6.3 辐角原理及即应用

6.3.1 对数留数6.3.2 辐角原理6.3.3 儒歇定理

1 ( )

2 ( )C

f zdz

i f z

定义：形如

积分称为 f(z) 的对数残数主要作用：推出辅角原理

提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法 . 特别是 , 可以研究在一个指定的区域内多项式零点个数的问题

显然 , 函数 f(z) 的零点和奇点都可能是 的奇点 .)()('zfzf

6.3.1 对数留数

对数留数因此而得名

1ln( ( ))

2 Cd f z

i

证 如 a为 f(z) 的 n 级零点 , 则在点 a 的邻域内有

引理 6.4 (1) 设 a 为 f(z) 的 n 级零点 ( 极点） ,'( )

Re( )z a

f zs n

f z

(2) 设 b 为 f(z) 的 m 级极点

( ) ( ) ( ),nf z z a g z

1'( ) ( ) ( ) ( ) '( ),n nf z n z a g z z a g z

( )

( )

f z

f z

a 必为函数 的一级极点 , 且

必为函数 的一级极点 , 且( )

( )

f z

f z

'( )Re

( )z b

f zs m

f z

其中 g(z) 在点 a 的邻域内解析 , 且 g(a)≠0. 于是

(2) 如 b 为 f(z)m 级极点 在点 b 的去心邻域内有

'( ) '( )( ) ( ) .f z g zn

f z z a g z 在点 a 的邻域内解析 ,'( )( )

g zg z

1

'( )Re

( )z a

f zs c n

f z

的一级极点 , 且

( )( )

( )m

h zf z

z b ( ) '( )

.( ) ( )

f z m h z

f z z a h z

'( )( )

f zf z

a 必为

h(z) 在点 b 的邻域内解析 , 且 h(b)≠0.

1

( )( ) ( )( )

( )m

h z z b mh zf z

z b

'( )

( )

h z

h z在点 b 解析

的一级极点 ,且故 b 为 ( )

( )

f z

f z

'( )Re

( )z a

f zs m

f z

定理 6.9 设 C 是一条围线 ,f(z) 合条件 :

1

2

( )( , ) ( , ),

( )C

f zdz N f C P f C

i f z

(6.26)

证 由第五章习题 ( 二 )14, 可知 f(z) 在 C 内部至多只有有限个零点和极点 . 设 ak(k=1,2,…p) 为f(z) 在 C 内部的不同零点 , 其级数相应地为 nk;bj(j=1,2,…q) 为 f(z) 在 C 内的不同极点 , 其级数相

(1)f(z) 在 C 内部除可能有极 点外是解析的 ;

(2)f(z) 在 C 上解析切不为零则有

式中 N(f,C) 与 P(f,C) 分别表示 f(z) 在 C 内部的零点与极点的个数

称为 f(z) 在 C 内是亚纯的 (2) 可改为 f(z) 在

C上连续且不为零

特别注意几级算几个 .

在 C 内部及 C 上除去在 C 内部有一级极点 ak

(k=1,2,…p) 及 bj(j=1,2,…q) 均是解析的 .

'( )( )

f zf z

1 1

1

2

( ) ( ) ( )Re Re

( ) ( ) ( )k j

p q

C z a z bk j

f z f z f zdz s s

i f z f z f z

1 1

( ) ( , ) ( , )p q

k jk j

n m N f C P f C

故由残数定理 6.1, 及引理 6.4 得

应地为 mj, 则根据引理 (6.4) 知 ,

例 计算积分9

104 1| |z

zI dz

z

9 10

10 104 4

1 1

1 10 1| | | |

( )z z

z zI dz dz

z z

1

2 10 0 210

( )i i

∆Cargf(z) 表示 z沿 C 之正向绕行一周时 argf(z) 的改变量

2

( , ) ( , )

arg ( ).c

N f C P f C

f z

(6.27)

特别说来 , 如 f(z) 在围线 C 上及 C 之内部均解析 ,且 f(z) 在 C 上不为零 ,则

6.3.2 辐角原理

(2) f(z) 在 C 内是亚纯的(3) f(z) 在 C 上连续且不为零

(1) C 是一条围线 辅角 原理

2

arg ( )( , ) .c f z

N f C

例 6.21 设 f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4),C: |z|=3, 试验证 辐角原理

例 6.22 设 n 次多项式 p(z)=a0zn+ a1zn-1+ …+an=0 (a0≠ 0 ）在虚轴上没有零点，证明它的全部零点在左半平面Rez<0 内的充要条件是 :

( )arg ( )

yP iy n

Ri

Ri

CR

ROx

y

R

2 2: ie

R z Re

,R RC Ri Ri

02

arg( ( ))( , ) ( )RC

R

P zN P C R

0 lim arg( ( ))RCR

P z

( )lim arg( ( )) lim arg( ( ))

y R RRR RP z P iy

0 1lim arg( ( )) lim arg ( ( ))R R

n

R RP z a z g z

0 1lim arg lim arg( ( ))R R

n

R Ra z g z n

( )lim arg( ( ))

y R RRP iy n

( )arg( ( ))

yP iy n

定理 6.10 ( 儒歇 (Rouche) 定理 )

).,(),( CfNCfN

证 由假设 f(z) 与 f(z)+(z) 在 C 内部解析 ,且连续到 C, 在 C 上有 | f(z)|>0, 及

.0|)()(||)()(| zzfzzf

6.3.3 儒歇 (Rouche) 定理设 C 是一条围线 , 函数 f(z) 及 (z) 满足条件 : (1) 它们在 C 的内部均解析 , 且连续到 C;(2) 在 C 上 , |f(z)|>|(z)|

f(z) 与 f(z)+(z) 在 C 内部有同样多的零点 , 即

).(arg)]()(arg[ zfzzf cc (6.30)

由关系式 1( )

( ) ( ) ( )( )

zf z z f z

f z

(6.31)

这样一来 , 这两个函数 f(z) 与 f(z)+(z) 都满足定理 6.9 的条件 . 由于这两个函数在 C 的内部解析 , 于是由 (6.28), 下面只须证明

1( )

arg[ ( ) ( )] arg ( ) arg( )c c c

zf z z f z

f z

C0

z1

( )

( )

z

f z

图 6.14

1 0( )

arg .( )c

z

f z

根据条件 (2),当 z 沿 C 变动时

.1|)()(| zfz

将 z 平面上的围线 C 变成平面上的闭曲线 ,

1( )

( )

z

f z

借助函数

20

arg

1

即是说 , 点 不会围着原点 =0 绕行 .

1 1( )

( )

z

f z

全在圆周 |-1|=1 的内部 .

推论 1: 设 n 次多项式 p(z)=a0zn+…+ atzn-t+…+an(a0≠0 ）满足条件： |at|>|a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an|

则 p(z) 在单位圆 |z|<1 内有 n-t 个零点证：令 f(z)= atzn-t,

(z)=a0zn+…+ at-1zn-t+1+ at+1zn-t-1 +…+an

则 f(z) 与 (z) 均在闭单位圆域 |z|≤1 上解析，而且在单位圆周 |z|=1 上有：

|f(z)|= |at|>|a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an|≥|(z)|

由儒歇定里得 p(z)=f(z)+(z) 与 f(z) 在单位圆内有同样多的零点，即为 n-t 个

推论 2: n 次方程 (p(z)=)a0zn+ a1zn-1+ …+an=0

(a0≠ 0 ） 在复数域内有且仅有 n 个根（几重根就算几个根）

1. 首先证明存在 R>0 ，

有 n 个根 R

方程在圆 |z|<R 内恰有 n 个根 ，证明思路

2. 其次证明，对 z0 |z0|=R0≥R ，均有 |p(z0)|>0

无根

证明

1. 令， f(z)=a0zn, (z)= a1zn-1+ …+an=0

则当 |z|=R 时， |(z)|≤| a1zn-1|+ …+|an| = | a1|Rn-1+ …+|an-1|R+|an| ≤( | a1|+ …+|an-1|+|an|) Rn-1

<|a0|Rn=|f(z)|

取 R>1

限定 | a1|+ …+|an|≤|a0|R

所以只要取 1

0

1| | | |

max ,| |

na aR

a

有 : 当 |z|=R 时 ,| f(z)|>|(z)|,

f(z),(z) 在 |z|≤R 上解析

N(f(z)+(z),C)=N(f(z),C)=n

即： N(p(z),C)=n

2.z0: |z0|=R0≥R ，需证 :|p(z0)|>0

|(z0)| | a1z0n-1|+ …+|an| = | a1|R0

n-1+ …+|an-1|R0+|an|

( | a1|+ …+|an-1|+|an|) R0n-1 |a0|R0

n=|f(z0)| |p(z0)|=|f(z0)+(z0)| |f(z0)|-|(z0)|>0

p(z0)=a0z0n+ a1z0

n-1+ …+an 0

定理6.11

如函数 f(z) 在 D 内单叶解析则在 D 内 (z)≠0.

证 : ( 反证法 ) 若有 D 的点 z0 使 f(z0)≠0, 则 z0 必为f(z)- f(z0) 的一个 n 级零点 (n≥2). 由零点的孤立性 ,故存在 >0 , 使在圆周 C: |z-z0|=上 : f(z)- f(z0)≠0,在 C 的内部 , f(z)- f(z0) 及 f /(z) 无异于 z0 的零点 .命 m 表 |f(z)- f(z0)| 在 C上的下确界 , 则由儒

歇定理即知 , 当 0<|-a|<m 时 , f(z)- f(z0)-a 在圆周 C的内部亦恰有 n 个零点 . 但这些零点无一为多重点 , 理由是 f /(z) 在 C 内部除 z0 外无其他零点 , 而z0 显然非f(z)- f(z0)-a的零点 .

故命 z1,z2,…,zn 表 f(z)- f(z0)-a 在 C 内部的 n 个相异的零点 . 于是 f(zk)= f(z0)+a (k=1,2,…,n).这与 f(z) 单叶性假设矛盾 .故在区域 D 内 f (z)≠0.