61156984-ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ-ΑΛΓΕΒΡΑΣ-Β-ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ(1)

- 1 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ



Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Επαναληπτικά)

1.Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Αν ω είναι μια οξεία γωνία ορθογωνίου τρίγωνου , τότε ορίζουμε:

=

έ ά ύ

ί

απ ναντι κ θετη πλε ρααπ ναντι κ θετη πλε ρααπ ναντι κ θετη πλε ρααπ ναντι κ θετη πλε ραηµωηµωηµωηµω

υποτε νουσαυποτε νουσαυποτε νουσαυποτε νουσα

=

ί ά ύ

ί

προσκε µενη κ θετη πλε ραπροσκε µενη κ θετη πλε ραπροσκε µενη κ θετη πλε ραπροσκε µενη κ θετη πλε ρασυνωσυνωσυνωσυνω

υποτε νουσαυποτε νουσαυποτε νουσαυποτε νουσα

=

έ ά ύ

ί ά ύ

απ ναντι κ θετη πλε ρααπ ναντι κ θετη πλε ρααπ ναντι κ θετη πλε ρααπ ναντι κ θετη πλε ραεφωεφωεφωεφω

προσκε µενη κ θετη πλε ραπροσκε µενη κ θετη πλε ραπροσκε µενη κ θετη πλε ραπροσκε µενη κ θετη πλε ρα

=

ί ά ύ

έ ά ύ

προσκε µενη κ θετη πλε ραπροσκε µενη κ θετη πλε ραπροσκε µενη κ θετη πλε ραπροσκε µενη κ θετη πλε ρασφωσφωσφωσφω

απ ναντι κ θετη πλε ρααπ ναντι κ θετη πλε ρααπ ναντι κ θετη πλε ρααπ ναντι κ θετη πλε ρα

(σφω= συνεφαπτομένη της γωνίας ω)

Π.χ ,στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε

2)Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας

Έστω ω η γωνία (0 ≤≤≤≤ω ≤≤≤≤ 360o) που παράγεται

από τον ημιάξονα Οχ όταν αυτός περιστρέφεται

κατά την θετική φορά (δηλ αντίθετα με την

κίνηση των δεικτών του ρολογιού).

Ο θετικός ημιαξονας Οχ λέγεται αρχική πλευρά

της γωνίας ω , ενώ η τελική του θέση λέγεται

τελική πλευρά της γωνίας ω. Θεωρούμε τυχαίο

σημείο Μ(χ,y) της τελικής πλευράς διαφορετικό

από το 0.

Αν ρ είναι η απόσταση του Ο από το Μ, δηλαδή 2 2 0yρ χ= + > , τότε ορίζουμε:

yηµω

ρ=

χσυνω

ρ=

yεφω

χ=

y

χσφω = (ψ ≠0) (ΙΙ)

Αν ο θετικός ημιάξονας Οχ , κινούμενος κατά την θετική φορά, διαγράψει ν πλήρεις στροφές

( μια πλήρης στροφή είναι 360ο) και μετά γωνία θο ,τότε λέμε ότι έχει διαγράψει γωνία 0 0360ω ν θ= ⋅ +

γα

σφαγ

εφβα

συνβγ

ηµ =Γ=Γ=Γ=Γ ,,,

΄΄ Είεδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο ευθειών του ειέδου ου τέµνονται και δεν κείνται ε ‘ ευθείας .΄΄ ΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣ Στοιχεια 1, Ορισµός 8



Π.χ αν ο Οχ’ διαγράψει 2 πλήρεις στροφές και στη συνεχεία γωνία 40ο , τότε έχει διαγράψει

γωνία 0 0 02 360 40 760ω = ⋅ + = .

Αν ο θετικός ημιάξονας Οχ κινούμενος κατά την αρνητική φορά( με τη φορά της κίνησης των

δεικτών του ρολογιού) διαγράψει ν πλήρεις στροφές και μετά γωνία θo , τότε λέμε ότι έχει

διαγράψει αρνητική γωνία 0 0360ν θ⋅ + η γωνία 0 0360ν θ⋅ − .

Π.χ αν ο Οχ , κινούμενος με την αρνητική φορά , διαγράψει μια πλήρη στροφή και μετά γωνία

50ο , τότε έχει διαγράψει γωνία – (360ο +50ο ) = 410ο .

Για γωνίες μεγαλύτερες των 360ο ή αρνητικές γωνίες ορίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς

πάλι με τους τύπους (ΙΙ).

Σύμφωνα με τα παραπάνω , όλες οι γωνίες της μορφής κ.360ο +ω

(κ∈∈∈∈Ζ και –360ο < ω < 360ο ) έχουν την ίδια τελική πλευρά και για αυτό έχουν τους ίδιους

τριγωνομετρικούς αριθμούς με την γωνία ω. Δηλαδή έχουμε :

Π.χ ημ740ο =ημ(2.360ο +20ο )=ημ20ο , εφ1991ο=εφ(5. 360ο +1910) =εφ191ο

συν(-500ο )=συν(-2. 360ο +220ο ) ή συν(-360ο –140ο )=συν(-140ο

).

Ο τριγωνομετρικός κύκλος

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και

ακτίνα ρ=1 , λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος .

Έστω μια γωνία ω της οποίας η τελική πλευρά

τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(χ,ψ).

Αφού ρ=(ΟΜ)=1, έχουμε:

συνω=χ= τετμημένη του Μ

ημω=y= τεταγμένη του Μ

Έστω ε η εφαπτόμενη του τριγωνομετρικού

κύκλου στο Α, που τέμνει την τελική πλευρά ΟΜ

της γωνίας ω στο Γ.Από την ομοιότητα των

ορθογωνίων τρίγωνων ΟΕΜ και ΟΑΓ έχουμε:

ημ(κ.360ο +ω)=ημω συν(κ.360ο +ω)=συνω

εφ(κ.3600+ω)=εφω σφ(κ. 3600+ω)=σφω



)()()(

)()(

ΑΓΑΓΑΓΑΓ====ΟΑΟΑΟΑΟΑΑΓΑΓΑΓΑΓ

====ΟΕΟΕΟΕΟΕΜΕΜΕΜΕΜΕ

[αφού (ΟΑ)=1]

Αν π.χ η ω είναι οξεία γωνία , τότε

(ΜΕ)=y=ημω , (ΟΕ)=χ=συνω

και (ΑΓ)=yΓ(τεταγμένη του Γ) και επομένως εφω=y

yχ Γ= .

Η ιδιότητα αυτή γενικεύεται για οποιαδήποτε γωνία ω και γι αυτό η ε λέγεται

ευθεία των εφαπτόμενων.

Αν φέρουµε την εφαπτόµενη του τριγωνοµετρικού κύκλου στο Β και τέµνει την ΟΜ στο ∆ ,τότε οµοίως

βρίσκουµε

y

χσφω χ ∆= = , (τετµηµένη του ∆)

Για το λόγο αυτό η εφαπτόμενη σ λέγεται

ευθεία των συνεφαπτομένων.

Σχόλιο: Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε τα εξής:

-Οι αριθμοί ημω και συνω παίρνουν τιμές στο διάστημα [-1,1],

δηλαδή:

-1≤≤≤≤ ημω ≤≤≤≤ 1 και –1 ≤≤≤≤ συνω ≤≤≤≤ 1

-Οι αριθμοί εφω και σφω παίρνουν τιμές σε όλο το ℝ .

4)Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών

Αν π.χ η τελική πλευρά μιας γωνίας ω βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο, τότε οι συντεταγμένες

(χ,ψ) οποιουδήποτε σημείου αυτής είναι θετικές και επομένως ημω>0 ,συνω>0,εφω>0 και

σφω>0.

Στο 2ο τεταρτημόριο έχουμε χ<0 , ψ>0 όποτε ημω>0 ,συνω<0, εφω<0, σφω<0.Ομοίως βρίσκουμε

για το 3ο και το 4ο τεταρτημόριο.

Συνοψίζουμε στον παρακάτω πίνακα:



Τεταρτηµόρια

1ο 2ο 3ο 4ο ηµω + + - - συνω + - - + εφω + - + - σφω + - + -

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί εφω και σφω είναι ομόσημοι. Πιο απλά το πρόσημο των

τριγωνομετρικών αριθμών, φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.

5.Ακτίνιο

Λέμε ότι το τόξο κύκλου (Ο, ρ) είναι τόξο ενός ακτινίου (rad), όταν έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

ενός κύκλου.

Λέμε ότι μια γωνία ω είναι γωνία ενός ακτινίου , όταν γίνει επίκεντρη γωνία κύκλου (ο,ρ) και

βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου.

Ένας κύκλος ακτίνας ρ έχει μήκος 2πρ και επομένως η γωνία 3600 έχει 2π rad , ενώ η γωνία 180ο

είναι π rad .Η γωνία 1 rad είναι π

180 μοίρες και γενικά η γωνία α rad είναι

πα

180 μοίρες..

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:

Αν μια γωνία είναι μο και α rad , τότε 180µµµµ

====ππππαααα

Π.χ μια γωνία 20ο είναι rad9

20180

0 ππα == ,ενώ μια γωνία rad

5

3π είναι 00 108180

5

3= .

Σημείωση: Στο εξής , όταν γράφουμε ημχ, συνχ κ.λ.π θα εννοούμε ημ(χrad) , συν(χrad) κ.λ.π.

6) Τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0ο,30ο ,45ο ,60ο ,90ο



Τριγωνομετρικές ταυτότητες

Έστω μια γωνία ω της οποίας η τελική πλευρά τεμνει τον τριγωνομετρικο κύκλο (0,1) στο σημείο

Μ(χ,ψ) όποτε έχουμε :

ημω=y

ρ= y ,συνω=

ρχ

=χ (αφου ρ=1)

i) Επειδή 2 2 2 1x y ρ+ = = , έχουμε:

ημ2ω+συν2ω=1

ii)Αφού εφω=y

χ και σφω=

x

y , έχουμε:

εφω=συνωηµω

, σφω=ηµωσυνω

ιιι)Παρατηρουμε ότι οι αριθμοι εφω και σφω είναι αντιστροφοι , δηλαδή

1=⋅σφωεφω

ιv)Από την ταυτότητα ημ2ω+συν2ω=1 :

.αν συνω≠ 0 , έχουμε :

2 2

2 2 2

1ηµ ω συν ωσυν ω συν ω συν ω

+ = ή ωσυν

ωεφ2

2 11=+ ή

ωεφωσυν

22

1

1

+=

Γωνία ω 0ο ή 0 rad 30ο ή

6

πrad 45ο ή

4

πrad 60ο ή

3

π rad 90ο ή

2

πrad

ημω 0

2

1

2

2

2

3

1

συνω 1

2

3

2

2 2

1

0

εφω 0

3

3

1 3 δεν

ορίζεται

σφω δεν

ορίζεται 3 1

3

3

0



.αν ημω≠ 0 , έχουμε:

ωηµωηµωσυν

ωηµωηµ

22

2

2

2 1=+ ή

ωηµωσφ

22 1

1 =+ ή ωσφ

ωηµ2

2

1

1

+=

Επίσης είναι ωεφ

ωεφωεφ

ωσυνωηµ2

2

222

1

11

1

111

+

−+=

+−=−= , δηλαδή

ωεφωεφ

ωηµ2

22

1+=

Αναγωγή στο ρώτο τεταρτηµόριο

Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών μιας οποιασδήποτε γωνίας , ανάγεται στον

υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας του 1ου τεταρτημορίου.

1.Αντίθετες γωνίες

Θεωρούμε δυο αντίθετες γωνίες ω και ω ′ (ω ′ = -ω )που οι τελικές τους πλευρές τέμνουν τον

τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ′ αντίστοιχα ..Τα σημεία Μ καιΜ′ είναι

συμμετρικά ως προς άξονα xx′ και επομένως έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες

τεταγμένες.

Είναι: yηµω ηµω′ = − = −

συνωχωσυν ==′

y

εφω εφωχ

′ = − = −

y

χσφω σφω′ = − = −

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:

«Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους

τριγωνομετρικούς αριθμούς.»

Δηλαδή είναι:

σφωωσφεφωωεφηµωωηµσυνωωσυν −=−−=−−=−=− )(,)(,)(,)(



Π.χ είναι : 00 30)30( ηµηµ −=− =-2

1 , ==− )

4()

4(

πσυν

πσυν

2

2

2.Παραπληρωματικές γωνίες

Θεωρούμε δυο παραπληρωματικές γωνίες ω και ω ′ (ω ′=180ο +ω )που οι τελικές τους πλευρές

τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ′ αντίστοιχα. Τα σημεία αυτά είναι

συμμετρικά ως προς τον άξονα ψψ ′ και επομένως έχουν αντίθετες τετμημενες και την ίδια

τεταγμένη. Είναι:

yηµω ηµω′ = =

συνωχωσυν −=−=′

yεφω εφω

χ′ = − = −

y

χσφω σφω′ = − = −

Έτσι συμπεραίνουμε ότι:

«Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους

τριγωνομετρικούς αριθμούς.»


0 0(180 ) , (180 )ηµ ω ηµω συν ω συνω− = − = −

0 0(180 ) , (180 )εφ ω εφω σφ ω σφω− = − − = −

π.χ ημ150ο =ημ(180ο –30ο )=ημ30ο =2

1, εφ

4

3π=εφ( π -

4

π)= -εφ

4

π= - 1

3.Γωνιες που διαφέρουν κατά 180ο

Αν είναι ω ′ -ω =180ο , τότε έχουμε ω ′=180ο +ω=180ο –(-ω), δηλαδή οι γωνιες ω ′καιω είναι

παραπληρωματικές. Είναι:

συνωωσυνωσυνηµωωηµωηµ −=−−=′−=−=′ )(,)(

σφωωσφωσφεφωωεφωεφ =−−=′=−−=′ )(,)(



«οι γωνίες που διαφέρουν κατά 180ο (ή π rad ) έχουν την ίδια εφαπτομένη και

συνεφαπτομένη , ενώ έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο.»


συνωωσυνηµωωηµ −=+−=+ )180(,)180( 00

σφωωσφεφωωεφ =+=+ )180(,)180( 00

Π.χ ημ240ο =ημ(180ο +60ο )= - ημ60ο =-2

3

4.Συμπληρωματικές γωνίες

Θεωρούμε δυο συμπληρωματικές γωνίες ω ′και ω (ω ′=90ο -ω ) που οι τελικές τους πλευρές

τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ′αντίστοιχα. Οι γωνίες MOA

και

MOB

είναι ίσες και επομένως τα σημεία Μ και Μ′ είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της

γωνίας ψOx

.

Είναι:

, yηµω χ συνω συνω ηµω′ ′= = = =

,y

y

χεφω σφω σφω εφω

χ′ ′= = = =

Έτσι συμπεραίνουμε ότι:

«Στις συμπληρωματικές γωνίες το ημίτονο καθεμίας ισούται με το συνημίτονο της άλλης

και η εφαπτόμενη καθεμίας ισούται με τη συνεφαπτομένη της άλλης..»

Δηλαδή είναι :

εφωωσφσφωωεφηµωωσυνσυνωωηµ =−=−=−=− )90(,)90(,)90(,)90( 0000

Π.χ ημ60ο=συν30ο =2

3 , εφ67ο =σφ230 ,σφ

3

π=εφ

6

π=

3

3

Συνοπτικά τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούμε να τα παρουσιάσουμε στον παρακάτω

πίνακα .



Πίνακας αναγωγής στο πρώτο τεταρτημόριο

χ -α π-α π+α α

π−

2 α

π+

2 α

π−

2

3 α

π+

2

3

ημχ -ημα ημα -ημα συνα συνα -συνα -συνα

συνχ συνα -συνα -συνα ημα -ημα -ημα ημα

εφχ -εφα -εφα εφα σφα -σφα σφα -σφα

σφχ -σφα -σφα σφα εφα -εφα εφα -εφα

Για να θυμόμαστε εύκολα τον παραπάνω πίνακα, αρκεί να γνωρίζουμε ότι:

1. Ο τριγωνομετρικός αριθμός παραμένει ο ίδιος αν η γωνία χ είναι της μορφής απ ± και

αλλάζει από ημ σε συν,από εφ σε σφ και αντίστροφα όταν η γωνία χ είναι της μορφής απ±

2 ή

απ±

2

3.

2. Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας

χ (θεωρούμε ότι 0<α<2

π).Είναι « + » αν ο τριγωνομετρικός αριθμός του χ είναι θετικός και « - »

αν είναι αρνητικός στο τεταρτημόριο αυτό.

Λυμένες Ασκήσεις

1)Να βρείτε τους αριθμούς

i) ημ1125ο ii)συν(-660ο ) iii)εφ1470ο

Λύση

i) Διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκουμε 1125ο =3.360ο +45ο και επομένως

ημ1125ο= ημ(3.360ο +45ο ) = ημ45ο=2

2

ii) συν(-660ο )=συν(-720ο +60ο )=συν(-2.360ο +60ο )=συν60ο =συν60ο =2

1

iii)εφ1470ο =εφ(4.360ο +30ο )=εφ30ο =3

3.

Παρατήρηση: Για να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας μο >360ο ,

εργαζόμαστε ως εξής: Διαιρούμε το μ με το 360 .Αν κ είναι το πηλίκο και ω το υπόλοιπο της

διαίρεσης (0ο ≤ ω≤ 360ο ) , τότε έχουμε μο =κ.360ο +ωο και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας

μο ταυτίζονται με τους αντιστοίχους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

2)Να βρείτε τους αριθμούς :

i) ημ6

25π ii) συν

4

33π iii)εφ

3

61π iv)σφ

6

241π



Λύση

i)Είναι ππ

212

25

6

25⋅= .Αν διαιρέσουμε το 25 με το 12 , βρίσκουμε 25=2.12+1 , δηλαδή

12

12

12

25+= .

Επομένως 6

222)12

12(

6

25 πππ

π+⋅=⋅+= και

2

1

6)

622(

6

25==+⋅=

πηµ

ππηµ

πηµ

ii) Είναι4

242)8

14(2

8

33

4

33 ππππ

π+⋅=⋅+=⋅= και

2

2

4)

424(

4

33==+⋅=

πσυν

ππσυν

πσυν .

iii)Είναι 3

2102)8

110(2

6

61

3

61 ππππ

π+⋅=⋅+=⋅= και 3

3)

3210(

3

61==+⋅=

πεφ

ππεφ

πεφ .

iv) 6

2202)12

120(2

12

241

6

241 π+π⋅=π⋅+=π⋅=

π και

6)

6220(

6

241 πσφ

ππσφ

πσφ =+⋅= = 3 .

3)Αν 5

3=ηµω και 90ο ≤ ω ≤ 180ο , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της

γωνίας ω .

Λύση

Είναι 25

16

25

91)

5

3(11 222 =−=−=−= ωηµωσυν .

Αφού 90ο ≤ ω ≤ 180ο ,είναι συνω <0 και επομένως 5

4

25

16−=−=συνω .

Ακόμη έχουμε 4

3

5

45

3

−=−

==συνωηµω

εφω και 3

4−==

ηµωσυνω

εφω .

4)Να αποδείξετε ότι : 12211

1 222

2

−=−=+

−χσυνχηµ

χεφχεφ

Λύση

=−

=+−

=+

−

=+

−

=+−

11

1

1

1 22

22

22

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2 χηµχσυνχηµχσυνχηµχσυν

χσυνχηµχσυν

χσυνχηµχσυν

χσυνχηµχσυνχηµ

χεφχεφ

χηµχηµχηµχηµχσυν 22222 211 −=−−=− και ακόμη

12)1( 22222 −=−−=− χσυνχσυνχσυνχηµχσυν .

5)Να αποδείξετε τις ταυτότητες

i)ωεφ

ωσυν2

2

1

1

+= ii)

ωεφωεφ

ωηµ2

22

1+=



Λύση

i)Κάνοντας πράξεις στο δεύτερο μέλος της αποδεικτέας βρίσκουμε:

ωσυνωηµωσυν

ωσυν

ωσυνωηµωσυν

ωσυνωηµωεφ ς

22

2

2

22

2

22

1

1

1

1

1=

+=

+=

+=

+.

ii)Είναι: ωσυνωηµωσυνωηµ 2222 11 −=⇔=+ .

Όμως ξέρουμε ότι : ωεφ

ωσυν2

2

1

1

+= και επομένως έχουμε:

ωεφωεφ

ωεφωεφ

ωεφωηµ

2

2

2

2

22

11

11

1

11

+=

+

−+=

+−= .

6)Αν το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας ω είναι ίσοι αριθμοί τότε να βρείτε ποιες

μπορεί να είναι οι τιμές τους.

Λύση

Είναι ωσυνωηµ = και επομένως η ταυτότητα 122 =+ ωσυνωηµ δίνει:

2

2121 222 ±=⇔=⇔=+ ηµωωηµωσυνωηµ

Άρα 2

2== συνωηµω ή

2

2−== συνωηµω .

7)Έστω θ γωνία τέτοια ώστε 2

13 +=+συνθηµθ

i) Να υπολογίσετε τον αριθμό συνθηµθ ⋅ .

ii) Να βρείτε τις πιθανές τιμές των αριθμών ημθ και συνθ.

Λύση

i) Είναι 2

13 +=+συνθηµθ και επομένως έχουμε:

( Υψώνουμε στο τετράγωνο)

2 2 2 23 1 3 3( ) ( ) 2 1 1 2 1

2 2 2ηµθ συνθ ηµ θ συν θ ηµθσυνθ ηµθσυνθ

++ = ⇔ + + = + ⇔ + = +

4

3=⇔ ηµθσυνθ

ii) Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί ημθ και συνθ έχουν άθροισμα ίσο με 2

1

2

3+ και γινόμενο ίσο με

2

1

2

3⋅ Άρα είναι: ημθ =

2

3 και συνθ =

2

1 ή συνθ =

2

3 και ημθ =

2

1



8)Αν λσυνχηµχ =+ , να υπολογίσετε (ως συναρτηση του λ)

τις παρακάτω παραστάσεις :

i)ηµχσυνχ ii) χσυνχηµ 33 +

iii) χσυνχηµ 44 + iv) χσυνχηµ 66 +

Λύση

i) Αφού λσυνχηµχ =+ , έχουμε:

⇔+⇔=++⇔=+ ηµχσυνχληµχσυνχχσυνχηµλσυνχηµχ 212)( 22222

2

12 −=λ

ηµχσυνχ .

ii)

=−

⋅=−

−⋅=+−+=+2

3)

2

11())((

222233 λ

λλ

λχσυνηµχσυνχχηµσυνχηµχχσυνχηµ =

)3(2

1 2λλ − .

iii) =−+=+=+ χχσυνηµχσυνχηµχσυνχηµχσυνχηµ 22222222244 2)()()(

)21(2

1

2

122

2

)1(1)

2

1(21 24

4222

2

λλλλλλ

+−=−+−

=−

−=−

−= .

iv)

=+−+=+=+ ))(()()( 424422323266 χσυνχχσυνηµχηµχσυνχηµχσυνχηµχσυνχηµ

)136(4

1

4

)1(

2

21)( 42

2224244 +−=

−−

+−=−+ λλ

λλληµχσυνχχσυνχηµ .

9)Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμές του χ για τις οποίες ισχύει:

i)3

1=ηµχ και

3

1=συνχ

ii) 2ηµχ α= − και 2συνχ α= + οπου α ℜ∈

Λύση

Αν υπάρχει τέτοιο χ, θα ισχύει 122 =+ χσυνχηµ .

i) Στην περίπτωση αυτή έχουμε:

19

2

9

1

9

1)

3

1()

3

1( 2222 ≠=+=+=+ χσυνχηµ

Άρα δεν υπάρχει χ ώστε: 3

1=ηµχ και

3

1=συνχ .

ii) Αντίστοιχα έχουμε:

1824444)2()2( 2222222 ≠+=+−+++=−+−=+ αααααααχσυνχηµ

Διότι αν ήταν 2

772182 222 −=⇔−=⇔=+ ααα που δε ισχύει γιατί για κάθε α ℜ∈ ισχύει

α2 0≥ . Συνεπώς δεν υπάρχει χ ώστε 2+=ασυνχ και 2−=αηµχ όπου( α ℜ∈ ).

10)Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών:



i)3

π− ii)135o iii)

7

6

π

Λύση

i )Είναι:2

3

3)

3( −=−=−

πηµ

πηµ ,

2

1

3)

3( ==−

πσυν

πσυν

33

)3

( −=−=−π

εφπ

εφ και3

3

3)

3( −=−=−

πσφ

πσφ .

ii)Επειδή 180ο –135ο =45ο , είναι:

2

245135 0 ==ηµηµ ο ,

2

245135 0 −=−= συνσυν ο

145135 0 −=−= εφεφ ο , 145135 0 −=−= σφσφ ο .

iii) Επειδή 66

7 ππ

π=− , θα είναι :

66

7 ππ

π+= όποτε

2

1

6)

6(

6

7−=−=+=

πηµ

ππηµ

πηµ

2

3

6)

6(

6

7−=−=+=

πσυν

ππσυν

πσυν

7 3

6 6 3

π πεφ εφ= =

366

7==

πσφ

πσφ .

11)Να αποδειχθει ότι :

(3 ) (5 ) (7 ) (9 )1

(2 ) (4 ) (6 ) (8 )

ηµ π θ συν π θ εφ π θ σφ π θηµ π θ συν π θ εφ π θ σφ π θ

− ⋅ + ⋅ + ⋅ −=

− ⋅ − ⋅ − ⋅ +

Λύση

Θα κάνουμε χρήση των τύπων αναγωγής .

Είναι :

(3 ) (2 ) ( )ηµ π θ ηµ π π θ ηµ π θ ηµθ− = + − = − =

(5 ) (4 ) ( )συν π θ συν π π θ συν π θ συνθ+ = + + = + = −

(7 ) (6 ) ( )εφ π θ εφ π π θ εφ π θ εφθ+ = + + = + =

(9 ) (8 ) ( )σφ π θ σφ π π θ σφ π θ σφθ− = + − = − = −

Όμοια για τον παρανομαστή

(2 ) ( )ηµ π θ ηµ θ ηµθ− = − = −

(4 ) ( )συν π θ συν θ συνθ− = − =

(6 ) ( )εφ π θ εφ θ εφθ− = − = −



(8 )σφ π θ σφθ+ =

Έτσι:

(3 ) (5 ) (7 ) (9 )

(2 ) (4 ) (6 ) (8 )

( ) ( )1

( )

ηµ π θ συν π θ εφ π θ σφ π θηµ π θ συν π θ εφ π θ σφ π θηµθ συνθ εφθ σφθηµθ συνθ εφθ σφθ

− ⋅ + ⋅ + ⋅ −=

− ⋅ − ⋅ − ⋅ +

⋅ − ⋅ ⋅ −=

− ⋅ ⋅ − ⋅

Ασκήσεις προς λύση

1. Αποδείξτε ότι: (ημx + συνx)2 = 1 + 2ημx.συνx.

2. Απλοποιήστε τις παραστάσεις:

α) εφx.συνx

β) ημx.συν2x + ημ3x

γ) x1x1 ηµ+⋅ηµ−

3. Απλοποιήστε τις κλασματικές παραστάσεις:

α) 2

4 2

4

συν x - συν x

ηµ x - ηµ x

β) yσυν -x συν

y -x 22

22 ηµηµ

4. Αν ημ15° = 4

2 ( 3 - 1) και ημ75° =

4

2( 3 + 1) να βρείτε:

α) το συν15°

β) την εφ15°

5. Χρησιμοποιώντας τον τύπο 180

µ =

π

α, να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Μέτρο

γωνίας

σε

μοίρες

0° 30° 45° 120° 150° 180° 1°

Μέτρο

γωνίας

σε

ακτίνια

0 π

/

3

π/

2

3π/

4

π

1



3.

8.Συμπληρώστε στον παρακάτω πίνακα το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά

της γωνίας θ.

τεταρτημόριο

τελικής πλευράς

ημθ > 0 και συνθ < 0

εφθ < 0 και συνθ < 0

σφθ > 0 και συνθ > 0

εφθ < 0 και συνθ > 0

ημθ < 0 και εφθ < 0

σφθ < 0 και ημθ > 0

ημθ > 0 και εφθ > 0

ημθ > 0 και συνθ < 0

9. Πόσο είναι σε ακτίνια οι γωνίες:

α) ενός ισόπλευρου τριγώνου;

β) ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου

6. Με βάση τα στοιχεία που σημειώνονται στο

διπλανό τριγωνομετρικό κύκλο και τις

απαραίτητες ευθείες που πρέπει να

χαράξετε, να βρείτε:

α) συν0° β) συν30°

συν90° συν120°



Δικαιολογήστε την απάντησή σας στο (β)

ερώτημα.

7. Στο διπλανό τριγωνομετρικό κύκλο:

Να σχεδιάσετε τις γωνίες που

σημειώνονται στους πίνακες Α, Β, Γ και στη

συνέχεια να συμπλη-ρώσετε τους πίνακες

αυτούς.



10. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

γωνία θ πρόσημο

ημθ

πρόσημο

συνθ

πρόσημο

εφθ

πρόσημο

σφθ

117°

- 100°

925°

- 40°

11. Αν ημθ < 0 και εφθ > 0, τότε η τελική πλευρά της γωνίας θ βρίσκεται:

Α. στο 1ο τεταρτημόριο Β. στο 2ο τεταρτημόριο Γ. στο 3ο τεταρτημόριο

Δ. στον ημιάξονα Οx΄ Ε. στο 4ο ή 1ο τεταρτημόριο

12. Εάν ημθ = 0,4 και 0° < θ < 90°, υπολογίστε το συνθ και την εφθ.

13. Εάν ημy = 3

2 και 90° < y < 180°, υπολογίστε το συνy και την εφy.

14. Εάν εφθ = 15

8 και 180° < θ < 270°, υπολογίστε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της

γωνίας θ.

15. Εάν εφθ = -4

3 και 270° < θ < 360°, να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνο- μετρικούς αριθμούς

της γωνίας αυτής.

16. Αν 2εφθ - 3 = 0 και ημθ < 0, να βρεθεί το συνθ.

17.Αν 6ημ2x + ημx - 1 = 0 και π < x < 2

3π, να βρεθεί το συνx.

18. Αποδείξτε ότι για οποιεσδήποτε γωνίες x, α, β ισχύουν:

α) (ημx - συνx)2 = 1 - 2 ημx . συνx

β) ημ4x - συν4x = ημ2x - συν2x = 1 - 2συν2x = 2ημ2x - 1

γ) (1 + ημx + συνx)2 = 2 (1 + συνx) (1 + ημx)

δ) xεφ + 1

xεφ - 12

2

= 1 - 2ημ2x

ε) 1 - ηηµ+ 1

xσυν2

= ημx



στ) ημ2α (1 + σφ2α) + συν2α (1 + εφ2α) = 2

ζ) εφβ + σφα

σφβ + εφα =

εφβ

εφα

19. Αν ηµx + συνx = 1, τότε η γωνία x παίρνει:

Α. καμία τιμή B. μια τιμή Γ. τρεις τιμές

Δ. άπειρες τιμές Ε. τέσσερις τιμές

20. Αν ηµx + συνx = 0, τότε η τελική πλευρά της γωνίας x βρίσκεται:

Α. στο 1ο τεταρτημόριο B. στο 2ο τεταρτημόριο

Γ. στο 3ο τεταρτημόριο Δ. στο 4ο τεταρτημόριο

Ε. δεν υπάρχει γωνία x που να ικανοποιεί αυτή τη σχέση

21. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των παραστάσεων:

α) y = 2 + 3 συνx

β) y = 5 + ημ2x

γ) y = x - 2

1

ηµ 22. Αν x1, x2 είναι ρίζες της εξίσωσης

(1 + ημφ) x2 - (1 + ημ2φ) x + (1 - ημφ) ημφ = 0, ημφ ≠ -1

τότε να δείξετε ότι: x1 + x2 + 1 2x x⋅ = 1

23. Αν συνx - ημx = 2 ημx, τότε και συνx + ημx = 2 συνx.

24. Αν 3ημθ + 5συνθ = 5, τότε να δείξετε ότι: (3συνθ - 5ημθ)2 = 9.

25. Αν το ημx = 13

5, 90° < x < 180°, τότε το συνx ισούται με:

Α. -13

12 Β.

13

12 Γ.

13

8 Δ. -

13

8 Ε.

5

13

26. Για οποιαδήποτε γωνία x, με x ≠ κπ και κ ∈ Ζ, η έκφραση (ημ2x)2

ισούται με:

Α. 4ημx 2 B. ημ22x Γ. ημ4x2 Δ. ημ4x Ε. 4ημx



27. Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις ισότητες:

Σωστό Λάθος

α) ημ500° = ημ140°

β) συν750° = συν30°

γ) εφ (-1200°) = εφ (-120°)

28. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών:

780°, 1110°, 3

17π

29. Να δείξετε ότι: εφ (740° + x - y) - εφ (20° + x - y) = 0.

30. Να απλοποιηθεί το κλάσμα: ηµααπσϕα+πσυνσυναα+πσϕα+πηµ ) +(4 )(3

)(7 )(3

31. Υπολογίστε:

α) ημ (-6

π) β) εφ (-45°)

γ) συν (-3

π) δ) σφ (- 60°)

32. Εάν x και y είναι δύο οποιεσδήποτε γωνίες, να δείξετε ότι:

α) συν (x - y) = συν (y - x)

β) ημ (x - y) = - ημ (y - x)

33. Επαληθεύστε τις ισότητες:

α) συν (x - π) = συν (x + π)

β) ημ (x - π) = ημ (π + x)

34. Να εκφράσετε συναρτήσει του συνx και του ημx την παράσταση:

Α = συν (- x) + ημ (- x) + ημ (π + x) + συν (π - x)

35. Δίνεται: συν 8

π =

2

1 2 + 2 .

Υπολογίστε:

α) ημ 8

π β) ημ

8

7π και συν

8

7π

γ) ημ 8

9π και συν

8

9π δ) ημ (-

8

π) και συν (-

8

π)

ε) ημ 8

325π και συν

8

325π

36. Υπολογίστε το ημίτονο και το συνημίτονο των παρακάτω γωνιών:

α) 32π

, 34π

, -3

π,

371π

, 3

97π



β) -4

π,

45π

, 43π

, 4

81π, -

4108π

γ) 65π

, -6

π,

67π

, 6

11π,

613π

δ) -3

8π,

611π

, 4

13π

Χρησιμοποιήστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών 3

π,

4

π και

6

π καθώς και τους

τύπους που συνδέουν τις γωνίες

37. Το ημ (π - ω) ισούται με:

Α. συνω Β. - ημω Γ. ημω Δ. - συνω

Ε. κανένα από τα προηγούμενα

38. Το συν (π + ω) ισούται με:

Α. ημ (-ω) Β. συνω Γ. ημω Δ. - συνω

Ε. κανένα από τα προηγούμενα

39. Η εφ (π + ω) ισούται με:

Α. σφω Β. εφω Γ. - εφω Δ. σφ (-ω)

Ε. κανένα από τα προηγούμενα38. Να δειχθεί ότι ημ2 (κ360° + x) + συν2 (κ360° - x) = 1.

40. Αν ημx = 5

3, 90° < x < 180°, τότε εφx ισούται με:

Α. 4

3 Β.

3

4 Γ. -

4

3 Δ.

16

9 Ε.

39

41. Το άθροισμα ημ (-ω) + συν (-ω) + ημ (180° - ω) + συν (180° - ω)

ισούται με:

Α. 1 Β. - 1 Γ. 0 Δ. 2 Ε. 2ημω

42. Να δειχθεί ότι οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα αν το άθροισμα των

ημιτόνων των τεσσάρων γωνιών που έχουν κορυφή το σημείο τομής των διαγωνίων είναι 4.

43. Να δειχθεί ότι η εφαπτομένη κάθε εξωτερικής γωνίας οξυγώνιου τριγώνου είναι αρνητικός

αριθμός.

44. Αν x γωνία τριγώνου, να δειχθεί ότι ημ 360 -x = - ημx.



45. Να γράψετε συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας θετικής και μικρότερης από

45° τις εκφράσεις:

α) εφ85°, β) ημ65°, γ) συν125°

46. Η παράσταση ημ2x + ημ2 (2

π - x) ισούται με:

Α. 2 Β. 0 Γ. 2ημ2x Δ. 1 Ε. 1 - ημ2x

47. α) Να αποδείξετε ότι: συν (x + 45°) = ημ (45° - x)

β) Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του αθροίσματος:

συν2(x + 45°) + συν2(x - 45°) + ημ2(45° - y) + ημ2(y + 45°).

48. Να αποδείξετε ότι: θ) - (180 συν

1 - θ) + (180ηµ =

θ) + (90 συν + 1

θ) + (270ηµ -

.

49. Να απλοποιηθεί η κλασματική παράσταση: x)( x) (

x) - 2

π( x)(

+πσυν−συν

ηµ+πηµ.

50. Να δείξετε ότι για κάθε κ ∈ Ζ είναι:

ημx = (-1)κ συν [(2κ + 1) 2

π - x]



ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός :Μια συνάρτηση F ορισμένη σε ένα σύνολο Α λέγεται περιοδική όταν υπάρχει Τ∈∈∈∈ ℝ

(Τ>0, Τ ανεξάρτητο του χ) τέτοιο ώστε για κάθε χ∈∈∈∈Α . Να ισχύει:

χ+Τ∈∈∈∈Α , χ-Τ∈∈∈∈Α και F(χ-Τ)= F(χ+Τ)

Ο αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης .

.Αν υπάρχουν πολλοί τέτοιοι αριθμοί, τότε περίοδο ονομάζουμε το μικρότερο από αυτούς..

.Οι συναρτήσεις ημχ και συνχ έχουν πεδίο ορισμού όλο το ℜℜℜℜ και είναι περιοδικές με περίοδο 2π

, ενώ οι συναρτήσεις εφχ και σφχ έχουν περίοδο το π.

.Η εφχ έχει πεδίο ορισμού το ℝ - ,2

++++

ππππκπκπκπκπ όπου κ ακεραιος

, ενώ η σφχ το

ℝ - ,κπκπκπκπ οπου κ ακεραιος .

Ορισμός:Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α θα είναι άρτια αν:

i) Α συμμετρικό ως προς το 0 και

ii)για κάθε χ∈∈∈∈Α ισχύει f(x)=f(-x) ενώ θα είναι περιττή αν:

i) Α συμμετρικό ως προς το 0 και

ii) για κάθε χ∈∈∈∈Α ισχύει f(x)=f(-x) . Το γεγονός ότι μια συνάρτηση είναι περιοδική είναι πολύ σημαντικό γιατί μας επιτρέπει να

μελετήσουμε την συνάρτηση και να κάνουμε την γραφική παράσταση μόνο σε διάστημα

πλάτους Τ (γιατί σε κάθε διάστημα πλάτους ( η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα

επαναλαμβάνεται η ίδια ).Δηλαδή , την ημχ και την συνχ μπορούμε να την μελετήσουμε

πλήρως σε ένα διάστημα πλάτους 2π , ενώ την εφχ και την σφχ σε διάστημα πλάτους π.

Εκτός του ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές , αν παρατηρήσουμε

προσεκτικά τον πίνακα ανάγωγης στο 1ο τεταρτημόριο, θα δούμε ότι τελικά οι ημχ, εφχ και

σφχ είναι περιττές , ενώ η συνχ είναι άρτια. Αυτό σημαίνει ότι η μελέτη αυτών των

συναρτήσεων μπορεί να γίνει σε μικρότερο διάστημα από αυτό που είπαμε προηγουμένως .

Π.χ Έστω η συνάρτηση f(χ)=συνχ .Αντί να την μελετήσουμε στο[0,2π] ,επιλέγουμε στο

διάστημα [-π,π] που έχει το ίδιο πλάτος επειδή είναι συμμετρικό ως προς το Ο. Επειδή είναι

άρτια η συνάρτηση, θα την μελετήσουμε και θα κάνουμε την γραφική παράσταση της στο

[0,π].Η γραφική παράσταση στο [-π,0] θα είναι συμμετρική της πρώτης ως προς τον ψ΄ψ

άξονα..

Πίνακας αναγωγής στο πρώτο τεταρτημόριο

χ -α π-α π+α α

π−

2 α

π+

2 α

π−

2

3 α

π+

2

3

ημχ -ημα ημα -ημα συνα συνα -συνα -συνα

συνχ συνα -συνα -συνα ημα -ημα -ημα ημα

εφχ -εφα -εφα εφα σφα -σφα σφα -σφα



σφχ -σφα -σφα σφα εφα -εφα εφα -εφα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Πίνακας τιμών

χ 0

2ππππ

π

23ππππ

2π

ημχ 0 1 0 -1 0

f(x)=ημχ

Πεδίο ορισμού: ℝ

Σύνολο τιμων:[-1,1]

Περιοδικη:με περιοδο[0,2π]

Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [0,2π]

Μονοτονια

χ 0 2ππππ

π 2

3ππππ 2π

ηµχ

Γραφικη παράσταση στο [0,2π]

Μεγιστη τιμή: Για χ=2ππππ

, το ημ2ππππ

=1

Ελαχιστη τιμή :Για χ=2

3ππππ,το ημ

23ππππ

=-1

Περιττη: Ισχύει F(-χ) =ημ(-χ)=-ημχ=-F(x)

Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων

Ο(0,0).

Γραφικη αράσταση στο ℝ



Πίνακας τιμών

χ 0

2ππππ

π

23ππππ

2π

ημχ 1 0 -1 0 1

f(x)=συνχ

Πεδίο ορισμού: ℝ

Σύνολο τιμών: :[-1,1]

Περιοδικη:με περιοδοΤ=2π

Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [0,2π]

Γραφική αράσταση στο [0,2]

Γραφική αράσταση στο ℝ

Μέγιστη τιμή: Για χ=0, το συν0=1

Ελάχιστη τιμή :Για χ=π, το συνπ= -1

Άρτια: Ισχύει f (-χ) = συν(-χ) =συνχ = f(x)

Κέντρο συμμετρίας : Ο αξονας ψ΄ψ

Μονοτονια

χ 0 2ππππ

π 2

3ππππ 2π

συνχ



Περιττη: Ισχύει f(-χ) = εφ(-χ) =-εφχ = f(x)


Ο (0,0)

Ασυμπτωτες: Οι ευθειες 2ππππ

====x και

2ππππ

−−−−====x

f(x)=εφχ

Πεδίο ορισμού: ℜℜℜℜ -χ=2κπ+ ΖΖΖΖ∈∈∈∈κκκκππππ2

Σύνολο τιμων:ℜℜℜℜ

Περιοδικη: με περιοδο Τ=π

Η μελέτη της θα γίνει στο διάστημα [2

,2ππππππππ

−−−− ]

Μονοτονια

χ -2ππππ

0 2ππππ

εφχ

Γραφικη παράσταση στο [2

,2ππππππππ

−−−− ]



Γραφικη αράσταση στο ℝ -χ=2κ+ ΖΖΖΖ∈∈∈∈κκκκππππ2

f(x)=σφχ

Πεδίο ορισμού: ℝ -χ=κπ ΖΖΖΖ∈∈∈∈κκκκ

Σύνολο τιμων: ℝ

Περιοδικη: με περιοδο Τ=π

Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [ ππππ,0 ]

Μονοτονια

χ 0 2ππππ

π

σφχ

Περιττη: Ισχύει f(-χ) = εφ(-χ) =-εφχ = f(x)


Ο (0,0)

Ασυμπτωτες: Οι ευθειες 0====x και ππππ====x

Γραφικη παράσταση στο [ ππππ,0 ]



Γραφικη αράσταση στο ℝ -χ=κ ΖΖΖΖ∈∈∈∈κκκκ

Οι συναρτήσεις της μορφής :f(x)=ρημωχ και f(x) =ρσυνωχ οπού

ρ,ω∈ℝ :

i) έχουν μέγιστη τιμή ίση με ρρρρ και ελάχιστη τιμή ίση με - ρρρρ .

ii) Είναι περιοδικές με περίοδο ίση με Τ= ωωωωππππ2

Οι συναρτήσεις της μορφής :f(x)=ρεφωχ και f(x) =ρσφωχ οπού

ρ,ω∈ℝ :

i) δεν έχουν ακροτατα (μέγιστο ή ελάχιστο).

ii)Είναι περιοδικές με περίοδο ίση με Τ=ωωωωππππ

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!



Λυμένες ασκήσεις (Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ) 1)Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων

f(x) =4ημχ και g(x)=2ημ2

χ

Λύση

2)Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ηµχ-1

Λύση

Η καμπύλη ψ=4ημχ έχει περίοδο 2π , μέγιστη τιμή ίση με 4 και ελάχιστη

τιμή ίση με –4.

Η καμπύλη ψ=2ημ2

χέχει περίοδο π

π4

2

12

= , μέγιστη τιμή ίση με 2 και

ελάχιστη τιμή ίση με –2.

Λαμβάνοντας υποψιν την γενική μορφή της καμπύλης ψ=ρημωχ

Η καμπύλη ψ = ημχ-1 προκύπτει από την μετατόπιση της

ψ=ημχ προς τα κάτω.



3)Στο σχήμα παριστάνεται μια περιοδική συνάρτηση της f.

Να βρείτε ένα πιθανό τύπο της f.

Λύση

4)Σε μια περιοχή στο Παλλιριστάν το βάθος της θάλασσας μεταβάλλεται περιοδικά λόγω της

παλίρροιας. Σε ένα συγκεκριμένο σημείο το βάθος της θάλασσας (σε μ) δίνεται για μια ημέρα

από την συνάρτηση:

)6

(5,45)(t

tfπ

συν+=

όπου [ ]24,0∈t είναι ο χρόνος (σε ώρες) που πέρασε από τα μεσάνυχτα.

i)να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f .

ii) Με βάση το σχήμα να βρείτε σε ποια χρονικά διαστήματα είχαμε πλημμυρίδα και σε ποια

είχαμε άμπωτη.

Από την γενική μορφή της καμπύλης

συμπεραίνουμε ότι ένας πιθανός τύπος της

συνάρτησης f είναι ο f(x)=ρημωχ.

Η μέγιστη τιμή της f είναι ίση με 9, άρα

ρ=9

Η περίοδος της f είναι ίση με 24 , άρα

1224

2 πω

ωπ

=⇔=

Επομένως ένας πιθανός τύπος για την f είναι ο

f(x)=912

πχηµ

Παρατήρηση

Αν γνωρίζουμε την καμπύλη με εξίσωση ( )f xψ = τότε μπορούμε άμεσα να

σχεδιάσουμε τις καμπύλες με εξισώσεις ( )f x aψ = + και ( )f x aψ = + .

Η καμπύλη με εξίσωση ( )f x aψ = + προκύπτει από την καμπύλη με εξίσωση

( )f xψ = με μετατόπιση κατά α προς τα κάτω αν α<0 ή κατά α προς τα πάνω αν

α>0.

Η καμπύλη με εξίσωση ( )f x aψ = + προκύπτει από την καμπύλη με εξίσωση

( )f xψ = με μετατόπιση κατά α προς τα δεξιά αν α<0 ή κατά α προς τα αριστερά

αν α >0.



Λύση

5)Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις

i) f(x)= )( πχηµ − ii) f(x)= )2

(π

χεφ +

Λύση

Η καμπύλη 4, 5 ( )6

tπψ συν= έχει μέγιστη τιμή 4,5 ελάχιστη τιμή –4,5 και περίοδο

12

6

2=

ππ

.Για να σχεδιάσουμε την συνάρτηση f αρκεί να μετατοπίσουμε την καμπύλη

4, 5 ( )6

tπψ συν= κατά 5 μονάδες προς τα πάνω.

ii)Στα διαστήματα τα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα( δηλαδή στα [6,12],[18,24])έχουμε

πλημμυρίδα ενώ στα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα ( δηλαδή στα [0,6],[12,18]

έχουμε άμπωτη.

i)Όταν f(x)=g(x-κ) , τότε η γραφικη παράσταση της f(x) είναι η παραλληλη

μετατοπιση της γραφικηςπαραστασης της g(x) κατά κ μονάδες [δεξιά αν κ>0 ή

αριστερα αν χ<0].Άρα η γραφικη παράσταση της f(x) θα είναι η παραλληλη

μετατοπιση της ημχ προς τα δεξιά κατά π μονάδες .

Επίσης η f(x) θα έχει πεδίο ορισμού ολο το R και περιοδο 2π.



6)Να γίνει η γραφική παράσταση τηs f(x)=2

2χ

ηµ

Λύση

Επειδή η g(x) ηµχ= έχει πεδίο ορισμού όλο το R και η h(x)= 2

χηµ θα έχει πεδίο ορισμού το R [

το ημίτονο ορίζεται για κάθε τόξο].Όπως είπαμε στην θεωρία , η συνάρτηση ημ(ωχ) έχει περίοδο

Τ=ωπ2

.Άρα η περίοδος της h(x):

2

12π

=4π.

Επειδή όμως f(-x)= )x(f2

2)2

(2 −=χ

ηµ−=χ

−ηµ= ,η f είναι περιττή. Άρα αρκεί να μελετηθεί σε

διάστημα πλάτους 2π, πχ στο[0,2π].

ii) f(x)= )2

(π

χεφ + . Η γραφικη παράσταση της f(x) είναι η παραλληλη

μετατοπιση της g(x)=εφχ κατά 2

π προς τα αριστερα.Η f(x) έχει περιοδο π

όπως και η g(x)=εφχ.

Επειδη η g(x) έχει πεδίο ορισμού ,2

πκπ κ − + ∈Ζ

ℝ ,η f(x) θα έχει

πεδίο ορισμού ,κπ κ− ∈Ζℝ

Προσοχή!!

Επειδη η συνχηµχ

εφχ = ,για να οριζεται πρέπει 0≠συνχ , άρα 2

πκπχ +≠ .Εδώ

2

πκπ +

με κ ∈ℤ είναι τα σημεια τομης της γραφικης παράστασης της f(x)= )2

(π

χεφ + με

τον χ΄χ .



χ 0

3

π

2

π

π

3

4π

3

5π

π2

22

χηµ

0

2

1

2

2

1

2

3 2

1

0

F(x) 0 1 2 2 3 1 0

Με την βοήθεια αυτού του πίνακα, φτιάχνουμε την γραφική παράσταση της f(x) από το 0 έως το

π.

Η αντίστοιχη γραφική παράσταση στο [-2π,0] φτιάχνεται συμμετρικά ως προς το Ο(0,0).

Η υπόλοιπη γραφική παράσταση είναι επανάληψη της καμπύλης που προέκυψε

[πλάτους [-2π,2π]].

Παρατήρηση

Γενικά για να βρούμε τη περίοδο μιας συνάρτησης λύνουμε την εξίσωση f(x+T)=f(x) και

υπολογίζουμε το Τ, το οποίο πρέπει να είναι ανεξάρτητο του χ. Αν υπάρχουν πολλά τέτοια

επιλέγουμε το μικρότερο θετικό.

7)Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:

i) ηµχ+= 64)x(f ii) ηµχ−= 29)x(f

Λύση

i) Ξέρουμε ότι:

1 1 6 6 6

6 4 4 6 6 4

2 4 6 10 2 ( ) 10f x

ηµχ ηµχηµχ

ηµχ

− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔

− + ≤ + ≤ + ⇔

− ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤

Άρα f(A)=[-2,10].



ii)

1 1 2 2 2

9 2 9 2 2 9 11 9 2 7

11 ( ) 7f x

συνχ ηµχσυνχ συνχ

− ≤ ≤ ⇔ ≥ − ≥ − ⇔

+ ≥ − ≥ − + ⇔ ≥ − ≥ ⇔

≥ ≥

Άρα f(A)=[7,11].

8)Να εξετασετε αν οι συναρτήσεις :

i)5

)x(f2

37

+χηµ

χεφ+χηµ= ii) 12)x(f 2 +συνχ+χσυν=

είναι άρτιες ή περιττές.

Λύση

i) Το πεδίο ορισμού της f είναι το ℝ .

Ξέρουμε ότι , για κάθε , ,x x∈ ⇒ − ∈ℝ ℝ (συμμετρικό πεδίο ορισμού).

=+χ−ηµ

χ−εφ+χ−ηµ=−

5)(

)()()x(f

2

37

=+ηµ−

χεφ−χηµ−

5)x( 2

37

=+ηµ

χεφ+χηµ−

5)x(

)(2

37

=+ηµ

χεφ+χηµ−

5x

)(2

37

)x(f5x2

37

−=+ηµ

χεφ+χηµ− .

Άρα η συνάρτηση είναι περιττή.

ii)Το πεδίο ορισμού της g είναι το R.

Ξέρουμε ότι , για κάθε , Rx,Rx ∈−⇒∈

g(-x)= 1)()(2 2 +χ−συν+χ−συν = =+συνχ+χσυν 12 2 g(x).

9)Να βρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή και η περίοδος των πιο κάτω συναρτήσεων:

i) f(x)=-2

2χ

ηµ ii)g(x)=-συν(-2

2χ) iii) h(x)=3εφ(-2χ)

Λύση

i) Η f έχει μέγιστο το 22 =− ,και ελάχιστο το –2 και περίοδο T= π=π

4

2

12

.

ii) Η g έχει μέγιστο το 11 =− ,και ελάχιστο το –1 και περίοδο

T= 222

24

2

4

2

2

2

2

2

2π=

π=

π=

π=

−

π.

iii) Η h δεν έχει μέγιστο , ούτε ελάχιστο.

Έχει περίοδο Τ=22

π=

−π

.



10)Αν είναι 24

π≤β<α≤

π , να συγκριθούν οι αριθμοί

i) ημα και ημβ ii)ημ2α και ημ2β iii)ημ2

α και ημ

2

β

Λύση

i)Επειδή η συνάρτηση ημχ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [2

,4

ππ] και είναι

24

π≤β<α≤

π

θα είναι ημα <ημβ.

ii)Έχουμε 24

π≤β<α≤

π.Άρα είναι π≤β<α≤

π22

2 και επειδή η συνάρτηση ημχ είναι γνησίως

φθίνουσα , θα είναι ημ2α>ημ2β.

iii)Έχουμε 24

π≤β<α≤

π. Άρα είναι

4228

π≤

β<

α≤

π όποτε: ημ

2

α < ημ

2

β.

Ασκήσεις προς λύση.

1)Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i) f(x)= ηµχ2

1 ii) f(x)=

2

χηµ iii) f(x)=3 χηµ3 iv) f(x)=2- χηµ3 .

2) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i) f(x)= συνχ3

1 ii) f(x)= 13 −συνχ iii ) f(x)=

21

χσυν+

3) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i) f(x)= χεφ3 ii) f(x)=2

2χ

εφ iii ) f(x)= )4

(π

−χεφ

4)Να βρείτε τις περιόδους των συναρτήσεων:

i) f(x)= ηµχ2

1 ii) f(x)=

2

χηµ iii) f(x)=3 χηµ3

iv) f(x)= 13 −συνχ v) f(x)= πχσυν3

5)Βρείτε την περίοδο , την μέγιστη , και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων.

i) f(x)= )3

5(7 χηµ ii) f(x)= )

8

x(10π

ηµ− f(x)= 1)2(2 −χηµ−



6)Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι σταθερές .

i)f(χ)= χσυν⋅χηµ+χσυν+χηµ 2244 2 ii) f(x)= )1(21

2 22

2

+χσυν+χεφ+

χεφ

7) Να προσδιορίσετε την τριγωνομετρική συνάρτηση με περίοδο 10 η οποία να είναι περιττή και

να έχει μέγιστη τιμή το 6.

8)Να προσδιορίσετε τριγωνομετρική συνάρτηση με περίοδο π8

η οποία να είναι άρτια και να

έχει ελάχιστη τιμή το 2 .

9)Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:

i) f(x)= 41500 +χσυν− ii) f(x)= 2)6

x(10 +π

ηµ−

10)Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i) f(x)= χσυν− 2 και f(x)= χσυν− 2 +2

ii) f(x)= )(πχηµ και f(x)= )2( πχηµ

iii) f(x)= )(3 πχηµ− και f(x)= )(πχπηµ−

11)Δίνεται η συνάρτηση f(x)= α−αχσυν 2)(8 .Να προσδιορίσετε τον θετικό αριθμό α σε καθεμία

από τις περιπτώσεις:

i)Η f έχει περίοδο ίση με 10.Ποια είναι τότε η μέγιστη τιμή της f ;

ii)H f έχει ελάχιστη τιμή ίση με -16 .Ποια είναι η περίοδος της ;

12)Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β για τους οποίους η συνάρτηση

f(x)=α+βημ8χ

έχει ελάχιστη τιμή το –5 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο ( )33,12

−π

.

12) Δίνεται η συνάρτηση ( )xxxf +−

−= πσυνπ

ηµ2

)( .

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της )(xf και να απλοποιηθεί ο τύπος της.

β) Να βρεθούν η περίοδος και τα ακρότατα της )(xf .

γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της )(xf .

13)Μερικές τιμές της περιοδικής συνάρτησης f περιλαμβάνονται στον παρακάτω πίνακα. Αν

είναι γνωστό ότι η μέγιστη τιμή της f είναι το 10 τότε:

χ 0 3 6 9 12 15 18

f(x) 10 0 -10 0 10 0 -10

i)Ποια μπορεί να είναι η περίοδος της f ;

ii) Να βρείτε ένα πιθανό τύπο για την f.

iii)Με βάση τον τύπο που προσδιορίσατε να βρείτε τις τιμές :

f( )2

3 και f( )2000 .



14)Η πίεση του αίματος ενός ανθρώπου προσεγγίζεται με ικανοποιητική ακρίβεια από την

συνάρτηση

P(t)=100+20συν2 t

όπου t 0≥ είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα.

i)Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της πίεσης P ονομάζονται αντίστοιχα συστολική και

διαστολική πίεση. Να βρείτε την συστολική και την διαστολική πίεση του συγκεκριμένου

ανθρώπου.

ii)Πόσους σφυγμούς το λεπτό έχει ο άνθρωπος αυτός ; (π=7

22)

15)Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i) f(x)= εφχ ii) f(x)= σφχ

16)Έστω η συνάρτηση f(x)= ,συνχ−συνχ π≤χ≤ 20

i) Για τις διάφορες τιμές του χ να απλοποιήσετε τον τύπο της

ii) Να κάνετε την γραφική της παράσταση.

17)Έστω η συνάρτηση: f(x)=χηµ+

ηµχ−χσυν−2

2

1

22 . Να αποδείξετε ότι:

i) όταν ημχ 1±≠ , η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ.

ii) f(x)<1.

18)Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)= χηµ2 g(x)= χσυν⋅χηµ 22 .Να αποδειχθεί ότι είναι περιοδικές με

περίοδο αντίστοιχα T=π (για την f) T=2

π(για την g).

18)Πόσες διαφορετικές μεταξύ τους τιμές , μπορεί να πάρει η συνάρτηση f(x)=συν2

,5

xπχ∈ℤ .

19)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f με f(x)= )(5)(3)( 22 χ−συν⋅ηµχ+χ−πσυν−χ+πηµ είναι

περιοδική με περίοδο π, αλλά δεν είναι άρτια ούτε περιττή.



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

1)Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές ;

Α.f(x)=2εφχ Β.f(x)=ηµχ

ηµχ+χηµ7

Γ. f(x)= ηµχ+συνχ2

Δ. f(x)= χσυν22

2)H συνάρτηση f(x) = 34 +συνχ− :

Α. έχει μέγιστο το 4 και ελάχιστο το –4

Β. έχει μέγιστο το 7 και ελάχιστο το –1

Γ. έχει μέγιστο το 3 και ελάχιστο το –1

Δ. δεν έχει μέγιστο και ελάχιστο.

3)Η συνάρτηση f(x)=ημχ έχει:

Α. κέντρο συμμετρίας το Ο(0,0)

Β. άξονα συμμετρίας τον ψ΄ψ

Γ. άξονα συμμετρίας τον χ΄χ

Δ. Ούτε κέντρο συμμετρίας ούτε άξονα συμμετρίας .

4)Έστω η συνάρτηση f(x)=ασυνχ+β. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία

Α( )3,3

π και Β( )1,

2

π ,τότε το α+β είναι ίσο με:

Α.1 Β.2 Γ.3 Δ.4 Ε. 5

5)Όταν είναι ,2

π<χ<π

τότε η τιμή του ημχ :

Α. αυξάνεται από το -1 στο 0

Β. αυξάνεται από το 0 στο 1

Γ. ελλατωνεται από το 0 στο 1

Δ. ελαττώνεται από 1 στο –1

Ε. ελαττώνεται από 1 στο 0

6)Η συνάρτηση f(x)=εφωχ έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία χ=2π. Τότε το ω είναι:

Α.500 Β.0,25 Γ. 4

3 Δ.

4

3241



ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μια ισότητα που περιέχει τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας ή περισσότερων άγνωστων

γωνιών και δεν είναι ταυτότητα λέγεται τριγωνομετρική εξίσωση.

Κάθε γωνία που επαληθεύει μια τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται μερική λύση. Το σύνολο των

μερικών λύσεων λέγεται γενική λύση της εξίσωσης.

Οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι οι :

ημχ=α ,συνχ=α ,εφχ=α και σφχ=α , α∈R.

Λύση της εξίσωσης ημχ =α (1 )

Αν a >1 , η εξίσωση είναι αδύνατη.

Αν a ≤ 1, τότε θα υπάρχει γωνία θ τέτοια ώστε ημθ=α

,όποτε ημχ=ημθ και οι λύσεις της εξίσωσης (1) δίνονται από τους τύπους:

Λύση της εξίσωσης συνχ =α (2)

Αν a >1 , εξίσωση είναι αδύνατη.

Αν a ≤ 1, τότε θα υπάρχει γωνία θ τέτοια ώστε συνθ=α

,όποτε συνχ=συνθ και οι λύσεις της εξίσωσης (1) δίνονται :

χ=2κ+θ ή χ=2κ+(-θ) , κ∈Ζ Άρα έχουµε: χ=2κ+θ ηµχ=ηµθ ⇔ κ∈Ζ χ=2κ+(-θ)

χ=2κ+θ ή χ=2κ-θ , κ∈Ζ Άρα έχουµε: χ=2κ+θ συνχ=συνθ ⇔ κ∈Ζ χ=2κ-θ



Λύση των εξισώσεων εφχ=α και σφχ=α.

Επειδή η εφχ παίρνει τιμές στο R, θα υπάρχει γωνία θ τέτοια ώστε εφθ=α, όποτε έχουμε:

Λυμένες ασκήσεις 1)Να λύσετε τις εξισώσεις:

i) ημχ=0 ii)συνχ= -2

1 iii)συνχ= -1

Λύση

i) ημχ=0⇔ ημχ=ημ0 ⇔ , κ∈Ζ ⇔

π+κπ=

∈κ

κπ=χ

⇔

π+κ=χ

Ζ∈κ

π=

⇔

2x

Z

2

)1(2

k2x

κ∈Ζ⇔ χ=λπ, λ∈Ζ.

ii) συνχ= - 2

1⇔ συνχ= - συν

3

π⇔ συνχ=συν

3

2π

π−κπ=χ

Ζ∈κ

π+κπ=

⇔

3

22

3

22x

(-συνχ=συν(π-χ))

iii) συνχ= -1 ⇔ συνχ =συνπ ⇔ (χ=2κπ± π, κ∈Ζ ) ⇔ χ=2λπ+π, λ ∈Ζ

2) Να λύσετε τις εξισώσεις :

i) ηµχ= -2

2 ii) συνχ= -

2

3 iii)εφχ=0

Λύση

εφχ=εφθ⇔ χ=κ+θ, κ∈Ζ Αντίστοιχα για την εξίσωση σφχ=α θα είναι σφχ=σφθ⇔ χ=κ+θ, κ∈Ζ



i) ημχ= -2

2 ⇔ ημχ=-ημ

4

π ⇔ ημχ=ημ(-

4

π)

π+κπ=χ

Ζ∈κ

π−κπ=χ

⇔

π−−π+κπ=χ

Ζ∈κ

π−+κπ=χ

⇔

4

52

42

)4

(2

)4

(2

ή

(-ημχ=ημ(-χ))

ii) συνχ=- 2

3 ⇔ συνχ= - συν

6

π⇔ συνχ=συν(π-

6

π)⇔ συνχ = συν

6

5π⇔ χ=2κπ±

6

5π

κ∈Ζ

iii) εφχ=0 ⇔ χ=κπ, κ∈Ζ

3)Να λύσετε τις εξισώσεις :

i)-2ηµ3χ= 3 ii)συν3

x +1=0 iii)εφ(

3

π-2χ)= 3

Λυση

i) -2ημ3χ= 3 ⇔ ημ3χ = - 2

3 ⇔ ημ3χ= - ημ

3

π⇔ ημ3χ =ημ(-

3

π)⇔

π+κπ=χ

Ζ∈κ

π−κπ=χ

⇔

π−−π+κπ=χ

Ζ∈κ

π−+κπ=

⇔

9

46

9

6

)3

(23

)3

(2x3

ii) συν3

x +1=0 ⇔ συν

3

x = - 1 ⇔ συν

3

x = συνπ ⇔ (

3

x=2κπ± π, κ∈Ζ ) ⇔ (

3

x=2λπ+π, λ∈Ζ )

⇔ χ=6λπ+3π , λ∈Ζ

iii) εφ(3

π-2χ)= 3 ⇔ εφ(

3

π-2χ)=εφ

3

π ⇔ (

3

π-2χ=κπ+

3

π , κ∈Ζ ) ⇔ ⇔ (-2χ=κπ ,

κ∈Ζ ) ⇔ χ=2

κπ− , κ∈Ζ .

4)Να λύσετε την εξίσωση ηµ2χ – 3ηµχ +2 =0

Λύση

Θέτουμε ημχ= t με t ≤ 1. Έτσι η εξίσωση γράφεται :

t 2 – 3t +2=0

Η τελευταία είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τις t1= 1 και t2=2.Η t2=2 απορρίπτεται

, γιατί είναι 2t >1.Άρα έχουμε:

ημχ=1⇔ ημχ=ημ2

π⇔ χ=2κπ+

2

π , κ∈Ζ .



Χρήσιμες παρατηρήσεις Κάποιες φορές είναι δυνατόν να έχουμε μια εξίσωση με διαφορετικούς τριγωνομετρικούς

αριθμούς , την μετατρέπουμε σε εξίσωση με τον ίδιο τριγωνομετρικό αριθμό με την βοήθεια

συμπληρωματικών γωνιών ή με την βοήθεια γνωστών ταυτοτήτων.

•Αν μια εξίσωση έχει η παίρνει την μορφή ( ( )) ( ( ))f x g xηµ ηµ= − , τότε γράφουμε :

( ) 2 ( )( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ,

( ) 2 ( )

f x g xf x g x f x g x

f x g x

κπηµ ηµ ηµ ηµ κ

κπ π= −

= − ⇔ = − ⇔ ∈= + +

ℤ

Σημειώνουμε ότι αντί της σχέσης ( ( )) ( ( ))g x g xηµ ηµ− = − μπορούμε να γράψουμε:

( ( )) ( ( ))g x g xηµ ηµ π− = +

π.χ

(2 ) ( )ηµ χ π ηµ χ π+ = − + τότε

(2 ) ( ) (2 ) ( ( ))

2 2 ( ) 3 2 2

2 2 2

2 2,3 3

2

ηµ χ π ηµ χ π ηµ χ π ηµ χ π

χ π κπ χ π χ κπ πχ π κπ π χ π χ κπ π

χ κπ πκ

χ κπ π

+ = − + ⇔ + = − +

+ = − + = − ⇔ ⇔

+ = + + + = + +

= −⇔ ∈

= + +

ℤ

ή εναλλακτικά

(2 ) ( ) (2 ) ( )

2 2 2(2 ) (2 )

2 2 2

22

,2 23 2 2

3 3

ηµ χ π ηµ χ π ηµ χ π ηµ π χ π

χ π κπ π χηµ χ π ηµ π χ

χ π κπ π π χ

χ κπ πχ κπ πκ

χ κπ π χ κπ π

+ = − + ⇔ + = + +

+ = + +⇔ + = + ⇔

+ = + − −= += +

⇔ ⇔ ∈ = − = −

ℤ

Ανάλογα και στην περίπτωση του συνημίτονου δηλαδή:

•Αν μια εξίσωση έχει η παίρνει την μορφή ( ( )) ( ( ))f x g xσυν συν= − , τότε γραφούμε :

( ) 2 ( )( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ,

( ) 2 ( ( ))

f x g xf x g x f x g x

f x g x

κπ πσυν συν συν συν π κ

κπ π= + −

= − ⇔ = − ⇔ ∈= − −

ℤ

Δηλαδή

( ) 2 ( ( ),f x g xκπ π κ= ± − ∈ℤ

Σημειώνουμε ότι αντί της σχέσης ( ( )) ( ( ))g x g xσυν συν π− = − μπορούμε να γράψουμε:

( ( )) ( ( ))g x g xσυν συν π− = +

Όποια μορφή και αν επιλέξουμε ,θα προκύψουν οι ίδιες λύσεις .

(Δείτε την επόμενη άσκηση!!)



5)Να λυθούν οι εξισώσεις :

i) )2

(2π

−χσυν=χηµ ii) 02)3

( =χσφ−χ−π

εφ iii) )3

()2

( χ−π

συν=π

−χηµ

Λύση

i) ⇔π

−χσυν=χ−π

συν⇔π

−χσυν=χηµ )2

()22

()2

(2

κπ−=χ

Ζ∈κ

π−

κπ−=χ

⇔

κπ−=χ

Ζ∈κ

π−

π−κπ=χ−

⇔

π+π−κπ=χ−

π

Ζ∈κ

π−χ+κπ=−

π

⇔

2

33

2

2

2223

322

2

22x2

2

ii) ⇔χ−π

εφ=χ−π

εφ⇔σφχ=χ−π

εφ⇔=χσφ−χ−π

εφ )22

()3

()3

(02)3

(

Ζ∈κ

π+κπ=χ

⇔

Ζ∈κ

π−

π+κπ=χ

⇔

Ζ∈κ

χ−π

+κπ=−π

⇔ 6322

2x

3 .

iii) ⇔π

+χηµ=π

−χηµ⇔π

−χ+π

ηµ=π

−χηµ⇔χ−π

συν=π

−χηµ )6

()2

()32

()2

()3

()2

(

π+κπ=χ

Ζ∈κ

Α∆ΥΝΑΤΗ

⇔

π+

π−π+κπ=χ

Ζ∈κ

π+

π+κπ=χ

⇔

π−χ−π+κπ=

π−χ

Ζ∈κ

π+χ+κπ=

π−χ

⇔

3

2

2622

2620

62

2

62

2

Παρατήρηση 2:Όταν δίνεται διάστημα λύσης , πρέπει να περιορίζεται η παράμετρος Ζ∈κ ώστε

οι λύσεις να βρίσκονται εντός του δεδομένου διαστήματος .(βλέπε επόμενη άσκηση)

6)Να λυθεί η εξίσωση [ ]πστο=π

−χηµ ,02

2)

3( .

Λύση

π+κπ=χ

Ζ∈κ

π+κπ=χ

⇔

π−π+κπ=

π−χ

Ζ∈κ

π+κπ=

π−χ

⇔π

ηµ=π

−χηµ⇔=π

−χηµ

12

132

6

72

42

3

42

3

4)

3(

2

2)

3(

ηµ2χ=συν( χ−π2

)



Πρέπει:

i) 112

720

12

720 ≤+κ≤⇔π≤

π+κπ≤ με Ζ∈κ .Άρα Ζ∈κ≤κ≤−⇔≤κ≤− ,

24

7

24

7

12

52

12

7.Aρα κ=0.

Επομένως η λύση είναι χ=0+12

7

12

7 π=χ⇔

π

ii) 12

1

12

1320

12

1320 −≤+κ≤⇔π≤

π+κπ≤ Ζ∈κ−≤κ≤−⇔≤κ≤−⇔ ,

24

1

24

13

12

12

12

13

Δεν υπάρχει όμως τέτοιο κ .Άρα μοναδική λύση είναι η χ=12

7π.

7)Η ημερήσια ζήτηση για ένα προιον προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την συνάρτηση:

f(t)=10000+9000συν183

tπ

όπου t 0≥ είναι ο χρόνος ( σε ημέρες ) και η χρονική στιγμή t=0 αντιστοιχεί στην αρχή του

έτους.(Θεωρήστε ότι το έτος έχει 366 μέρες ).

i) Πως θα χαρακτηρίζατε το είδος αυτό, καλοκαιρινό ή χειμωνιάτικο; Να δικαιολογήσετε

την απάντηση σας .

ii)Να βρείτε τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η ημερήσια ζήτηση για το είδος αυτό θα

είναι ίση με 14500.Σε ποιες ημερομηνίες αντιστοιχούν αυτές οι χρονικές στιγμές ;

Λύση

i)Η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστη τιμή όταν

κ=⇔κπ=π

⇔συν=π

συν⇔=π

συν 366t2183

t0

183

t1

183

t δηλαδή τις χρονικές στιγμές

0,366,732,1098,….κ.λ.π.όμως η f έχει περίοδο 366

183

2=

ππ

ημέρες και η χρονική στιγμή t=0

αντιστοιχεί στην αρχή του έτους .

Άρα η f παρουσιάζει την μέγιστη τιμή της στην αρχή του έτους , δηλαδή το χειμώνα .Μπορούμε

να πούμε επομένως ότι το συγκεκριμένο είδος είναι χειμωνιάτικο.

ii)Η ημερήσια ζήτηση θα είναι ίση με 14500 όταν:

f(t)=14500

−=

∈

+=

⇔

π−κπ=

π

Ζ∈κ

π+κπ=

π

⇔π

συν=π

συν⇔=π

συν+⇔

61366t

Zk

61k366t

32

183

t

32

183

t

3183

t14500

183

t900010000

Επειδή όμως πρέπει t 0≥ , όπως εύκολα βρίσκουμε από τις λύσεις αυτές δεκτές είναι οι:

∈−=

∈+=

∗Nk,61366t

Nk,61k366t

Οι λύσεις t=366k+61 αντιστοιχούν στη 61η μερα κάθε έτους δηλ στην 1η Μαρτίου.

Οι λύσεις t=366k-61 αντιστοιχούν στη 305η μέρα κάθε έτους δηλ στην 31η Οκτωβρίου.



8)Να λυθει ηεξισωση

14

1

ηµχ συνχσυνχ ηµχ+

+ =+

Λύση

Εχουμε παρανομαστες και για αυτό θα πρεπει να θεσουμε περιορισμους

0 ,2

πσυνχ χ κπ κ≠ ⇔ ≠ + ∈ℤ

1 0 1 2 ,2

πηµχ ηµχ χ κπ κ+ ≠ ⇔ ≠ − ⇔ ≠ − ∈ℤ

Έχουμε λοιπόν:

2 2

2 2

12 2

14 (1 ) 4 (1 )

1

1 2 4 (1 ) 2 (1 )ηµ χ συν χ

ηµχ συνχηµχ συν χ συνχ ηµχ

συνχ ηµχ

ηµ χ ηµχ συν χ συνχ ηµχ ηµχ+ =

++ = ⇔ + + = + ⇔

+

+ + + = + ⇔ + 4 (1 )συνχ ηµχ= +

12 4 2 ,

2 3 3

π πσυνχ συνχ συν συνχ χ κπ κ= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ∈ℤ

Όλες οι τιμές είναι δεκτές συμφωνά με τους περιορισμούς .

9)Να λυθεί η εξίσωση:

1 1

(1 )(1 ) (1 )(1 )ηµχ συνχσυνχ ηµχ

+ + = + +

Λύση

Για να ορίζονται οι παρανομαστές πρέπει :

0 ,2

πσυνχ χ κπ κ≠ ⇔ ≠ + ∈ℤ , 0 ,ηµχ χ κπ κ≠ ⇔ ≠ ∈ℤ

Έτσι η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )

1 1(1 ) (1 ) 0

1 1(1 )(1 )( ) 0

1 11 0,1 0,

ηµχ συνχσυνχ ηµχ

συνχ ηµχηµχ συνχ

συνχ ηµχ



+ + = + + ⇔

+ ++ − + = ⇔

+ + − = ⇔

+ = + = −

Στην λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ βασικό όχι μόνο να

θέτουμε τους απαραιτήτους περιορισμούς αλλά και να ελέγχουμε με προσοχή

αν οι τιμές (λύσεις ) που προκύπτουν είναι δεκτές ή απορρίπτονται.



Έχουμε

1 0 1 2 ,2

πηµχ ηµχ χ κπ κ+ = ⇔ = − ⇔ = − ∈ℤ

Οι τιμές αυτές απορρίπτονται λόγω περιορισμών .

(οι τιμές 22

πχ κπ= + απεικονίζονται στον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Β ,Β΄.Οι τιμές

22

πχ κπ= − στο σημείο Β΄. Άρα οι τιμές 2

2

πχ κπ= − απορρίπτονται )

1 2 ,συνχ χ κπ π κ= − ⇔ = + ∈ℤ

Οι τιμές αυτές απορρίπτονται διότι χ κπ≠ .

(1)

1 12

,4

ηµχ πηµχ συνχ εφχ εφχ εφ

συνχπ

χ κπ κ

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

= + ∈ℤ

Οι τιμές αυτές είναι δεκτές .



Ασκήσεις προς λύση

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

i) ημx = - ημ25°

iii) 3ημx + 6 = 0

iv) συν (x + 50°) = ημ (x + 20°)

v) 2ημ2χ-1=0

vi) συνx = - συν30°

vii) σφ2x - 1 = 0

viii) ( ) 36

πεφ χ − = −

2)Να λυθούν οι εξισώσεις:

i) 2ημ2x - 3ημx + 1 = 0

ii) 2ημ2θ = 3 (1 - συνθ)

iv) 1

14

συνχσυνχ

+ = − =

vii) 16συν4x - 25συν2x + 9 = 0

x) εφ4x - 4εφ2x + 3 = 0

xi) 2ημ2x - συν2x - 1 = 0

xii) 1

21

εφχηµχ

σφχ+

=+

3)Να λυθούν οι εξισώσεις:

i) ημx + συνx = 0

ii) ημ2x = συν(χ-π

3)

iv) 3 ( )3

πσυν χ ηµ χ= + ,

4)Να λυθούν οι εξισώσεις :

i) π 3π

( ) 3 ( )4 4

x xσυν ηµ− = +

ii) (2ημx-1)2+(3συνx- 3 )2=0,

iii) 4 24 5 4 0συν χ ηµ χ+ − =

5) Να λυθούν οι εξισώσεις::

i) ημ(ημχ)=0



ii) συν(συνχ)=1

6)Να λύσετε στο διάστημα [0,2π] τις εξισώσεις :

i) 21

=ηµχ+

συνχ+εφχ

ii) ηµχ=συνχ+1

7)Να λύσετε την εξίσωση

i) 16

)9t(2 =

+πηµ

ii) O πληθυσμός ενός είδους άγριου ζώου παρουσιάζει κατά την διάρκεια του έτους

διακύμανση που περιγράφεται ικανοποιητικά από την συνάρτηση :

f(t)= 160006

)9t(2000 +

+πηµ

όπου f(t) είναι ο πληθυσμός , t ο χρόνος (σε μήνες) και η χρονική στιγμή t=0 αντιστοιχεί στην

αρχή του έτους .Να προσδιορίσετε τις χρονικές στιγμές του έτους κατά τις οποίες ο πληθυσμός

θα είναι ίσος με 17000.

8)Έστω ότι ο ήλιος ανατέλλει στις 7:30 κάθε πρωί και μέχρι να δύσει, δώδεκα ώρες μετά, διανύει

στον ουρανό τόξο 180ο με σταθερό ρυθμό ώστε στις 13:30 να βρίσκεται ακριβώς πάνω από μια

συγκεκριμένη τοποθεσία.

Να βρείτε τις ώρες κατά τις οποίες δέντρο ύψους 10 μέτρων, που βρίσκεται στην παραπάνω

τοποθεσία, κάνει σκιά μήκους 310 μέτρων.

9)Να λύσετε την εξίσωση συνχ=χηµ+χσυν 22 23 στο διάστημα[0, 2

π] .

10)Να προσδιορίσετε πραγματικούς αριθμούς χ,ψ τέτοιους ώστε να ισχύει:

0223

=+ψ

ηµ−χ

συν .

11)Έστω η συνάρτηση χσυν−

χσυν=

2

2

2)x(f

i) Να δείξετε ότι ορίζεται στο R.

ii) Να βρείτε τις τιμές του α∈R για τις οποίες έχει λύση η εξίσωση f(χ)=α.

12)Δίνεται η εξίσωση

2 2 3,

4ηµ χ λ συνχ λ λ+ = + ∈ℝ

Αν μια λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός 2

3

πχ = τότε :

α)να βρείτε την τιμή του λ



β)Nα βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης.

13)Να λυθει η εξισώση 1 συνχ ηµχ+ = .

14)Δίνεται η συνάρτηση :

2( ) ( )

3

xf x κ ηµ λ= ⋅ +

με *, ,x κ λ+∈ ∈ ∈ℝ ℝ ℝ .Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(0,1) και η

μέγιστη τιμή της f είναι το 3.

α)Να αποδείξετε ότι κ =2 και λ=1

β)Να κατασκευάσετε πίνακα τιμών για την συνάρτηση f και να κάνετε την γραφική

παράσταση στο διάστημα Δ=[ ]0,3π

γ)Να βρείτε τα σημεία , στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα χχ΄, όταν

[ ]0,3χ π∈ .

15)Να λύσετε την εξίσωση :

2002 2004(3 ) ( ) 02 3

x xπ π

ηµ συν− + + =

0ταν ( ),2x π π∈

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής

1) Η εξίσωση ημx = - 1

2 έχει λύσεις τις:

Α. x = 2κπ + π

6 Β. x = 2κπ -

π

6

Γ. x = 2κπ + π

6 ή x = 2κπ +

5π

6 Δ. x = 2κπ -

π

6 ή x = 2κπ +

7π

6

Ε. καμία από τις προηγούμενες

2) Η εξίσωση συνx = - 2

2 έχει λύσεις τις:

Α. x = 2κπ ± π

4 Β. x = κπ ±

π

4 Γ. x = 2κπ ±

3π

4

Δ. x = 2κπ - π

4 Ε. x = (κ + 1) π ±

3π

4

3)Οι εξισώσεις ημχ=α και συνχ=α έχουν λύση , όταν :

Α. 0α ≠ Β. 1α ≤ Γ. 1α ≥ −

Δ. 1α ≤ Ε. 1α >



4)Αν η εξισωση συνx = α+2 εχει λυση , τοτε :

Α. 0α > Β. 1α ≤ Γ. 2α ≥

Δ. [ ]3, 1α ∈ − − Ε. 2 1α− ≤ ≤

5)Οι λύσεις της εξίσωσης ημχ = 0 είναι οι :

Α. x = κπ Β. x = 2κπ Γ. x = 2κπ + π

2

Δ. x = 2κπ +π Ε. τίποτα από τα παραπάνω

6) Η στήλη Α περιέχει ορισμένες βασικές εξισώσεις των οποίων οι λύσεις βρίσκονται στη στήλη

Β. Συνδέστε κάθε εξίσωση με τις λύσεις της.

στήλη Α στήλη Β

ημx = ημ15° x = 2κπ ± π

4

ημx = 1

2 x = κπ +

π

3

συνx = 0 x = 360° κ ± 120°

συνx = - 1

2 x = κπ -

π

4

εφx = 3

εφx = - 1

x = 2κπ + π

12

ή x = 2κπ + 11π

12

x = κπ +

π

2

x = 2κπ +

π

6

ή x = 2κπ + π - π

6

x = κπ +

π

4

x = κπ -

π

3

x = 2κπ - π

12

ή x = 2κπ + π + π

12

Documents

61156984-ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ-ΑΛΓΕΒΡΑΣ-Β-ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ(1)