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6.2 廣義乘冪律與替代法的積分

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6.2 廣義乘冪律與替代法的積分

學習目標 以廣義乘冪律求不定積分。 以替代法求不定積分。 以廣義乘冪律求解實際生活的問題。

P.6-12 第六章 積分與其應用

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廣義乘冪律

在 6.1 節提到以基本乘冪律

來求得只為 x 之乘冪函數的反導數 ，本節將介紹可求更複雜函數之反導數的技巧。

P.6-12 第六章 積分與其應用

1

, 11

nn x

x dx C nn

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廣義乘冪律

首先考慮 2x(x2 ＋ 1)3 的反導數，也就是我們要找到導數為 2x(x2 ＋ 1)3 的函數，求反導數的過程也可以如下所示。

求解的關鍵在於積分函數中有 2x 的因式，而 2x 也恰是 (x2 ＋ 1) 的導數。

P.6-12 第六章 積分與其應用

2 4 2 3

2 42 3

2 42 3

[( 1) ] 4( 1) (2 )

( 1)( 1) (2 )

4

( 1) 2 ( 1)

4

4

dx x x

dx

d xx x

dx

xC x x dx

利用連鎖律

兩邊同時除以

寫成積分形式

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廣義乘冪律

令 u ＝ x2 ＋ 1 ，則可寫成

這就是積分的廣義乘冪律 (General Power Rule) 的一例。

P.6-12 第六章 積分與其應用

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廣義乘冪律

P.6-12~6-13 第六章 積分與其應用

在運用廣義乘冪律時，注意積分函數含有 u 的乘冪與 u 的導數 du/dx 等因式。請看範例 1 的說明。

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範例 1 　應用廣義乘冪律

求下列不定積分。

P.6-13 第六章 積分與其應用

4 2

2 32 2

3(3 1) (2 1)( )

43 2

(1 2 )

x dx x x x dx

xx x dx dx

x

a. b.

c. d.

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範例 1 　應用廣義乘冪律 （解）

P.6-13 第六章 積分與其應用

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範例 1 　應用廣義乘冪律 （解）

P.6-13 第六章 積分與其應用

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學習提示

範例 1(b) 為應用廣義乘冪律時常忽略的一種狀況，即乘冪為 n ＝ 1 ，此時

P.6-13 第六章 積分與其應用

2

2

du uu dx C

dx

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學習提示

切記，可對函數微分來驗算不定積分的答案，譬如對範例 1(d) 的函數微分就可看出正確與否。

P.6-13 第六章 積分與其應用

2

2

2 2

1( )

1 21

1 2

4

(1 2 )

F x Cx

dC

dx x

x

x

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檢查站 1

求下列不定積分。

P.6-13 第六章 積分與其應用

2 3 2

2

(3 6)( 6 )

2 2

x x x dx

x x dx

a.

b.

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廣義乘冪律

有時積分函數中沒有導數 du/dx ，則須做些調整才能應用廣義乘冪律。

P.6-14 第六章 積分與其應用

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範例 2 　乘除以常數

求 x(3 － 4x2)2 dx 。

P.6-14 第六章 積分與其應用

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範例 2 　乘除以常數 （解）

令 u ＝ 3 － 4x2。若要應用廣義乘冪律，在積分函數中須有 du/dx ＝ － 8x 的因式，因此乘除以常數 － 8 。

P.6-14 第六章 積分與其應用

歐亞書局 P.6-14 第六章 積分與其應用

範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(b) 。

代數技巧代數技巧

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學習提示

若要以連鎖律來驗算範例 2 的結果，可對

微分再化簡，即可得原來的積分函數。

P.6-14 第六章 積分與其應用

1 2 324

(3 4 )x

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檢查站 2

求 x3(3x4 + 1)2 dx 。

P.6-14 第六章 積分與其應用

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範例 3 　不能應用廣義乘冪律的例子

求 － 8(3 － 4x2)2 dx 。

P.6-14 第六章 積分與其應用

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範例 3 　不能應用廣義乘冪律的例子 （解）

令 u ＝ 3 － 4x2。如同範例 2 ，若要應用廣義乘冪律，在積分函數中須有 du/dx ＝ － 8x 的因式，因此乘除以常數，再將該常數提出積分外。然而，這個方法不可用於變數； 也就是，

P.6-14 第六章 積分與其應用

2 2 2 218(3 4 ) (3 4 ) ( 8 )x dx x x dx

x

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範例 3 　不能應用廣義乘冪律的例子 （解）

也只有將積分函數展開，再利用基本乘冪律才能求得不定積分。

P.6-14 第六章 積分與其應用

2 2 2 4

3 5

8(3 4 ) ( 72 192 128 )

128 72 64

5

x dx x x dx

x x x C

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學習提示

在範例 3 中，切記積分時不可將變數移到積分符號外；若是可行，就可把所有的積分函數移到積分符號外，如此一來就不需要所有的積分法則，只留下 dx = x + C 。

P.6-14 第六章 積分與其應用

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檢查站 3

求 2(3x4 － 1)2 dx 。

P.6-14 第六章 積分與其應用

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廣義乘冪律

當積分函數中的 du/dx 有多餘的常數，只須將其移到積分符號之外，下個例子即說明此點。

P.6-14 第六章 積分與其應用

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範例 4 　應用廣義乘冪律

求 。

P.6-15 第六章 積分與其應用

2 37 1x x dx

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範例 4 　應用廣義乘冪律 （解）

令 u ＝ x3 ＋ 1 。可由同時乘除以常數 3

得到所需的 du/dx ＝ 3x2，接著將 du/dx 中不需要的常數 提出積分符號之外。

P.6-15 第六章 積分與其應用

7

3

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範例 4 　應用廣義乘冪律 （解）

P.6-15 第六章 積分與其應用

2 3 2 3 1/2

3 1/2 2

3 1/2 2

3 3/2

3

7

7 1 7 ( 1)

7 ( 1) (3 )

37

( 1) (3 ) 3

7 ( 1)

3 3 /

3

2

x x dx x x dx

x x dx

x x dx

xC

改寫成有理指數

乘除以常數

將 提出

廣義乘冪

3 3/214 ( 1)

9x C

律

化簡

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檢查站 4

求 。

P.6-15 第六章 積分與其應用

25 - 1x x dx

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範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(c) 。

P.6-15 第六章 積分與其應用

代數技巧代數技巧

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探索探索

計算下列各函數的導數，並請問何者為 的反導數？

1 3x

P.6-15 第六章 積分與其應用

3/2

2 3/23

2 3/29

( ) (1 3 )

( ) (1 3 )

( ) (1 3 )

F x x C

F x x C

F x x C

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替代法

範例 1 、 2 和 4 所用的積分技巧，有賴於是否可在積分函數中辨認或創造出 un du/dx 。然而，若積分函數較為複雜，就很難應用這樣的基本積分公式，此時可使用另一種積分技巧，即替代法 (substitutions) 或變數變換法 (change of variables) 。此法將改寫積分為 u 和 du ； 也就是，令 u ＝ f (x) 時，則 du ＝ f (x) dx，而且廣義乘冪律的形式為

P.6-15 第六章 積分與其應用

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範例 5 　以替代法求積分

求 。

P.6-15 第六章 積分與其應用

1 3xdx

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範例 5 　以替代法求積分 （解）

首先令 u ＝ 1 － 3x ，則 du/dx ＝ － 3 和 du ＝ － 3 dx ，即 dx ＝ du ，再以下列步驟求得不定積分。

P.6-15 第六章 積分與其應用

1

3

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範例 5 　以替代法求積分 （解）

P.6-15~6-16 第六章 積分與其應用

1/2

1/2

1/2

3/2

3/2

1

3

1 3 (1 3 )

1

3

1

3 3 / 22

1

3

9

xdx x

u du

u du x

C

u C

x d

u

改寫成有理指數

取代 和

提出

應

用乘冪律

3/2

2 1 3 ( )

91 3Cx x u

化簡

以 換回

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檢查站 5

求 。

P.6-16 第六章 積分與其應用

1 2xdx

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替代法

積分替代法的基本步驟總結於下列的準則。

P.6-16 第六章 積分與其應用

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範例 6 　以替代法求積分

求 。

P.6-16 第六章 積分與其應用

2 1x x dx

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範例 6 　以替代法求積分 （解）

考慮替代 u ＝ x2 － 1 ，可得 du ＝ 2x dx。將原積分乘除以常數 2 可得積分公式所需的 2x dx 。

P.6-16 第六章 積分與其應用

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範例 6 　以替代法求積分 （解）

再以微分來驗算答案。

P.6-16 第六章 積分與其應用

2 3/2 2 1/2

2 1/2

2

1 1 3( 1) ( 1) (2 )

3 3 2

1 (2 )( 1)

2

1

dx C x x

dx

x x

x x

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檢查站 6

以替代法求 。

P.6-16 第六章 積分與其應用

2 4x x dx

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替代法

學會本節的兩個積分技巧就可更有效率地算出積分；對於簡單的積分，除了辨認之外，再乘除以適當的常數而造出 du/dx 就可解決，對於較複雜的積分，可以利用範例 5 和 6 所引用的變數變換法來解題。本節習題建議以辨認導數與替代法將題目各做一次。

P.6-17 第六章 積分與其應用

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探索探索

若要計算下列的積分，試問那個方法較好？請說明理由。

P.6-17 第六章 積分與其應用

2 21 1 x dx x x dx 或

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延伸應用：消費傾向

在 2005 年，美國四口家庭的貧窮線約為 $20,000 ，低於或等於此線的家庭將花費他們的全部所得；也就是，會使用 100% 的所得於購買民生必需品，譬如食物、衣服和住宅。當所得水準增加時，平均消費會略低於 100% ，譬如收入 $22,000 的家庭能存 $440 ，而只消費 $21,560 (收入的 98%) 。當所得增加時，消費與儲蓄的比例傾向於遞減，而消費對可支配所得的變化率稱為邊際消費傾向 (marginal propensity to consume) 。 (資料來源：美國普查局 )

P.6-17 第六章 積分與其應用

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範例 7：決策－分析消費

在 2005 年，美國四口家庭對可支配所得 x 的邊際消費傾向可表示為

其中 Q 代表消費掉的所得。試以此模型來估計 2005 年四口家庭所得為 $33,000 的開銷。該家庭的開銷是否會超過 $30,000 ？

P.6-17 第六章 積分與其應用

0.02

0.98, 20,000

( 19,999)

dQx

dx x

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範例 7：決策－分析消費（解）

首先對 dQ/dx 積分以求得消費金額 Q 的模型。利用 x ＝ 20,000 和 Q ＝ 20,000 的起始條件

P.6-17 第六章 積分與其應用

0.02

0.02

0.02

0.98

0.98

0.98

( 19,999)

0.98

( 19,999)

( 19,999)

( 19,999)

( 19,999) 19,999

dQ

dx x

Q dxx

x dx

x C

x

Q

邊際消費傾向

積分可得

改寫

廣義乘冪律

C利用起始條件求得

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範例 7：決策－分析消費（解）

根據此模型， 2005 年四口家庭所得為 $33,000 的開銷約為 $30,756 ，所以消費金額超過 $30,000 ， Q 的圖形畫在圖 6.4 。

P.6-18 第六章 積分與其應用

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範例 7：決策－分析消費（解）

P.6-17 圖 6.4 第六章 積分與其應用

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學習提示

在範例 7 中以起始條件來求 C 值時， Q 以 20,000 代入， x 也以 20,000 代入， Q = (x － 19,999)0.98 + C

20,000 = (20,000 － 19,999)0.98 + C

20,000 = 1 + C

19,999 = C

P.6-18 第六章 積分與其應用

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檢查站 7

根據範例 7 的模型，試問四口家庭消費額為 $30,000 的所得為何？

P.6-18 第六章 積分與其應用