی (,퐛퐚)است. دوتایی مرتب
1((ퟏو − ퟐ) 2 ((ퟎو − ퟐ) 3 ((ퟎوퟐ) 4 ((ퟐوퟎ)
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
39
퐲
퐱
صحیح است.2گزینه ي
با توجه به شکل نمودار
خاصیت اصلی و مشهود نمودار به صورت زیر بیان می شود :2
xها را فقط در مبداء مختصات قطع کرده و x*نمودار تابع محور = xریشه ي مکرر مرتبه ي سوم 0 + ax = بوده و مبداء مختصات نقطه ي عطف 0 صفر است.aمنحنی است و در هر شرایطی مقدار عددي
باید ریشه ي مضاعف xبا توجه به اینکه منحنی نمودار تابع فقط یک خط مجانب آنهم سمت راست محور عرض ها دارد , یعنی معادله ي * + bx + 1 = 0 مثبت داشته باشد. و همانطور که می دانیم شرط داشتن ریشه ي مضاعف صفر بودن مبین یا دلتاي معادله ي درجه ي دوم مفروض است :
∆= b − 4 = 0 → b = ±2
bکه = در یک معادله ي درجه ي دوم منفی باشد.xقابل قبول است. چون براي داشتن ریشه ي مضاعف مثبت باید ضریب عددي 2−
. تدقت داشته باشید که ریشه ي مخرج به شرطی مجانب قائم نمودار تابع محسوب می شود که ریشه ي صورت نباشد و در این تست نیز همین گونه استذکر : * د.که در صورت کسر وجود داشت , در مخرج کسر وجود ندار3یعنی ریشه ي مکرر صفر از مرتبه ي
,a)با این حساب زوج مرتب دوتایی b) 0)به صورتپاسخ صحیح تست است.2بیان شده و گزینه ي (2−,
퐟(퐱)نمودار تابع با ضابطه ي -42 = 퐬퐢퐧ퟐ퐱. 퐜퐨퐬퐱 در همسایگی نقطه ي بحرانی روي بازه يퟎو 훑ퟐ
)81به کدام صورت است؟(سراسري ریاضی
1( 2 (3 (4 (
صحیح است.1گزینه ي
در تابع مشتق پذیر داده شده ابتدا نقطه ي بحرانی تابع را به دست می آوریم :
sin2x = 2sinx. cosx → f(x) = 2sinx. cos x → f (x) = 2cos x − 4sin x. cosx
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
40
2cosx(cos x − 2sin x) = 0 →cosx = 0 → x =
π2
cos x − 2sin x = 0 → cos x = 2sin x÷
2tag x = 1 → tgx =√22
x = Arctg√22
f(0)*در تابع داده شده , چون = f = فقط یک نقطه ي بحرانی داشته باشد ,الزاما آن نقطه ماکسیمم نسبی و0روي بازه ي fاست . اگر تابع 0f(x)است . زیرا روي این بازه همواره ≥ است. 0
,0پس روي بازه ي Arctgفقط یک نقطه ي بحرانی وجود دارد. و این نقطه ي بحرانی ماکسیمم نسبی تابع یعنی است.√
پاسخ صحیح و مطلوب تست است.1بنابراین گزینه ي
퐟(퐱)شکل مقابل نمودار تابع با ضابطه ي -43 = 퐚퐱ퟐ ퟒ퐱 ퟒ퐱ퟐ 퐛
)81باشد؟(سراسري ریاضی به کدام صورت می تواند (,퐛퐚)است. دوتایی مرتب
1((−ퟐوퟓ) 2 ((−ퟏوퟑ) 3 ((−ퟏوퟓ) 4 ((ퟏوퟑ)
퐲
퐱
صحیح است.2گزینه ي
نمودار داده شده داراي دو خاصیت اصلی کامال مشهود است :
f(x)ها مماس است. یعنی xنمودار تابع بر محور * = axو در نتیجه معادله ي درجه دوم 0 + 4x − باید داراي ریشه ي مضاعف باشد :4
وهمانطور که میدانیم شرط اصلی داشتن ریشه ي مضاعف براي یک تابع درجه ي دوم , صفر بودن مبین یا دلتاي معادله است.پس خواهیم داشت :
∆= b − 4ac = 16− 4(a)(−4) = 16 + 16a = 0 → a = −1
باشند.نادرست می 4و 1یعنی گزینه هاي
بهش دست پیدا کنید. چگونه؟مگه غیر اینه که مجانب را بدون اینکه به محاسبات فوق هم نیاز باشد به راحتی می توانستید aمنفی بودن مقدار عددي تذکر : افقی نمودار تابع عددي منفی ست؟اگر مجانب افقی تابع را پیدا کنیم :
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
41
y = lim→±
f(x) = lim→±
f(x) =ax + 4x − 4
x + b ≅axx = a
yها زیر خط مجانب تابع یعنی yمحور همانطور که به وضوح هم پیداست , محل تالقی نمودار تابع با * = پس باید داشته باشیم :است. 1−
f(0) < 1 → −4b < 1
× 4b > 1 → b < 4
با شرط به دست آمده مطابقت می کند.2که فقط گزینه ي
)80شکل مقابل نمودار کدام تابع است؟(سراسري تجربی -44
1(퐲 = |ퟐ퐱| 2 (퐲 = ퟐ |퐱| 3 (퐲 = ퟐ|퐱| 4 (퐲 = |ퟐ 퐱|
퐲
퐱
صحیح است2گزینه ي
دار یک تابع زوج است.*همانطور که از نمودار تابع نیز پیداست , نسبت به محور عرض ها متقارن است. یعنی نمودار مربوط به نمو
f(−x) = f(x)
نادرست می باشند.4و 1یعنی گزینه ي
yآن است که خط *ویژگی دوم نمودار تابع = مجانب افقی نمودار تابع است. یعنی باید داشته باشیم :0
y = lim→±
f(x) = 0
مطلوب تست است.پاسخ صحیح و 2چنین شرایطی را نداشته و گزینه ي 3کامال مشخص است که نمودار گزینه ي
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
42
퐟(퐱)با ضابطه ي 퐟شکل زیر نمودار تابع -45 = 퐱ퟐ 퐚퐱 퐛퐱 ퟐ
퐚است. + 퐛 80کدام است؟(سراسري ریاضی(
1(1- 2 (2 3 (3 4 (2-
퐲
퐱
صحیح است.1گزینه ي
y*با توجه به اینکه نمودار تابع = f(x) بر محورx ها مماس است , پس باید معادله يf(x) = ریشه ي مضاعف داشته باشد.0
f(x) =x + ax + b
x − 2 = 0 → x + ax + b = 0 → ∆= a − 4b = 0 → a = 4b
ت بر مخرج کسر * با توجه به اینکه مجانب مایل تابع از مبداء مختصات می گذرد , همانطور که در متن نکات درسی هم اشاره شد , می توانیم با تقسیم صور ل تابع را محاسبه نموده و شرط عبور آن از مبداء مختصات را اعمال کنیم :مجانب مای
x + ax + bx − 2
−x + 2xx + (a + 2)
(a + 2)x + b
−(a + 2)x + 2(a + 2)
2a + b + 4
yپس خط = x + (a + تابع بوده و چون این مجانب از مبداء مختصات نیز عبور می کند می توان نوشت :مجانب مایل نمودار (2
0 = 0 + (a + 2) → a = −2, a = 4b → 4 = 4b → b = 1,a + b = −2 + 1 = −1
www.konkur.in
forum.konkur.in
www.cafekonkur.ir
www.cafekonkur.ir
