91

6 Trojrozm ěrná geodézie – 3D

6.1 Teoretické základy 3D geodézie

6.1.1 Úvod

Trojrozměrná geodézie má svůj původ v práci H. Brunse z r. 1878 „Die Figur der Erde, einBeitrag zur europäischen Gradmessung“. Jejím cílem je určení pravoúhlých prostorovýchsouřadnic x,y,z libovolného bodu povrchu Země v systému, jehož počátkem je těžiště Země.V témže systému vyjadřuje i směry. K tomuto účelu mají sloužit veškerá klasická i moderníměření: úhlová, délková, nivelační měření, měření tíhová, dále hvězdná triangulace, měřenína Měsíc, na umělé družice Země (UDZ) a měření na vzdálené mimogalaktické objekty.

Zde uvedená měření lze dělit do tří skupin:1) statistická měření – obvyklá měření,2) kinetická měření – sledující změny,3) dynamická měření – sledující příčiny změn.Též možno říci, že geodetická měření slouží především k určení rozměru a tvaru,

astronomická k orientaci a tíhová k definování vztažné plochy.I když klasická geodézie používala též tří rozměrů, záměrně oddělovala – na rozdíl od

trojrozměrné geodézie – měření polohopisná a měření výšková, a to tím způsobem, žepolohopisné úlohy řešila na referenční ploše, výškopis pak mimo ni. Zatímco polohováměření byla vztažena k ploše geometrické, výšková k ploše hladinové – tedy definovanéfyzikálně. Dalším nedostatkem bylo to, že naměřené údaje, např. při stupňových měřeních,bylo nutno redukovat určitým způsobem na plochu referenční – jíž byl obvykle rotačníelipsoid – leč tato plocha má být výsledkem měření.

H

s

zenit sever

z a

hladinová plocha

elipsoid

Obr. 6.1.1

Trojrozměrná geodézie má uvedené nedostatky odstranit či alespoň zásadně potlačit.Bruns ideu prostorové triangulace demonstruje na polyedru, obr. 6.1.1, jehož vrcholy jsoutrigonometrické body prostorové sítě. Veličiny, vázané na směr tíže (azimut, zenitovávzdálenost) jsou vztaženy ke svislicím v těchto bodech, jejichž směr je dán zeměpisnou šířkou

92

astronomickou a zeměpisnou délkou astronomickou. Další veličiny jsou invariantní délkahran polyedru a refrakční koeficienty. V tomto modelu je možno provádět libovolné početníoperace a tak řešit úlohy geodézie. Pro redukci – která již ovšem nemá význam redukceklasické geodézie – přistupují geopotenciální kóty a pro řešení geocentričnosti systému –hodnoty tíže. I když základy trojrozměrné geodézie byly položeny Brunsem v předminulémstoletí, uplatňuje se tato disciplína prakticky teprve až v současné době, a to především proto,že dochází k použití samočinných počítačů, které usnadňují velice zdlouhavé a obsažnévýpočty, které jsou typické pro trojrozměrnou geodézii a jsou jejím nedostatkem oprotiklasické.

Dále byly rozpracovány některé teoretické problémy především pracemi, kteréuveřejnili Moloděnský, Hotine, Marussi, Dufour a v současnosti další. Z našich pracovníkůuveďme Hradilka.

Trojrozměrná pozemní geodézie je harmonickým protějškem družicové geodézie.Definice veličin, výpočetní postupy, souřadnicové systémy a i celkové pojetí úloh je velmipodobné. Proto jednou z příčin vzestupu trojrozměrné prostorové geodézie je rovněž použitíUDZ pro účely řešení geodetických úloh.

V současné době existují již speciální studijní skupiny Mezinárodní geodetické ageofyzikální unie, jejichž úkolem jsou studie i praktická měření v oboru trojrozměrnépozemní i družicové triangulace a jejich nejvhodnější spojení. Programem těchto skupin je:

1) Systematický průzkum možností určování pozemních sítí pomocí souřadnic,vzdáleností a směrů získaných z družicových sítí. Numerický průzkum nasférických modelech a propojení světových, kontinentálních, národních a místníchsítí.

2) Vypracovat praktické návrhy pro zpevnění kontinentálních a národních sítí včetněstudia přesnosti.

3) Systematický výzkum možností doplnění družicových sítí pro velká území včetněsvětové, pomocí pozemních měření.

4) Vypracovat praktické návrhy světové a kontinentálních družicových sítí*).5) Návrhy pro společné vyrovnání pozemních a družicových naměřených dat*).Úkolem této kap. 6 „Trojrozměrná geodézie – 3D“ je přispět především k řešení

problematiky pozemních prostorových sítí, aby tak co nejvhodněji charakterem měřické avýpočetní metodiky navazovaly na družicové sítě.

Dříve než přistoupíme k řešení konkrétních problémů, které jsou předmětemnásledujících kapitol, uvedeme v této první odvození zprostředkujících rovnic oprav provyrovnání prostorové sítě. Podmínková měření přistoupí později.

6.1.2 Teoretické základy trojrozměrné geodézie

Trojrozměrná geodézie používá měřených geodetických veličin: vodorovný směr a nebovodorovný úhel ω, zenitová vzdálenost z a délka spojnice s; odvozených geodetickýchveličin: šířka B, délka L (kladná na východ) a elipsoidická výška H; měřenýchastronomických veličin: šířka ϕ, délka λ (kladná na východ) a azimut α. Je-li měřena zenitovávzdálenost, je nutno určovat i refrakční koeficient R. Pro delší záměry je nutno ji nahraditúdaji výškovými (získanými z nivelačních měření) a astronomicko-geodetickými. Úkolem

*) Překonáno a pokračuje se.

93

geodetických veličin je určit velikost a tvar zaměřované sítě. Úkolem astronomických veličinpak její orientaci vůči hvězdám, tj. vůči rotační ose Země (zajišťuje ϕ a λ) a vůči základnímupoledníku (zajišťuje λ). Hledanými, výslednými veličinami jsou opravy geodetických aastronomických veličin, rov. (6.1.28).

Zde uvedený text vychází z [4], i když existuje řada prací dalších, modernějších.Z nich uveďme aspoň [2], který vyvozuje rovnice oprav přímo z měřených dat, bez použitísouřadnic rovníkového systému, viz dále.

Obr. 6.1.1

6.1.2.1 Souřadnicové systémy a základní vztahyNejprve definujme pravoúhlý souřadnicový systém obzorníkový s = o(x, y, z), jehož počátekvolíme v bodě Pi, který leží na topografickém povrchu Země, obr. 6.1.2. Osa z je totožná sesvislicí a směřuje k zenitu bodu Pi, osa y směřuje k astronomickému severu a osa xk astronomickému východu. Osy x,y leží v obzorníkové rovině, tečné k hladinové ploše vbodě Pi. Dále zvolíme bod Pj, jehož pravoúhlé souřadnice v systému s jsou

,coscossin,sinsin ijijjijijijjijijijj zszzsyzsx === , αα (6.1.1)

kde sij je délka spojnice PiPj, zij její zenitová vzdálenost měřená z bodu Pi na bod Pj a αij

astronomický azimut téže spojnice, měřený od astronomického severu kladně na východ.Dále definujeme pravoúhlý souřadnicový systém rovníkový S = O(X, Y, Z), obr. 6.1.3,

jehož počátek O leží ve středu referenčního elipsoidu, použitého pro danou geodetickou síť.Osa Z je totožná s malou osou elipsoidu a směřuje na sever, osa X leží v průsečnici základníhogeodetického poledníku s geodetickým rovníkem a osa Y leží rovněž v rovině geodetickéhorovníku a má L = 90°. Souřadnice bodů Pi a Pj v rovníkovém systému S označíme (X, Y, Z)i a(X, Y, Z)j. Mezi souřadnicemi systémů s a S platí vztahy

( ) ( ) ,,,,, Tijijij

Tjjj ZZYYXXzyx −−−=R (6.1.2)

94

Obr. 6.1.1

kde index T značí transponované matice. Matice rotace R v obecném tvaru zní

=

zZzYzX

yZyYyX

xZxYxX

coscoscos

coscoscos

coscoscos

R (6.1.3)

kde xX, ... značí úhly sevřené osami x a X, ... Označme ϕi, λi astronomické souřadnice boduPi. Na obr. 6.1.4 představují body X, Y, Z průsečíky odpovídajících os s jednotkovou sférou.Systém rovníkový S otočíme nejprve o úhel 90° + λi kolem osy Z, takže osy X, Y přejdou dopoloh x , y . Dále osy y , Z otočíme o úhel 90° – ϕi kolem osy x , čímž přejdeme doobzorníkového systému s. Kosiny úhlů xX, ... v rov. (6.1.3) získáme ze sférickýchtrojúhelníků o vrcholech x, X, Z, ..., viz obr. 6.1.4. Po dosazení rov. (6.1.3) do (6.1.2) pakdostaneme

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,sinsincoscoscos

,cossinsincossin

,cossin

iijiiijiiijj

iijiiijiiijj

iijiijj

ZZYYXXz

ZZYYXXy

YYXXx

ϕλϕλϕϕλϕλϕ

λλ

−+−+−=

−+−−−−=

−+−−=

(6.1.4)

Obr. 6.1.2

95

přičemž

( ) ( ) ( ) ,2222ijijijij ZZYYXXs −+−+−= (6.1.5)

Podle obr. 6.1.2 platí pro astronomický azimut a zenitovou vzdálenost vztahy

.cos,tgij

jij

j

jij s

zz

y

x== α

Po dosazení rov. (6.1.4) a (6.1.5) dostáváme

( ) ( )( ) ( ) ( ) ,

cossinsincossin

cossintg

iijiiijiiij

iijiijij ZZYYXX

YYXX

ϕλϕλϕλλ

α−+−−−−

−+−−= (6.1.6)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ,

sinsincoscoscoscos

21

222ijijij

iijiiijiiijij

ZZYYXX

ZZYYXXz

−+−+−

−+−+−=

ϕλϕλϕ(6.1.7)

které společně s rov. (6.1.5) podávají základní vztahy trojrozměrné geodézie podle teorieuvedené v [1].

Připomeňme však, že počátek O není totožný s těžištěm Země a osy X, Y, Z jsou vůčiodpovídajícím osám astronomického systému stočeny o malé úhly, které mají příčinuv hromadění systematických chyb triangulačních měření. Jestliže bychom chtěli použítrov. (6.1.4), (6.1.6) a (6.1.7) pro společné vyrovnání s měřeními družicovými nebokosmickými*), bylo by nutno k těmto rovnicím, jakož i k dále uvedeným rovnicím opravpřipojit opravné členy z neparalelnosti odpovídajících si os a z netotožnosti počátku O atěžiště Země, případně zavést nové neznámé, [1].

Odvození diferenciálů neznámých veličin v rovníkovém systému

Dříve než budou sestaveny zprostředkující rovnice oprav, je nutno rov. (6.1.5), (6.1.6) a(6.1.7) linearizovat. Bude platit

,dd,dd,dd JJ

ssJ

JzJ

J J

ijij

J

ijij

J

ijij ∑∑∑ ∂

∂=

∂∂

=∂

∂=

ααα (6.1.8)

kde dJ jsou hledané neznámé opravy jednak souřadnic, J = Xi, Yi, Zi, Xj, Yj a Zj, jednakměřených veličin, J = ϕi a λi.

Odvození diferenciálu dαij astronomického azimutu αij

Z tvaru rov. (6.1.6) vyplývá

,,,j

ij

i

ij

j

ij

i

ij

j

ij

i

ij

ZZYYXX ∂∂

−=∂∂

∂∂

−=∂∂

∂∂

−=∂∂ αααααα

proto odvodíme parciální derivace pouze pro veličiny s indexem i. S použitím rov. (6.1.4) a(6.1.1) platí, že

*) Např. laserová měření na Měsíc apod.

96

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) .cotgcoscossin

,cossin

,sin

sincos

,sinsinsincoscossin

1

,sincossincossinsin

1

cossinsincos

5

4

3

2

221

ijijiii

ijij

ijiji

ijij

ijij

iji

i

ijij

ijiiijiijiji

ijij

ijiiijiijij

j

iij

i

iij

i

ijij

zA

zA

zsZA

zsYA

zs

y

x

yXA

αϕϕλα

αϕα

αϕα

αλϕαλα

αλϕαλ

λϕλαα

−=∂∂

≡

=∂∂

≡

=∂∂

≡−

−−=∂∂

≡−

−=

=

−=∂∂

≡−

(6.1.9)

Podle rov. (6.1.8), s užitím pomocných symbolů Aij, má diferenciál dαij astronomickéhoazimutu tvar

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) .ddddddddd 54321iijiijijijijijijijij AAZZAYYAXXA λϕα ++−+−+−= (6.1.10)

Odvození diferenciálu dzij zenitové vzdálenosti zij

Z tvaru rov. (6.1.7) je patrno, že platí

.,,j

ij

i

ij

j

ij

i

ij

j

ij

i

ij

Z

z

Z

z

Y

z

Y

z

X

z

X

z

∂∂

−=∂∂

∂∂

−=∂∂

∂∂

−=∂∂

Proto opět odvodíme parciální derivace pouze pro veličiny s indexem i. S použitímrov. (6.1.4) a (6.1.1) dostaneme parciálním derivováním rov. (6.1.7)

( )

( )

( ).

sin

cossin

,sin

cossincos

,sin

coscoscos

2

2

2

ijij

ijijiij

i

ij

ijij

ijijiiij

i

ij

ijij

ijijiiij

i

ij

zs

zZZs

Z

z

zs

zYYs

Y

z

zs

zXXs

X

z

−−=

∂∂

−−=

∂∂

−−=

∂∂

ϕ

λϕ

λϕ

(6.1.11)

Abychom vyloučili rozdíly rovníkových pravoúhlých souřadnic, přepíšeme rov. (6.1.2) dotvaru

( ) ( ) ,,,,, 1 Tjjj

Tijijij zyxZZYYXX −=−−− R

kde R-1 je inverzní matice k matici R, rov. (6.1.2) a (6.1.3). Za xj, yj, zj dosadíme z rov. (6.1.1)a dostaneme výrazy

97

,cossinsincoscos

,cossincos

sincossinsinsinsincos

,coscoscos

sincoscossinsinsinsin

ijiijijiij

ij

ijii

ijijiiijijiij

ij

ijii

ijijiiijijiij

ij

zzs

ZZ

z

zzs

YY

z

zzs

XX

ϕαϕ

λϕ

αλϕαλ

λϕ

αλϕαλ

+=−

+

+−=−

+

+−−=−

(6.1.12)

které dosadíme do rov. (6.1.11) a po úpravě získáme

( ) ( )[]

( ) ( )[]

( ) ( ) .sinsincoscoscos1

,sinsincos

coscossinsinsincos1

,sincoscos

coscossinsinsin1

3

2

1

iiijijiiji

ijij

ijii

ijijiiijiiji

ijij

ijii

ijiiijiiji

ijij

zzsZ

zB

z

zsY

zB

z

zsX

zB

ϕαϕ

λϕ

αλϕαλ

λϕ

λϕαλ

+−=∂∂

≡−

+

++−=∂∂

≡−

+

++=∂∂

≡−

(6.1.13)

Zbývající dvě parciální derivace, opět s užitím rov. (6.1.7), (6.1.4) a (6.1.1), jsou

( )

( ) .sincos

,cos

5

4

ijii

ijij

iji

ijij

zB

zB

αϕλ

αϕ

−=∂∂

≡

−=∂∂

≡(6.1.13)

Po zavedení pomocných symbolů Bij má diferenciál dzij zenitové vzdálenosti tvar, vizrov. (6.1.8),

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) .ddddddddd 54321iijiijijijijijijijij BBZZBYYBXXBz λϕ ++−+−+−= (6.1.14)

Odvození diferenciálu dsij délky spojnice sijS použitím rov. (6.1.12) získáme jednoduše z rov. (6.1.5) parciální derivace

( ) ( ),coscoscos

sincoscossinsinsin1

ijii

ijijiiijii

ij

j

ijij

z

zX

s

X

sC

λϕ

αλϕαλ

+

+−−=∂∂

−=∂∂

≡

(6.1.15)

98

( ) ( ),cossincos

sincossinsinsincos2

ijii

ijijiiijii

ij

j

ijij

z

zY

z

Y

zC

λϕ

αλϕαλ

+

+−=∂∂

−=∂∂

≡

( ) .cossinsincoscos3iiijiji

i

ij

j

ijij zz

Z

z

Z

zC ϕαϕ +=

∂∂

−=∂∂

≡

S užitím pomocných symbolů Cij má diferenciál dsij délky spojnice tvar, viz rov. (6.1.8)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ddddddd 321 ijijijijijijij ZZCYYCXXCs −+−+−= (6.1.16)

Odvozených diferenciálů v rov. (6.1.10), (6.1.14) a (6.1.16) bychom použili prosestavení rovnic oprav, jestliže bychom za neznámé, hledané veličiny považovali právěopravy dXi, ... dZj pravoúhlých prostorových souřadnic v souřadnicové soustavě rovníkové aopravy dϕi, dλi bodů Pi a Pj. Ovšem s ohledem na odst. za rov. (6.1.7).

6.1.2.2 Vyjádření diferenciálů neznámých veličin v obzorníkovém systémuČasto se však ukazuje výhodným diferenciály dXi, ... dZj vyjádřit pomocí diferenciálův systému obzorníkovém především již proto, že měření jsou konána právě v tomto systému.Při převodu se vychází ze známých vztahů pro výpočet pravoúhlých souřadnic X, Y,Z v referenčním geodetickém systému S. Platí (indexy i, j jsou vynechány)

( ) ( )( ) ,sin

,sincos,coscos2 BNeHNZ

LBHNYLBHNX

−+=

+=+= (6.1.17)

kde H je elipsoidická výška a ( ) 2122 sin1−

−= BeaN je příčný poloměr křivosti (a, e je hlavnípoloosa a číselná výstřednost poledníkové elipsy daného referenčního rotačního elipsoidu).Rov. (6.1.17) derivujeme, diferenciály dX, dY, dZ vyjádříme pomocí diferenciálů dB, dL, dH atyto ještě nahradíme diferenciály dx, dy v obzorníkové rovině, obr. 6.1.2. Diferenciál dH ležína svislici t, tedy v ose z, a proto jej ponecháme. Platí, obr. 6.1.2,

( ) ( ) .dd,dd,dcosd HzBHMyLBHNx =+=+= (6.1.18)

Diferenciály dX, dY, dZ pak mají tvar

.dsindcosd

,dsincosdsinsindcosd

,dcoscosdcossindsind

HByBZ

HLByLBxLY

HLByLBxLX

+=+−=

+−−=(6.1.19)

Po zavedení symbolů i, j do rov. (6.1.19) dostáváme

,

d

d

d

d

d

d

333231

232221

131211

indindindH

y

x

MMM

MMM

MMM

Z

Y

X

=

kde mezi prvky čtvercové matice a koeficienty při neznámých diferenciálech dx, dy, dH v rov.(6.1.19) platí identita. Např.

99

( ) ,sin11 indind LM −= atd.,

kde ind = i, j. Nyní se vraťme k rov. (6.1.10), (6.1.14) a (6.1.16), které přepíšeme dospolečného vztahu. Zní

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) .d

d

00d

d

d

d

d

d

d

d

d54

54

321

321

321

i

ijjiijij

BB

AA

Z

Y

X

Z

Y

X

CCC

BBB

AAA

s

z

+

+

−

=

λϕ

α

A platí pro záměru z bodu Pi na bod Pj, obr. 6.1.2. Význam symbolů ( )1ijA , ..., ( )3

ijC udávají rov.

(6.1.9), (6.1.13) a (6.1.15). Do této rovnice dosadíme předcházející a dostáváme( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) .d

d

00

d

d

d

d

d

d

d

d

d

54

54

333231

232221

131211

333231

232221

131211

321

321

321

i

ij

jjiiijij

BB

AA

H

y

x

MMM

MMM

MMM

H

y

x

MMM

MMM

MMM

CCC

BBB

AAA

s

z

+

+

+

−

=

λϕ

α

Kdybychom nyní provedli naznačení úlohy, dostáváme koeficienty při neznámých dxi, ... dλi

a dxj, dyj, dHj. Zaveďme

( ) ( ) ( ) ,dd,dd,dd6

1

8

1

8

1

IcsIbzIaI

Iijij

I

Iijij

I

Iijij ∑∑∑

====== α (6.1.20)

kde dI jsou nové neznámé opravy vztažené k systému obzorníkovému. Jest I = 1, 2, ... 8,přičemž 1 = xi, 2 = yi, 3 = Hi, 4 = xj, 5 = yj, 6 = Hj, 7 = ϕi a 8 = λi

*). Koeficienty pro totálnídiferenciál dα jsou

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ,

,

,

3323133

3222122

3121111

T

iijij

T

iijij

T

iijij

MMMa

MMMa

MMMa

AAA

−=

−=

−=

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ,

,

,

3323136

3222125

3121114

T

jijij

T

jijij

T

jijij

MMMa

MMMa

MMMa

A

A

A

=

=

=

( ) ( )

( ) ( ),

,58

47

ijij

ijij

a

a

AA

=

=

(6.1.21)

kde ( ) ( ) ( )( )321ijijijij AAA=A . Pro totální diferenciály dZij a dβij platí obdobné tvary, pouze

symboly A zaměníme za symboly B a C. Tvary (6.1.21) je možno nahradit jinými, viz [3].

*) I = 1, ..., 6 značí veličiny odvozené a I = 7 a 8 veličiny měřené.

100

V případě diferenciálu dsij odpadají poslední dva výrazy s dϕ a dλ (indexy jsouvynechány). Astronomické souřadnice ϕ, λ v rov. (6.1.21) je možno nahradit geodetickýmisouřadnicemi B, L (indexy jsou vynechány).

6.1.2.3 Zprostředkující rovnice opravTato část je již přípravou pro závěrečné vyrovnání zprostředkujících pozorování MNČ.Navazuje tak na kap. 4.4.

Měřenými veličinami jsou: vodorovný směr aij nebo vodorovný úhel ωkij, zenitovávzdálenost zij (pouze u kratších vzdáleností), délka strany sij, astronomický azimut αij,astronomická šířka ϕi a astronomická délka λi. Každá naměřená veličina poskytuje jednuzprostředkující rovnici oprav. V následujícím budou odvozeny jejich linearizované tvary.

Rovnici oprav pro vodorovný směr sestavíme podle obr. 6.1.5. Body Pi, Pj

představují vyrovnáním určované (hledané) polohy a body Pio, Pjo přibližné (dané). Dále αij aαijo je vyrovnaný a přibližný astronomický azimut, aij + vaij

měřený směr a jeho oprava, dαij,

viz první rov. (6.1.20), vliv nesprávných poloh bodů Pio, Pjo a vliv nesprávného směrusvislice, která je dána přibližně známými astronomickými souřadnicemi ϕio a λio (na obr. 6.1.5je znázorněn jen vliv z nesprávných poloh) a d∆ai orientační posun. Podle obr. 6.1.5 platí

.dd ijijoaiji ijvaa αα +=++∆

Obr. 6.1.1

Dosadíme-li za dαij z první rov. (6.1.20), dostaneme( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )ijaijijoiijiij

jijjijjijiijiijiiji

vaaa

HayaxaHayaxaa

=−+++

+++++++∆−

αλϕ dd

ddddddd87

654321

(6.1.22)

kde koeficienty aij(1), ... jsou dány vztahy (6.1.21) a αijo se určí z rov. (6.1.6) a (6.1.17), do

kterých dosadíme přibližně známé geodetické a astronomické veličiny. O výrazu d∆ai

předpokládáme, že je dostatečně malý.

101

Rovnici oprav pro zenitovou vzdálenost sestavíme podle obr. 6.1.6. Úhly Zij a zijo

představují vyrovnanou a přibližnou zenitovou vzdálenost, zij + vzij měřenou zenitovou

vzdálenost a její opravu (u kratších vzdáleností), dzij1 a dzij2, viz 2. rov. (6.1.20), vlivnesprávných poloh bodů Pio, Pjo a vliv nesprávného směru svislice, daný přibližně známýmiastronomickými souřadnicemi ϕio a λio. Výraz ijij Rψ5,0 vyjadřuje vliv refrakce na měřenou

zenitovou vzdálenost, v němž je ψij úhel svislic v bodech Pi, Pj a Rij je refrakční koeficient.Podle obr. 6.1.6 platí

.dd5,0 21 ijijijozijijij zzzvzRij

++=++ψ

Dosadíme za dzij1 + dzij2 výraz dzij, viz druhá rov. (6.1.20), dostaneme( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,5,0ddd

dddddd5,0876

54321

ijzijoijijijoiijiijjij

jijjijiijiijiijijij

vRzzbbHb

ybxbHbybxbR

=−−++++

++++++−

ψλϕ

ψ(6.1.23)

kde koeficienty bij(1), ... určíme pomocí vztahů (6.1.21), zijo z rov. (6.1.7) a (6.1.17), do kterých

dosadíme přibližně známé geodetické a astronomické veličiny, Rijo je přibližně známáhodnota refrakčního koeficientu a ijRd jeho oprava.

Zenitová vzdálenost při délkách stran větších než asi 15 km bývá nahrazovánavýškovými nivelačními údaji, délkami stran a pod. Důvodem je skutečnost, že zenitovouvzdálenost pro větší délky stran není možno věrohodně zaměřit pro velké a nepravidelnéchyby z refrakce. Tato skutečnost je detailně projednána v [5].

Rovnice oprav pro délku strany zní

ijijosij ssvsij

d+=+

kde naměřené hodnotě strany sij byla přisouzena oprava vsij. Za diferenciál dsij, představující

vliv nesprávných poloh bodů Pio, Pjo, dosadíme třetí rov. (6.1.20) a dostaneme( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,dddddd 654321

ijsijijojijjijjijiijiijiij vssHcycxcHcycxc =−++++++ (6.1.24)

kde koeficienty cij(1), ... určíme pomocí vztahů (6.1.21) a sijo z rov. (6.1.5) a (6.1.17), do

kterých dosadíme přibližně známé geodetické veličiny.

Rovnici oprav pro astronomický azimut sestavíme podle obr. 6.1.5. Platí

,d ijijoij ijv ααα α +=+

kde naměřené hodnotě astronomického azimutu αij byla přisouzena oprava vαij (v obr. 6.1.5

není znázorněno). Za diferenciál dαij, představující vliv nesprávných poloh bodu Pio, Pjo avliv nesprávného směru svislice, dosadíme první rov. (6.1.20) a dostaneme

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ,dddd

dddd8765

4321

ijvaaHaya

xaHayaxa

ijijoiijiijjijjij

jijiijiijiij

αααλϕ =−+++++

++++(6.1.25)

102

kde koeficienty aij(1), ... určíme ze vztahů (6.1.21) a αijo z rov. (6.1.6) a (6.1.17), do kterých

dosadíme přibližně známé geodetické a astronomické veličiny.

Obr. 6.1.2

Rov. (6.1.25) obsahuje naměřený astronomický azimut αij, rov. (6.1.22) vodorovný směr aij aorientační posun d∆ai. V tom je jejich rozdíl.

Rovnice oprav pro astronomickou šířku a astronomickou délku jsou

iviioi ϕϕϕϕ =−+d (6.1.26)

iviioi λλλλ =−+d (6.1.27)

kde naměřeným hodnotám šířky ϕi a délky λi byly přisouzeny opravy vϕi a vλi

. Za přibližněznámé hodnoty ϕio, λio je možno zvolit hodnoty naměřené. Pak neznámé diferenciály dϕi, dλi

jsou rovny opravám vϕi a vλi

.

Rovnici oprav pro vodorovný směr je možno nahradit rovnicí oprav pro vodorovnýúhel. Podle obr. 6.1.5 vznikne odečtením dvou rovnic typu (6.1.22), sestavené pro spojnicePiPj a PiPk. Její výhodou oprati původní rov. (6.1.22) je vyloučení neznámého orientačníhoposunu d∆ai, který nevystupuje pak ani v rov. (6.1.28).

Linearizované rovnice oprav (6.1.22-27) obsahují neznámé opravy vztažené k systémuobzorníkovému. Jestliže bychom užili při sestavování linearizovaných rovnic oprav vztahů(6.1.10). (6.1.14) a (6.1.16), pak vypočtené neznámé opravy jsou vztaženy k systémurovníkovému.

K sestavení linearizovaných rovnic oprav, obdobných rov. (6.1.22-27), je možnopoužít přímo rov. (6.1.1).

6.1.2.4 Přehled výpočetního postupu

103

Výpočetní postup při použití neznámých oprav v systému obzorníkovém je následující.Z hodnot Bio, Lio, Hio, Bjo, Ljo, Hjo vypočteme pro daný referenční elipsoid přibližně pravoúhlésouřadnice Xio, Yio, Zio, Xjo, Yjo, Zjo, rov. (6.1.17), a pomocí nich a hodnot ϕio, λio přibližnéhodnoty αijo, zijo, sijo, rov. (6.1.5-7), jež vystupují v absolutních členech rovnic oprav (6.1.22-25). Hodnoty koeficientů se určí z rov. (6.1.21). Ve jmenovaných rovnicích je index ovynechán. Výsledkem vyrovnání jsou opravy dxi, dyi, dHi, dxj, dyj, dHj, dϕi, dλi, d∆ai a dRij

vystupující v rovnicích oprav (6.1.22-27). Pomocí rov. (6.1.19) převedeme prvních 6uvedených oprav na opravy dXi, dYi, dZi, dXj, dYj, dZj. Konečné hodnoty jsou

,d

,d

,d

,d

,d

iioi

iioi

iioi

iioi

iioi

ZZZ

YYY

XXX

λλλϕϕϕ

+=+=+=

+=+=

,d

,dd

,d

,d

,d

ijijoij

ii

jjoj

jjoj

jjoj

RRR

aa

ZZZ

YYY

XXX

+=∆=∆

+=

+=

+=

(6.1.28)

pro i = 1, 2, ... n, kde n je počet zprostředkujících rovnic oprav.Výpočetní postup při použití neznámých oprav v systému rovníkovém, rov. (6.1.10),

(6.1.14) a (6.1.16), je ve výpočtu absolutních členů shodný s postupem předchozím. Výsledkyje ale možno dosadit již přímo do rov. (6.1.28). Výpočet rov. (6.1.18) a dalších je tedyvynechán. Koeficienty v rovnicích oprav se určí z rov. (6.1.9), (6.1.13) a (6.1.15).

V této kap. 6.1 vystupují délkové a úhlové směrové veličiny. Jsou-li úhlové a směrovéveličiny zaváděny např. ve ″, je nutné zavést převod na ně z míry obloukové pomocí

8,206264180 ==′′ πρ . Podobně je nutné dbát obou zavedených jednotek při zavádění vah a

výpočtu středních chyb.Detailní projednání předložené problematiky včetně numerické aplikace je uvedeno

v [5], kde jsou i další odkazy na literaturu.

6.1.3 Závěr

Metody trojrozměrné geodézie mohou posloužit k řešení samostatných úloh jak geodézieinženýrské, tak i vyšší geodézie. Má-li být použito metod trojrozměrné geodézie kespolečnému zpracování měření z jiného oboru, např. z družicové geodézie nebo kosmickégeodézie, je nutné, aby použité prostorové systémy byly shodné co do počátku i orientace os,či aby jejich neshodnost byla uvážena.

LITERATURA:

[1] Burša M.: Základy družicové geodézie, I. díl. Naše vojsko. Praha 1960.[2] Hradilek L.: Adjustment of Tree-Dimensional Networks in the Geodetic Coordinate

System. IAG Symposium on Optimalization of Design and Computation of ControlNetworks. Sopron 1977.

[3] Kabeláč J.: Příspěvek k problematice trojrozměrné geodézie. Geod. a kart. obzor, roč.24/66, č. 12, Praha 1978.

[4] Wolf H.: Die Grundgleichung der Dreidimenzionalen Geodäzie in elementalerDarstellung. Zeitschrift für Vermessungswesen, 6 (1963), 225.

104

[5] Zelenka J.: Diplomní úkol. Knihovna katedra vyšší geodézie, Praha 1976.

6.2 Podmínka komplanarity

Podmínka komplanarity stanoví závislost mezi (třemi) směry, ležícími v jedné rovině. Mějmena obr. 6.2.1 tyto tři směry, jejichž směrové kosiny, které jsou ovšem závislé na svolenésouřadnicové soustavě, označme (a b c)index, kde index = ij, jk, ki.

k

j

i

Obr. 6.2.1

Mezi nimi však platí závislost daná vztahem

1222 =++ cba

(indexy jsou vynechány), který ale není vhodný pro vyrovnání. Proto nahradíme směrovýkosinus c vztahem

( ) .1 21

22 bac −−=

Podmínku komplanarity pak udává determinant

( )( )( )

.0

1

1

1

21

22

21

22

21

22

=

−−

−−

−−

=

kikikiki

jkjkjkjk

ijijijij

ijk

baba

baba

baba

D (6.2.1)

Jeho aplikace je např. v kap. 8.2. Pro použití ve vyrovnání je však zapotřebí získatpřetvořenou podmínku, viz rov. (4.3.1), která ovšem vyžaduje linearizaci rov. (6.2.1), a topodle zavedených neznámých. Protože tyto veličiny se různí případ od případu, nebudemezde linearizaci provádět. Navíc prvky v determinantu rov. (6.2.1) nejsou nejvhodnější.Vhodné je nahradit jen dvěma nezávislými proměnnými veličinami, jak ukazuje obr. 6.2.2,kde jsou označeny u, v.

105

y

x

z

u

90°v

arccosc

arccosb

arc

cosa

u

90°

Obr. 6.2.2

Pak platí ,cos,sinsin,cossin vcuvbuva === přičemž není (prozatím) nutno pravoúhlousouřadnicovou soustavu blíže definovat. Upravená rov. (6.2.1) přejde do tvaru

.0

cotgsincos

cotgsincos

cotgsincos

==

kikiki

jkjkjk

ijijij

ijk

vuu

vuu

vuu

D (6.2.2)

Budeme-li považovat jen směr ij za neznámý a tudíž hledaný MNČ, je nutno zavést

,d,d 00 vvvuuu ijij +=+=

Ostatní symboly ponechat a rov. (6.2.2) linearizovat. Dostaneme přetvořenou podmínkovourovnici

,dd ijkijkijkijk vlvbua =++

kde

( ).

,sincosec

,

cotgsincos

cotgsincos

0cossin

0

02

00

ijkijk

kijkijk

kikiki

jkjkjkijk

Dl

uuvb

vuu

vuu

uu

a

=

−=

−=

Po dosazení přibližných hodnot u0, v0. Absolutní člen l ijk je odchylka úhlu normályk rovině dané směry ik a jk, viz obr. 6.2.1, s přibližným směrem ij o. Podmínka komplanaritynahrazuje podmínku trojúhelníkovou, viz kap. 5. Oproti ní je však citlivější, jestliže ony třisměry neleží v jedné rovině. Dále stanoví (zajišťuje) orientaci roviny ijk v 3D prostoru. Blíže,včetně číselného příkladu, je v [1]. Taktéž viz kap. 5.2.3 a 5.3.

Linearizace rov. (6.2.1) a její číselná aplikace je uvedena v kap. 8.2.1.

LITERATURA:

[1] Kabeláč J., Skořepová J.: Vyrovnání prostorové družicové sítě. Geod. a kart. obzor, roč.17/59, s. 167 – 174, Praha 1971.

106

6.3 Společné vyrovnání směrových a délkových veličin

V kap. 4 bylo uvedeno srovnání použití zprostředkujících a podmínkových pozorování přivyrovnání MNČ. V kap. 6.3 a dalších bude preferováno vyrovnání pomocí podmínkovýchpozorování přesto, že sestavení potřebného počtu podmínek je někdy velmi obtížné. Vede násk tomu skutečnost, že vyrovnání podmínkových pozorování, resp. podmínky samotné, nejsouobvykle závislé na souřadnicové soustavě na rozdíl od vyrovnání pozorovánízprostředkujících.

Takže nejbližším úkolem bude sestavení podmínkových rovnic a eventuálně i jejichlinearizace. Pozornost bude věnována i zavádění vah, neboť jde o dva různé druhy měřenýchveličin. Teorii budeme demonstrovat na trojúhelníku A, B, C, obr. 6.3.1.

y

Ax

a

z

s

C

B

1

2

3

a

a

s

3s

2

1

Obr. 6.3.1

Danými veličinami jsou směrové veličiny: u1, v1, u2, v2, u3, v3 a délkové veličiny: s1,s2, s3.

Tedy počet daných veličin n = 9. Nutný počet ν = 6 pro zajištění polohy trojúhelníkuA, B, C v 3D prostoru. Počet nadbytečných měření r = n – ν = 3. Takže je nutno sestavit třipodmínky. První podmínkou je podmínka komplanarity z rov. (6.2.2). Zbývající dvě volmenapříklad ve tvaru

,0coscos221331 sDsss ≡=−+ αα (6.3.1)

.0coscos331221 sDsss ≡=−+ αα (6.3.2)

Linearizací rov. (6.2.2), (6.3.1) a (6.3.2) dostaneme v uvedeném pořadí

,0dd

ddddddd

,0dd

ddddddd

,0dddddd

332

1321321

232

1321321

123321321

032

1321321

032

1321321

0321321

=+++

+++++++

=+++

+++++++

=++++++

s

s

Dscsc

scvcvcvcucucuc

Dsbsb

sbvbvbvbububub

Dvavavauauaua

ss

svvvuuu

ss

svvvuuu

vvvuuu

(6.3.3)

107

Derivace aindex zjistíme z rov. (6.2.2). Postupně derivujeme podle všech prvků tohotodeterminantu, přičemž indexy ijk nahrazujeme indexy 123. Nejprve pro první rov. (6.3.3).Dostáváme

0333

22

111

02

123

0333

222

11

01

123

cotgsincos

0cossin

cotgsincos

cotgsincos

cotgsincos

0cossin

2

1

vuu

uu

vuu

u

Da

vuu

vuu

uu

u

Da

u

u

−=∂

∂=

−=

∂∂=

033

222

111

03

123

0cossin

cotgsincos

cotgsincos

3

uu

vuu

vuu

u

Dau

−=

∂∂=

( )

( )

( )02132

03

123

01322

02

123

03212

01

123

sincosec

sincosec

sincosec

03

02

01

uuvv

Da

uuvv

Da

uuvv

Da

v

v

v

−=∂

∂=

−=∂

∂=

−=∂

∂=

Pro druhou a třetí rov. (6.3.3) jsou derivace složitější, neboť vznikaly z rov. (6.3.1) a (6.3.2)obsahujících úhly αindex, takže např.

( ) .cossinsincoscoscos 2332321 uuvvvv −+=α

Derivování rov. (6.3.1) a (6.3.2) bude proto nutno provést podle vztahu

01

1

11

3

301

222

1

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

=u

D

u

D

u

Db sss

u

αα

αα

atd. Postupně dostáváme výrazy

( )( ) ( )( )

( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ] ,cossincoscossin

,coscossinsincos

cossincoscossin

,coscossinsincos

,sincoscos

,sincoscossincoscos

,sincoscos

3232323

3232323

2121211

2121211

32323

2332321211

12211

3

2

1

3

2

1

uuvvvvsb

uuvvvvs

uuvvvvsb

uuvvvvsb

uuvvsb

uuvvsuuvvsb

uuvvsb

v

v

v

u

u

u

−−=−−+

+−−=

−−=

−=

−+−=

−=

,cos,1,cos 13 321αα =−== sss bbb

108

( )( )( ) ( )

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )[ ] ,cossincoscossin

cossincoscossin

,coscossinsincos

,coscossinsincos

,sincoscossincoscos

,sincoscos

,sincoscos

3232322

1331311

3232322

1331311

3232231311

23322

13311

3

2

1

3

2

1

uuvvvvs

uuvvvvsc

uuvvvvsc

uuvvvvsc

uuvvsuuvvsc

uuvvsc

uuvvsc

v

v

v

u

u

u

−−+

+−−=

−−=

−−=

−+−=

−=

−=

.1,cos,cos321 12 −=== sss ccc αα

Podmínkové rov. (6.3.1) a (6.3.2) možno volit i v jiných tvarech a derivace upravit dovhodnějších výrazů, viz [1] nebo obdobně [2]. Systém rovnic (6.3.3) podrobíme podmínceminima, když dříve do těchto výrazů dosazujeme přibližně známé vstupní hodnoty (index 0byl vynechán). Blíže o teorii včetně číselného použití je rovněž v [2].

Problematika obdobná, leč pro rovinu, byla uvedena v PŘÍKLAD Ě 15 v kap. 5. Ozpůsobu zavádění vah viz kap. 5.1.1 a číselná ověření různých vahových variant jsouv kap. 8.2.1 a 8.2.2.

LITERATURA:

[1] Hubeny K.: Die Auzgleichung von Dreiecknetzen mit direkt geomessenen Seiten. Öster.Zeit. für Vermes., No. 5, 6, 1950.

[2] Kabeláč J.: Pozemní a družicové sítě v trojrozměrném prostoru. Fakultní úkol č. 420A/70-71, knihovna katedry vyšší geodézie, Praha 1972.

6.4 Vyrovnání sítě v 3D prostoru bez závislosti na svislici

V následujícím textu je ukázáno, že postup s pomocí podmínkových pozorování je možnopoužít v případě, kdy nechceme pracovat s veličinami, které jsou závislé na svislici, tj.s vodorovnými směry a především ne se zenitovými vzdálenostmi. Princip pozůstávájednoduše v tom, že tyto veličiny převedeme na tzv. šikmé úhly α, viz obr. 6.4.1. Tím,společně s měřenými délkami, bude použito pouze veličin invariantních, nezávislých nasměru svislic, ale i na souřadnicovém systému vůbec.

V dalším textu budou postupně sestavovány podmínkové rovnice trojúhelníkové,stranové a základnové, tedy obdobně jako při vyrovnání v 2D prostoru, leč zde pro prostor3D. Rovněž bude uvážen vliv pozemní refrakce.

6.4.1 Sestavení podmínkových rovnic

1) Podmínkové rovnice trojúhelníkovéNa obr. 6.4.1 jsou body i, j, k vrcholy prostorové sítě. O šikmých (polohových, posičních)úhlech, které jsou invariantní, platí (indexování je vždy ve smyslu kladném) již linearizovanýtvar

109

k

j

jk

i

a

kij

jki

ijk

ij

ki

s

s

s

a

a

Obr. 6.4.1

.0180 =°−++ jkiijkkij ααα (6.4.1)

k

jjk

i

a

jikjki

ijk

ji Rj

z

a´

x j v12

o ji

Rjj v12

x

ijk

jko

jkjiz

smìr alhidádovéosy teodolitu

Obr. 6.4.2

Např. úhel αijk zjistíme, obr. 6.4.2, když bod j ztotožníme se středem jednotkové koule. Platí

( )jijkjkjijkjiijk oozzzz −+= cossinsincoscoscosα, (6.4.2)

kde zji, zjk jsou zenitové vzdálenosti bez vlivu refrakce a oji, ojk vodorovné směry z bodu j nabody i a k. Stejně tak zjistíme i ostatní šikmé úhly. Vliv refrakce, působící na zenitovouvzdálenost, zaveďme tvarem (pro demonstraci užito záměry zji)

,2

1jjijiji Rzz ϕ+′= (6.4.3)

kde z ji je naměřená zenitová vzdálenost a ϕji úhel svislic na bodech i a j. Refrakční koeficient

,0 jRj vRR += (6.4.4)

kde R0 = 0,14 je přibližná hodnota refrakčního koeficientu a byla společná pro všechny body;vRj

je jeho oprava pro bod j. Rov. (6.4.4) dosadíme do rov. (6.4.3) a získáme

110

.2

1

2

10 jRjijijiji vRzz ϕϕ ++′=

Výrazy 02

1Rz jiji ϕ+′ jsou známé a zavedeme místo nich symbol jiz′′ a vše dosadíme, rovněž

tak pro záměru jk, do rov. (6.4.2). Jest

( ) ,cos2

1sin

2

1sin

2

1cos

2

1coscos

jkjiRjkjkRjiji

RjkjkRjijiijk

oovzvz

vzvz

jj

jj

−

+′′

+′′+

+

+′′

+′′=

ϕϕ

ϕϕα(6.4.5)

kde jRji vϕ2

1 je oprava zenitové vzdálenosti záměry ji v důsledku refrakce. Obdobně je tomu

pro záměru jk a další. Rov. (6.4.5) nejprve upravíme. Po zanedbání malých veličin 2. avyšších řádů a po malé úpravě dostaneme

( )[( )],cossincossincos

coscossinsincos2

1coscos

jkjijkjijijk

jkjijkjijkjiRijkijk

oozzzz

oozzzzvj

−′′′′+′′′′

−−′′′′+′′′′−+′= αα

kde, viz obr. 6.4.2,

( ),cossinsincoscosarccos jkjijkjijkjiijk oozzzz −′′′′+′′′′=′α

a je to tedy veličina známá, ovlivněná refrakcí, a budeme ji považovat za „naměřenou“.Výrazy v hranaté závorce nahradíme sinus-kosinusovými větami pro sférický trojúhelník naobr. 6.4.2 a dostáváme

( ).coscossin2

1coscos jkijkjikjiijkRijkijk j

v ξϕξϕααα +′−=′−

Výraz na levé straně upravíme podle známé věty rovinné trigonometrie. Po úpravě má tvar

,2

1jRjikijkijk vA+′= αα (6.4.6)

kde

( ),coscos2

1 jkijkjikjiijkA ξϕξϕ += (6.4.7)

Úhly ξ určíme z obr. 6.4.2. Hodnota α ijk je hodnota známá, které byl dán významveličiny naměřené. A jí bude příslušet náhodná oprava

ijkvα .

Jak jsme postupovali při odvození rov. (6.4.6), stejně tak by platilo i pro úhly αjki aαkij, viz obr. 6.4.1. Po jejich dosazení do rov. (6.4.1) včetně dosazení náhodných oprav

ijkvα ,

jkivα a

kijvα , dostáváme

,0=++++++ ∆ijkjkiRijkRkijR UAvAvAvvvvkjijkiijkkij ααα (6.4.8)

111

kde uzávěr je.180°−′+′+′=∆ jkiijkkijijkU ααα

Rovnice typu (6.4.8) je nutno sestavit pro každý trojúhelník, na jehož všech vrcholechbyly měřeny vodorovné směry a zenitové vzdálenosti.

2) Podmínkové rovnice stranovéPři studiu sítí v dvourozměrném prostoru je základním obrazcem trojúhelník. Při sestavovánípodmínkových rovnic stranových v třírozměrném prostoru se ukázalo, že nejvhodnějšímzákladním tělesem je čtyřstěn. V obr. 6.4.3 bod p představuje pól a body i, j, k vrcholyzákladny.

k

j

pjk i

a

ijp

pij

pik

ikp

jkp

p

a

a

a

a

a

Obr. 6.4.3

Platí pak

,1sinsinsin

sinsinsin =

jkpijppik

ikppjkpij

ααααα

(6.4.9)

kde ramena úhlů v čitateli jsou stejnosměrná a ve jmenovateli protisměrná.Rov. (6.4.9) můžeme převést na logaritmický tvar. Za úhly α dosadíme výrazy (6.4.6),

včetně náhodných oprav, poté rov. (6.4.9) linearizujeme a po úpravě dostáváme

( )( )( ) ,0cotgcotg

cotgcotg

cotgcotg

cotgcotgcotg

cotgcotgcotg

=+′−′+

+′−′+

+′−′+

+′−′−′−

−′+′+′

pijkk

j

i

jkpijppik

ikppjkpij

ojkpjkpikpikpR

ijpijppjkpjkR

pikpikpijpijR

jkpijppik

ikppjkpij

UAAv

AAv

AAv

vvv

vvv

αα

αααα

ααα

ααα

ααα

ααα

(6.4.10)

kde význam symbolů A je dán rov. (6.4.7). Uzávěr

.sinsinsin

sinsinsinlog

jkpijppik

ikppjkpijo MU

pijk ααααα

=

Pro čtyřstěn na obr. 6.4.3 je možno sestavit 3 nezávislé stranové rovnice, je-li početměřených veličin úplný. Je přirozené, že je možno sestavit stranové rovnice i pro základny

112

víceúhelníkové. To však již záleží na tvaru prostorové sítě a na rozložení měřených veličinv síti.

3) Podmínkové rovnice základnovéByly-li změřeny v trojúhelníku i, j, k, obr. 6.4.1, strany sij a ski, platí

.1sin

sin=

jkiki

ijkij

s

s

αα

(6.4.11)

Rov. (6.4.11) můžeme převést na logaritmický tvar Za úhly α dosadíme nejprve výrazy(6.4.6), včetně náhodných oprav, a za délky stran s výrazy svss +′= , kde s je naměřená

délka strany (indexy jsou vynechány) a vs její oprava. Rovnici linearizujeme a po úpravědostaneme

,0cotgcotg

cotgcotg

=+′−′+

+′

−′

+′−′

skj

kiij

jkiijk

ijkjkijkiRijkijkR

ki

s

ij

s

jkiijk

UAvAv

s

v

s

vvv

αα

αα αα(6.4.12)

kde význam symbolů A je dán rov. (6.4.7). Uzávěr

.sin

sinlog

jkiki

ijkijijk s

sMU

s αα

′′′′

=

Počet základnových rovnic je vždy o 1 menší než počet změřených délek stran. Neleží-li obězákladny v témže trojúhelníku, získáme pro ně vztah pomocí rozšířené sinové věty.

Linearizované rov. (6.4.8), (6.4.10) a (6.4.12) obsahují neznámé opravy vα, vs

měřených veličin a neznámé parametry vR neměřených veličin. Vyrovnání je tedy nutnouskutečnit podle podmínkových pozorování s neznámými parametry, viz závěr kap. 4.7,v které je nutno zanedbat zprostředkující pozorování s neznámými parametry. Výslednéhodnoty jsou

.

,

,0

s

R

R

vss

Avv

vRR

+′=++′=

+=

ααα

(indexy jsou vynechány). Bližší je v [1], [2], [3] a [4].Vyrovnání prostorových sítí v třírozměrném prostoru podle podmínkových pozorování

je prozatím v literatuře méně propracováno než podle zprostředkujících pozorování. Přednostípodmínkových pozorování je vyšší nezávislost na referenčním tělese oproti zprostředkujícímpozorování, viz závěr kap. 4.

Jistou potíží je sestavování potřebných a nutných podmínkových rovnic. Nutné je, abyjejich počet nebyl přebytečný, tj. aby nebyly na sobě závislé. Navíc jejich počet je menší nežpočet rovnic oprav u zprostředkujících pozorování.

V předchozím textu bylo rovněž ukázáno, že uvedený postup je též nezávislý na směrusvislic. Znamená to, že je využíváno čistě geometrických závislostí v třírozměrném prostorubez ohledu na gravitační účinky v souřadnicové soustavě. A rovněž není nutné oddělovatveličiny polohové od výškových.

113

LITERATURA:

[1] Hradilek L.: Space Triangulation in the Western Part of the High Tatras. Studia geoph. etgeod., 7 (1963), 338.

[2] Kabeláč J.: Adjustment of a Spatial Network Independently of the Plumb-line. Studiageoph. et geod., 14 (1970), 110.

[3] Kabeláč J.: Pozemní a družicové sítě v třírozměrném prostoru. Fakultní úkol, č. 420 A/70-71, knihovna katedry vyšší geodézie, Praha 1972.

[4] Kabeláč J.: Využití umělých družic k budování geodetických základů – upřesnění teorieporuch. Doktorská disertační práce. Soukromá knihovna autora. Nepublikováno, Praha1988.

6.5 Vyrovnání prostorové sítě metodou družicové geodézie

I když bude o družicových sítích pojednáno v samostatné kap. 8, ale i 7, zařazujeme aplikacivyrovnání sítí metodou družicové geodézie (DG) již nyní. Princip budování není nikteraksložitý.

Půjde o zjištění všech směrů stran a alespoň některých jejich délek v danésouřadnicové soustavě.

Budou použita taková vyjádření, aby tyto všechny směrové veličiny byly vyjádřenystejnými nebo obdobnými symboly jako při vyrovnání sítí družicových. Obvykle to jehodinový úhel greenwichský a deklinace, jejich definice ap. jsou v kap. 7.2, kterýmžtoveličinám budou zde odpovídat astronomická zeměpisná délka a astronomická zeměpisnášířka, viz obr. 6.5.1 a obr. 6.5.2. Tento postup je sledován úmyslně, neboť je snahouvyrovnání družicové sítě a prostorové pozemní sítě spojit v jeden vyrovnávaný celek. Použitérovnice pro obě sítě si potom svým charakterem odpovídají. Rovněž bude použitopodmínkových rovnic, neboť – jak již bylo poznamenáno – je jejich předností podstatněmenší závislost na referenčním tělese a tudíž i na zavedené souřadnicové soustavě.

Z prací obdobných této kapitole jmenujme aspoň [5], [1] a [4]. Poznamenejmeještě, že zde nejsou zaváděny refrakční koeficienty, jak by se mělo stát s ohledem na nejvyššípřesnost. Teorie je aplikována na modelový příklad v [3]. Ještě poznamenejme, že zde – narozdíl od předchozí kap. 6.4 – není zcela odstraněna závislost na směru svislic. O variantáchvyrovnání bude pojednáno později.

6.5.1 Stanovení základních vztahů pro určení směru strany prostorové sítě

Na obr. 6.5.1 představuje bod Pi pozemské stanoviště o zeměpisných astronomickýchsouřadnicích ϕi a λi (kladná na východ), na němž jsou měřeny azimuty αij a zenitovávzdálenost zij na bod Pj. Azimut je počítán od astronomického severu N a je kladný navýchod. Přenesme směr PiPj, směr ti k astronomickému zenitu Zi a směr o k severnímusvětovému pólu P do bodu Pi, obr. 6.5.2. Tyto směry protnou jednotkovou kouli, opsanoubodu Pi ve vrcholech sférického trojúhelníka Pij, Zi, P. Potom úhly ϕij a λij (kladné na východ)charakterizují směr strany PiPj v soustavě astronomických rovníkových souřadnic.Z obr. 6.5.2 je možno odvodit základní vztahy.

,sinsinsincos ijijijij z αλϕ =∆ (6.5.1)

114

,cossinsincoscoscoscos ijiijiijijij zz αϕϕλϕ −=∆ (6.5.2)

,coscossinsincossin ijiijiijij zz αϕϕϕ += (6.5.3)

,cossincoscotg

sintg

ijiiij

ijij z αϕϕ

αλ

−=∆ (6.5.4)

,ijiij λλλ ∆+= (6.5.5)

Z

t

P

o

pól

N

Greenwichskýpoledník

PP

P

za

l

j90° -i

ijij

i

j

j

i

ii

Pi

Obr. 6.5.1

115

o

Greenwichskýpoledník

P

P

P

t

Z

Z

90°-

P P

i

i

ij

i j

i

ij

ij

iji

iji

a

jjl

ij

D

ll90°-

Obr. 6.5.2

takže

( )ijijijji fPP λϕ ,=

resp.

( ).,,, iiijijijji zgPP λϕα=

(6.5.6)

V obecném případě hodnota azimutu αij nebude známa. Pišme, že

, iijij ααα ∆+′= (6.5.7)

Kde azimut ijα ′ na pravé straně je hodnota známá a ∆αi je neznámý orientační posun.

116

Z

t

i

N

Z

Z

i

ik

ijij

ik

Z

Nt

Z

Z

a

a

a

a

ji

jk

ji

jkj

j

j

Z

N

ZZ

k

a

a

kj

ki

kikj

kt

P

P

P

Obr. 6.5.3

Naši úvahu rozšiřme na trojúhelník Pi, Pj, Pk, obr. 6.5.3, v němž jsou známy (určeny)všechny azimuty a zenitové vzdálenosti. Směry ti, tj, tk svislic jsou dány zeměpisnýmiastronomickými souřadnicemi. Obdobně první rov. (6.5.6) platí

( )( )

( ) ,,

,,

,,

kikikiik

jkjkjkkj

ijijijji

fPP

fPP

fPP

λϕλϕ

λϕ

=

=

=

( )( )( ) ,,

,,

,,

ikikikki

kjkjkjjk

jijijiij

fPP

fPP

fPP

λϕλϕλϕ

=

=

=

kde výrazy v závorkách určíme z rov. (6.5.3), (6.5.4) a (6.5.5) po dosazení příslušnýchindexů.

Dříve než přistoupíme k sestavení podmínkových rovnic, zmíníme se o variantáchvyrovnání, kterých je možné užít k dalším úvahám.A – ve variantě A budou opravy přisuzovány přímo směrům ϕij a λij, rov. (6.5.3) a (6.5.5).B – ve variantě B budou opravy či neznámé parametry přisuzovány veličinám ∆αi, zij, ϕi, λi,druhá rov. (6.5.6) a rov. (6.5.7). Mohou následovat další varianty, viz [3].

6.5.2 Sestavení podmínkových rovnic pro variantu A

Budou sestaveny podmínkové rovnice pro shodnost protisměrů, podmínka komplanarity azákladnová podmínková rovnice pro případ, že nahodilé opravy jsou přisuzovány přímosměrům ϕij a λ ij.

Podmínková rovnice pro shodnost protisměrůTyto podmínky vycházejí ze vztahu °=+ 180jiij ϕϕ , jestliže obě hodnoty jsou měřeny na

poledníku od severního pólu P a nejsou větší než 180°. Platí pak podmínková rovnice φij. Zní

117

.0180 =°−+≡ jiijij ϕϕφ (6.5.8)

Pro zeměpisné délky stran PiPj a PjPi platí °±=− 180ijji λλ , takže podmínková rovnice Λij je

.180°±−≡ jiijijΛ λλ (6.5.9)

Přetvořené podmínkové rovnice, viz kap. 4.3, jsou jednoduše

,0

,0

=+−≡

=++≡

ijjiij

ijjiij

Λij

ij

UvvΛUvv

λλ

φϕϕφ

kde °−+= 180jioijoijU ϕϕφ a °±−= 180jioijoΛij

U λλ jsou uzávěry. Index o značí přibližné

hodnoty.

Podmínka komplanarity, nebo-li podmínka pro tři směry, ležící v jedné rovině, která jerovněž používaná při vyrovnání družicových sítí DG, viz [2], je vektorově vyjádřena tvarem

,0=⋅×ik

ik

kj

kj

ji

ji

PP

PP

PP

PP

PP

PP

který je možno zjednodušit na tvar, viz též kap. 6.2,

.0

tgsincos

tgsincos

tgsincos

=

≡

kikiki

jkjkjk

ijijij

ijkK

ϕλλϕλλϕλλ

(6.5.10)

Linearizací pro všech devět veličin jej převedeme na přetvořenou podmínkovou rovnici

,0=+∑ ijkKJ

JJ UvK

kde o

ijkJ J

KK

∂∂= , Kijk je dáno rov. (6.5.10) a indexy J = ϕij, λij, ..., λki. Absolutní/prostý

člen, či též uzávěr, viz kap. 4.3, je

( ) ,oijkK KU

ijk=

kde index o opět značí, že byly dosazeny přibližně známé hodnoty do rov. (6.5.10).

Základnová podmínková rovnicePro jednoduchý případ, obr. 6.5.4, platí

,0sinsin

sinsin=−≡

ij

jk

lkjilj

jlkjilijk s

sS

ωωωω

(6.5.11)

kde ωjil , ... jsou šikmé úhly na stěnách polyedru a sij, sjk jsou měřené délky stran. Úhly ωjil , ...možno vyjádřit

( ),...coscoscossinsincos ilijilijilijjil λλϕϕϕϕω −+= (6.5.12)

118

l

i

k

j

s

s

ij

jk

lkj

jil

ilj

jlk

w

w

w

w

Obr. 6.5.1

V rov. (6.5.11) je nyní možno úhly ωjil ,... nahradit veličinami měřenými a neznámými,prostřednictvím vztahů (6.5.12). Tak by se dělo ve variantě B. My zde ve variantě Apřisuzujeme opravy přímo směrovým veličinám ϕij, λ ij atd. Základnová podmínková rovnicelinearizovaná, která má tvar

,0=+∑ ijklSJ

JJ UvS

má indexy J = ϕij, λij, ϕil, λil, ϕli, λli, ϕlj, λlj, ϕlk, λlk, ϕkl, λkl, ϕkj, λkj, sij, sjk. Dále je

ijklSo

ijklJ SUJ

SS

ijkl=

∂∂= , .

Úplné a exaktní tvary derivací a zjednodušený postup pro jejich odvození je v [3]. Obdobnýpostup odvození, leč poněkud složitější, vyžaduje varianta B.

6.5.3 Stanovení počtu podmínkových rovnic

Následující úvahu uskutečníme pro jednoduchou síť, ve které se žádné spojnice nekříží. Jdetedy o jednoduchou síť, která má:

v – vrcholů, kde nový vrchol vytvoří jen 2 spojnice,p – příček, kdy se z jedné příčky vytvořil vždy jen jeden trojúhelník,s – počet stran sítě včetně příček.

Bude-li síť, viz obr. 6.5.5, obsahovat v vrcholů a p příček (při předpokládaném a uvedenémzjednodušení), pak pro počet s všech stran včetně příček p platí, že

32 −+= pvs .

Počty podmínkových rovnic jsou

prostisměrných: ( )3222, −+== pvsΛφ

komplanarity: 2−+=∆ pv

základnových: 1−= stranměřených početz

(6.5.13)

119

kde φ, Λ je počet podmínek pro shodnost protisměrů, viz rov. (6.5.8) a (6.5.9), ∆ je početpodmínek komplanarity, viz rov. (6.5.10) a z je počet podmínek základnových, viz příkladněrov. (6.5.11). V přehledu viz tab. 6.5.1.

a)b) c) d)

Obr. 6.5.1 a, b, c, d

Tab. 6.5.1 udává aplikace rov. (6.5.13) pro obrazce sítí na obr. 6.5.5 a), ..., d).

Tab. 6.5.1 Počty vrcholů v, příček p, stran s včetně příček p, podmínkovýchrovnic φ, Λ, ∆ a z, viz rov.(6.5.13)

Obr. 6.5.5 v p s φ, Λ ∆ za) 3 0 3 á 3 1b) 4 0 5 á 5 2c) 6 0 9 á 9 4d) 6 1 10 á 10 5

Početzměřenýchzákladenmínus 1

Toto jsou ovšem počty všech možných podmínkových rovnic. U posledního případud) v tab. 6.5.1 by to bylo n – 2 plus podmínky základnové. Počet nutných pozorování proumístění jednoho trojúhelníku v souřadnicové soustavě je 6. Pro ν vrcholů je nutný počet

( ) 33336 −=⋅−+= vvν . Počet nadbytečných pozorování a tudíž i počet podmínkovýchrovnic bude ν−= nr .

6.5.4 Zhodnocení a závěr

V této kap. 6.5 byl projednáván případ vyrovnání prostorové sítě opětně podle podmínkovýchpozorování MNČ. Jde či vlastně šlo jen o přípravu ke zvolenému vyrovnání. Vlastnívyrovnání by se dělo podle teorie uvedené v kap. 4.3. Snahou bylo přiblížit se v teorii ive výpočetní praxi postupům používaným v DG, a tak přiblížit navzájem vyrovnánípozemních prostorových sítí s vyrovnáním sítí družicových pro jejich společné vyrovnání.Byl opět použit postup podmínkových pozorování především proto, že nejsou závislá nareferenčním tělese. Sestavení podmínkových rovnic je však oproti sestavení rovniczprostředkujících složitější (ba v některých případech svízelné). Viz též zhodnocení v kap. 4.

V předchozím textu byla řešena varianta A, kdy opravy byla přisuzovány směrovýmcharakteristikám ϕij, λij, které ovšem nejsou veličinami přímo měřenými, což z hlediska MNČnení po teoretické stránce správné. Ze zkušenosti je však známo, že po praktické stráncevýsledky nedoznají nepřístupných změn. Správnější by bylo náhodné opravy přisoudit přímoměřeným veličinám zij, αij, ϕi, λi, jak ukazují rov. (6.5.1) a další. Tento postup předvádívarianta B, která však zde uvedena není. Snaživý student ji najde v práci [3].

Nahodilé opravy by zde měly být správně přepsány nejen směrům, ale i délkám. Otom bylo pojednáno v kap. 6.3 a bude se o tomto postupu jednat v dalších částech.

120

Ještě dodejme, že do varianty A je možno vstoupit s upravnými veličinami( ) 2180°+− jiij ϕϕ a ( ) 2180°±+ jiij λλ , viz rovněž [3]. V této citaci najde čtenář i příklad

numerické aplikace. Výsledky z použitého modelu jsou v obou variantách A a B praktickyschodné. Nejlepší poskytuje varianta A. Oba postupy souhlasí s hodnotami modelovými.

Závislost na referenčním tělese by ovšem vzrostla, kdyby zenitové vzdálenosti bylypočítány z výšek. Výsledné hodnoty orientace spojnice dvou bodů sítě jsou přímo vastronomickém rovníkovém systému. Použití tohoto postupu vyrovnání se nabízí při pracechsouvisejících s proměřováním základny pro družicová měření. V případě, že bychom chtěliznát orientaci základny v systému geodetickém, provedeme buď převod ze systémuastronomického do systému geodetického nebo uskutečníme vyrovnání celé sítě přímo vsystému geodetickém. Posledně uvedený postup by ovšem vyžadoval převedení vstupníchhodnot astronomických na geodetické.

LITERATURA:

[1] Filippov A. E.: Uslovnye uravnenija v seti prostranstvennoj trianguljacii. Geod., kart. iaerofoto., 7 (1968), 69, Lvov.

[2] Kabeláč J., Skořepová J.: Vyrovnání prostorové družicové sítě. Geod. a kart. obzor, roč.17/59, s. 167 – 174, Praha 1971.

[3] Kabeláč J.: Pozemní a družicové sítě v třírozměrném prostoru. Vyrování prostorové sítěbez závislosti na směru tížnic. Fakultní úkol, Observatoř astronomie a geofyziky ČVUT,Praha 1972.

[4] Ramsayer K.: Dreidimensionaler Polygonzug im geozentrischen Koordinatensystem.Zeitschrift für Vermessungswesen, 95 (1970), 471.

[5] Rinner K.: Determination of Scale in Spatial Direction Networks. Proceedings of theInternational Symposium Figure of the Earth and Refraction, Vienna, March 14th – 17th,1967, p. 90.

6.6 Vyrovnání prostorové trilaterační sítě objemovou podmínkou

6.6.1 Úvod

Tato kapitola popisuje prostorovou síť, v níž jsou měřeny jen délky stran této sítě. Jde tedy osíť trilaterační. Vyrovnání bude uskutečněno opět podle podmínkových pozorování MNČz důvodů, uvedených v závěru předchozího textu. Síť bude vyrovnána v trojrozměrnémprostoru 3-D pomocí tzv. objemové podmínky. Její odvození vychází ze vzorce pro objemčtyřstěnu, jehož autorem je N. Tartaglio [1], a to již před téměř půl tisíciletím.

6.6.2 Tvar objemové podmínky a její úprava

Při vyrovnání rovinné sítě, ať triangulační, trilaterační nebo kombinované, je základnímobrazcem trojúhelník. Mluvíme pak o trigonometrii a všechny potřebné vztahy pro vyrovnánítakovéto sítě jsou odvozeny z trigonometrických vztahů.

Při vyrovnání prostorové sítě jest se domnívati, že základním geometrickým obrazemje čtyřstěn. O jeho vlastnostech pojednává tzv. tetragonometrie, např. [5]. Mnohé geometrickévztahy pro čtyřstěn (tetraedron) jsou odvozeny nebo jen uvedeny v [1] a [6]. V práci [1] jsme

121

nalezli vzorec pro výpočet objemu V čtyřstěnu, když jsou známy délky a, b, c, p, q, r všechšesti hran, obr. 6.6.1a. Má tvar

( )[( )( )

] 2

1222222222222

22222222

22222222

22222222

12

1

cbaqpcprbrqa

rqpcbarc

qprbacqb

prqacbpaV

−−−−

−−++−+++−++−++

+−++−+=

(6.6.1)

a jeho autorem je N. Tartaglio (1500? – 1557), viz [1]. Rov. (6.6.1) je též možno zapsat vetvaru determinantu

.

11111

10

10

10

10

288

1

222

222

222

222

2

rqp

rab

qac

pbc

V = (6.6.2)

Předností těchto vzorců je vyjádření objemu pouze z délek hran.

2

3

4

P

b)1

4

3

5

2

p rq

b

c a

vtw

s

a)

3

2

4P

c)

Obr. 6.6.1 a, b, c

Podmínkovou rovnici objemovou sestavíme podle obr. 6.6.1a, který znázorňuje dvačtyřstěny 1, 2, 3, 4, a 2, 3, 4, 5. Je zřejmé, že součet jejich objemů je rovněž roven součtuobjemů tří čtyřstěnů o společné tělesové úhlopříčce 1–5. Tedy

12451345123523451234 VVVVV ++=+ . (6.6.3)

Podle polohy průsečíku P tělesové úhlopříčky 1–5 v rovině trojúhelníka 2, 3, 4rozeznáváme tři případy:

122

1. Průsečík P leží uvnitř trojúhelníka 2, 3, 4. Pro tento případ platí rov. (6.6.3), vizobr. 6.6.1a.

2. Průsečík P leží vně trojúhelníka 2, 3, 4 proti jedné z jeho stran, viz obr. 6.6.1b. Potombude platit podmínková objemová rovnice ve tvaru

13451245123523451234 VVVVV −+=+ .

3. Průsečík P leží vně trojúhelníka 2, 3, 4 proti jednomu z jeho vrcholů, viz obr. 6.6.1c.Potom platí podmínková objemová rovnice

13451245123523451234 VVVVV −−=+

Jestliže písmeny a, b, c, p, q, r, s, t, v jsou označeny hrany šestistěnu a písmenem wjeho tělesová úhlopříčka, obr. 6.6.1a, pak pro obecný šestistěn má podmínková objemovárovnice tvar

0=±±±+ cpqstwbprsvwaqrtvwabcstvabcpqr VVVVV, (6.6.4)

Kde se znaménko řídí podle předchozích bodu 1, 2 a 3. Uvedené hrany a, ..., w mají významměřených délek stran sítě. Dosadíme-li do rov. (6.6.4) objemy podle rov. (6.6.1), bude mítpodmínková rovnice, platící pro jeden šestičlen, tvar

( )[( )( )

]( )[

( )( )

]( )[

( )( )

] ±−−−−

−−++−+++−++−++

+−++−+±

±−−−−

−−++−++

+−++−++

+−++−++

+−−−−

−−++−+++−++−++

+−++−+

2

1222222222222

22222222

22222222

22222222

2

1222222222222

22222222

22222222

22222222

2

1222222222222

22222222

22222222

22222222

12

1

12

1

12

1

rqavwrwtqvta

tvwrqatr

vwtqarvq

wvtarqwa

cbatscsvbvta

vtscbavc

tsvbactb

svtacbsa

cbaqpcprbrqa

rqpcbarc

qprbacqb

prqacbpa

(6.6.5)

123

( )[( )

( )]

( )[( )( )

] .

0

12

1

12

1

2

1222222222222

22222222

22222222

22222222

21

222222222222

22222222

22222222

22222222

=−−−−

−−++−++

+−++−++

+−++−+±

±−−−−

−−++−++

+−++−++

+−++−+±

qpctwqwsptsc

stwqpcsq

twspcqtp

wtscqpwc

rpbvwrwspvsb

svwrpbsr

vwspbrvp

wvsbrpwb

Označme levou stranu rov. (6.6.5) jako funkci U, takže

( )wvtsrqpcbaUU ,,,,,,,,,=

a linearizujeme ji (za předpokladu existence potřebných derivací) podle Taylorova rozvoje.Dostaneme přetvořenou objemovou rovnici podmínkovou, viz kap. 4.3,

,00 =+∂∂+

∂∂+

+∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

Uvw

Uv

v

U

vt

Uv

s

Uv

r

Uv

q

Uv

p

Uv

c

Uv

b

Uv

a

U

wv

tsrqpcba

(6.6.6)

ve které vyjádříme parciální derivace a uzávěr U0 pomocí měřených veličin. Parciálníderivace byly zjištěny z rov. (6.6.5) derivováním podle jednotlivých proměnných a, b, c, p, q,r, s, t, v, w. Tak např. derivováním podle proměnné a s přihlédnutím, že

( )[( )( )

]2

1222222222222

22222222

22222222

2222222212

cbaqpcprbrqa

rqpcbarc

qprbacqb

prqacbpaVabcpqr

−−−−

−−++−++

+−++−++

+−++−+=

a obdobně pro další objemy, dostaneme po úpravě( ) ( )[{ ( )( )]

( ) ( )[ ( )( )]( ) ( )[ ( )( )]}.

144

1

2222222222221

2222222222221

2222222222221

tqrvawvtarqwV

vbctasvtacbsV

rbcqaprqacbpVaa

U

aqrtvw

abcstv

abcpqr

−−+−−++−+±

±−−+−−++−++

+−−+−−++−+=∂∂

−

−

−

Obdobným způsobem získáme derivace podle zbývajících proměnných v rov. (6.6.5).Jednotlivé derivace je taktéž možno vyjádřit pomocí determinantů užitím rov. (6.6.2).

124

6.6.3 Číselná aplikace

Nejprve je nutno určit počet podmínkových rovnic. Podle obr. 6.6.2 je počet vrcholů n = 8.Počet všech možných spojnic (stran sítě) je 28. Strany 5-7, 5-8, 4-8 však nebyly měřeny.Počet měřených stran je tedy 25. Počet nutných známých stran je ( ) 1823 =−n . Početnadbytečných měření je 71825 =−=r . Bylo tedy nutno podle obr. 6.6.2 určit 7 šestistěnů,pro které byly sestaveny objemové podmínkové rovnice typu (6.6.4), resp. (6.6.5).

Použity byly tyto šestistěny:1.: 1, 2, 3, 4, 5 5.: 2, 3, 4, 6, 72.: 2, 3, 4, 5, 6 6.: 2, 3, 6, 7, 83.: 1, 3, 4, 5, 6 7.: 1, 3, 6, 7, 84.: 1, 2, 3, 6, 7

Blíže o teorii viz kap. 4.3. Číselné hodnoty dané i průběžné jsou uvedeny v [3] a částečně i v[4].

1 km

Hincùv potok1625 m

Kopky2275 m

Rysy2498 m

�abia ve�a2335 m

Olga2175 m

Hincùv potok1800 m

�abie pleso1975 m

7

8

26

3

4

1

�abie pleso1950 m

5

Obr. 6.6.1

6.6.4 ZávěrTato kapitola uvedla tzv. „objemovou“ podmínku pro vyrovnání trilaterační sítě v 3D.

Její přednosti je možno spatřovat v tom, že je neobyčejně citlivá na chyby v délkách,neboť velikost těchto chyb roste s velikostí objemu uvažovaného čtyřstěnu. Vyrovnání pouzez délek nám dále jednoznačně odhalí chyby systematické, případně hrubé, a to bez vlivu chybv měřených zenitových úhlech. Předností odvozené podmínkové „objemové“ rovnice je ivyloučení vnitřních funkcí. Tuto skutečnost nám umožnil vzorec Tartagliův pro výpočetobjemu čtyřstěnu, jen s pomocí délek. Vyrovnání podle podmínkových měření poskytuje idalší přednost – nevyžaduje definici souřadnicové soustavy, jak je tomu např. uzprostředkujících měření. Tím odpadají těžkosti při redukci měřených veličin.

125

Nedostatkem vyrovnání podle podmínkových měření je všeobecně známá obtížnostv sestavení obecného tvaru podmínkové rovnice a často i v podchycení potřebného počtutěchto rovnic. Mají-li být výsledkem souřadnice v prostoru nebo alespoň výšky jednotlivýchbodů, je nutné vyrovnané hodnoty získané z podmínek transformovat do příslušné soustavy.

Předložená metoda dává tedy možnost použití nové, nezávislé podmínky provyrovnání prostorových trilateračních sítí a tím i možnost k odstranění systematických nebohrubých chyb.

LITERATURA:

[1] ENCYKLOPÄDIE der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrerAnwendungen. Dritter Band: Geometrie, erster Teil, zweite Hälfte. Leipzig, B.G. Teubner1914-31.

[2] Kabeláč J.: Výškové vyrovnání vysokohorské sítě „Rysy 1988“. Geod. a kart. obzor, roč.40(82), č. 1/1994.

[3] Kabeláč J.: Über die Volumensbedingung bei der Ausgleichung eines dreidimensionalenTrilaterationssnetzes. Öster. Zeitsch. für Verme. und Photo., J. 81, No. 2/1993.

[4] Kabeláč J.: O „objemové“ podmínce při vyrovnání trilaterační sítě v trojrozměrnémprostoru. Geod. a kart. obzor, r.39/81, č.4/1993.

[5] Lambert J. H.: Beiträge zum Gebrauch der Mathematik. 2, Berlin 1767.[6] Naas J. – Schmid H. L.: Mathematisches Wörterbuch. B. I. a II., Berlin, Stuttgart 1967.

6.7 Prostorové protínání z délek

6.7.1 Úvod

Nechť v libovolném pravoúhlém prostorovém systému S , na obr. 6.7.1 dole, jsou dánysouřadnice ix′ , iy′ , iz′ bodů Pi a šikmé naměřené vzdálenosti APd iAi ,= mezi těmito body a

bodem A, kde i = 1, ... , n a n je počet bodů a počet měřených délek, viz obr. 6.7.1. Úkolem jepřevést souřadnice ix′ , iy′ , iz′ ze soustavy S na souřadnice xi, yi, zi v soustavě S, zde najít

souřadnice xA, yA, zA bodu A a tyto převést zpět do soustavy S , což znamená zjistit souřadnice

Ax′ , Ay′ , Az′ . V geodetické praxi je úloha protínání obvykle řešena na referenční ploše, tedyv dvourozměrném prostoru. Prostorového řešení se užívá v třírozměrné a družicové geodézii,viz např. [2] a [7]. Při nadbytečném počtu měření jsou zde hledány neznámé přírůstky vůčiznámým vstupním hodnotám, viz např. [2], [3], [4], [5], [7] aj. Některé práce, např. [1] a [6]aj., určují při nutném počtu pozorování neznámé veličiny přímo, avšak řešením tříkvadratických rovnic.

Úkolem této kapitoly je nejen podat informace o postupu řešení, ale i tento postup conejvíce zjednodušit oproti výše citovaným pracem.

6.7.2 Teoretické řešení úlohy

Souřadnice ix′ , iy′ , iz′ systému S (místní, referenční – geodetický, geocentrický rovníkový

atp.) o počátku O (obecný bod, střed elipsoidu, těžiště Země atp.) transformujme translací(posunem) do systému S, jehož osy Xx´, Yy´, Zz a počátek O leží v těžišti bodů Pi.

126

X

Y

Z

O

P (x y z )

A (x y z )

r

i

i

A

A

r

i i i

A A

dAi

X ´

Y ´

Z ´

O ´

X

Y

Z

O

P (x y z )

A (x y z )

r

i

i

A

A

r

i i i

A A

dAi

X ´

Y ´

Z ´

O ´

Obr. 6.7.1

Nové souřadnice vypočteme ze vztahů

∑=

′−′=n

iiii x

nxx

1

1(6.7.1)

a analogicky pro yi a zi. Takže o nich musí platit, že

.0111

=== ∑∑∑===

n

ii

n

ii

n

ii zyx (6.7.2)

Z obr. 6.7.1 dále vyplývá, že

,2222iiii zyx ++=ρ (6.7.3)

,2222AAAA zyxr ++= (6.7.4)

kde ρi je tedy veličina známá a rA je veličina hledaná. Naměřenou vzdálenost dAi dálevyjádříme vztahem

( ) ( ) ( ) ,2222AiAiAiAi zzyyxxd −+−+−=

který rozvedeme a pomocí rov. (6.7.3) a (6.7.4) upravíme. Dostáváme

( ) ,2 2222222AAAAiAiAiiiiAi zyxzzyyxxzyxd +++++−++=

( ) 222 2 AAiAiAiiAi rzzyyxxd +++−= ρ (6.7.5)

Posledně uvedenou rovnici vyjádřenou pro všechna i = 1, ... n sečteme. Pro hledanou veličinurA pak dostaneme výraz

.21111

2

1

22

+++−=⋅ ∑∑∑∑∑=====

n

iiA

n

iiA

n

iiA

n

ii

n

iAiA zzyyxxdrn ρ

127

A protože platí rov. (6.7.2), platí

,1 2

1

22

−= ∑=

i

n

iAiA d

nr ρ (6.7.6)

čímž je určena vzdálenost rA, viz obr. 6.7.1. Zbývá určit souřadnice xA, yA, zA bodu Av soustavě S a posléze hledané souřadnice ix′ , iy′ , iz′ bodu A v soustavě S , čímž bude úloha

vyřešena.

6.7.2.1 Řešení pro nadbytečný počet n měřeníToto řešení uskutečníme metodou MNČ. Za zprostředkující rovnici zvolíme rov. (6.7.5),kterou přepíšeme do tvaru

( ) .02

1 222 =−−+++ AiAiAiAiAi rdzzyyxx ρ (6.7.7)

Jak se patří na MNČ, přisoudíme měřené hodnotě dAi opravu vi, dosadíme do předchozírovnice a upravujeme. Postupně dostáváme

( )[ ] 02

1 222 =−−++++ AiiAiAiAiAi rvdzzyyxx ρ

( ) 02

1

2

1 2222 =++−−+++ ïiAiAiAiAiAiAi vvdrdzzyyxx ρ

a po vypuštění výrazu s 2iv a po prodělení celé linearizované zprostředkující rovnice výrazem

dAi dostáváme

( ).

2

1 222

iAi

AiAiA

Ai

iA

Ai

iA

Ai

i vd

rdz

d

zy

d

yx

d

x−=

−−+++

ρ

Po vynásobení (-1) a zavedení

( )Ai

AiiAi

Ai

ii

Ai

ii

Ai

ii d

drl

d

zc

d

yb

d

xa

222

2

1 , , ,

−+=−=−=−=

ρ(6.7.8)

získáme konečný tvar rovnice oprav. Je

,, iiiAiAiAi pvlzcybxa =+++ (6.7.9)

kde pi je váha. Řešme podle teorie v kap. 4.4.

PŘÍKLAD 16Jsou dány souřadnice ix′ , iy′ , iz′ bodů Pi, kde i = 1, 2, 3 a 4 v pravoúhlé pravotočivé

prostorové soustavě S . Dále jsou dány měřené vzdálenosti dAi z bodů Pi na body A, viz tab.6.7.1. Jejich váhy pi = 1.Vypočtěte prostorové souřadnice Ax′ , Ay′ , Az′ bodu A v souřadnicové soustavě S , též viz obr.6.7.1.

128

Tab. 6.7.1 Dané hodnoty pro příklad 1. Souřadnicová soustava S .

Bodix′ iy′ iz′ 2

Aid

P1 1 2 1 6P2 -3 3 -2 26P3 -2 -1 3 30P4 -1 1 4 14

Výpočet:Úlohu budeme řešit MNČ, neboť počet měření n = 4 a je nadbytečný. Nejprve však, podlerov. (6.7.1), převedeme souřadnice ze souřadnicové soustavy S do souřadnicové soustavy S,jejíž počátek O je v těžišti bodů Pi, viz tab. 6.7.2. Hodnoty 2

iρ jsou dále spočteny

z rov. (6.7.3). Souřadnice počátku O, viz obr. 6.7.1, v soustavě S jsou 45− , 45 a 23 .

Tab. 6.7.2 Výpočet hodnot v souřadnicové soustavě S pro řešení MNČBod xi yi zi

2iρ ai bi ci l i dAi

P1 49 43 21− 847 -0,9186 -0,3062 0,2041 1,8881 6

P2 47− 47 27− 8147 0,3432 -0,3432 0,6864 0,1716 26

P3 43− 49− 23 863 0,1369 0,4108 -0,2739 -1,1639 30

P4 41 41− 25 851 -0,0668 0,0668 -0,6682 0,2339 14

Σ 0 0 0 8308

Kontroly podle rov. (6.7.2) vyhovují. Z rov. (6.7.6) pak dostáváme

061862,38

30876

2

1

2

1 4

1

24

1

2 =−=−= ∑∑== i

ii

AiA dr ρ.

Dále zjistíme souřadnice xA, yA, zA vyrovnáním pomocí MNČ. Zprostředkující rovnicí oprav jerov. (6.7.9). Její koeficienty ai, bi, ci a absolutní členy l i udávají vztahy (6.7.8) a čtenář jerovněž najde v tab. 6.7.2. Podle kap. 4.4 zapišme soustavu zprostředkujících rovnicv maticovém tvaru

vlAx =+ , EP =

kde matice vah P je maticí jednotkovou. Po dosazení dostáváme

,, l A

−=

−−−

−−−

=

2339,0

1639,1

1716,0

8881,1

6682,00668,00668,0

2739,04108,01369,0

6864,03432,03432,0

2041,03062,09186,0

z čehož ( ) ( )TTT 5,075,225,11

=−=−

lAAAx . Prvky v posledním vektoru jsou souřadnicexA, yA, zA v soustavě S. Pomocí rov. (6.7.1) získáme

129

.2235,0,44575,2,04525,1 =+=′=+=′=−=′ AAA zyx

Závěrečnou a zásadní kontrolou je výpočet hodnot měřených délek pomocí souřadnic ix′ , iy′ ,

iz′ a vyrovnaných Ax′ , Ay′ , Az′ , tedy z výrazů

( ) ( ) ( )[ ] .21

222AiAiAiAi zzyyxxd

vyp′−′+′−′+′−′=

Výsledky jsou přesvědčující.Tím je úloha vyřešena. Jelikož šlo o pouhou demonstraci předložené teorie, byly

vstupní číselné hodnoty výhodně zvoleny a neodpovídají skutečnosti. Tím se také vysvětluje,že všechny opravy vi v rov. (6.7.9) jsou prakticky nulové: v1 = - 0,00015, v2 = 0, v3 = -0,00002, v4 = 0. Rovněž proto nebylo zapotřebí zavádět do vyrovnání podmínku

2222AAAA rzyx =++ a vyrovnání neprovádět jako zprostředkujících plus podmínkových

pozorování, viz kap. 4.

6.7.2.2 Řešení pro nutný počet n měřeníPočet n = 3. I zde posuneme souřadnicovou soustavu S paralelně tak, aby těžiště trojúhelníkazadaných bodů Pi, i = 1, 2, 3, se stalo novým počátkem O souřadnicové soustavy S, viz obr.6.7.2.

P

X

Y

Z

A (x y z )

r

d

r

1

A

O

P2

P3A A

A3

dA2

dA1

A3

r2

r1

Obr. 6.7.1

Rovina P1P2P3 tedy prochází počátkem. Z tohoto obrázku dále vyplývá, že

,2222iiii zyx ++=ρ (6.7.10)

kde ρi jsou těžnice, neboť trojúhelník byl vytvořen pomocí rov. (6.7.1). Zaměřovaným bodemje bod A, a to pomocí délek dA1, dA2 a dA3.Opět platí

( ) ( ) ( ) ,2222AiAiAiAi zzyyxxd −+−+−=

kterou rozepíšeme a dostáváme rov. (6.7.5) a posléze rov. (6.7.6) ve tvaru

130

( )∑=

−=3

1

222

3

1

iiAiA dr ρ , (6.7.11)

rA viz obr. 6.7.2 jako tečkovaná spojnice OA. Souřadnice xA, yA, zA máme řešením rov. (6.7.7)a (6.7.4). Tedy z rovnic

0

02222 =−++

=′+++

AAAA

iAiAiAi

rzyx

lzzyyxx(6.7.12)

kde ( )222

2

1AiAii rdl −−=′ ρ a rA určuje rov. (6.7.11), i = 1, 2, 3. Tím se zde řešený problém

převedl na řešení dvou rovnic lineárních a jedné rovnice kvadratické.

PŘÍKLAD 17Jsou dány souřadnice ix′ , iy′ , iz′ bodů Pi, kde i = 1, 2, 3, v souřadnicové soustavě S , jakož iodpovídající měřené vzdálenosti dAi, viz tab. 6.7.3 z bodů Pi na bod A.Vypočtěte prostorové souřadnice Ax′ , Ay′ , Az′ bodu A v téže soustavě S , viz obr. 6.7.2 i 6.7.1.Dané hodnoty viz tab. 6.7.3.

Tab. 6.7.1 Dané hodnoty pro příklad 2. Souřadnicová soustava S´

Bod ix′ iy′ iz′Aid

P1 -1 -1 2 14P2 2 1 -1 18

P3 0 2 -2 26

Výpočet:Výpočet bude uskutečněn bez použití způsobů MNČ. Tedy přímým řešením rov. (6.7.12).Pročež musíme opět převést souřadnice ze soustavy S do soustavy S pomocí rov. (6.7.1).

Použito však bude výrazů 3

1

3

1 3

1

=′∑=i

ix , 3

2

3

1 3

1

=′∑=i

iy a 3

1

3

1 3

1

−=′∑=i

iz , viz tab. 6.7.4, kde je

rovněž uvedeno ρi, získané z rov. (6.7.10). Kontroly podle rov. (6.7.2) vyhovují. Z

rov. (6.7.11) pak dostáváme ( ) 651,33185833

1

23

1

2 =−=

−= ∑∑== i

ii

AiA dr ρ . Pomocí rA

pak získáme absolutní členy il ′ pro rov. (6.7.12). Uvádí je rovněž tab. 6.7.4.

Tab. 6.7.2 Výpočet hodnot v souřadnicové soustavě S pro přímé řešení

Bod xi yi zi iρ il ′

P1 34− 35− 37 3,162 -4,667

P2 35 31 32− 1,826 0,667

P3 31− 34 35− 2,160 4,000

Σ 0 0 0

131

Pro konkrétní řešení sestavíme rov. (6.7.12), pro i = 1, 2, 3, viz tab. 6.7.4. v obecném tvaruzní

0

/0

/0

//0

2222

13333

12222

321111

=−++

−=′+++−=′+++

=′+++

AAAA

AAA

AAA

AAA

rzyx

xlzzyyxx

ylzzyyxx

xylzzyyxx

(6.7.13)

Po naznačených úpravách získáváme výrazy

,1221

1221

1221

1221AA z

yxyx

zyzy

yxyx

lylyx

−−+

−′−′

= (6.7.14)

,1331

3113

1331

3113AA z

yxyx

zxzx

yxyx

lxlxy

−−+

−′−′

= (6.7.15)

za které zavedeme AA zx βα += a AA zy δγ += a po dosazení do čtvrté rov. (6.7.13) je

,02 =++ CBzAz AA (6.7.16)

kde 221 δβ ++=A , ( )γδαβ += 2B , 222ArC −+= γα . Řešení je dvouznačné, takže pro zA

dostáváme dva kořeny z rov. (6.7.16) a zrovna tak pro xA a yA z rov. (6.7.14) a (6.7.15).Kontrolou je dosazení do rov. (6.7.16) a (6.7.13). Výsledky jsou

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 514,0613,3117,0

333,3333,1667,0

222

111

−=−=====

AAA

AAA

zyx

zyx

(6.7.17)

kde indexy 1 a 2 představují 1. a 2. řešení. Z nich platí jen jedno. Kontroly dosazením do čtyřrov. (6.7.13) ovšem vyhovují. Převod do souřadnicové soustavy S uskutečníme pomocí rov.(6.7.1). Pro 1. kořeny platí

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 33

1333,3

3

1

23

2333,1

3

1

13

1667,0

3

1

3

111

3

111

3

111

=−=′+=′

=+=′+=′

=+=′+=′

∑∑∑

=

=

=

iiAA

iiAA

iiAA

zzz

yyy

xxx

Stejně učiníme i pro 2. kořeny rov. (6.7.17). Získáváme

( ) ( ) ( ) .847,0946,2450,0 222 =′−=′=′ AAA zyx

Závěrečnou a zásadní kontrolu získaných souřadnic v soustavě S , je jejich dosazení dovztahu

( ) ( ) ( ) .2222AiAiAiAi zzyyxxd ′−′+′−′+′−′=

Dosazením vyplývá, že reálné jsou pouze 1. kořeny. Konečně ověření platnosti jednotlivýchkořenů může provést měřič eventuálně i počtář.

132

Pilnému a zvídavému čtenáři doporučuji provést řešení tohoto příkladu obdobně, jakčiní MNČ.

LITERATURA:

[1] Giering O.: Analytische Behandlung des räumlichen Trilaterationsproblems [4, 6, 0, 0].Deutsche geodätische Kmmission, Reihe A, Nr. 104, München 1986.

[2] Hradilek L.: Vysokohorská geodézie. Nakladatelství ACADEMIA, Praha 1984.[3] Jordan – Eggert – Kneissl: Handbuch der Vermessungskunde. Band VI.: K.Rinner, F.

Benz: Die Entfernungsmessung mit elektro-magnetischen Wellen und ihre geodätischeAnwendung. J. B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung, Stuttgart 1966.

[4] Kabeláč J.: Ausgleichung eines Dreieckes des Astronomischgeodätischen Netzes mittelsMethode der dreidimensionalen Geodäsie. Práce stavební fakulty, Praha 1978.

[5] Kotva J.: Určení souřadnic bodu protínáním při měřené délce a směrníku. Vojenskýtopografický obzor, 1972, str. 51 – 62.

[6] Rinner K.: Geometrie mit Raumstrecken. Zeitschrift für Vermessungswesen, 83 (1958),str. 91 – 105.

[7] Wolf H.: Die Grundgleichungen der dreidimensionalen Geodäsie in elementarerDarstellung. Zeitschrift für Vermessungswesen, 88 (1963), str. 225 – 233.