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Guía del docente
Hugo Alfredo Pérez Benítes
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Índice & presentación de la guía
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Carta a los maestros 3
Componentes Curriculares
Enfoque pedagógico del Documento de Actualización y FortalecimientoCurricular de la Educación Básica 4
Los componentes curriculares: ejes, bloques, destrezas, criterios de desempeño, conocimientos asociados 5
Componentes Metodológicos
Fundamentos, contenidos y orientaciones para el área de Matemática según el Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 6
Lineamientos metodológicos 9
El uso de situaciones de la vida real como fuente de conocimiento. 10
El ciclo del aprendizaje en el aula 11
Planificación de una clase modelo 12
Descripción de los Textos
Conoce tu libro 14
Planificadores de los bloques curriculares 16
La evaluación en nuestros textos 28
Prueba de diagnóstico 29
Pruebas de módulo 30
Exámenes trimestrales 36
Componentes Didácticos
Actividades adicionales 42
Metodología para el tratamiento de conceptos y teoremas 54
Metodología para desarrollar destrezas 56
Metodología para la resolución de problemas 58
Desarrollo de un proyecto de aula 61
Solucionario 62
Bibliografía 72
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A los maestros
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Estimados docentes:
Grupo Editorial Norma, en su afán de apoyar los cambios en la educación del país, presenta su nueva serie de textos denominada
, dirigida a los estudiantes de Educación Básica, en cuatroáreas de estudio: Entorno Natural y Social, Matemática, Lengua y Literatura y Ciencias Naturales.
Los textos de la serie están concebidos y elaborados de acuerdo con las demandas curriculares y didácticas propuestas en el Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular vigen-te desde el 2010.
Plantean el desarrollo de las destrezas con criterio de desempeño, contenidos asociados y ejes transversales, y responden a la lógica de organización propuesta en el documento, por medio de ejes de aprendizaje y bloques curriculares.
Los docentes podrán encontrar, no solo una relación directa entre los requerimientos del Ministerio de Educación, sino una interpretación enriquecedora que extiende y amplia la propuesta oficial.
Las guías del docente de la serie constituyen una herra-mienta de auto-capacitación y asistencia efectiva para los maestros. Explican cómo están elaborados los textos, su aplicación y funciona-miento; ofrecen instrumentos que facilitan la comprensión del diseño curricular del Ministerio de Educación; proveen modelos de diseño micro-curricular, solucionarios y herramientas para la evaluación y proponen sugerencias metodológicas que ayudan a enriquecer las didácticas.
Esperamos que los textos y las guías del maestro de la serie sean un apoyo efectivo en la labor del docente y en el proceso de aprendizaje del estudiante.
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Componentes Curriculares
Bases Pedagógicas del Documento de Actualizacióny Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica
¿En qué consiste el enfoque pedagógico del
Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica?
• Desarrollo de la condición humana y la com-
prensión entre todos y la naturaleza. Subraya
la importancia de formar seres humanos con
valores, capaces de interactuar con la sociedad
de manera solidaria, honesta y comprometida.
• Formación de personas con capacidad de resolver
problemas y proponer soluciones; pero, sobre
todo, utilizar el conocimiento para dar nuevas
soluciones a los viejos problemas. Propicia el de-
sarrollo de personas propositivas y capaces de
transformar la sociedad.
• Estimula la apropiación de valores como la solida-
ridad, honestidad, sentido de inclusión y respeto
por las diferencias. Insiste en la necesidad de
formar personas que puedan interactuar en un
mundo donde la diferencia cultural es sinónimo
de riqueza.
• Propone una educación orientada a la solución
de los problemas reales de la vida, la formación
de personas dispuestas a actuar y a participar
en la construcción de una sociedad más justa
y equitativa.
• Enfatiza el uso del pensamiento de manera críti-
ca, lógica y creativa; lo que implica el manejo de
operaciones intelectuales y auto reflexivas.
• Subraya la importancia del saber hacer; el fin
no radica en el conocer, sino en el usar el cono-
cimiento como medio de realización individual
y colectiva.
• Los conocimientos conceptuales y teóricos se in-
tegran al dominio de la acción, o sea al desarrollo
de las destrezas.
• Sugiere el uso de las TIC como instrumentos
de búsqueda y organización de la información.
• Prioriza la lectura como el medio de comprensión
y la herramienta de adquisición de la cultura.
• Propone una evaluación sistemática, criterial e in-
tegradora que tome en consideración, tanto la
formación cognitiva del estudiante: destrezas
y conocimientos asociados, como la formación
de valores humanos.
El Ministerio de Educación tiene como objetivo central y progresivo el mejoramiento de la educación del país, para
ello emprende varias acciones estratégicas.
En este contexto, presenta el Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica, con el
objetivo de ampliar y profundizar el sistema de destrezas y conocimientos que se desarrollan en el aula y de forta-
lecer la formación ciudadana en el ámbito de una sociedad intercultural y plurinacional.
El Documento, además de un sistema de destrezas y conocimientos, presenta orientaciones metodológicas e indi-
cadores de evaluación que permiten delimitar el nivel de calidad del aprendizaje.
El Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular ofrece a los docentes orientaciones concretas sobre
las destrezas y conocimientos a desarrollar y propicia actitudes favorables al Buen Vivir, lo que redundará en el
mejoramiento de los estándares de calidad de los aprendizajes.
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Componentes Curriculares
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Descripción de los componentes curriculares del
Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica
El referente curricular de la Educación Básica se ha estruc-
turado sobre la base del siguiente sistema conceptual:
¿Qué es el perfil de salida?
Es la expresión de desempeño que debe demostrar un
estudiante al finalizar un ciclo de estudio; desempeño
caracterizado no solo por un alto nivel de generaliza-
ción en el uso de las destrezas y conocimientos, sino
por la permanencia de lo aprendido.
¿Qué son los objetivos de área?
Orientan el desempeño integral que debe alcanzar el
estudiante en un área de estudio: el saber hacer, los co-
nocimientos asociados con este “saber hacer”, pero, so-
bre todo, la conciencia de la utilización de lo aprendido
en relación con la vida social y personal.
¿Qué son los objetivos del año?
Expresan las máximas aspiraciones a lograr en el proce-
so educativo dentro de cada área de estudio.
¿A qué se llama mapa de conocimientos?
Es la distribución de las destrezas y conocimientos nu-
cleares que un alumno debe saber en cada año de estudio.
¿Qué son los ejes de aprendizaje del área?
Corresponden a las macro-destrezas que se desarrollan
en el área: escuchar, hablar, leer y escribir.
¿Qué es el trabajo con las tipologías textuales?
El medio que se utiliza para desarrollar las macro-destre-
zas es el trabajo con las tipologías textuales. Por ejemplo:
“Las recetas” es el tipo de texto que se utiliza como eje
vertebrador para lograr la competencia comunicativa
en uno de los bloques de quinto año.
¿Qué son los bloques curriculares?
Componentes de proyección curricular que articula e
integra el conjunto de destrezas y conocimientos alre-
dedor de un tema central de la ciencia o disciplina que
se desarrolla.
¿Qué son las destrezas con criterios de desempeño?
Son criterios que norman qué debe saber hacer el estu-
diante con el conocimiento teórico y en qué grado de
profundidad.
¿Cómo se presentan los contenidos?
Integrados al “saber hacer”, pues interesa el conoci-
miento en la medida en que pueda ser utilizado.
¿Qué son los indicadores esenciales de evaluación?
Se articulan a partir de los objetivos del año; son evi-
dencias concretas de los resultados del aprendizaje
que precisan el desempeño esencial que debe demos-
trar el estudiante.
¿Cómo funciona la evaluación con criterios de
desempeño?
Hace que se vea a la evaluación como un proceso continuo
inherente a la tarea educativa, que permite al maestro
darse cuenta de los logros y los errores en el proceso
de aprendizaje, tanto del maestro como del alumno, y
tomar los correctivos a tiempo.
¿Qué son los ejes transversales?
Son grandes temas integradores que deben ser desarrolla-
dos a través de todas las asignaturas; permiten el análisis
de las actitudes, la práctica de valores y en general, dan
a la educación un carácter formativo e integrador.
Promueven el concepto del Buen Vivir como el esfuer-
zo personal y comunitario que busca una convivencia
armónica con la naturaleza y con los semejantes:
• La formación ciudadana y para la democracia.
• La protección del medioambiente.
• El correcto desarrollo de la salud y la recreación.
• La educación sexual en la niñez y en la adolescencia.
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Componentes Metodológicos
La propuesta del Ministerio de Educación
plantea que tanto el aprendizaje como la
enseñanza de la matemática deben estar
enfocada en el desarrollo de las destrezas
necesarias para que los estudiantes sean ca-
paces de resolver problemas cotidianos a la
vez que fortalecen su pensamiento lógico
y creativo.
En un mundo “matematizado” la mayoría de
las actividades cotidianas requieren decisio-
nes basadas en la matemática; esta situación
hace que nos interese esta disciplina más que
como fin como instrumento para formar pen-
sadores lógicos, críticos, capaces de resolver
problemas.
La mayoría de las acciones que desarrolla el
trabajador y profesional modernos exigen la
utilización de operaciones mentales y de la
aplicación de los conocimientos matemáticos.
(Ilustración de un ingeniero o un físico en un
laboratorio)
Desde esta perspectiva interesa proveer a
los estudiantes de conceptos matemáticos
significativos, bien aprendidos y con la pro-
fundidad necesaria, pero como instrumentos
operativos para el análisis y solución de pro-
blemas de la cotidianidad.
Estuvimos acostumbrados a un aprendizaje
de la matemática fragmentado en sistemas,
que no hacía relación entre los conceptos y
destrezas de un sistema y otro; desenfocado
de la realidad, como si la solución de los pro-
blemas no requiriera no solo del concurso de
todo el pensamiento matemático además del
de las otras disciplinas.
La Reforma plantea dinamizar el pensamiento
matemático más que desde la lógica de la dis-
ciplina desde puesta en práctica; recordando
que en el plano de lo concreto la organización
de lo abstracto no funciona de la misma ma-
nera y que los compartimentos de las ciencias
desaparecen ante la dinámica de las situacio-
nes de la vida.
Este planteamiento estimula al maestro a re-
acomodar su visión y metodología de ense-
ñanza a partir de una nueva lógica de aprendi-
zaje que va desde la acción, con la priorización
de las destrezas; situación puede constituirse,
al comienzo, en un elemento desestabilizador
para el maestro, quien ha estado acostumbra-
do a ver la enseñanza-aprendizaje de la mate-
mática desde los contenidos disciplinares y no
desde lo que debe hacer con ellos.
Por esta razón las destrezas y los contenidos
han sido seleccionados no solo en función de
los esquemas y estructuras de razonamiento
de los estudiantes de acuerdo con su edad, el
entorno que les rodea, de sus intereses y sus
necesidades, sino desde qué puede hacer con
ellos en la práctica.
Este enfoque estimula en el alumno la capaci-
dad de aprender, interpretar y aplicar la mate-
mática a partir de situaciones problemáticas
de la vida diaria.
Los fundamentos, contenidos y orientaciones del Área de Matemática
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Componentes Metodológicos
Los textos para Matemática secundaria expresan con fidelidad y cuidado el modelo pedagógico
propuesto, enriquecido con el producto de la experiencia acumulada por autores, editores de
textos y capacitadores tanto a nivel de la educación particular como pública, especialmente esta
última.
Se ha organizado los textos para la enseñanza de la Matemática a través de la estructuración de
seis módulos.
Cada uno de los seis módulos desarrolla los conceptos, teoremas y las destrezas de varios blo-
ques curriculares, integrándolos de manera lógica, práctica y creativa. Este tipo de planificación
modular permite un manejo más globalizador de las destrezas y las capacidades para resolver
problemas intra y extramatemáticos.
Las páginas de entrada de los módulos contienen lecturas e imágenes que, además de expresar
la realidad de nuestro o región, se conectan con los contenidos que serán objetos de aprendiza-
je. Aquí aparecen las destrezas y contenidos que se van a desarrollar en el módulo, se sugieren
actividades para reflexionar y se proponen ejercicios que activan conocimientos y matematizan
el tema de la Lectura. Se señalan y describen, además, los ejes transversales de aprendizaje que
contextualizarán los temas.
En el inicio de cada lección, los profesores encontrarán tres elementos básicos:
¿Qué sé? Activa los conocimientos previos de los alumnos sobre el tema y los motiva hacia el
aprendizaje.
Para la vida. Contesta a los estudiantes, a través de alguna aplicación práctica, cómo y para
qué usará el contenido de la lección en la formación de su razonamiento y en la vida práctica.
Para Comenzar. Breve introducción del tema de la lección que muestra la importancia del
mismo y motiva la necesidad de un nuevo aprendizaje.
Mediante el uso del pensamiento crítico y el razonamiento, el proceso de aprendi-
zaje se desarrolla en momentos ordenados y bien definidos mediante los cuales se
propicia la construcción de los conceptos, el tratamiento de los teoremas, el desa-
rrollo de las destrezas y la creatividad en la resolución de problemas.
Propuesta de los textos para el Área de Matemática en Secundaria
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Zona de Aplicación. Permite al estudiante la aplicación inmediata del conocimiento al tiem-
po que propicia la fijación y sistematización de las destrezas matemáticas adquiridas en la lección.
Adicionalmente, nuestros textos, abren ventanas de extensión del conocimiento por medio de
recursos adicionales que permiten:
Conexiones con la vida. Establece relación con los ejes transversales del conocimiento.
Sí Se Puede. Desarrollo del pensamiento lógico y lateral, además de potenciar las destrezas
del trabajo racional unidas a la creatividad.
TIC. Uso de todo tipo de recursos tecnológicos; búsqueda y extensión del conocimiento.
Vocabulario. Refuerzo de los términos de la matemática.
Compruebo lo que sé. Actividades de autoevaluación para que el estudiante tome con-
ciencia de su aprendizaje en cada uno de los módulos y evalúe sus procesos, determine sus
fortalezas y debilidades.
El Proyecto de Integración. Explicita la relación e integración entre los diferentes elemen-
tos matemáticos entre si, ofreciendo la oportunidad de aplicar holísticamente las destrezas y
capacidades en la solución de un problema real.
Con mis palabras. Espacio que tiene el estudiante para verbalizar y socializar el aprendizaje
logrado en el módulo.
Ruta Saber. Comienza con una pequeña lectura relacionada con interesantes temas de la
matemática que ayudan al estudiante a comprender la importancia que tiene esta asignatura en
la transformación de la realidad objetiva. A continuación se propone una prueba estandarizada,
que se aplica cada dos módulos, que ayuda al estudiante al desarrollo de su razonamiento y lo
entrena para las pruebas de medición del aprendizaje que aplica el estado ecuatoriano.
El Sumak Kawsay o teoría del Buen Vivir es un concepto clave que rechaza la idea del hom-
bre como dueño y señor de la naturaleza y mas bien lo ve como parte de ella.
Significa alejarse del consumismo, individualismo y la búsqueda frenética del lucro por encima
de la preservación de la naturaleza. Promueve la relación armónica entre los seres.
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Componentes Metodológicos
El siguiente mapa resume los componentes metodológicos fundamentales en el proceso de
aprendizaje.
Lineamientos metodológicos generales
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TIC
bibliográficos
textos
videos
la realidad
Los recursos
3Tipo de
evaluación
Técnicas de
Observación
Herramientas
5Clima
emocional
Ambiente que el profesor
imprime en clase
6Confianza
académica
Aprendizajes significativos, útiles
para la vida
1Selección de
conocimientos
Destrezas
activan procesos
Contenidos
significativos
importantes
cultura universal
actualizados
Valores
ejes transversales
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Individual
atención a las
diferencias
Grupal
cooperativo
Enfoque
al aprendiz
es la
inventiva, estrategia, técnica
que se utiliza conscientemente
en el proceso de aprendizaje
repercute en
La metodología
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Indagación. Estudio de casos,
proyectos, investigaciones,
cuestionamiento experimental.
Observación. Deducción, induc-
ción, comparación, clasificación,
análisis de perspectivas.
Reflexión. Resolución de proble-
mas, crítica, invención, soluciones.
Conceptualización. Construcción
de conceptos.
Estrategias
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En la actualidad el concepto de aula se ha abierto a
todo el entorno, como un espacio de ilimitada riqueza,
a partir del cual los estudiantes pueden construir el co-
nocimiento individual o grupalmente, con la ayuda del
maestro mediador.
Un estudiante puede adquirir el conocimiento por
observación directa e indirecta de la realidad, lo que
significa que lo mismo se puede aprender dentro de un
aula que fuera de ella.
Este concepto de extensión del espacio físico del aula
ha hecho que la metodología de aprendizaje consi-
dere a la realidad y a la vida cotidiana como fuente de
conocimientos; situación que ha tenido un impacto con-
siderable en la metodología del maestro y en su forma
de mediar el aprendizaje.
Todas las metodologías que llevan al estudiante a in-
dagar la realidad no solo que son herramientas útiles
sino que tienen un especial atractivo para ellos; pues
las personas encuentran interesante encontrar el cono-
cimiento por sí mismas.
El estudio de casos, los talleres, la observación directa
de la realidad, el método de encuesta, la entrevista,
la recopilación de datos, el proyecto, el ensayo, la con-
versación informal y formal con expertos, la documen-
tación son estrategias que tienen la virtud de acercar
al alumno a la fuente de conocimiento. Por ser viven-
ciales desarrollan en el estudiante destrezas de comu-
nicación, le ofrecen seguridad y le ayudan a activar
su pensamiento crítico.
Por otra parte, el conocimiento fuera del aula, no se
encuentra en compartimentos estanco como suele
suceder cuando está organizado en la escuela. La inter-
disciplinaridad es una característica de la vida; por lo
tanto, el estudiante encontrará al conocimiento conec-
tado con diversas áreas del saber.
El método de proyecto refuerza destrezas de trabajo
individual y grupal; enseña responsabilidad, tolerancia,
respeto a las ideas ajenas, valoración de los cono-
cimientos y destrezas de los otros, pero sobre todo
a comprender que en la actualidad nadie es dueño del
conocimiento. A continuación ponemos un ejemplo
de Proyecto.
El uso de situaciones de la vida real como fuente de conocimiento
Investigo, reflexiono y discuto con mis
compañeros sobre qué creo que suce-
de con las tierras y las familias que son
abandonadas por los campesinos.
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¿Qué efecto social
se produce con
la migración del
campo a la ciudad?
Investigo, reflexiono y discuto con
mis compañeros que debería hacer
el gobierno para que los campesinos
no tengan que dejar el campo.
Reflexiono y saco conclusiones persona-
les y propongo alternativas de trabajo
para que los campesinos tengan trabajo
en el campo.
Investigo en dónde se alojan las personas
que dejan sus casas en el campo y vienen
a la ciudad.
Investigo cuáles son las razones por
las cuales los campesinos dejan sus
tierras y vienen a la ciudad.
Investigo aqué trabajos realizan
las personas que vienen del campo,
a la ciudad.
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El aprendizaje es un proceso que implica el desarrollo de cuatro pasos didácticos; en cada uno de ellos los maestros
pueden desarrollar varios tipos de actividades. Está representado por un círculo que indica que el proceso se inicia
y se cierra. El maestro puede comenzar en cualquier fase del ciclo, aunque lo ideal es partir de la experiencia y cerrar
con la conceptualización.
El ciclo del aprendizaje en el aula
Conceptualización
• Activar los conocimientos previos de los alumnos.
• Compartir anécdotas y experiencias vividas.
• Realizar observaciones, visitas, entrevistas, encuestas, simulacros.
• Presentar fotos, videos, testimonios.
• Observar gráficos, estadísticas, demostraciones.
• Presentar ejemplos reales, noticias, reportajes.
• Utilizar preguntas como: quién,
dónde, cuándo.
• Utilizar el conocimiento en una
nueva situación.
• Resolver problemas utilizando nuevos
conocimientos.
• Utilizar expresiones como: explique, identifi-
que, seleccione, ilustre, dramatice, etc.
• Revisar la información
y utilizarla para seleccio-
nar los atributos
de un concepto.
• Negociar ideas, discutir sobre lo que es
y no es un concepto; argumentación de ideas.
• Obtener ideas de lecturas, ensayos,
conferencias, películas, etc.
• Utilizar mapas conceptuales y otros organizadores.
• Utilizar preguntas como: qué significa,
qué parte no calza, qué excepciones encuentra,
qué parece igual y qué parece distinto.
• Relacionar lo que los alumnos
saben con el nuevo conocimiento.
• Presentar un mapa conceptual de partida.
• Generar la elaboración de hipótesis,
es decir, de provocar desequilibrio
cognitivo a través de cuestionamientos.
• Escribir y concluir sobre indagaciones e inves-
tigaciones realizadas.
• Utilizar preguntas como: qué,
por qué, qué significa.
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Experiencia
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Clase modelo 9º año de educación básica
Paso 1
• Introducción al tema mediante una breve exposición que haga referencia a las pirámides como formas de construcción ancestrales y la necesidad de preservar y valorar nuestro patri-monio cultural.
• Formar grupos de trabajo y que los alumnos elijan un jurado de tres personas, compuesto por sus propios compañeros.
• Pedir a los alumnos que, con sus propios cuerpos y con ayuda de los materiales que tengan a mano. traten de formar cuerpos geométricos que ellos conozcan.
• Después de la discusión interna del grupo que no debe pasar de 5 minutos, los alumnos po-nen manos a la obra.
• El jurado escoge al mejor logrado. Que se gana el aplauso general y un pequeño reconoci-miento según criterio del docente.
• De acuerdo al cuerpo geométrico que se haya escogido como ganador, mediante la observa-ción y discusión el grupo propone, de acuerdo a los conocimientos que posee, una forma que permita aproximarse al área total y al volumen del cuerpo geométrico que se estudia en vivo.
• El maestro o la maestra orienta la discusión con preguntas como: ¿Cuál es la diferencia entre el área lateral y el área total de un poliedro? Si es el caso, ¿qué representa el volumen? Y otras que ayuden al estudiantado a llegar a una conclusión con ayuda de sus conocimientos previos.
Paso 2
Terminado este ejercicio el docente pide a los alumnos sus opiniones acerca del ejercicio, pre-gunta cómo se sintieron y qué aprendieron. Con ayuda de los materiales que han traído, el maestro o la maestra invita a los grupos de trabajo a lograr las figuras de las páginas 206 y 207
Nombre de la lección: Pirámide y cono
Objetivo: Deducir la fórmula del volumen de la pirámide.
Tiempo: 90’
Recursos: Prismas y cilindros que quedaron del tema anterior, material reciclado como cartones gruesos para que sirvan de base, cartu-linas, hojas de papel, fómix, regla, compás, tijeras, pegamento, recipientes transparentes como frascos grandes de café o simila-res, piedrecillas o material que pueda servir de lastre, material del entorno, piolas, tachuelas, Libro de Texto y cuaderno.
Eje transversal: Formación ciudadana
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del texto, explicando al mismo tiempo la importancia de este conocimiento para el tema que se va a abordar a continuación. Se establece la siguiente conversación.
—Docente: Ya sabemos determinar el volumen de un prisma, ¿alguien recuerda la fórmula para calcular el volumen de un prisma cualquiera? De esta pregunta debe salir la cono-cida fórmula: V = AB • h .
—Docente: Pero todos los poliedros no son prismas. ¿Cómo procedemos en la caso de las pirámides?
Paso 3
Una vez que los alumnos han logrado construir y reconocer los elementos de la pirámi-de, el docente a través de preguntas concretas debe conseguir que sean ellos los que expresen la fórmula para calcular el volumen de la pirámide.
Paso 4
El docente propone el ejercicio de la página 208 y ejercicios de la Guía del docente para reafirmar este conocimiento. Propone además el siguiente ejercicio práctico.
• Los alumnos deben fabricar una pirámide y un prisma con igual base y altura. Luego las rellenan con piedrecillas.
• Ponerlas dentro de los recipientes con agua como se indica en la página 207 del texto, observar y anotar lo que ocurrió.
• Preguntar a los alumnos qué conclusión pueden extraer de este experimento, ya que co-nocen el concepto de volumen y el cálculo del mismo en el prisma, podrán aproximarse a la propiedad para empezar la siguiente clase.
• Recalcar que esta propiedad tan importante solo se cumple cuando el prisma y la pirá-mide tiene igual base y altura. Puede aprovecharse la ocasión para preguntar: Se tienen una pirámide y un prisma de igual base, ¿qué altura deberá tener la pirámide para que su volumen sea igual que el del prisma?
Paso 5
Evaluación.
Técnica
La observación
Instrumento
Registro anecdótico, lista de cotejo.
Tarea
Proponer y demostrar una solución para la pregunta planteada en clase sobre el volu-men de la pirámide con un experimento de su propia inspiración.
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Bloques, destrezas, contenidos que se aprenderán en el mó-
dulo de acuerdo a los bloques propuestos por el ME.
La lectura plantea una
situación problema,
valiéndose de datos
y acontecimientos
interesantes.
Entrada al tema general
del Módulo
Preguntas y actividades
relacionadas con la lectura.
Activan los conocimientos
previos.
Un cuestionamiento
relacionado con la lectura
que activa el pensamiento
crítico de el o la estudiante.
Sumak Kawsay. El buen vivir
Un concepto kechwa que
rechaza la idea del hombre
como dueño y señor de la
naturaleza y mas bien lo ve
como parte de ella.
Preguntas que activan los
conocimientos previos del
tema.
Contesta a los estudiantes,
a través de alguna aplica-
ción práctica, cómo y para
qué usará el contenido de
la lección en la formación
de su razonamiento y en
la vida práctica.
Vocabulario recoge el
significado de las palabras
y algunas definiciones y
conceptos que consoli-
dan el aprendizaje.
Recuerda consolida el
conocimiento concep-
tual y procedimental
aprendido.
Concepto o teorema define en pocas palabras un
tema general.
Sumak Kawsay. El buen
vivir, Establece relación
con los ejes transversa-
les del conocimiento
Tic trata sobre el
uso de todo tipo de
recursos tecnológicos;
búsqueda y extensión
del conocimiento.
Sí se puede sirve para
el desarrollo del pensa-
miento lógico y lateral,
además de potenciar
las destrezas del traba-
jo racional unidas a la
creatividad.
Destrezas con criterio de desempeño a tratarse en
cada tema. Conocimiento que se espera que alcance
el estudiante al final de cada lección.
Inicio de Módulo
Contenidos
Conoce tu libro
Descripción de los textos
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Conoce tu libro
Contiene un sistema
de ejercicios y proble-
mas que facilitan el
desarrollo de las des-
trezas y capacidades
generales de trabajo
matemático.
Actividades de
autoevaluación para
que el estudiante
tome conciencia de su
aprendizaje en cada
uno de los módulos
y evalúe sus procesos,
determine sus fortale-
zas y debilidades.
Ejercita el pensamien-
to lógico y crítico del
estudiante.
Prueba estandarizada,
que se aplica cada dos
módulos, que ayuda al
estudiante al desarrollo
de su razonamiento y
lo entrena para
las pruebas de medi-
ción del aprendizaje
que aplica el estado
ecuatoriano.
Actividad práctica para
ser desarrollada en el
salón de clase o fuera
de él y que permite la
integración y aplica-
ción de los contenidos
aprendidos.
Con mis palabras es un
espacio que tiene el
estudiante para verbalizar
y socializar el aprendizaje
logrado en el módulo.
lectura relacionada con
interesantes temas de la
matemática que ayudan al
estudiante a comprender la
importancia que tiene esta
asignatura en la transforma-
ción de la realidad objetiva.
Zona de aplicación
Compruebo lo que sé
Taller de integración
Ruta saber
16
Actividades previas al trabajo del módulo
TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Números fraccionarios
• Tipos de fracciones
• Lectura de los números
fraccionarios
• Leer y escribir números
fraccionarios.
Actividades de inicio
Seguir el orden del texto puesto que debe partirse de situaciones prácticas. Pedir
a los estudiantes que esbocen otros ejemplos de la cotidianidad.
Actividades de desarrollo
Este tema constituye una sistematización de los conocimientos adquiridos
en la escuela y en el 8º de básica.
Tema 2
Números racionales
• Fracciones equivalentes:
ampliación y simplificación
de fracciones
• Comprender el concepto de
número racional y extender
las propiedades de los
fraccionarios a los racionales.
Actividades de inicio
Recordar el concepto de opuesto de un número entero. ¿Tendrán opuesto los
números fraccionarios?
Actividades de desarrollo
Lo esencial es el concepto de número racional, que todo número que pueda
expresarse como una fracción (positiva o negativa) es un racional, que es la razón
entre 2 números enteros.
Tema 3
Representación gráfica de
los números racionales
• Orden y comparación
• Densidad de los racionales
• Comparar, ordenar y ubicar
números racionales en la recta
numérica.
Actividades de inicio
Recordar la representación de enteros en la recta numérica.
Actividades de desarrollo
La representación de racionales en la recta numérica debe ser fluida y natural.
El docente debe proponer la comparación y representación de fracciones
de diferentes tipos y signos.
Tema 4
Representación decimal
de los números racionales
• Lectura y orden en los
números decimales
• Representar números
racionales en notación decimal
y fraccionaria.
Actividades de inicio
¿Qué entiendes por número decimal? Recordar a los estudiantes que nuestro
sistema de numeración es decimal, es decir, de base 10 . De aquí, la importancia
de este tipo de números. Además, en mediciones reales, es casi imposible obtener
número enteros.
Actividades de desarrollo
Se recomienda seguir el orden del texto para el tratamiento de este contenido.
Destacar que cada fracción genera exactamente un número decimal; basta dividir
el numerador por el denominador.
Tema 5
Ángulos notables
• Construcción de ángulos
notables
• Reconocer las medidas de los
ángulos notables en los cuatro
cuadrantes.
Actividades de inicio
Recordar el concepto de ángulo y sus medidas en grados sexagesimales.
Actividades de desarrollo
Es importante que los estudiantes comprendan por qué a los ángulos de 30º, 45º
y 60º les llamamos notables. Por esta gran aplicación en la vida práctica se hacen
incluso las escuadras de 30º–60º y 45º–45º. Insistir en la construcción de estos
ángulos según el cuadro que aparece en la página 30 del texto.
Tema 6
Descripción de datos
• Diagramas estadísticos
• Diagramas de tallo y hojas
• Medidas de tendencia
central: media, mediana,
moda y rango
• Representar datos estadísticos
en diagramas de tallo y hojas.
Calcular la media, mediana,
moda y rango de un conjunto
de datos estadísticos a
través de la solución de los
problemas correspondientes.
Actividades de inicio
Traer al aula de clases un diario o revista donde se registren gráficamente los datos
de alguna situación práctica. Debatir el análisis de la información.
Actividades de desarrollo
Lo esencial es que los alumnos comprendan cómo se estructura un diagrama de
tallo y hojas, pues tal vez, éste sea el más novedoso para ellos. Deben comprender
que la selección del tallo depende de las características de los datos del problema
en cuestión.
¿PARA QUÉ SIRVE LA MATEMÁTICA? Prueba diagnóstica para verificar las destrezas adquiridas en los niveles precedentes en el cálculo numérico, sus
propiedades y en la aplicación de las propiedades geométricas elementales. Realizar debate de la lectura inicial del
módulo.
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Bloques curriculares
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Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones
de evaluación
Por tanto, comenzar por una comprensión cabal del concepto de fracción. Por
ejemplo, cuando se escribe 2__5
eso significa que algo (lo que representa la unidad)
se ha dividido en 5 partes iguales y, de estas 5 partes, se han tomado 2 .
Actividades de aplicación
Realizar todos los ejercicios propuestos en la Zona de Aplicación de la página 11
del texto
• Regla graduada
• Texto
• Objetos que puedan ser
divididos para mostrar el
concepto de fracción
• Seleccionar ejercicios de
la Guía del docente para
proponer tarea docente.
Explicar claramente la relación de inclusión entre los conjuntos de números
estudiados: � � � � � .
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 16 del texto
• Texto • Proponer tarea con
ejercicios seleccionados
de la Guía del docente y
de la Zona de Aplicación
del texto.
Recordar la comparación, por ejemplo, de la fracciones 51__52
y 52__53
, pues esto lo lleva
a una situación problémica importante.
Actividades de aplicación.
Zona de Aplicación de la página 22 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Pregunta escrita donde
se evalúe el concepto
de número racional y las
destrezas del alumno
en la representación y
comparación de estos
números.
Explicar que el decimal que se obtiene en la división es siempre periódico debido a lo
siguiente: Si, por ejemplo, dividimos para 7, a lo sumo obtenemos 7 restos diferentes
(del 0 al 6) y luego forzosamente se tendrán que repetir. Así, encontramos una
nueva forma de definir los números racionales: el conjunto de todos los decimales
periódicos. Aclarar que los decimales exactos son también periódicos (período 0).
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 26 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Tarea con ejercicios
seleccionados de la Zona
de Aplicación y de la Guía
del docente.
Por razones de utilidad, recordar los valores de los ángulos notables en los 4
cuadrantes, pero razonadamente, es decir, me piden el correspondiente de 30º en el
tercer cuadrante y lo determino de la siguiente manera: 180º + 30º = 210º. En esencia,
recordar la fórmula según el cuadrante: 180º – x para el II cuadrante, 180º + x para el
III cuadrante y 360º – x para el IV cuadrante. Esto tendrá mucha aplicación cuando en
años posteriores estudien Trigonometría.
Actividades de aplicación.
Zona de Aplicación en la página 31
• Regla graduada
• Escuadras de 30º–60º y de
45º–45º
• Texto
• Compás
• Pregunta escrita donde
se evalúen las destrezas
adquiridas.
• Proponer como tarea la
realización de un cuadro
donde aparezcan todos
los ángulos notables de
los 4 cuadrantes.
• Valorar creatividad.
Así, a veces conviene que el tallo sea la decena de los datos, mientras que otras veces
conviene que sean las centenas, unidades de mil, etc. A las tradicionales medidas de
tendencia central hemos unido el rango, pues este parámetro ofrece una medida
importante en la apreciación general de un conjunto de datos y tendrá un valor
peculiar en el estudio posterior de las funciones.
Actividades de aplicación.
Ejercicios y actividades de la página 38 del texto.
• Regla graduada
• Graduador
• Compás
• Texto
• Periódicos o revistas que
contengan información
estadística
• Prueba del módulo que
aparece en la Guía del
docente.
Numérico Estadístico Medida
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Actividades previas al trabajo del módulo
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TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Suma y resta de números
racionales
• Supresión de signos
de agrupación
• Resolver operaciones
combinadas de adición
y sustracción con números
racionales
Actividades de inicio
Recordar las operaciones combinadas con números enteros
Actividades de desarrollo
Las operaciones combinadas ya son conocidas por el estudiante Sin embargo,
aquí se incrementa la dificultad del trabajo con las fracciones y los signos Aclarar
el procedimiento para destruir paréntesis, corchetes y llaves
Tema 2
Multiplicación de
números racionaless
• Jerarquía de las
operaciones
• Efectuar operaciones
combinadas de adición,
sustracción, multiplicación
y división de racionales.
Actividades de inicio
Recordar la suma y la resta de números racionales.
Actividades de desarrollo
Este tema reviste gran importancia para el trabajo futuro, sin estas destrezas sería
imposible el trabajo con expresiones algebraicas. Es por ello que debe primero
trabajar con los estudiantes la multiplicación de racionales, luego la división y
finalmente integrar las 4 operaciones.
Tema 3
Polinomios
• Expresión algebraica
• Valor numérico de una
expresión algebraica
• Términos semejantes
• Adición y sustracción de
polinomios
• Representar polinomios de
hasta segundo grado con
material concreto. Simplificar
polinomios a través de la
reducción de términos
semejantes.
Actividades de inicio
¿Qué valor toma la expresión –2x3y cuando x = – 1 y y = 2? Aprovechar esta
pregunta para introducir el tema.
Actividades de desarrollo
Para explicar la suma y la resta de polinomios es muy importante el uso de fichas
de 2 colores, verde para los positivos y rojos para los negativos.
Tema 4
Operaciones entre
polinomios
• Introducción de signos
de agrupación
• Multiplicación y división
de polinomios
• Simplificar polinomios con la
aplicación de las operaciones
y de sus propiedades.
Actividades de inicio
Recordar las propiedades de las potencias estudiadas en 8º de básica.
Actividades de desarrollo
Hacer ver que, como los polinomios representan valores numéricos, para
multiplicarlos podemos usar las propiedades que ya conocemos para los números.
Así, son importantes las propiedades de las potencias y la aplicación casi constante
de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.
Tema 5
Productos de interés
práctico
• Cuadrado de un binomio
• Producto de binomios
conjugados
• Desarrollar productos
de interés práctico y aplicarlos
en diferentes situaciones.
Actividades de inicio
Pedir a los estudiantes que realicen el siguiente cálculo: 1012 – 992 . Seguramente
ellos buscarán el cuadrado de 101, luego el cuadrado de 99 para finalmente hallar
la diferencia. Explicar que el tema que estudiarán ofrecerá otras posibilidades más
racionales para hacer este tipo de cálculo.
Actividades de desarrollo
Seguir el orden del texto. Es de vital importancia hacer los razonamientos
geométricos de estos productos de interés práctico que no son más que los
históricos productos notables. De igual forma, hacer la aplicación inmediata
de estos productos al cálculo.
Tema 6
Triángulos rectángulos
• Teorema de Pitágoras
• Tríadas pitagóricas
• Comprender el teorema de
Pitágoras y aplicarlo en el
cálculo de longitudes y en
la resolución de triángulos
rectángulos.
• Generar triángulos rectángulos
a través de las tríadas
pitagóricas.
Actividades de inicio
Recordar los elementos de un triángulo rectángulo, así como su notación.
Actividades de desarrollo
Lo esencial aquí es la comprensión cabal del teorema de Pitágoras. Para ello, más
que una demostración es necesario hacer con material concreto la ilustración que
viene en la página 71 del texto. Así, pueden comprender perfectamente lo que
significa este teorema. Dividir los alumnos formando equipos para que cada equipo
trabaje con dimensiones diferentes.
A través de actividades simples, recordar que las expresiones del lenguaje común pueden simbolizarse usando varia-
bles y que éstas representan valores numéricos.
CALCULANDO CON RACIONALES MÓDULO
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Numérico Relaciones y funciones Geométrico
Bloques curriculares
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Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones
de evaluación
En lo posible, transferir las operaciones combinadas de suma y resta a la resolución de
problemas tal como se hace en el texto, pues los alumnos no deben observar estos
contenidos desvinculados de la realidad
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 48 del texto
• Texto • Pregunta escrita donde
aparezca la dificultad de
la operación combinada
de suma y resta con la
supresión de paréntesis.
Aunque ya deben conocer la jerarquía de las operaciones, el docente debe saber
que esto es esencial y que, además, ésta será la última oportunidad para desarrollar
destrezas en estas reglas. Proponer un ejercicio como el siguiente: –5_6
+ 5_6
• 4_9
y a partir
de aquí motivar el análisis.
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 53 del texto.
• Texto • Proponer tarea con
ejercicios seleccionados
de la Guía del docente y
de la Zona de Aplicación
del texto.
Hacer varios ejemplos usando estas fichas, de forma tal que los estudiantes desarrollen
las destrezas necesarias y puedan prescindir de estas fichas en las próximas clases.
Seguir los ejemplos del texto y, si fuera necesario, elaborar ejemplos similares.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 60 del texto.
• Regla graduada
• Texto
• Fichas de cartón u otro
material de apoyo de dos
colores (verde y rojo)
• Cuadrados y rectángulos
de ancho lo más fino
posible
• Pregunta escrita donde
se evalúe la suma y la resta
de polinomios.
Es de suma importancia la multiplicación de polinomios y luego la simplificación del
resultado a través de la reducción de términos semejantes. Explicar la división, pero no
hacer de este tópico lo esencial de la clase. Resolver en clases el ejercicio 3
de la página 65 de la Zona de Aplicación del texto.
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 65 del texto.
• Texto • Pregunta escrita con
ejercicios seleccionados
de la Zona de Aplicación
y de la Guía del docente.
Resolver de otra manera el ejercicio inicial:
1012 – 992 = (101 + 99) (101 – 99) = 200 • 2 = 400 , lo cual se puede hacer
mentalmente.
De igual forma proponer ejercicios como los siguientes.
a) 9992 = (1 000 – 1)2 y ahora esto representa el cuadrado de un binomio, el cual
también podemos desarrollar mentalmente: 1 000 000 – 2 000 + 1 = 998 001 .
b) 39 • 41 = (40 – 1)(40 + 1) = 1 600 – 1 = 1 599
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación en la página 69.
– Texto • Pregunta escrita donde
se evalúen las destrezas
adquiridas.
• Proponer como tarea la
realización de un resumen
de los productos
de interés práctico.
De esta forma, explicar se que el teorema se cumplirá independientemente de las
medidas de los catetos y la hipotenusa del triángulo rectángulo escogido. Mostrar
las fórmulas de Platón para las tríadas pitagóricas y realizar en clases algunas
evaluaciones. Por ejemplo, si m = 7 y n = 1 obtenemos el triángulo de catetos
a = 24; b = 7 e hipotenusa c = 25 . Mostrar que estas fórmulas son muy útiles
n ciencias como la Física.
Actividades de aplicación
Ejercicios y actividades de la página 72 del texto.
• Regla graduada
• Escuadras
• Texto
• Cartón y tijera para
construir cuadrados
• Examen trimestral que
aparece en la Guía del
docente
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Actividades previas al trabajo del módulo
MÓDULO
3
20
TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Razonamiento
matemático
• Operadores lógicos
• Implicación o condicional
• Reconocer la importancia
de la condicional
en la estructuración
de la Matemática.
Actividades de inicio
Escribir en la pizarra la siguiente oración: “Iré al cine solo si culmino la tarea de
Matemática”. Pedir a los estudiantes que expresen lo mismo de diferentes formas
y aprovechar el diálogo para motivar el tema.
Actividades de desarrollo
Aunque el estudio de la lógica no puede ser el centro de la enseñanza de la
Matemática, pues constituye un eje transversal, realizar un análisis minucioso de la
implicación o condicional, debido a que casi todos los teoremas matemáticos se
expresan mediante esta estructura.
Tema 2
Operaciones con números
decimales
• Suma, resta, multiplicación
y división de números
decimales
• Efectuar operaciones
combinadas de suma, resta,
multiplicación y división
de números racionales,
expresados como decimales.
Actividades de inicio
Recordar la jerarquía de las operaciones.
Actividades de desarrollo
Los estudiantes ya conocen las operaciones combinadas con números racionales,
pero representados como fracciones. Sin embargo, todo número racional puede
expresarse como fracción o como un decimal periódico, por ello abordar las
operaciones con decimales y ahora sí, combinarlas como la representación
fraccionaria. Tener cuidado en las conversiones, pues los alumnos pueden convertir
una fracción cualquiera en un decimal, sin embargo, aún no conocen cómo hacer
lo contrario salvo casos muy sencillos.
Tema 3
Potencias y raíces
de números racionales
• El exponente negativo
• Radicación y propiedades
de los radicales
• Simplificación de
expresiones con radicales
• Simplificar expresiones con
potencias y raíces de números
racionales.
Actividades de inicio
Recordar el concepto de potencia y hacer notar que la potenciación tiene 2
operaciones inversas; una de ellas sirve para determinar la base o raíz y se llama
radicación.
Actividades de desarrollo
Lo esencialmente nuevo para el estudiante aquí es el exponente negativo, el cual
debe surgir de forma natural y a través de una conversación de clases, deducir
la regla para este tipo de exponente. Seguir exactamente la secuencia mostrada
en la página 90 del texto para lograr este objetivo.
Tema 4
Factorización de binomios
• Factor común
• Diferencia de cuadrados
• Suma o diferencia de
potencias impares iguales
• Factorizar binomios o
expresiones que pueden ser
transformadas en binomios.
Actividades de inicio
Recordar los productos de interés prácticos estudiados.
Actividades de desarrollo
Es el primer tema que verán de factorización, por lo tanto tratar el tema
cuidadosamente, pues a lo largo de su vida estudiantil
y profesional, el alumno aplicará innumerables veces lo que aprenda en este tema.
Primeramente, ante cualquier destreza, es importante que el alumno comprenda lo
que significa factorizar, pues de lo contrario después trabaja de forma mecánica, sin
saber lo que está haciendo.
Tema 5
Polígonos regulares
• Tipos de líneas
• Clasificación
de los polígonos
• Áreas de polígonos
• Deducir la fórmula para el
cálculo de áreas de polígonos
regulares y aplicarla en la
resolución de problemas.
Reconocer figuras simétricas.
Actividades de inicio
Recordar las diferentes figuras planas estudiadas, especialmente la clasificación
de figuras convexas y cóncavas.
Actividades de desarrollo
Recordar que lo más importante no es que los alumnos recuerden una u otra
fórmula, sino que tengan la capacidad para deducirlas y aplicarlas correctamente
en ejercicios y problemas de la vida real.
Es sumamente importante hacer un resumen de todas las propiedades de las potencias estudiadas hasta el momen-
to. Presentar este resumen a través de una proyección, citando un ejemplo para cada caso.
POTENCIAS, FACTORIZACIÓN Y POLÍGONOS
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Bloques curriculares
21
Relaciones y funciones Numérico Geométrico
Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones
de evaluación
Es decir, si se cumplen determinadas condiciones, entonces se cumplen otras
propiedades y reglas. Hacer ver que la recíproca de una implicación no siempre es
válida. Puede usarse como ejemplo el siguiente: “Si un número es divisible para 4,
entonces es par”. Esa proposición es válida, mientras que su recíproca, “Si un número
es par, entonces es divisible para 4” es falsa, lo cual se demuestra fácilmente con
un contraejemplo.
Actividades de aplicación
Ejercicios y actividades de la Zona de Aplicación de la página 84 del texto
• Texto • Seleccionar ejercicios y
actividades de la Guía del
docente para proponerlos
como tarea.
No insistir mucho en el dominio de los algoritmos, especialmente para dividir
decimales. Eso era muy importante hace 30 años atrás, pero en los tiempos actuales lo
más importante es que el estudiante piense y determine qué operaciones debe hacer,
pues el cálculo en sí lo pude hacer a través de los múltiples dispositivos electrónicos
que existen en la actualidad.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 87 del texto
• Texto • Seleccionar ejercicios
del texto y de la Guía del
docente para proponer
tarea.
• Pregunta escrita donde se
evalúen las operaciones
combinadas con enteros
y decimales.
A continuación insistir en la regla a través de ejemplos sencillos como estos.
a) 2_5
–1
= 3_2
b) 1_3
–2
= 32 = 9
c) 2_____
(–5)–2 = 2 • 25 = 50
Hacer hincapié en la simplificación de radicales, expresándolos siempre con el menor
radicando posible, por ejemplo, 543
= 27 • 23
= 3 • 23
.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 93.
• Texto • Tarea con ejercicios
seleccionados de la Zona
de Aplicación y de la Guía
del docente.
• Pregunta escrita con 2
actividades: una para
determinar el nivel de
destrezas alcanzadas con
el exponente negativo
y otra para verificar la
simplificación de radicales.
Por ello, cada ejercicio o actividad debe tener una consigna diferente para no
mecanizar el proceso de factorización. Hacer ver que, por ejemplo, el binomio 9x10– y–2
es una diferencia de cuadrados pues: 9x10– y–2 = (3x5)2 – (y–1)2
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación en la página 98 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Seleccionar ejercicios de
la Zona de Aplicación y de
la Guía del docente para
proponer tarea.
• Aplicar pregunta
escrita para evaluar
nivel de destrezas en la
factorización de binomios.
Concluir que nos interesan especialmente los polígonos regulares, cuyo perímetro es
muy fácil calcular si conocemos el lado, sin embargo, debe deducirse una fórmula para
calcular el área. Seguir la deducción del texto, haciendo hincapié en el concepto
de apotema; porque es totalmente nuevo para el estudiante.
Actividades de aplicación
Ejercicios y actividades de la página 106 del texto.
• Regla graduada
• Graduador
• Escuadras
• Compás
• Texto
• Prueba del módulo que
aparece en la Guía del
docente.
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Actividades previas al trabajo del módulo
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TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Triángulos rectángulos
• Aplicaciones
• Aplicar el teorema de Pitágoras
en la resolución de triángulos
rectángulos.
Actividades de inicio
Recordar el teorema de Pitágoras.
Actividades de desarrollo
Una situación es conocer el teorema de Pitágoras, aplicándolo en la resolución de
ejercicios simples y otra diferente es aplicarlo en la resolución de problemas. Por
eso, en este tema, el texto aborda varios ejemplos que deben ser resueltos
en clases para que el estudiante tenga determinados paradigmas de trabajo.
Tema 2
Números reales
• Números irracionales y su
representación gráfica
• Orden y densidad de los
números irracionales
• Ordenar, comparar y ubicar
en la recta numérica números
irracionales con el uso del
teorema de Pitágoras.
Actividades de inicio
Presentar una proyección donde se pueda apreciar el desarrollo decimal del
número π, por lo menos 12 lugares decimales. Hacer notar que este desarrollo
decimal no es periódico. Se pregunta entonces, ¿podrá ser racional un número
cuyo desarrollo decimal no es periódico?, ¿podrá representarse como una fracción?
Actividades de desarrollo
Llegar a la conclusión que existen números que no son racionales, pues no pueden
expresarse como el cociente de 2 enteros y, por tanto, tienen un desarrollo decimal
no periódico.
Tema 3
Factorizando trinomios
• Factor común
• Trinomio cuadrado
perfecto
• Trinomio de la forma
x2 + sx + p
• Trinomio de la forma
ax2 + sx + p
• Factorizar trinomios. Actividades de inicio
Recordar la factorización de binomios, especialmente la extracción de factor común.
Actividades de desarrollo
Los estudiantes ya conocen cómo se extrae factor común, por tanto, será muy
sencillo para ellos factorizar trinomios donde hay factor común. Hacer hincapié
en la semántica del trinomio cuadrado perfecto y su relación con los productos
de interés práctico estudiados. Aprovechar la oportunidad para recalcar que
(a + b)2 ≠ a2 + b2 porque es un error muy frecuente en los alumnos.
Tema 4
Factorización
de Polinomios
• Agrupación de términos
• Reconocer y factorizar
polinomios.
Actividades de inicio
Recordar, a través de un cuadro sinóptico las diferentes herramientas que poseen
los estudiantes para factorizar binomios y trinomios. Preferiblemente deben los
propios alumnos quienes expongan.
Actividades de desarrollo
¿Cómo factorizamos un polinomio que tiene más de tres términos y que no tiene
factor común? La idea de agrupar términos convenientemente tiene que surgir
espontáneamente. Al principio los estudiantes se sienten desconcertados pues la
“magia” del docente hace que agrupe determinados términos y el resultado sea
muy bonito, pero ¿cómo sé los términos que debo agrupar?
Tema 5
Habilidad para contar
figuras
• Postulados de Euler
• Conteo de figuras
• Aplicar estrategias para
determinar el número total
de un tipo de figura
en un esquema dado.
Actividades de inicio
Usar proyector o infocus para ilustrar los 7 puentes de la ciudad de Könichberg.
Éste es un problema ideal para comenzar el tema, pues casualmente basado en
esta situación surgen los postulados de Euler. Pedir a los estudiantes que intenten
buscar una ruta para pasar por todos los puentes, sin pasar 2 veces por el mismo
puente, recorriéndolos totalmente.
Actividades de desarrollo
Expliar que este tema es muy importante no solo para desarrollar el pensamiento,
sino porque resuelve muchos problemas de la vida práctica.
Hacer un recuento de los conjuntos numéricos estudiados hasta el momento a través de una proyección. Debe seña-
larse como el conjunto más restringido a �, luego � y finalmente �, haciendo notar la relación: � � � � � .
LOS NÚMEROS REALES MÓDULO
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23
Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones de
evaluación
Prestar atención especial al despeje en la ecuación que genera Pitágoras, pues
generalmente se cometen muchos errores, sobre todo con la raíz. Sería conveniente
que los estudiantes, después de razonarlo la primera vez, puedan escribir
directamente cómo queda la fórmula para un cateto, por ejemplo: b = c2 – a2 .
Actividades de aplicación
Ejercicios y actividades de la Zona de Aplicación de la página 115 del texto.
• Regla graduada
• Texto
• Escuadras
• Pregunta escrita con 3 niveles
de trabajo.
1. Evaluar solo el conocimiento
del teorema de Pitágoras.
2. Evaluar si aplica el teorema
de Pitágoras en ejercicios
simples.
3. Resolver problemas
aplicando Pitágoras.
Es muy importante representar el número 2 en la recta numérica, pues no solo
constituye una aplicación inmediata del teorema de Pitágoras, sino que demuestra
que existían puntos en la recta que no eran ocupados por ningún racional. Es decir, la
recta numérica tenía “huecos” que ahora son llenados por los irracionales y, por eso,
con este nuevo conjunto, llenamos la recta. De igual forma, aclarar la idea de que los
números irracionales son infinitos, que todas las raíces (de cualquier índice) que no
sean exactas son irracionales. Al igual que �, el conjunto � o �' de los irracionales es
denso. El docente debe saber que hay más irracionales que racionales.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 122 del texto.
• Regla graduada
• Proyector o infocus
• Compás
• Escuadras
• Texto
• Trabajo de investigación
sobre números irracionales
especiales, algunos de los
cuales se ofrecen en el texto.
• Realizar como tarea un
esquema donde aparezcan
los conjuntos numéricos.
Para esto es conveniente usar números, por ejemplo: (3 + 4)2 = 32 + 2 • 3 • 4 + 42 = 49 .
Seguir la secuencia del texto para trabajar los trinomios. Destacar que el método
seleccionado para factorizar es libre, que lo importante es hacerlo bien y que
el resultado puede comprobarse fácilmente si multiplican los factores.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 128 del texto
• Texto • Pregunta escrita donde se
evalúen las destrezas en la
descomposición factorial
de trinomios.
Aclarar que ésta es una destreza que adquieren poco a poco, a través de la realización
de muchos ejercicios, pero que en muchos casos, no existe un único camino para
lograr la factorización. Por eso, hacer en clases el mayor número de ejercicios y, si
factible por el tiempo, por varios caminos.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 134 del texto
• Texto • Seleccionar ejercicios de la
Zona de Aplicación y de la
Guía del docente para realizar
una pregunta escrita.
Una vez entendidos los postulados de Euler, comprobar que el problema planteado
al inicio del tema no tiene solución. El docente debe ser paciente y receptivo
cuando trabaje las diferentes estrategias para contar figuras, porque el talento de los
estudiantes es infinito y siempre surgen nuevas formas y métodos que deben ser
valorados.
Actividades de aplicación
Ejercicios y actividades de la página 138 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Proyector
• Examen del trimestre que
aparece en la Guía del
docente.
Relaciones y funciones Geométrico Numérico Estadístico
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Actividades previas al trabajo del módulo
24
ECUACIONES
TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Ecuación de primer grado
• Ecuaciones literales
de primer grado
– Ecuación de primer grado
con radicales
• Resolver ecuaciones de
primer grado con procesos
algebraicos.
Actividades de inicio
Una balanza de 2 platillos está equilibrada; de un lado tiene una pesa de 2 kg . y en
el otro tiene 5 calculadoras iguales. ¿Cuánto pesa cada calculadora? Este ejemplo se
resuelve completamente; cada calculadora pesa 400 g y a partir de aquí se motiva
el tema, haciendo ver que una ecuación es una igualdad.
Actividades de desarrollo
Es de suma importancia partir del concepto de ecuación, pues muchas veces los
estudiantes llegan a los años superiores, resuelven ecuaciones y no saben lo que
están haciendo. Ecuación es una igualdad que contiene variables, así de simple
puede definirse. También son importantes los conceptos de resolver una ecuación
y solución de una ecuación.
Tema 2
Utilidad de las ecuaciones
• Despeje en ecuación con
literales
• Patrones de crecimiento
lineal
• Del número decimal
a la fracción
• Reconocer patrones de
crecimiento lineal en tabla de
valores y gráficos.
• Obtener la fracción
generadora de un decimal
periódico.
Actividades de inicio
Recordar el concepto de ecuación y, a través de un ejemplo sencillo, recordar las
reglas de transformación que permiten resolverla.
Actividades de desarrollo
El tema es un poco extenso y todos los contenidos que abarca son importantes,
especialmente el reconocimiento de los patrones de crecimiento lineal, tanto en
tablas de valores como en gráficos. Hacer proyecciones. Seguir el orden del texto
en este sentido.
Tema 3
Aplicación de la ecuación
• Resolución de problemas
• Traducir expresiones comunes
al lenguaje matemático para
formar ecuaciones y resolver
problemas.
Actividades de inicio
Realizar un debate sobre el cuadro que aparece en la página 162 del texto. Resolver
una por una las situaciones ahí planteadas, verificando los resultados en el texto.
Actividades de desarrollo
Seguir el orden del texto y la graduación de las dificultades que ahí se expone,
incluso con las recomendaciones para resolver problemas. Sin embargo, debe
aclarar que para resolver no existen métodos universales ni salvadores. Para
resolver un problema se tienen que cumplir 3 requisitos básicos:
1. Tener deseo de resolverlo. 2. Tener un mínimo de conocimientos. 3. Poseer
estrategias para ese tipo de problemas.
Tema 4
Operaciones con números
reales
• Lectura y orden en los
números decimales
• Simplificar expresiones
de números reales con la
aplicación de las operaciones
básicas y sus propiedades.
Actividades de inicio
Realizar un resumen de todas las operaciones estudiadas y sus propiedades,
haciendo hincapié en las propiedades de las potencias y el exponente negativo.
Actividades de desarrollo
A lo largo de su vida escolar, el alumno se ha enfrentado varias veces al cálculo de
operaciones combinadas, incluso al trabajo con la jerarquía de las operaciones. Pero
en este momento lo hará con números reales, es decir, con todo tipo de números.
Casi siempre muestran falencias en el cálculo de potencias y raíces.
Tema 5
Área del círculo
• Área del sector circular.
• Área del segmento
circular
• Calcular áreas de sectores
circulares.
Actividades de inicio
Recordar el origen del número real π: cociente entre la longitud de una
circunferencia cualquiera y su diámetro.
Actividades de desarrollo
Una de las actividades docentes más difíciles de hacer es deducir la fórmula para el
área del círculo. Sin embargo, no puede pasarse por alto esta actividad, porque la
fórmula A = π • r2 es muy importante y tiene mucha aplicación en la vida diaria del
ser humano.
Realizar un ejercicio de razonamiento lógico usando balanzas de 2 platillos. De un lado colocar un peso determinado
y del otro determinar algún objeto para completar e igualar el peso.
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Bloques curriculares
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Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones
de evaluación
Los estudiantes deben tener una representación mental clara de estos conceptos.
Esto les permitirá desarrollar las destrezas necesarias. Es conveniente hacer las
primeras ecuaciones por reflexiones lógicas, para luego proponer alguna donde
no sea tan fácil ese método y se sienta la necesidad de encontrar reglas de
transformación. Por ejemplo, al resolver la ecuación 2x – 5 = 7 podemos usar la
estrategia heurística de trabajo hacia atrás y decir que 2x tiene que ser 12, pues
al quitarle 5 obtenemos 7 . Si 2x es 12, entonces x = 6 porque es el número que
multiplicado por 2 resulta 12 . Sin embargo, para ecuaciones más complejas, este
procedimiento se hace demasiado complicado.
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 153 del texto
• Texto
• Balanza de dos platos
• Pesas y objetos de
diferentes masas
• Pregunta escrita para
comprobar destrezas
desarrolladas en la
resolución de ecuaciones.
Los estudiantes deben comprender que un crecimiento lineal creciente o decreciente
se representa a través de una recta en el plano. De igual forma, debe recalcarse que
el factor de crecimiento tiene que ser constante. Para encontrar las fracciones que
generan los decimales periódicos, más que la memorización de ciertas fórmulas,
deben apreciar la aplicación de las ecuaciones.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 161 del texto.
• Texto
• Regla graduada
• Proyector o láminas con
ilustraciones de patrones
de crecimiento lineal
tanto en tablas como en
gráficos
• Seleccionar ejercicios
del texto y de la Guía del
docente para proponer
tarea.
Entonces, llegamos a la conclusión que se aprende a resolver precisamente
resolviendo problemas. De ahí que la ejercitación debe ser variada y abundante sin
que esto presuponga una elevada cantidad de ejercicios en las tareas que propone
el docente.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 168 del texto.
• Texto • Pregunta escrita para
evaluar el nivel de
destrezas en la resolución
de problemas. Ubicar
preguntas donde solo
se requiera el planteo
algebraico de la situación
y en otras ofrecer varios
modelos de ecuaciones
para que ellos escojan cuál
es el correcto.
Los primeros ejemplos deben seguirse detallando cada paso, pues lo esencial es que
comprendan el procedimiento general de trabajo. Posteriormente, puede permitirse
el uso de calculadoras, porque en la vida real se usará de cualquier forma. El estudiante
comprobará que la calculadora, por sí sola, no garantiza un resultado acertado; se
necesita del factor humano, principalmente de la jerarquía de las operaciones.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 172 del texto.
• Texto
• Seleccionar ejercicios de
la Zona de Aplicación y de
la Guía del docente para
proponer tarea.
• Pregunta escrita, con
cuaderno y libro abierto,
pues ésta debe ser
una línea de acción
permanente.
Explicar todas las reglas y fórmulas tienen un fundamento. Por ello, trabajar la
deducción que aparece en el texto, dándole el tiempo necesario al estudiante para
que razone cada paso del proceso de deducción. Hacer ver que el círculo es un sector
circular especial.
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 176 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Compás
• Prueba de módulo que
aparece en la Guía del
docente.
Relaciones y funciones Numérico Geométrico
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Actividades previas al trabajo del módulo
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MATEMÁTICA, MÁS QUE UNA PALABRA.
TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Desigualdades
• Intervalos
• Operaciones con
intervalos
• Propiedades sobre
desigualdades
• Representar intervalos en
la recta numérica y realizar
operaciones con éstos
Actividades de inicio
Recordar que el conjunto � de los números reales llena la recta numérica.
Preguntar, ¿cuántos números reales hay entre 0 y 1? Es claro que hay infinitos.
Continuar haciendo esta pregunta y achicando el intervalo. La respuesta siempre
será: infinitos.
Actividades de desarrollo
Destacar con los estudiantes el hecho de que los números reales llenan la recta
numérica y que por esta razón podemos hablar de intervalos en � pues, por
ejemplo, si hablamos del intervalo (1; 2) en � quedarían fuera de él infinitos
números irracionales que pertenecen a ese intervalo.
Tema 2
Inecuaciones de primer
grado
• Inecuaciones simultáneas
• Resolver inecuaciones
de primer grado con
una incógnita aplicando
procesos algebraicos
Actividades de inicio
¿Cuántos números reales x son tales que: – 1 < x < 2? La respuesta es: infinitos. Pero,
más que la respuesta en sí, lo que interesa es que los estudiantes lean la expresión
planteada y logren interpretarla.
Actividades de desarrollo
Después de arribar al concepto de inecuación de primer grado (desigualdad que
contiene variables), establecer la diferencia entre ecuación e inecuación.
Tema 3
Simetría
• Simetría de figuras
geométricas
• Reconocer ejes de simetría
en figuras geométricas
Actividades de inicio
Presentar la maqueta de un humano (está en laboratorios de ciencias naturales)
y preguntar a los alumnos sobre las simetrías que observan. Aclarar que muchos
objetos y cuerpos de la naturaleza son simétricos, que en estos casos hablamos
de planos de simetría por tratarse de cuerpos.
Tema 4
Punto, recta, plano,
cuerpo
• Superficie geométrica
• Cuerpo geométrico
• Reconocer las dimensiones
que forman un cuerpo
Actividades de inicio
¿Qué entiendes por punto, recta, plano? Debe establecerse un debate en torno
a estas 3 preguntas. Concluir que éstos son conceptos primarios que no admiten
definición. Sin embargo, debemos tener una idea clara de los mismos, pues con
estos elementos geométricos se forman todos los objetos que nos rodean.
Actividades de desarrollo
Seguir le tratamiento que ofrece el texto en estos contenidos.
Tema 5
Prismas y cilindros
• Volumen y área lateral
de un prisma
• Volumen y área lateral
de un cilindro
• Deducir y aplicar las fórmulas
para calcular el volumen
y el área lateral de prismas
y cilindros
Actividades de inicio
Recordar el concepto de prisma estudiado en años anteriores. De igual manera
hacerlo con el cilindro. En todo caso, pedir a los estudiantes que pongan ejemplos
de prismas y cilindros que se encuentran en el entorno.
Actividades de desarrollo
Ya deben conocer los estudiantes los prismas y los cilindros. Pero si esto no ocurre, poner
atención a formar el concepto para luego trabajar en el cálculo de estos cuerpos.
Tema 6
Pirámide y cono
• Ángulo poliedro
• Cálculo en la pirámide
• Cálculo en el cono
• Deducir y aplicar las fórmulas
para el cálculo del volumen
y el área lateral en pirámides
y conos
Actividades de inicio
Presentar una proyección o video sobre diferentes tipos de pirámides (según su
base) y conos. Hacer ver la formación de estos cuerpos y sus elementos.
Actividades de desarrollo
Explicar qué es un ángulo diedro, triedro y poliedro en general, pues así conocerán
mejor los cuerpos que estudiarán. Para comprender, por ejemplo, el ángulo triedro
(tres caras), señalar la esquina del aula de clases.
Hacer un pequeño resumen de las reglas de transformación que permiten resolver ecuaciones.
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Bloques curriculares
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Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones
de evaluación
en � pues, por ejemplo, si hablamos del intervalo (1; 2) en � quedarían fuera
de él infinitos números irracionales que pertenecen a ese intervalo.
Así, en � se puede establecer una “continuidad”. Prestar especial atención a la
propiedad 3 de la página 185 del texto, porque es lo novedoso para el alumno en
estas propiedades.
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 186 del texto
• Texto
• Regla graduada
• Lápices o esferográficos
de tres colores para
diferenciar los intervalos
• Pregunta escrita (con
cuaderno y libro
abierto) para evaluar
las operaciones con
intervalos.
Mientras la primera tiene solución única, en la segunda, por lo general, tendremos
infinitas soluciones y podemos expresarlas a través de intervalos.
Es conveniente hacer un número importante de ejercicios para lograr desarrollar las
destrezas necesarias, especialmente ejercitar la regla que permite multiplicar por un
número negativo ambos lados de la inecuación.
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 191 del texto
• Texto
• Regla graduada
• Pregunta escrita
sobre la resolución de
inecuaciones de primer
grado.
Actividades de desarrollo
En cuanto a las figuras geométricas, hacer ver que hablamos de ejes, porque se tratan
de figuras planas. Que no basta el hecho de que esta recta divida a la figura en 2
iguales (ejemplo 2 de la página 193), pues se requiere además de que esta recta sea
la mediatriz del segmento determinado por cada punto y su imagen.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 195 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Compás
• Maqueta del ser humano
• Seleccionar ejercicios de
la Guía del docente y
de la Zona de Aplicación
para proponer tarea.
Insistir en que no deben memorizar concepto alguno, porque en realidad no existen.
Lo más importante por ahora es que los alumnos establezcan la diferencia entre una
figura geométrica (se desarrolla en un plano y por tanto tiene 2 dimensiones)
y un cuerpo que tiene 3 dimensiones.
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 199 del texto
• Texto
• Regla graduada
• Compás
• Escuadras
• Tres colores diferentes,
preferentemente
en esferográficos
• Enviar tarea para que
investiguen acerca de
diferentes cuerpos.
Seguir las indicaciones del texto para el trabajo en el aula. El docente debe saber que
lo más importante son las deducciones de las fórmulas que las fórmulas mismas,
porque estas últimas aparecen en todos lados, pero debemos interpretarlas. Sugerir
que cada estudiante manipule los cuerpos. Por ello, trabajar desarrollos planos de
prismas y cilindros (en cartón o papel grueso). Explicar que los prismas se caracterizan
y diferencian por sus bases.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 205
• Texto
• Regla graduada
• Escuadras, compás
• Desarrollos planos de
prismas y cilindros, al
menos un juego por cada
5 alumnos en la clase
• Pregunta escrita donde
se evalúen las destrezas
adquiridas.
• Proponer como tarea
la realización de un
muestrario de diferentes
tipos de prismas en
diferentes posiciones.
Lo esencial en este tema es el cálculo del volumen de la pirámide y del cono, porque
en 10º año estudiarán el cálculo de las áreas laterales de estos cuerpos. Al final de las
deducciones, los alumnos deben asociar las pirámides a los prismas de igual base y altura
y los conos con los cilindros de igual base y altura. Así, se simplifica el cálculo de
volúmenes. Una vez logrado este objetivo, resolver problemas de la práctica.
Actividades de aplicación
Ejercicios y actividades de la página 210 del texto
• Regla graduada
• Escuadras
• Texto
• Video o proyección sobre
distintos tipos
de pirámides y conos
• Examen trimestral que
aparece en la Guía del
docente.
Numérico Relaciones y funciones Geométrico
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Sistema de evaluación
El sistema de evaluación en los textos
Enfatiza que los docentes deben evaluar en forma sistemática lo que el alumno es capaz de hacer al enfrentarse a
diversas situaciones y problemas.
Al seleccionar las técnicas de evaluación se deben preferir aquellas que ayuden al maestro a seguir
el proceso de aprendizaje de un estudiante.
Siguiendo los lineamientos del ME, hemos concebido
y organizado el proceso de evaluación de dos maneras:
Evaluación en el texto del estudiante:
Una evaluación endógena pensada para que sean
los propios alumnos los que realicen el seguimiento
y valoración de su proceso de aprendizaje. Mediante, lo
que aprendí.
En la Guía del Maestro:
Una evaluación exógena, que proviene del maestro,
y que sirve para conocer el grado de apropiación por
parte del alumno del conocimiento, y por otra, para
concretizar la observación del proceso en parámetros
traducibles a notas. Mediante:
Prueba de Diagnóstico, con el objetivo de que el pro-
fesor obtenga una idea general sobre los conocimien-
tos previos de los alumnos y si tienen o no los prerre-
quisitos que se necesitan para los nuevos aprendizajes.
Pruebas de Unidad, están pensadas para seguir un
tramo corto del proceso de aprendizaje que dan cuen-
ta sobre las debilidades y fortalezas de conocimiento
frente a temas concretos.
Pruebas Acumulativas Trimestrales para que el do-
cente pueda conocer qué ha aprendido el estudiante
en un período más largo y pueda tomar decisiones
cómo dar explicaciones adicionales, tutorías de alum-
nos aventajados, presentar el conocimiento por medio
de otros recursos, revisar los aspectos que generan tra-
bas en el conocimiento, entre otras técnicas.
Sugerencias para el manejo de las Pruebas de Mó-
dulo y Trimestrales.
La Guía del maestro presenta a los docentes modelos
de pruebas. Espera que las utilicen como ejemplos; los
docentes deberán diseñar las suyas de acuerdo con las
características, nivel y ritmo de los alumnos en su clase.
El ME sugiere aplicar las siguientes técnicas:
· Observación directa del desempeño de los
estudiantes.
· La valoración de la defensa de las ideas.
· La utilización de los diferentes puntos de vista.
· Argumentación sobre conceptos e ideas teóricas.
· Explicación de los procesos realizados.
· Solución de problemas.
· Producción escrita que refleje procesos reflexivos del
alumno.
· Realización de pruebas.
Instrumentos de evaluación
· Mapas mentales
· Método de caso
· Proyectos
· Diario
· Debate
· Técnica de la pregunta
· Portafolio
· Ensayo
· Lista de cotejo
· Rúbricas
· Rangos
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Prueba de diagnóstico
29
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
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1 Calcula.
a) 4 + 5 • (–3)
b) –18 + 12 � 22
c) 1_4
+ 1_5
2 Halla, en cada caso, los valores que puede
tomar la variable x :
a) El opuesto de x es 5 .
b) La raíz cuadrada de x es 9 .
c) 2x + 3 = 21
d) ⏐x⏐= 17
3 En la figura se sabe que:
BD = 6 cm; CD = 4cm y A(ABC) = 16 cm2 ,
calcula:
a) A(ACD)
b) AD
4 Representa el cuadrilátero ABCD en el plano
cartesiano conociendo que las coordenadas
de sus vértices son: A(– 1; 2), B(0; – 2), C(4; – 1)
y D(3; 3) .
5 Determina la cantidad de litros de agua
que necesita una piscina para llenarse si se
conoce que tiene forma de ortoedro y que
sus dimensiones son las siguientes: en la parte
superior tiene 6 metros de largo por
3 de ancho, mientras que su profundidad
es de 2 metros.
6 Alicia, Manolo, Julio y Yesenia son hermanos.
Julio es 3 años mayor que Yesenia y Manolo
nació 5 años antes que Alicia. Se sabe que
Yesenia es un año menor que Manolo.
Determina la diferencia de edad entre el
mayor y el menor de los hermanos.
7 Se dice que un número m de 3 cifras “golea” a
otro número n de 3 cifras si todas las cifras de
m son mayores que sus correspondientes de
n. Por ejemplo, 647 golea al número 423, pero
941 no golea a 128, pues 1 < 8 . ¿Cuántos
números golean a 314?
C
A D B
4 cm
6 cm
���������� ��� �
����������������� ��
� ����������������
Prueba de módulo 1
30
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
���������� ��� ������������������ ��� ����������������
1 Para cada uno de los siguientes
gráficos escribe la fracción que
representa la región sombreada.
4 puntos 5 Utilizando la siguiente recta numérica,
determina entre qué letras se
encuentra cada uno de los siguientes
decimales:
a) 2,25 b) 3,69 c) 4,02 d) 2,79
2 puntos
6 ¿Cuál es el menor ángulo que forman
las manecillas de un reloj a las 12h20?
2 puntos
7 Las puntuaciones obtenidas en un test
psicotécnico (en una escala de 0 a 100),
por 30 aspirantes para ingresar a una
institución educativa, son las siguientes:
3 puntos
2 ¿Qué fracción de la semana representa,
en cada caso, el tiempo indicado?
a) Un día
b) Una hora
c) Un minuto
3 puntos
3 En cada recuadro, encuentra el
término o los términos que faltan para
que las fracciones sean equivalentes.
a) 6_5
= 12__�
b) 1__4
= �__8
= 3__�
c) –2__3
= �__12
= 10__�
= –30___�
3 puntos
4 ¿Cuál es el numerador de una
fracción cuyo denominador es 195,
si al reducirla a su mínima expresión
resulta cinco treceavos?
3 puntos
a)
b)
c)
d)
70 49 69 58 61 54 61 64 30 71
63 55 49 52 64 69 52 49 55 56
47 49 63 61 58 65 59 37 65 70
a) Construye un diagrama de tallo y hoja.
b) Determina las medidas de tendencia central.
c) ¿Cuál es el rango de la muestra presentada?
A
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
DB EC F G H I
������������P
roh
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a la
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����������������� ��
� ����������������
Prueba de módulo 2
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
31
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
1 Paola vive a 28__5
km de su colegio.
Por la mañana sale de su casa y debe
caminar 3__4
km, luego recorre 12__10
km en
bicicleta y por último toma el autobús que
la lleva al colegio ¿Qué distancia recorre
Paola en el autobús hasta llegar al colegio?
2 puntos
2 Suprime los signos de agrupación
y realiza las operaciones combinadas.
2 puntos
4 Un canillita tiene 504 periódicos al
iniciar el día, dentro las 2 primeras horas
vende 3__7
del total de periódicos, y en
las siguientes 2 horas los2__3
del resto.
¿Cuántos periódicos le quedan después
de las 4 primeras horas?
2 puntos
5 De la suma de: 3__5
x2 – 5__6
xy + 2__9
y2
con – 2__3
xy – 1__3
y2 + 1__4
resta la suma de: 2__9
x2 – 2__3
y2 + 1__9
xy
con 17__45
x2 – 22__9
xy – 3__2
y2 – 1__2
.
3 puntos
6 Multiplica.
( x a – 1 + 2 x a – 2 – x a – 3 + x a – 4 )
por ( – x a – 3 + x a –1 – x a – 2 ) .
2 puntos
7 Calcula.
(a m + x + a m b x + a x b m + b m+x) ÷ (a x + b x)
2 puntos
8 Escribe un polinomio que represente el
área de la parte coloreada en cada caso.
3 puntos
9 Determina el resultado usando los
productos de interés práctico.
2 puntos
3 Alfredo compró una casa en � 75 000,
él pagó 1__
10 como cuota inicial y el
rest en 20 cuotas mensuales iguales.
¿Cuánto pagó de cuota inicial y cuánto
debe pagar cada mes?
2 puntos
1 – 1_2
+1_2
– 1 –1_2
+2_3
–1_3
+2_5
–1_6
+
1_4
– 2 +1_3
– 2 –1_2
–1_3
+1_4
–1_5
+ 3
9x2 + x 6x2 – 5x
A = 15x2 + 13x + 17
A = 20y2 + 16y – 8
5y2 + 4y – 2
A = 9x2 + 12x + 4
2x2 + x + 1
2x2 + x + 1
a) 1_2
b – 2a2
b) 3_2
ab2 +2_5
x 3_
2ab2 –
2_5
x
a)
a)
b)
c)
c)
a)
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32
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
���������� ��� ������������������ ��� ����������������
1 De la siguiente lista, identifica cuáles
son proposiciones y cuáles no.
a) Las rosas son amarillas.
b) x + 4 = 10
c) 2 – 3 = 1
d) Las islas Galápagos son
ecuatorianas.
2 puntos 4 Sin utilizar calculadora encuentra
el resultado de estas operaciones:
a) 2 180 + 2 403
– 3 500 + 4 5 000
b) 6 323
– 8 50 + 7 1083
+ 3 800
3 puntos
5 Utilizando las propiedades de los
exponentes y radicales, simplifica las
siguientes expresiones.
4 puntos
6 Factoriza cada uno de los siguientes
binomios.
2,5 puntos
7 En el siguiente gráfico, el área
de la sala es 27 m2, el área de la oficina
es 12 m2, sabiendo que la sala, la oficina y el
salón de actos tienen forma cuadrada, ¿cuál
es el área del salón de actos?
4 puntos
3 En los Juegos Olímpicos de 1976
y 1980, la medalla de oro en la carrera
de la prueba de los 1 500 m planos
para mujeres fue ganada por Tatyana
Kasankina (URSS) con 4 minutos 5,98
segundos y 3 minutos 56,60 segundos
respectivamente ¿En qué año se
mejoró el tiempo de carrera? ¿Cuál fue
la diferencia en tiempos?
3 puntos
2 En las siguientes proposiciones
compuestas condicionales, identifica
el antecedente, el consecuente y
represéntalos en lenguaje simbólico.
a) Si el pleno de la Asamblea vota a
favor, el pueblo será quien gane con
esa ley.
b) Las ciudades estarán protegidas de
los apagones, si ahorramos energía
en nuestros hogares.
c) Si resuelvo este ejercicio de
razonamiento matemático sin
quejarme o sin copiar, es seguro que
puedo entender y obtener buen
promedio en este trimestre.
1,5 puntos
Prueba de módulo 3
a) ( √_____________
(a + 1) 6 √______
(1+ a ) 2 ) 3
a) 25x2 + 10xy
b) 16a4b2 – 100m2m4
c) 32x10 + y2
d) (2x – 3y)3 – 64x3y6
e) (2a + b)2 – (a–2b)2
b) √
________
ab √__
b 2 √__
a __________
√__
a √___
ab
c) 4 √_______
16x6y4z2 – z 6 √___
y6z3 + y √___
x2z
d) 2 2n + 2 + 2 2n � 8 ____________ 2 2n � 2 2 – 4 n
� 2 m _____
2 m + 2
salón de
actos
sala
oficina
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� ����������������
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
33
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
1 En un triángulo rectángulo los catetos
miden 6 cm y 8 cm . En otro triángulo
rectángulo un cateto mide 5 cm
y la hipotenusa 9 cm . ¿Cuál de los
2 triángulos tiene mayor perímetro?
3 puntos
2 La diagonal de un rectángulo de lados
4 cm y 2 cm es igual al lado de un
cuadrado. ¿Cuánto mide la diagonal
de ese cuadrado?
2 puntos
5 Factoriza los siguientes trinomios.
a) x2 –30xy –675y2
b) 6x2 – 23 xy + 10 y2
c) 9a2 – 24ab + 16b2
d) 10t2 – 33t – 7
2 puntos
6 El área de un cuadrado es
x2 – 10x + 25 . ¿Cuál es su perímetro?
2 puntos
7 Se sabe que los factores de un
polinomio P(x) son (4x + 3) y (3x – 1).
Halla el polinomio P(x).
3 puntos
8 Halla el número total de cuadriláteros
en cada una de las siguientes figuras.
3 puntos
4 Determina el conjunto numérico más
restringido al cual pertenecen Ios
siguientes números. Escribe el símbolo
correspondiente.
a) 12,353 535…�
b) 1_2
– 2 �
3 puntos
3 Escribe un argumento que verifique
o niegue los siguientes enunciados.
a) La suma de 2 números reales no
siempre resulta otro número real.
b) Existen números reales que no son
racionales.
c) Los números racionales llenan
la recta numérica.
d) Todo numero real es un número
racional.
2 puntos
Prueba de módulo 4
c) 3_5
�
d) 3 �
e) 1_5
+ π �
f ) 4,125�
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Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
���������� ��� ������������������ ��� ����������������
1 Encuentra la solución de las siguientes
ecuaciones lineales.
2 puntos
5 Una máquina de refrescos acepta
monedas de 5 y de 10 centavos de
dólar. Al vaciar la caja se encontraron
148 monedas por un total de � 10,65 .
¿Cuántas monedas de cada tipo había?
3 puntos
6 Efectúa las siguientes operaciones con
números reales.
3 puntos
7 Una cuerda en una circunferencia mide
40 cm y dista 15 cm del centro. Calcula
el área del círculo correspondiente.
2 puntos
8 Calcula el área de la corona circular
determinada por las circunferencias
inscrita y circunscrita a
un cuadrado de 8 m de
diagonal, tal como muestra
la siguiente figura.
2 puntos
2 La fórmula P1 – P2 = 1_2
r(v22 – v1
2 )
aparece en el estudio de la mecánica
de fluidos, despeja las variables r y v2 .
3 puntos
3Encuentra la fracción generatriz
de los siguientes decimales.
a) 0,027 27…
b) 0,012 5
c) 2,088 88…
3 puntos
4 Grafica cada una de las siguientes
relaciones y determina si representan
un patrón de crecimiento lineal
o un patrón de decrecimiento lineal.
a) y = x – 2
b) y = 2x + 1
2 puntos
Prueba de módulo 5
a) (2x + 5) 2 = (–3 + 2x) 2
c) x – 1 _____ x 3 – 1
– 2 ________ x 2 + x +1
+ 3x ______ 2x 3 – 2
b) ax + 2a ______ a __ b
= bx + 2b ______
b __ a
d) √_____
x + 1 – √____
6 +x = –1
c) y = 2 – x
d) y = 1 – 2x
[ 6 √______
1 __ 2
( 1 __ 4
) 1 __ 8
_______
1 – 1 __ 2
]
2
– – 2 + 2 � 4 __
3 __________
1– 1 � 2 __ 3
+ √
_____
2 – 2 __
3 _____
1 __ 3
– 1 __ 4
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Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
35
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
1 Dados los intervalos: A = (–∞; 5] � [10;
+∞) ; B = [ –10; 25] y C = (–25; 0] � (8;
+∞) Determina una representación
gráfica para las siguientes operaciones.
a) (A � B) – C
b) (A � C) � B
c) (A – B) � C
d) (A � C) � B
e) (A � B) � C
f ) (A � B) � C
3 puntos
2 Para las siguientes desigualdades
escribe el valor que corresponde
en cada recuadro.
2 puntos
4 Traza un eje de simetría para las
siguientes imágenes.
3 puntos
5 ¿Cuál es el cociente entre el volumen
de un cono con un radio de la base r
y altura h y el volumen de una pirámide
de base cuadrada, con lado de longitud
r y altura h?
2 puntos
6 Una caja sin tapa tiene forma
rectangular, su altura es igual a 5 cm
y el volumen es 490 cm3; si se conoce
que el ancho de la base es el doble del
largo, determina el área total de la caja.
3 puntos
7 La heladería Rico Rico
tiene por costumbre
vender los conos dobles
según la siguiente figura.
Determina el volumen
total de helado.
3 puntos
3 Halla el conjunto solución de cada
una de las siguientes inecuaciones.
4 puntos
Prueba de módulo 6
a) Si –12 < – 5 ⇒ –7 < �
b) Si 3 > – 1 ⇒ –6 < �
c) Si 36 > 12 ⇒ � < 3
d) Si 16 > 4 ⇒ –4 < �
a) 5x + 4 > 7x – 4 (x + 1)
b) 3x – 2_____
3 ≤
3x__2
– 1__3
≤ 3x__2
+ 2
c) 5x + 2_____
2 >
3x__2
– 2__3
(x + 1)
d) 2x__3
≤ 3x – 1__2
≤ x__2
– 2__3
4 cm
2 cm
8 cm
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Examen trimestral 1Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
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1 Agrupa las siguientes fracciones en
propias, impropias o iguales a la unidad:
3/5, 5/3, 17/2, 2/9, 16/4, 18/17, 6/9 .
1 punto 5 Ordena de mayor a menor los
siguientes grupos de fracciones. Explica
en cada caso cómo lo has hecho.
1 punto
6 Escribe los siguientes números
decimales.
a) Cinco coma dos décimas,
una milésima.
b) Tres diezmilésimas.
c) Veintisiete coma tres
centésimas.
d) Ciento seis coma quince
milésimas.
1 punto
7 Si un ángulo recto se divide en 6 partes
iguales, ¿cuánto mide la amplitud del
ángulo que representa cada parte?
1 punto
2 Para elaborar una ensalada de frutas se
han necesitado 400 gramos de guineo,
350 gramos de papaya, 250 gramos de
sandía y 50 gramos de melón. ¿Qué
fracción del total representa cada una
de estas frutas?
1 punto
3 Son equivalentes las siguientes parejas
de fracciones. Fundamenta la decisión
en cada caso.
1 punto
4 ¿Entre qué números enteros
consecutivos están comprendidas las
fracciones opuestas de las siguientes
fracciones?
a) 7_5
b) –12__5
1 punto
a) 15__4
y 75__35
b) 33__42
y 132___168
c) 17__62
y 51___
185
a) 7__5
; 17__5
; 9__5
; 11__5
y 13__5
b) 6__9
; 6__5
; 6__7
; 6__
14 y
6__11
c) 1__3
; 2__5
; 4__7
; 3__2
y 1__6
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Examen trimestral 1
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8 Un estudiante ha comenzado a estudiar
a las 10h25 y ha terminado a las 13h50.
a) ¿Qué ángulo formaban
las agujas del reloj cuando
comenzó a estudiar?
b) Y cuándo acabó, ¿que ángulo
formaban las agujas?
1 punto
9 Encuentra el rango de la muestra. 1 punto
10 Elabora un diagrama de tallo y hoja. 1 punto
15 Un estudiante toma 1/4 de litro de
leche para desayunar; 3/5 de litro para
almorzar y 2/5 de litro para cenar. ¿Qué
cantidad de leche ha tomado durante
el día?
1 punto
17 Traduce a lenguaje común estas
expresiones algebraicas.
a) 2 k
b) n2
c) a + b
c) 5c+2
1 punto
19 Sean los polinomios:
p(x) = (–2x2 – 6x – 5); q(x) = (x – 6x2 +
2); r(x) = (–x2 + 1); Realiza con ellos
las siguientes operaciones:
a) p(x) • q(x) – r(x) • q(x)
b) ) p(x) – [q(x) + r(x)] + r(x)2
2 puntos
11 ¿Cuál es la edad promedio de los
empleados de dicha empresa?
1 punto
18 Completa la tabla, realizando las
operaciones que consideres necesarias.
1 punto
12 ¿Cuál es la edad más frecuente
en la empresa?
1 punto
13 ¿Qué edad debe tener un empleado
para que las edades de la mitad de
sus compañeros sean mayores que su
edad y las edades de la otra mitad sean
menores que su edad?
1 punto
16 De los 50 alumnos de noveno de
básica, 1/5 lleva mochila y 3/10 son
altos.
a) ¿Cuántos alumnos llevan mochila?
b) ¿Cuántos son altos?
c) ¿Cuántos ni son altos ni llevan
mochilas?
d) ¿Qué fracción del total representan
estos últimos?
1 punto
Con la siguiente información responde las preguntas
9, 10, 11, 12 y 13.
Las edades de los empleados de una empresa son:
25, 26, 25, 50,28, 45, 43, 42, 38, 28, 23, 25, 29, 30, 32, 33,
38, 40, 45, 50, 55, 60, 23,26, 27, 29, 30, 32, 33, 37, 38, 39,
36, 37, 38, 32, 40, 62 .
14 Escribe el nombre estadístico que se da
a la información que encontraste en las
preguntas 12, 13 y 14 respectivamente.
1 punto
a b c Expresión algebraica Valor numérico
3/2 3/5 –1/4 3a – 2b + c
+6 –8 –2 a2 – b/4 + 2c
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Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
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Examen trimestral 2
1 Con la proposición compuesta: “Me
sancionan cada vez que cometo una
infracción”. Identifica y escribe.
a) El antecedente y el consecuente
de la proposición.
b) La condicional en lenguaje común.
c) La contrarrecíproca.
1 punto 5 Una persona se entera de una noticia
curiosa. Se la cuenta a 3 amigos y cada
uno de éstos a otros 3 y así continúan
sucediendo las rondas de noticias.
a) ¿Cuántas personas se enterarán
en la cuarta ronda?
b) ¿Cuántas personas conocerán la
noticia después de la cuarta ronda?
1 punto
7 ¿Son ciertas las igualdades siguientes?
Justifica tu respuesta.
a) (5 + 4)2 = 52 + 42
b) (5 – 4)2 = 52 – 42
c) (5 • 4)2 = 52 • 44
d) (52 – 42) = 32
1 punto
8 Después de factorizar x6 – y6 ¿cuál
de las siguientes expresiones
no es un factor de la expresión?
a) x + y c) x – y
b) x2 + y2 d) x2 – x y + y2
1 punto
6 Calcula y simplifica.
a) 12 – 48 + 27
b) 243
– 3753
+ 813
1 punto
2 Coloca la coma donde corresponda
en estos productos.
a) 23,789 • 13 = 309 257
b) 154,327 • 12,36 = 190 748 172
c) 45,37 • 17,6 = 798 512
d) 2,111 • 0,004 = 8 444
1 punto
3 Con una alfombra de un pasillo de
15,75 metros de largo se hacen
7 alfombras más pequeñas iguales.
¿Qué longitud tiene cada alfombra?
1 punto
4 Federico tiene 22,30 dólares. Él gasta
� 7,38 en un libro y la cuarta parte de
lo que le queda en el cine. ¿Con cuánto
dinero vuelve a casa?
1 punto
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Examen trimestral 2
9 La suma de los coeficientes de uno de los
factores de 192 (x + 2)3 – 81 (x – 1)3 es:
a) 144 b) 145 c) 154 d) 164
1 punto
10 Al factorizar el polinomio 1 024x11 – xy10,
se obtiene una cantidad de factores igual a:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
1 punto
11 En un polígono cualquiera, ¿qué
ángulo forma la apotema con su lado
correspondiente?
1 punto
12 ¿Cuántos metros cuadrados mide el piso
de Mónica? Observa la figura.
1 punto
13 Si la diagonal de un rectángulo mide
10 cm y el lado mayor 8 cm, ¿cuánto
mide el otro lado?
1 punto
15 Entre los triángulos sombreados, ¿cuál
tiene mayor perímetro?
2 puntos
16 Factoriza siempre que sea posible los
siguientes polinomios de segundo grado.
a) x2 – 3x + 2
b) x2 + 4x – 12
c) 3x2 – 4x + 6
d) 2x2 – 5x + 6
e) 2x2 – x – 1
f ) 2x4 + 4x2 – 4x
2 puntos
17 Factoriza los siguientes polinomios
e indica cuáles son sus raíces.
a) mx3 – x2 + 4 – 8m
b) x3 + 2x2 + 2x + 1
c) x3 – 3x2 – 6x + 8
d) x4 + 2x3 – x2 – 2x
e) 2x4 + 5x3 – 5x2 – 5x + 3
f ) x3 + 5x2 – x – 5
2 puntos
14 Calcula el lado oblicuo de un trapecio
rectángulo cuyas bases miden 10 y 18
metros respectivamente. La altura del
trapecio es igual a 12 m .
1 punto
1 m 3 m 2 m
1 m1,2 m
2 m
2 cm
a)
b)
c)
d)
e)
1,2
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Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
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Examen trimestral 3
1 Comprueba cuál de los números 1,
2 ó 4 es solución de las siguientes
ecuaciones.
a) 3_5
(x – 1) – 1_3
(x + 1) + 1_2
= 1_2
(x – 1) + 2__
15
b) (1 – x)3 – 4x = –9
c) 21– x = 1_8
1 punto 4 En la siguiente expresión
M = x1 + x2_____x1 – x1
V0 , despeja la variable x1
1 punto
5 Realiza las siguientes actividades, dada
esta tabla de valores:
1 punto
6 Encuentra la fracción generatriz
de los siguientes números racionales.
a) 2,186 868 6…
b) 0,080 80…
c) 39,999…
1 punto
2 Escribe una ecuación que satisfaga, en
cada caso, la condición que se exige.
a) Que el número 3 sea su solución.
b) Que el número –2 sea su solución.
c) Que el número –1_2
sea su solución.
1 punto Tiempo (h) 1 2 3 4 5 6
Energía (kw• h) 1 3 4,5 6 7,5 9
a) Representa los valores en un sistema de
coordenadas y une los puntos obtenidos.
b) ¿Qué tipo de gráfica se obtiene?
c) Escribe la fórmula que las relaciona.
d) ¿Es una función de proporcionalidad directa?
3 Escribe una ecuación que satisfaga, en
cada caso, la condición que se exige.
a)
b)
c)
1 punto
3 __ 5
( 2x – 1 _____ 6
) – 4 __ 3
( 3x + 2 _____ 4
) = 1 __ 5
( x – 2 ____ 3
) – 1 __ 5
2m(n – 1)
________ x 2 – m 2
– 2m _____ x + m = m – 1 _____ x – m
3 __________ √
_____ 3 + x – √
__ x + √
_____ 3 + x + √
__ x = 6
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41
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Examen trimestral 3
7 Ángel repartió fotos en 3 cajones. En el
primer cajón puso la cuarta parte más
8 fotos, en el segundo puso la mitad
menos 2 fotos y en el tercero puso la
quinta parte. ¿Cuántas fotos repartió?
1 punto
12 Halla el radio interior de una corona
circular de 40 m2 de superficie,
si se sabe que el diámetro de la
circunferencia mayor mide 12 m .
2 puntos
14 Resuelve las siguientes inecuaciones.
Expresa la solución en forma de
intervalo y represéntala gráficamente
en la recta numérica.
a) 3x – 2 < 8x – 1
2 puntos
13 Indica si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas.
a) Si x – 3 es positivo, entonces x > 3 .
b) Si 3x < 3y, entonces x < y.
c) Si –5x > 5y, entonces x > y.
2 puntos
15 De las siguientes figuras, determina
cuántos ejes de simetría tiene cada una.
a) Un triángulo equilátero
b) Un cuadrado
c) Un pentágono regular
2 puntos
8 La tercera, la cuarta, la quinta y la sexta
parte de mi dinero suman 6 dólares
menos de lo que llevo. ¿Cuánto llevo?
1 punto
9 Antonio tiene 15 años, su hermano
Roberto 13 y su padre 43 . ¿Cuántos
años han de transcurrir para que entre
los 2 hijos igualen la edad del padre?
1 punto
10 Halla el resultado de la siguiente
operación.
1 punto
11 Averigua la longitud de la correa que
une 2 poleas de 0,35 m . de diámetro
cuyos centros distan 2,35 m .
2 puntos
b) 3(2 – x) – 4(2x – 1) ≥ 2x – 1 + 3(4 – x)
c) 2x – 4_____
6 –
3x + 1_____3
≤ 2x – 5_____
12 – 3x
1,666… – 0,044 4… – 2,121 2…
__________________________
( 2 __ 3
– 5 __ 6
– 0,7777… ) � 0,333… + 3 � ( – 1 ___
10 ) – ( 1 – 2 __
3 )
–2
– 3 √__
7 __ 8
– 1
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Actividades adicionalesMódulo 1
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
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1 De las siguientes figuras, ¿qué fracción aproximadamente representa la parte sombreada de cada una
de ellas?
7 Ordena de menor a mayor.
a) 3_4
;5_8
;11__16
;7_8
b) 1_2
;1_3
;5_6
;7__
12
c) 3_5
;13__20
;7__
10;
3_4
2 Haz 3 representaciones diferentes de la
fracción 1/4 sobre un cuadrado.
4 Busca pares de fracciones equivalentes
en el siguiente conjunto.
5
b) Una fracción equivalente a3_5
que tenga
9 de numerador.
c) Una fracción equivalente a 10__15
cuyo
denominador sea 18 .
Determina.
a) Una fracción equivalente a2_3 que tenga
12 por denominador.
6 Completa el término que falta.
a) 2_3
=2_�
c) 5_7
= �__21
b) 2_6
=5_�
d) 6__
15= �__
10
2_3 ;
9_5 ;
2_7 ;
6__18 ;
3_5 ;
10__15 ;
6__21 ;
1_3
3 Expresa mediante una fracción las siguientes
cantidades.
a) 2 días de una semana
b) 40 minutos de una hora
c) 80 minutos de una hora
d) 3 meses de un año
e) 10 días de un año
f ) 150 meses de un siglo
8 Un paseante recorre en la primera hora 3/7
del camino; en la segunda 1/4 del camino
y en la tercera hora 9/28 . ¿En cuál de las
3 horas ha caminado más rápido?
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Actividades adicionales
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9 Escribe 5 fracciones comprendidas entre 1/5 y
1/2 . Lo mismo entre –2/3 y –1/3 .
14 Observa la tabla y escribe la respuesta
de las siguientes preguntas.
15 ¿A qué hora entre las 5 y las 6 las agujas
de un reloj forman un ángulo recto?
a) Antes de que el minutero pase sobre el horario.
b) Después de que el minutero ha pasado sobre
el horario.
10 Representa gráficamente las fracciones 2/5,
–8/7, 17/4 y –5/9 .
11 Indica la fracción que representan los puntos
A, B, C y D del gráfico.
12 Asocia un número decimal a cada letra.16 Utilizando las escuadras y un círculo de 15 cm
de radio, construye un ángulo de 120° y otro
de 150°.
17 En la familia Gómez, el salario mensual del
padre es � 900 y el salario de la madre es
� 1 500. En la familia Pérez, el padre gana
� 1 860 y la madre, � 540 .
a) ¿Cuál es el sueldo medio de cada familia?
b) ¿En cuál de ellas es mayor la dispersión?
¿Cuál es el rango en cada familia? 13 Escribe cómo se leen los siguientes números.
19 La media y la mediana de un conjunto de 5
números naturales distintos es 7 y el rango es
6 . Halla esos 5 números.
a) 13,4
b) 0,23
c) 0,145
d) 0,0017
e) 0,000 6
f ) 0,000 148
D U d c m dm
3 2 0
1 8 0
5 0 0
6 0 0 0 0
a) ¿Cuántas centésimas son 320
milésimas?
b) ¿Cuántas centésimas hay en 18
décimas?
c) ¿Cuántas centésimas son 500
diezmilésimas?
d) ¿Cuántas diezmilésimas hay
en 6 unidades?
18 Las personas que acudieron a las clases de
natación de una piscina municipal durante 42
días fueron los siguientes:
38 32 54 47 50 58 46 47 55 60 43 60 45 48
40 53 59 48 39 48 56 52 48 55 60 53 43 52
46 23 55 21 56 54 24 48 23 39 24 50 22 25
a) Determina el promedio de personas que
asisten a la piscina.
b) ¿Qué cantidad de personas visitan la piscina
frecuentemente?
c) ¿Cuál es la mediana de la cantidad de personas
que asisten a la piscina?
A
– 2 – 1 0 1 2
B C D
M N O P Q2,42,3
A B CD
E6,56
R T UVS
5,28 5,29
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Actividades adicionales
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
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1 Calcula.
2 La mitad de los habitantes de una aldea
vive de la agricultura; la tercera parte, de la
ganadería, y el resto de los servicios. ¿Qué
fracción de la población vive de los servicios?
6 Un sastre utiliza la tercera parte de un corte
de tela para confeccionar la leva de un traje; la
cuarta parte para el pantalón y la sexta parte
para el chaleco. Si aún le ha sobrado
un metro, ¿cuál era la longitud del corte?
7 Calcula de la forma más racional posible
explicando en cada paso las propiedades
que aplicas.
3 Pedro ha perdido 1/6 de su colección de
cromos y ha regalado 2/3 de esta colección.
a) ¿Qué fracción representa juntos, los que
ha perdido y regalado?
b) ¿Qué fracción representa el total
de cromos de la colección?
c) ¿Qué fracción de cromos le queda todavía?
4 Una familia gasta 1/2 de sus ingresos
mensuales en alimentación; 1/3 en vivienda
y el resto en otros gastos.
a) ¿Qué fracción emplea en otros gastos?
5 Juan compró ayer una torta de 1 500
gramos y consumió 2/5 de la misma. Hoy
ha consumido 1/3 de lo que quedaba.
a) ¿Qué fracción de torta ha consumido?
b) ¿Qué fracción queda?
c) ¿Cuánto pesa el trozo que queda?
Módulo 2
a) 2_5
– 1_2
+3_8
b) 3_5
– 1 –7__
10
c) 1 –1_5
– 1 –2_3
d) 1 –1_3
– 1_2
–1_5
e) 3_5
+1_4
– 3_2
–7_5
f ) 3 –5_3
– 2 –7_5
b) Si en otros gastos ha empleado � 400,
¿a cuánto ascienden los ingresos?
a) [ 4 • ( 1 – 1 __ 8
) – 1 __ 2
] � 3
c) [ 5 • ( 3 ___ 10
+ 2 __ 5
) – 2 ] � 3 __ 2
e) ( 1 – 2 __ 5
) • [ 2 __ 3
– ( 3 __ 4
– 2 __ 5
) • ( 1 + 3 __ 7
) ]
b) [ ( 5 __ 3
– 1 __ 2
) : 7 + 1 __ 3
] • 2
d) ( 1 __ 3
+ 1 __ 2
) • [ 3 __ 5
– ( 5 __ 6
– 3 __ 4
) � ( 2 __ 3
– 1 __ 4
) ]
f ) [ 2 __ 7
– ( 1 __ 4
– 2 __ 5
) : ( 3 ___ 10
– 1 ) ] � ( 1 __ 2
– 3 ___ 14
)
Actividades adicionales
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9 Halla el valor numérico de los siguientes poli–
nomios para x = 0, para x = –1, para x = 2 .
10 Sean los polinomios: M(x) = 3x2 – 5x – 3
N(x) = 1_2
x2 + 3_4
x + 1 K(x) = x2 – 1_3
x + 2_3
,
determina lo siguiente.
a) 2M(x) + 4N(x) + 3K(x)
b) M(x) – 2N(x)
c) M(x) + 3N(x) – K(x)
11 Calcula el cociente y el resto en cada una
de las siguientes divisiones.
a) (x5 + 7x3 – 5x + 1) ÷ (x3 + 2x)
b) (x3 – 5x2 + x) ÷ (x2 – 1)
c) (x3 – 5x2 + x) ÷ (2x2 – 1)
13 En una división conocemos el divisor D(x),
el cociente C(x) y el resto R(x): D(x) = x2 – 3x;
C(x) = 3x + 2; R(x) = –5x. Calcula el dividendo.
14 Halla la superficie del siguiente trapecio
rectángulo en función de los valores de x y y
que aparecen en el gráfico.
15 ¿Se puede construir un triángulo rectángulo
conociendo que la hipotenusa mide 4,5 m
y un cateto mide 7,5 m? Justifica tu respuesta.
16 Utilizando tus conocimientos sobre
polinomios y los productos de interés
práctico, determina un polinomio que
represente el área del plano que ocupan las
partes de la casa.
12 Calcula, utilizando los productos de interés
práctico.
8 Indica cuál es el grado de los siguientes
monomios y di cuáles son semejantes.
a) 2x2
b) 3_4
x
c) 3
d) –3x3
e) –1_3
x
f ) –4__5
x2
x
y
3x
a) x3 – 2x2 + 3
c) 1 __ 2
x2 + 3x
b) x2 – 3x + 1
d) 3 __ 4
x3 – 2x + 1
a) (4x + 1)2
c) (x + 5) (x –5)
b) (3x – 1)2
d) (x – 1)2
e) ( 3x + 1 __ 3
) 2
g) ( x + 1 __ 5
) ( x – 1 __ 5
) f ) ( 2x – 1 __
2 )
2
h) ( 2x – 1 __ 2
) ( 2x + 1 __ 2
)
sala comedor
dormitorio auxiliar
dormitorio principal
dormitorio auxiliar
baño
2x + 2
x – 1
x + 1
x + 1
x + 1 x + 3x x2
baño baño
cocina
patio
bañ
o
x – 1 2
Actividades adicionales
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
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1 Calcula mentalmente.
a) ¿Cuánto le falta a 4,7 para llegar a 5?
b) ¿Cuánto le falta a 1,95 para sumar 2?
c) ¿Cuánto le falta a 7,999 para llegar a 8?
5 La célula se reproduce por bipartición, esto es,
cada cierto tiempo se divide en 2 células hijas.
a) ¿Cuántas células se formarán en la quinta
división?
b) ¿Cuántas células habrá al cabo de las
5 divisiones?
7 Una bacteria se reproduce de forma que cada
hora hay 10 veces más que la anterior.
a) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 1
hora?, ¿y dentro de 2?, ¿y dentro de 10?
b) Si tenemos 10 millones de bacterias,
¿cuántas había la hora anterior?, ¿y 3 horas
antes?
c) ¿Cuántas horas son necesarias para que
haya 1 millón de bacterias?
8 Escribe en forma de potencia de base 2 ó 5 .
a) –625 b) 32 c) 125
6 Calcula aplicando las propiedades
correspondientes.
2 Multiplica y divide mentalmente por la unidad
seguida de ceros.
3 En el polideportivo hemos visto que:
• Siete pasos de Juan equivalen a 4 saltos
de Ana.
• Tres saltos de Ana equivalen a 5 pasos
de Rosa.
• Un paso de Rosa mide 0,63 metros.
¿Cuánto mide un paso de Juan?
4 Completa las frases.
a) Dividir para 2 es lo mismo que multiplicar
para…
b) Multiplicar para 2 es lo mismo que dividir
para…
c) Dividir para 10 es lo mismo que multiplicar
para…
d) Multiplicar para 10 es lo mismo que dividir
para…
Módulo 3
a) 5 • 10
b) 5 ÷ 10
c) 0,7 • 100
d) 0,7 ÷ 100
e) 62,4 • 1 000
f ) 62,4 ÷ 1 000
g) 0,12 • 10
h) 0,12 ÷ 10
i) 0,002 • 100
j) 0,002 ÷ 100
k) 0,125 • 1 000
l) 0,125 ÷ 1 000
a)
b)
( 1 __ 2
) –3
• ( 1 __ 2
) 0
• ( 1 __ 4
) 4
_____________
[ ( 1 __ 2
) –5
] 2
• ( 1 __ 2
) –4
• [ ( –1 ___
2 )
2
] 3
____________________
[ ( –1 ___ 2
) 5
: ( 1 __ 2
) 3
] 2
• ( 1 __ 2
) –5
( 3 __ 5
) –2
• ( – 3 ___ 5
) 4
• ( 3 __ 5
) 0
• ( – 3 ___ 5
) ____________________
( 3 __ 5
) 3
• ( 3 __ 5
) –4
• ( – 3 ___ 5
) 0
Actividades adicionales
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d) 1___
128 f ) –
1__25
h) 1_5
e) 1__
64 g) –
1_8
13 Halla el área sombreada
de las siguientes figuras.
9 Reduce aplicando las propiedades
de exponentes y radicales.
10 Descompón en factores los siguientes
polinomios.
14 En la figura, los triángulos más oscuros son
equiláteros e iguales.
15 En la proposición:
Dos ángulos son complementarios siempre
que su suma sea igual a 90º.
11 Calcula x en estos trapecios y halla su área.
12 Este pentágono se ha
formado haciendo coincidir
la base mayor de un
trapecio isósceles con la
hipotenusa de un triángulo
rectángulo isósceles. Halla
el perímetro del pentágono.
a)
a)
b)
c)
a) x12 – 64 f ) x3 + 27
b) 9 – x2 g) 4x2 – 16
c) 4x3 – 9x h) 32m5– b10
d) (2x3 – 3y)3 + 27x6y3
e) (25x2 – 16y)2 – 400x4y2
AC = 93 m
BH = 52 m
DK = 23 m
b)
c)
d)
e)
f )
a) Calcula la superficie del cuadrado interior.
b) Calcula la superficie de la estrella
de 4 puntas.
c) Calcula la superficie de la forma exterior.
(a3 ) 2 • b4
________ (ab ) 2
a2 • (a • b ) 2
_________ (ab ) 3 • c
(ab ) 2 – (ab ) 3
__________ (ab ) 4
5 cm
x
20 cm
13 cm
x10 cm 10 cm
12 cm
24 cm
12 cm
26 cm
26 cm
16 cm
17 cm
5 cm
8 cm 20 cm
21 m
41 m
29 m
10 cm
12 m
22 m
13 m
B
AH K
C
D
a) Identifica el antecedente.
b) Identifica el consecuente.
c) Escribe la condicional en la forma Si…,
entonces…
d) Escribe en lenguaje común la recíproca,
la inversa y la contrarrecíproca de la
proposición dada.
Actividades adicionales
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
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1 Calcula el área del cuadrado verde en cada
uno de los siguientes casos, conociendo que
el triángulo entre los cuadrados es rectángulo.
2 En las fiestas de un pueblo, cuelgan una
estrella de 1 m de diámetro en medio de una
cuerda de 34 m que está atada a los extremos
de 2 postes de 12 m separados 30 m entre sí.
¿A qué altura del suelo queda la estrella?
4 Selecciona entre los conjuntos numéricos:
naturales �, enteros �, racionales �
y reales �, el conjunto más restringido
al cual pertenecen los siguientes números.
3 7_5
–13
7,23 1_3
18 –2 5 π 0
–4 8 2,48 1 –1
1_3
1,010 230 –13
0,234 1 1____
2 2
3 En cada una de las siguientes figuras
coloreadas, halla su área y su perímetro. Para
ello, calcula el valor de algún elemento (lado,
diagonal, apotema, ángulo, etc.). Si no es
exacto, trabaja con una aproximación.
Módulo 4
A
14 cm2
30 cm2
B
45 m2
60 m2
a)
b) c)
d)
e)
f )
g)
30 m
34 m
12 m
1m
20 m
18 m
2,9 m
25
mm
16
,5 d
m 32,5 dm
22 cm
14,6 cm
10
cm
2 km
32 cm
12 cm 20 cm13 cm
Actividades adicionales
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49
5 Representa en la recta numérica.
a) –3; 2,7; 17 ; 1_3
, de forma exacta.
b) π = 3,14… de forma exacta.
6 Saca factor común e identifica los productos
de interés práctico como en el ejemplo.
2x4 + 12x3 + 18x2 = 2x2(x2 + 6x + 9) = 2x2(x + 3)2
a) 20x3 – 60x2 + 45x
b) 27x3 – 3xy2
c) 3x3 + 6x2y + 3y2x
d) 4x4 – 81x2y2
7 Factoriza los siguientes polinomios.
a) x2 + 4x – 5
b) x2 + 8x + 15
c) 7x2 – 21x – 280
d) 3x2 + 9x – 210
8 Completa la descomposición en factores
de los siguientes polinomios.
a) (x2 – 25)(x2 – 6x + 9)
b) (x2 – 7x)(x2 – 13x + 40)
10 Expresa como factores el área de la parte
coloreada utilizando x y y.
11 Escribe en cada caso un polinomio de
segundo grado que tenga por raíces las
siguientes:
a) 7 y –7 c) 0 y 5
b) –2 y –3 d) 4 (doble)
12 ¿Cuántos triángulos rectángulos ves en estas
figuras?
13 En cada uno de los siguientes casos, ¿cuántos
caminos distintos hay para llegar desde A
hasta B sin retroceder en ningún momento?
9 Expresa mediante factores el área
y el volumen de este ortoedro.
x
y
a)
a)
b)
c)
x + 4
x – 2
x
A
B
A
B
b) A
B
Actividades adicionales
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
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Módulo 5
1 Resuelve mentalmente.
a) x + 4 = 5 f ) x – 3 = 6
b) 7 + x = 10 g) 7 – x = 5
c) 11 = x + 5 h) 2 = x – 9
d) 5 = 2 + x i) 9 = 15 – x
e) 2 – x = 9
4 En las siguientes ecuaciones despeja
la variable que se indica.
5 Completa la tabla sabiendo que las
magnitudes A y B siguen un patrón
de crecimiento lineal.
6 Encuentra 5 números racionales hay entre
0,777… y 0,888…
7 Calcula el valor de la siguiente expresión.
8 Con los � 12 que tengo podría ir 2 días
a la piscina, un día al cine y aún me sobrarían
� 4,5 . La entrada de la piscina cuesta � 1,50
menos que la del cine. ¿Cuánto cuesta
la entrada del cine?
2 Calcula primero mentalmente y después con
la ayuda de una ecuación.
a) Si a un número le sumas 12, obtienes 25 .
¿De qué número se trata?
b) Si a un número le restas 10, obtienes 20 .
¿Qué número es?
c) Un número x, y su sucesor x + 1, suman 13 .
¿Cuáles son esos números?
d) En mi clase somos 29 en total, pero hay 3
chicos más que chicas. ¿Cuántos chicos y
cuántas chicas hay en la clase?
3 Comprueba que las siguientes ecuaciones
son de primer grado y halla su solución.
a) (x + 1) (x – 1) –3(x + 2) = x(x + 2) + 4
b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x(x + 2) – (x2 + 1)
c) x – 1_3
– x + 1_3
–x x + 1_6
= 1_3
x – 2
d) (x + 1)2 – (x + 2) (x – 3) +5_4
x – 9_2
x =25__4
a)
b)
c)
d)
A 1 5 10 15 45 83
B 24
3x + 1 __ 2
y =2 despeja y
A = (B + b)h
_______ 2
despeja b
h = v0t + g t 2
___ 2
despeja y
M = 1 __ 3
√__
x _ y despeja y
3 √____
– 8 ___ 27
+ 1 ___ 46
� 2,044 4… – (0,8 – 1) � 3 ______________________________
0,555… – ( 1 + 1 __ 2
) –2
Actividades adicionales
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9 María tiene 5 años más que su hermano Luis
y su padre tiene ahora 41 años. Dentro de 6
años, entre los 2 hermanos igualarán la edad
del padre. ¿Qué edad tiene acada uno?
10 Calcula las longitudes de los lados de un
rectángulo de perímetro 82 cm conociendo
que el largo mide 8 cm más que el ancho.
11 Tres agricultores reciben una indemnización
de � 100 000 por la expropiación de terrenos
para la construcción de una autopista. ¿Cómo
han de repartirse el dinero, sabiendo que el
primero ha perdido el doble de terreno
que el segundo y éste, el triple de terreno
que el tercero?
12 Para delimitar una zona rectangular, el doble
de larga que de ancha, se han necesitado 84
m de cinta. ¿Cuáles son las dimensiones del
sector delimitado?
13 La amplitud de uno de los ángulos de un
triángulo es 13 grados mayor y 18 grados
menor, respectivamente, que las amplitudes
de los otros dos ángulos. Calcula la medida
de cada ángulo.
14 Calcula el perímetro del patio que se muestra
en la figura, sabiendo que el área mide
100 m2.
16 Los puntos A y B son fijos. El punto C puede
estar situado en cualquier lugar de la
circunferencia. ¿Dónde lo pondrás si quieres
que el área del triángulo ABC sea la mayor
posible?
15 Halla el área y el perímetro de las figuras
sombreadas.
8 m
6 m
2x
x
14 m
x
6 km 15 m
8 m
7 mm
3 km
4 km
9,9 km
8 mm
1200
1 m
0,5 m 5 hm 7 hm
8,6 hm
5 m
2,5 m
8 m
12 m 8 m
18 m
C C
C
A B
a) b)
c)
e)
i)
g)
d)
f )
h)
Actividades adicionales
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
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Ed
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l.
1 Dada la inecuación: x_3
+ 2 < 2x – 1_2
, indica
la inecuación resultante al efectuarle las
siguientes transformaciones.
a) Sumar a los 2 miembros 3 unidades.
b) Restar a los 2 miembros 3x .
c) Multiplicar a los dos miembros por –6 .
d) Sumar a los dos miembros –2 .
e) Multiplicar a los dos miembros por 6 .
f ) Dividir ambos miembros por 2 .
5 Observa las letras del abecedario.
Di ¿cuáles no tienen ejes de simetría? (hay
10), ¿cuáles tienen un eje de simetría? (hay
13), ¿cuáles tienen dos? (hay 3) y ¿cuál tiene
infinitos ejes de simetría? Dibuja cada una de
ellas en tu cuaderno señalando los ejes que
tenga.
6 Completa la siguiente figura para que tenga
los 2 ejes de simetría que se indican.
7 Halla las dimensiones
de las figuras que
se obtienen con los
siguientes cortes
hechos a un cubo
de 6 cm de arista y
represéntalas en tu
cuaderno. Di qué
tipo de polígono
se obtiene.
2 Completa las siguientes frases.
a) Si el lado de un cuadrado es menor que
6 cm, su perímetro es menor que …
b) Si el radio de un círculo es mayor que
8 cm, su área es mayor que …
c) Si el lado de un cubo es menor que 5 m,
su volumen en menor que …
3 Halla el conjunto solución de las inecuaciones
siguientes.
a) 3x – 7 < 5
b) 7 ≥ 8x – 5
c) 2 – x > 3
d) 1 – 5x ≤ –8
4 Halla el conjunto de soluciones de las
siguientes inecuaciones fraccionarias.
a) 2 (x + 2)______
3 < 2x
b) x – 4____
4 + 1 ≤
x + 4____8
Módulo 6
El plano pasa por los puntos
medios de 2 aristas contiguas
y por 2 vértices.
6
33
c) x – 1______
2 > x + 1
d) 1 – x ≤ x_3
Actividades adicionales
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8 Observa estos cuerpos.
9 Construye un cubo de cartulina.
a) Señala sobre el cubo construido cómo hay
que cortarlo para obtener un triángulo
equilátero.¿Cuál es el mayor posible?
b) ¿Cómo obtienes un cuadrado a partir del
cubo?
c) ¿Cómo obtienes un hexágono regular?
10 Dibuja el desarrollo plano y calcula el área
total de los siguientes cuerpos geométricos.
11 Calcula el volumen de estos cuerpos.
a) ¿Cuáles son poliedros? Nómbralos,
diferenciando prismas y pirámides. ¿Hay
alguno que no sea prisma ni pirámide?
b) ¿Cuáles son cuerpos de revolución?
Nómbralos.
c) ¿Hay alguno que no sea ni poliedro
ni cuerpo de revolución?
a)
c)
b)
d)
a)
c)
b)
d)
e)
f ) 6 cm
2 cm
6 cm 6 cm
19 cm
10 cm
6 cm
6 cm
6 cm
15 cm
15 cm1
6 cm
6 cm
9 cm
7 cm
18 cm
4 m
5 m
2,5 m
8 m
12 m
15 m
14 m16 m
3 m
3 m3 m
3 m
9 m
8,4 cm8,4 cm
12 cm
21 cm
10 cm
12 cm
4 cm
10 cm
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En su trabajo diario, el maestro debe enfrentar las
llamadas situaciones típicas de la enseñanza de la
Matemática. Éstas vienen dadas por el propio ca-
rácter de la ciencia y pueden resumirse en:
• Formación de conceptos.
• Tratamiento de teoremas y sus demostraciones.
• Formación de destrezas y capacidades para de-
sarrollar diferentes procesos.
• Resolución de problemas.
En cada clase encontramos al menos una de estas
situaciones, pero desde el punto de vista metodo-
lógico se diferencian y de su adecuado tratamien-
to depende en gran medida el exitoso aprendizaje
que esperamos.
La formación de conceptos
en la enseñanza de la Matemática
Ésta es, sin dudas, la actividad que más dificulta-
des presenta. Los maestros prestan poca atención
a la formación de conceptos, pues en realidad no
los formamos, los décimos. Los conceptos no se
dicen, se forman y el docente debe procurar que,
finalmente, el estudiante enuncie la definición
correspondiente. Una representación clara del
concepto en la mente del alumno garantiza una
adecuada secuencia en el pensamiento y da so-
lidez a las destrezas que en torno a él se crean y
desarrollan. Cuando existen falencias en la esencia
del concepto es imposible comprender los teore-
mas y los procesos asociados al concepto y es por
eso, principalmente, que ante la imposibilidad de
entender, los alumnos recurren a la memoria y a la
repetición.
Es conveniente aclarar que existen diferencias
etimológicas entre concepto y definición. El con-
cepto es la representación mental que crea el in-
dividuo acerca de un objeto o fenómeno, lo cual
se realiza a través de la generalización de sus ca-
racterísticas comunes esenciales, mientras que la
definición es la expresión formal de este concepto.
Ambas cosas son importantes, pero no cabe duda
alguna de que en la enseñanza básica nos interesa
mucho más el concepto, es decir, que el alumno
adquiera una representación mental clara del ob-
jeto o fenómeno. Exigir lo contrario (definiciones
exactas) sería estimular la repetición sin sentido
de los entes matemáticos.
Para cada año de Educación Básica el docente de-
berá determinar los conceptos fundamentales y
estructurar un esquema que le permita establecer
las prioridades y las conexiones pertinentes entre
los contenidos. Se sugiere trabajar los conceptos
según los siguientes pasos.
Pasos metodológicos
para la formación de conceptos
• Aseguramiento del nivel de partida.
• Presentación de objetos pertenecientes
al concepto.
• Determinación de las características
comunes esenciales.
• Definición del concepto.
• Fijación del concepto.
• Análisis de casos especiales y extremos.
Asegurar el nivel de partida es indispensable. No es
posible formar un nuevo concepto si el estudiante
no domina los conocimientos previos necesarios.
Por ejemplo, si se quiere formar el concepto de
número primo, el estudiante debe conocer con
seguridad el concepto de divisor de un número.
Metodología para el tratamiento de conceptos y teoremas
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Debe hacerse especial hincapié en la fijación
del nuevo concepto, lo cual se realiza mediante
diferentes actividades, entre las cuales podemos
citar las siguientes: clasificación, preguntas de
verdadero y falso, construcción e identificación
del concepto y el análisis de casos especiales y
extremos. De igual forma, el docente insistirá en la
semántica de cada concepto pues, al sistematizar
esta actividad, se desarrolla el pensamiento
matemático y se logra un aprendizaje significativo.
El tratamiento de teoremas
y sus demostraciones
Esta situación típica nos brinda una excelente
oportunidad para desarrollar el pensamiento lógi-
co, crítico y lateral de los estudiantes. Al igual que
con los conceptos, se ofrecen como sugerencias
algunos pasos metodológicos para tratar las re-
glas, propiedades o teoremas.
Pasos metodológicos
para el tratamiento de teoremas
• Necesidad de la proposición.
• Búsqueda de la suposición.
• Búsqueda de la idea de la demostración.
• Presentación de la demostración.
• Análisis retrospectivo.
• Fijación y aplicación del teorema.
Los estudiantes deben sentir la necesidad de una
nueva ley o propiedad que les permita resolver
determinados ejercicios y problemas. Para lograr
este objetivo, el docente puede partir de una acti-
vidad que los estudiantes no puedan realizar pues
necesitan “herramientas” matemáticas; aquí surge
la necesidad. Luego, a través de actividades bien
planificadas, los mismos estudiantes intentarán
encontrar una regularidad que concluye en una
suposición (el teorema).
Sin embargo, en ocasiones y por diversas razo-
nes, no podemos demostrar los teoremas que se
tratan. En esos casos, al menos debe mostrarse la
propiedad. Por ejemplo, en la escuela es necesario
que los niños y las niñas comprendan que la suma
de las amplitudes de los ángulos interiores de un
triángulo cualquiera es igual a 180º. Para ello, se
pueden hacer algunas actividades prácticas, con
material concreto, de modo que ellos comprue-
ben la regularidad y arriben a la citada conclusión,
aunque esta propiedad no puede demostrarse en
este nivel, debido a que los estudiantes no poseen
aquí los conocimientos esenciales para ello.
El análisis retrospectivo en el tratamiento de un
teorema es insustituible. Aquí, además de analizar
casos especiales y extremos, se analizarán las posi-
bles aplicaciones del teorema objeto de estudio. In-
cluso, cuando sea el caso, se harán las derivaciones
respectivas, enunciando propiedades que desde el
punto de vista lógico se desprenden de la principal
(lemas).
Con o sin demostración debe fijarse el teorema a
través de una ejercitación variada y holística. No se
trata de repetir situaciones en la aplicación de lo
estudiado, sino de establecer un orden creciente
de dificultades que despierte el interés en el estu-
diante por lo que hace y desarrolle valores como
la persistencia. En este último aspecto, la motiva-
ción, deberá ser un eje principal en todas las acti-
vidades de la enseñanza de la Matemática.
Sin embargo, para lograr la fijación y comprensión
efectiva de un teorema, no basta una excelente
ejercitación. Se necesita además una adecuada
sistematización de estos contenidos a lo largo de
todo el año lectivo y de los grados siguientes a
éste. Esto significa que debemos integrar los nue-
vos conocimientos con los que ya posee el estu-
diante y retomar, siempre que el tiempo y las con-
diciones lo permitan, las propiedades anteriores.
Este carácter secuencial en la enseñanza aporta
gran seguridad en el aprendizaje.
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Es evidente que todo el trabajo que se realiza con
los conceptos y los teoremas tiene la finalidad de
garantizar que los estudiantes desarrollen destre-
zas en la resolución de ejercicios diversos. Si no
existe una representación mental clara de los con-
tenidos mencionados, es imposible lograr destre-
zas para enfrentar con éxito las diferentes tareas y
actividades porque, a lo sumo, puede lograrse una
repetición estéril de algoritmos mecanizados que,
más temprano que tarde mostrarán su ineficacia.
El maestro debe conocer que en el aprendizaje de
la Matemática existen dos componentes esencia-
les que se complementan mutuamente: saber y
poder. Se entiende por saber el cúmulo de cono-
cimientos que posee el estudiante, mientras que
el poder representa la capacidad del alumno para
aplicar esos conocimientos en diferentes situacio-
nes teóricas y prácticas. Queda claro que sin saber
no existe el poder, pero ambas categorías deben
trabajarse proporcionalmente en el aula de clases,
puesto que sirve de poco o nada el conocimiento
que no se aplica en problemas prácticos o teóri-
cos. Es deber del maestro preparar a sus alumnos
para que, con un mínimo de conocimientos, desa-
rrolle una gran capacidad de razonamiento lógico
y lateral.
En Matemática, casi todas las actividades desem-
bocan en procesos que deben ser ejecutados de
manera solvente y organizada. Es por ello que el
maestro debe encaminar su actividad a desarrollar
en sus alumnos las destrezas generales y especí-
ficas que establece la Reforma del Ministerio de
Educación. Para lograr que los estudiantes desa-
rrollen la capacidad resolutoria esperada, se ofre-
cen las siguientes sugerencias.
• Cuando se imparta un contenido nuevo de-
sarrollar uno o varios ejemplos, procurando la
participación activa de sus alumnos y exigien-
do en cada caso que éstos argumenten cada
uno de los pasos necesarios para calcular, re-
solver, demostrar, etc.
• Proponer un sistema de ejercicios en el que no
se repitan las mismas dificultades, pues de lo
contrario los estudiantes tienden a mecanizar
los algoritmos de solución. El sistema debe in-
cluir los diferentes tipos de ejercicios: fijación,
reproducción, aplicación y creación. Es impor-
tante la integración de conocimientos intra y
extramatemáticos.
• Usar la forma de taller para la resolución del
sistema de ejercicios planteados. Es menes-
ter que las actividades más complejas sean
analizadas detalladamente y que los alumnos
muestren sus fundamentaciones para justificar
las estrategias empleadas y los recursos uti-
lizados. Esto es esencial porque, en nuestros
tiempos, es mucho más importante pensar
que saber.
• Promulgar el trabajo en equipo pues realza la
autoestima, contribuye a la formación de la
personalidad y, aún más importante, prepara
al estudiante para su vida presente y futura. En
este sentido, para ser consecuente con los pro-
cedimientos empleados en clase, practicar en
los exámenes escritos la integración de la mo-
dalidad colectiva con la individual, otorgando
un valor proporcional a cada tipo de evalua-
ción. Los estudiantes deben comprender que
la evaluación de su aprendizaje es un proceso
continuo, que constituye una oportunidad más
Metodología para desarrollar destrezas y procesos
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para aprender y un momento muy importante
en su educación integral.
• Observar detenidamente el desempeño indivi-
dual de cada estudiante, pues cada uno de ellos
tiene características diferentes. Esto le permite
al docente conocer cuáles son las dificultades
y deficiencias específicas de cada alumno. Las
destrezas no se forman homogéneamente en
todos ellos y, por eso, las actividades que se
propongan deben abarcar una amplia gama
de situaciones.
• Los ejercicios propuestos deben contener la
mayor variedad posible de situaciones, lo cual
permitirá evaluar de diferentes formas el mis-
mo contenido de enseñanza. El texto propues-
to cumple estas exigencias.
• Procurar que las tareas docentes que se sitúen
como ejercicios para la casa (deberes) sean re-
sueltos de manera independiente por los estu-
diantes. Se aprende más y se desarrollan más
destrezas pensando un ejercicio o problema
que viendo cómo se resuelven varios. En este
sentido también es importante recordar que
es mucho más significativo para el aprendizaje
la variedad que la cantidad de ejercicios pro-
puestos.
• Tanto en la fundamentación de los procesos
como en el enunciado de proposiciones, pro-
curar el uso de gráficos y esquemas que am-
plíen la visión y comprensión de los alumnos.
Al respecto, siempre sería interesante que sean
los propios alumnos quienes propongan el
modelo gráfico correspondiente.
• Estimular al máximo los logros de los estudian-
tes. Esto eleva la autovaloración de cada uno
de ellos y los predispone para conseguir obje-
tivos más complejos. No se puede pretender
que todos alcancen un óptimo nivel de destre-
zas en un corto período de tiempo.
En la actualidad, es imposible enseñar todos los
conocimientos que la humanidad ha acumula-
do. Por eso, una destreza general esencial que
los docentes deben priorizar es la búsqueda de
información necesaria para resolver un problema
dado. Los estudiantes deben familiarizarse con los
medios modernos que se encuentran a su dispo-
sición; deben manejar con seguridad la calculado-
ra porque les ahorra tiempo y energías. De igual
modo, deben tener destrezas para encontrar fór-
mulas, datos y propiedades en libros, Internet, etc.
Las destrezas para desarrollar procesos aparece-
rán como lógica consecuencia de todas las activi-
dades que dirige el maestro en el aula de clases.
Hay dos aspectos importantes que no pueden
perderse de vista: los diferentes caminos para
conseguir un mismo objetivo y la racionalidad
para ejecutar los procesos. A continuación se ex-
ponen dos ejemplos que ponen de manifiesto
estos aspectos.
1. Calcula 4 • 2 009 • 25 .
Aquí debe concluirse que, aunque existen varias
formas de realizar el cálculo pedido, la vía más
racional se logra aplicando las propiedades con-
mutativa y asociativa del producto y, así, multipli-
camos primero los números 4 y 25 pues da como
resultado 100, de manera que el resultado final
será 200 900 .
2. Calcula 17 • 2 010 + 26 • 2 010 – 42 • 2 010 .
Es demasiado largo realizar todos los productos
indicados para luego sumar los resultados parcia-
les obtenidos. Es preferible aplicar la propiedad
distributiva de la multiplicación con respecto a la
suma y nos queda:
2 010 • (17 + 26 – 42) = 2001 • 1 = 2 010 , lo cual
se puede realizar mentalmente.
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Innumerables son los autores que refieren uno u
otro esquema para adiestrar a los estudiantes en
el campo de la resolución de problemas, pues éste
constituye uno de los objetivos más importantes
de la enseñanza de la Matemática. Cierto es que
resulta imprescindible en el mundo moderno de-
sarrollar destrezas para resolver problemas de la
vida práctica, sin embargo, debe quedar muy claro
que no existen recetas mágicas ni modelos para
resolver problemas matemáticos. En realidad, para
resolver problemas se requieren tres condiciones
básicas.
• Tener motivación para hacerlo y la voluntad
necesaria para enfrentar diversas dificultades
cognitivas.
• Poseer un mínimo de conocimientos básicos re-
lacionados con el problema en cuestión.
• Poseer estrategias adecuadas y resolver la ma-
yor cantidad de problemas posibles.
En general podemos establecer, sin que esto cons-
tituya un dogma, cuatro indicadores de trabajo
en la resolución de problemas.
• Comprensión del problema.
• Análisis del problema.
• Solución del problema.
• Consideraciones retrospectivas.
En la enseñanza básica, los tradicionales métodos
de enseñanza tan centrados en el maestro hacen
que el alumno constantemente recurra ante el do-
cente para cerciorarse si lo que hace es correcto
o no, generando de esta manera una enorme in-
seguridad y un bajo nivel de autoestima personal,
provocando un pobre desarrollo de las destrezas
necesarias para resolver problemas.
Es común escuchar a estudiantes su malestar por no
poder resolver determinados problemas en los exá-
menes, a pesar de conocer “todo el contenido”. Y es
que no podemos estudiar Matemática únicamen-
te leyendo conceptos, teoremas y repasando pro-
cedimientos trabajados en clases. Verdaderamente,
se aprende matemática resolviendo problemas.
En general, en Matemática existen dos tipos de
procedimientos: algorítmicos y heurísticos. Am-
bos se utilizan en la resolución de problemas. Es
claro que los procedimientos heurísticos son fun-
damentales a la hora de encontrar la vía de solu-
ción y, si no conseguimos encontrar esta idea, no
servirían para nada aplicar los procedimientos al-
gorítmicos. Por eso, el dominio de la heurística se
considera determinante.
La aplicación de las reglas y principios de la heurís-
tica ayudará mucho al docente y, en especial, a los
estudiantes, a desarrollar destrezas en la resolu-
ción de problemas y a la adquisición de estrate-
gias generadoras de métodos de solución para de-
terminados problemas intra y extramatemáticos.
Las reglas heurísticas son específicas para resolver
determinados tipos de situaciones matemáticas
problémicas, mientras que los principios son ge-
nerales y nos permiten encontrar las vías de solu-
ción. Entre las reglas y principios más importantes
podemos mencionar los siguientes.
• Dibuja una figura de análisis; realiza un bos-
quejo de la situación planteada. En esa figura,
pinta de un color los datos dados y de otro los
elementos buscados.
• ¿Recuerdas conceptos y teoremas relaciona-
dos con la situación planteada?
• En los problemas de Geometría realiza cons-
trucciones auxiliares.
Metodología para la resolución de problemas
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• Principio de analogía: ¿Te enfrentaste alguna
vez a un problema similar a éste?, ¿cómo lo
resolviste?, ¿qué estrategias usaste?, ¿pueden
servir en este caso?
• Principio de reducción: Reduce el problema
nuevo a uno ya conocido.
• Transforma la pregunta; tal vez encuentres al-
guna conexión de lo desconocido con los con-
tenidos que ya conoces.
• Intenta probar con casos particulares y utiliza
la inducción para encontrar regularidades.
• Trabaja hacia atrás: puedes partir de lo que de-
bes demostrar e intentar la búsqueda del ca-
mino que te lleve hacia los datos y las premisas
dadas.
Pueden plasmarse muchos ejemplos reveladores
de la aplicación de reglas y principios heurísti-
cos. El maestro debe saber que en la práctica, en
la solución de un problema específico, los princi-
pios no aparecen aislados aunque, por lo general,
predomina uno más que otro. Veamos el siguiente
ejemplo.
Supongamos que queremos determinar una fór-
mula para determinar la suma de los ángulos in-
teriores de un cuadrilátero cualquiera. El docente
puede establecer la siguiente guía de preguntas
para activar el pensamiento de sus alumnos.
1. Tenemos el cuadrilátero
convexo ABCD. ¿Podremos
determinar cuánto suman
sus ángulos interiores?
2. ¿Conoces algún teorema que relacione los án-
gulos interiores de alguna figura en particular?
La suma de las amplitudes de los ángulos inte-
riores de un triángulo es igual a 180º.
3. ¿Podemos reducir este problema al conocido?
¿Cómo podemos aplicar, en el caso del cuadri-
látero, lo que sabemos acerca de los triángu-
los? Tal vez, pero aquí no tenemos triángulos.
4. ¿Podemos obtener triángulos en esta figura?,
¿cómo? Quizás trazando una diagonal. Enton-
ces tracemos la diagonal.
5. Así, trazamos la diagonal BD y formamos el
triángulo ABD, con los ángulos señalados con
los números 1, 2 y 3, además del triángulo BCD
y sus ángulos 4, 5 y 6 .
6. ¿Qué relaciones puedes plantear con esos
ángulos?
7. Queda claro que la suma de los ángulos 1, 2 y
3 es igual a 180º. Por otro lado, la suma de los
ángulos 4, 5 y 6 también es igual a 180º.
8. ¿Puedes ya concluir cuánto suman los ángulos
interiores del cuadrilátero dado?
9. Finalmente tenemos que:
�1 + �2 + �3 + �4 + �5 + �6 = 360º .
Aquí culmina la resolución del problema plantea-
do. Sin embargo, para desarrollar el pensamiento
del estudiante deben darse otros impulsos tales
como los siguientes.
• ¿Existen otras vías para resolver el problema
anterior? Piensa un poco.
• ¿Se cumplirá esta propiedad en todos los cua-
driláteros convexos?, ¿en los cóncavos?
• ¿En qué situaciones matemáticas podemos
aplicar este resultado? ¿Podremos calcular la
suma de las amplitudes de los ángulos interio-
res de un pentágono?
Como se puede apreciar, en el ejemplo anterior,
combinamos un grupo numeroso de reglas y prin-
cipios heurísticos y la planificación del maestro es
fundamental para lograr este objetivo: enseñar
a pensar.
D
C
BA
D
C
BA
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Componentes Didácticos
• Observo a mi profesor cómo resuelve el problema.
• Escribo los pasos del proceso, comparo mis anotaciones con las de mis compañeras y compañeros.
• Me pregunto sobre las dificultades en el desarrollo de la actividad.
• Pongo en práctica mi nueva destreza para resolver problemas de la vida real.
• Ejecuto los pasos necesarios para resolver el problema.
• Digo en voz alta las acciones que realizo mientras resuelvo el problema.
• Ensayo la resolución del problema, utilizando diferentes variables.
• Se recoge, analiza, sistematiza y resume la información.
• Mediante un proceso de discución, se selecciona un problema que resulte significativo para todos y de interés
para el desarrollo de la investigación.
• Se reparte y organiza la información.
• En equipo, se plantean diversas estrategias de indagación de la realidad y de búsqueda y recolección de información.
• Se buscan métodos de expresión del conocimiento adquirido.
• Se buscan problemas presentes en la vida cotidiana y se ponen en práctica los conocimientos adquiridos.
Pasos para el desarrollo de destrezas
Pasos para la ejecución de proyectos de aula
Proyecto de aula
¿Que es un proyecto de aula?
• Proyecto es una investigación a profundidad de una situación problema real que debe ser resuelta en un tiempo
y espacio suficientes.
¿Como se plantea un proyecto de aula?
• Se propone a los estudiantes la búsqueda de situaciones problemas en la realidad.
• Se selecciona alguna que sea de interés general.
• En grupo, se plantean diversas estrategias para abordar el problema y se visualizan
las posibles soluciones.
• Se socializa, sistematiza y resume la información obtenida.
• Se plantean, con la participación del grupo, las formas de presentar los datos obtenidos.
• Se emiten conclusiones a las cuales se ha llegado con la ejecución del proyecto.
61
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Módulo 1
1
1
1
3
1
1
Zona de aplicación. Pág. 11
Zona de aplicación. Pág. 26
Zona de aplicación. Pág. 31
Zona de aplicación. Pág. 16
Zona de aplicación. Pág. 22
3
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a) 5/7 b) 22/45 c) 21/24 d) 1/5 e) 1/2
a) 1/2 b) 1/2 c) 1/2 d) 1/2 e) 1/4
a) V b) V c) F d) F
a) 1/2 b) 2/9 c) 15/20 d) 8/17
a) 3/20 b) 26/27 c) 144/13 d) 830/5
27/50
a) –0,056 b) 0,962 9 c) –1,24 d) 0,75
e) –1,125 f) 5,333 g) 0,428 571 h) –0,6
i) –0,653 8
a) 10 b) 100
b) 0,011 b) 0,000 004 c) 750 005 000,0013
d) 1 000 320,35022 e) 1 000 000,000001
a) tres milésimas
b) cinco con treinta y ocho centésimas
c) cuatrocientos con cuarenta y un centésimas
d) mil doscientos treinta y cuatro con quinientos sesenta
y cuatro mil trescientos veintiuno cienmilésima
a) 2 + 0,7 b) 15 + 0,9 + 0,01 c) 234567 + 02 + 00,3
a) 1,11 < 1,12 b) 0,84 > 0,48 c) 12,11 < 13,11
d) 93,701 < 93,710
a) 26,5 b) 26,656 c) 147,501 d) 679,657
a) si b) no c) no d) si e) no
f) si
a) 21 b) 25 c) 13 d) 40 e) –44
f) –8
a) 2, 30 b) 22, 2 c) 4, 14 d) 8, 0
B = {3/4, 9/12, 21/28, 6/8} C = {3/4, 9/12}
Por ampliación: 8/48 , 36/48 , 10/60 , 36/42 , 72/18
Por simplificación: 2/12 , 3/4 , 1/6 , 6/7 , 12/3
a) 2/3 b) 4/9 c) 11/24 d) 9/5
a) –6 b) 0 c) 108/ 77 d) 9/5
a) 2(a/b)
53/180, 28/75, 59/150, 31/75, 13/20
57/500, 21/125, 111/500, 69/250, 63/100
Infinito
–1 ,–3/5 , 0 , 6/8 , 4/3 , 5/2 , 19/2
a) = b) > c) > d) >
12/5 > 4/5 Douglas
a) 2 1 __ 3
b) 2 1 __ 2
c) 3
d) 1 1 __ 4
– 1
– 5 __ 9
5 __ 8
11 ___ 12
– 19 ___ 5
– 35 ___ 8
–1 0 1
10–1
20–2 –1 1
9
10
Stephanie
5/80 Sandra
2400
– 1200
– 1200
2700
– 2700 90
0
–3300
600 780
0
600
1200
4800
450 180
0
3300
2400 135
0
Solucionario
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a) 30º b) 6º
a) V b) V c) V d) F
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15º
a) 90º b) 22,50º c) 150º d) 107,5º e) 180º
a) no b) no c) si = –60 d) no e) si = 45º
f) si = 210º g) no h) si = 0º
a) si b) no c) no d) no e) si
420º
15º. Se coloca la escuadra de 45º y luego con la de 30º se
descuenta, obteniendo 15º
75º. Se dibuja un ángulo de 30º, luego sobreponemos la
escuadra de 45º
105º. Se coloca la escuadra de 60º, luego sobreponemos la de 45º
b) 7, 94 c) 10 – 19 d) 94 , 17 , 39 , 48 e) 41
f) 87
Media= 34,875; mediana= 31,5; moda= 29
27
AB= 1/6; BC= 1/4; CD= 1/3; DC= ¼
a) 240 b) 120 c) 96 d) 420
e) 240 f) 30/93
a) 40/73 b) 2/11 c) 5/21
Gasta menos en vivienda
a) Música Nacional b) 60
0,57; 5,7; 5,71; 5,717
b), c), d) f)
a) 2,025 b) 2,25 c) 2,000 025
2,000 025; 2,025; 2,25.
Los números están comprendidos entre 2 y 5/2
Zona de aplicación. Pág. 38
Compruebo lo que sé. Pág. 39 - 40
6
9 3
10 2
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12
6
9 3
10
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2
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7 5
112
6
9 3
11
2
48
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1
10
Módulo 2Zona de aplicación. Pág. 48
Zona de aplicación. Pág. 53
Zona de aplicación. Pág. 60
Zona de aplicación. Pág. 65
1
1
1
1
5
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2
2
2
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a) 5/2 b) 127/21 c) –143/60
a) 0 b) 133/8 c) 28/3
a) 5 b) 1/3 c)2763/100 d) 37/5
43/4
1/10
43/12
1/15
a) 1/18 b) 49/180 c) 43/54 d) –2/39
e) 31/8 f) –7/101
a) 9 b) –2/3 c) –9/4 d) 1/4
a) –4/15 b) –301/40 c) 16
12 años
15 horas
� 6 la docena; 50 centavos por unidad
a) falso b) cero; no tiene recíproco
a) x → un número; x + 32 b) 2x – 5
c) x2 – x d) 2(x + 5)
e) x → población de un colegio; 3/10x
f) (x – y)2 g) H = P – 2
h) A= πr2 i) D = d c + r j) V = 1/3 Abase h
a)33 –34 b) –6 3
c) 23/8 153/64 d) 0 –1
e) 211/432 1/4
a) 13x2 + 5x + 1 b) x2 – 12x + 10
c) –8x2 + 6x – 2 d) –16x2 – 26x + 27
e) 18x – 12 d) –20x2 – 10x + 14
a) 6x2 + 16x + 4 b) 9x – 12 c) 2π(2x – 1)
a) –10x2 – 6x – 4 b) –24x2 + x + 5
c) –3x2 + 12x – 5 d) 2(x + 5)
a) 5x3 – 2x3 – (– 3x2 – ( 4x – 2))
b) 3x3 + x3 – (– 3x2 – ( 6x + 2))
c) –2x4 – 5x2 – ( 2x2 – (–3x – 3))
d) –8x4 + x3 – ( 6x2 – ( 7x + 6))
a) (3x + y)(x + y) – x(x + y)
b) (2x + 2)(a + b + c) – cx
c) 3x(x + y + z) – (2x –1)(x + z) – y
d) x2 + (2 +y)(x + y) +2(3 + y) + y2
e) 18x – 12
Solucionario
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2
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a) m2 = p2 + t2 b) v2 = w2 + q2
c) z2 = h2 + u2 d) r2 = x2 + k2
a) si, no b) si, si c) si, si d) si, si e) no
f) no j) si, no h) si, no i) no
a) 6, 8, 10 b) 24, 32, 40 c) 16, 12, 20
d) 70, 24, 74 e) 10, 24, 26 f) 96, 28, 100
a) rectángulo b) acutángulo c) obtusángulo
d) rectángulo e) acutángulo f) obtusángulo
a) 17 b) 20 c) 5
13/15
–24
14 cm
–96
–18 horas
–a) 4/3 b) –7/6 c) –2
(5 + 2)2 = 52 + 2(5)(2) + 22
72 = 25 + 20 + 4
49 = 49
(8 – 3)(8 + 3) = 82 – 32
(5) (11) = 64 – 9
55 = 55
4(x –y/2)(x + y/2)
x2 + 4y2
a) 9x2 + 24x + 16
b) 4x2 – 12x + 9
c) 9x2 – 16
d) 16x2 + 40x2y + 25 x2 y2
e) 16m4p2 – 40m3p3 + 25m2p4
f) 4x2 – 12xy + 9y2 – 16z4
g) 25w4 – 20t2w2 + 4t2 – 25q6
h) 9m4 + 30m2t + 25t2 – 4p2
i) 4x2y2 + 28xy + 49 – 9x4y4
j) 25x4 + 20x2 + 4
k) 25m6 – 9n6
l) 49m28 – 25m2n6
m) 9a4b2 + 24 a2b2c2 + 16b2c4
n) 49x6y6 – 42x5y5 + 9x4y4
ñ) 4a4 + 12 a2b2 + 9b4
o) 16a4 – 40a2b5 + 25b10
p) 81a4c4 – 36a4
q) 9a4b2 + 24a2b2c2 + 16b2c4
r) 36t4r4 – 60r2t2u2w2 + 25u4w4
( a + b + c) = a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Cuadrado de un trinomio: cada término se eleva al cuadrado,
más el doble producto del primer término por el segundo,
el primer término por el tercero y el segundo término por el
tercero.
a) V b) V c) V d) F e) F f) V
a)
a) 2x3 – 5x2 + 5x – 6 b) –x3 – x2 + 4x + 4
c) 2x3 + x2 – 8x + 3 d) –12x3 + 17x2 – 12x + 4
e) –4x3 + 4x2 + 13x – 15 f) x2 + 2xy +2xz + 2yz + y2 + z2
4
5
x
x
y
x + y
x + y
x
y
x – y
x + 1
x + 2
a + b + c
x + 2
x
x
a + b + c
Zona de aplicación. Pág. 69
Zona de aplicación. Pág. 72
T
M P
p m
t
V
Q W
w q
v
Z
U
H
h
z
u
K X
R
x k
r
a/b + m/p + r/t a/b • m/p + r/t a/b • m/p +
m/p • r/t
m/p – r/t ÷ m/p
+ r/t a/b • m/p • r/t
3 8/9 –3/16 –1/32 5/16
19/35 2/35 18/35 –21/5 –12/35
–19/6 –7/3 2/3 8/7 –2/3
hipotenusa: m
catetos p, t
hipotenusa: z
catetos h, u
hipotenusa: v
catetos q, w
hipotenusa: r
catetos x, k
Compruebo lo que sé. Pág. 74 - 75
3
4
5
7
6
2
Solucionario
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a) cuadrado de un número disminuido en 5
b) el quíntuplo de un número restado de otro.
c) cuatro veces el cuadrado de un número, más el triple del
mismo
d) el duplo de un número aumentado en 1
e) un medio más cuatro
f) el triple de un número aumentado en un medio.
a) 2x + 2 b) 17 + x c) 3x – 5
d) b = 2h + 5 e) l = 2a – 70 f) 5p
g) 1_3
(3x – 2) h) A= P – 23
i) 6x – 5 = –12 j) M = 1_5
x
a) x3 + 2x2 – 19x + 12 b) 3x3 + 6x2 – 24x + 2
c) x + 3; r= –10 d) x2 + 10x + 36;r=100
e) –2x2 + 10x – 15; r =15 f) –2x2 – 12x + 13; r =110 – 98
a) –9x2 – 24xy + 4y2 b) –4a2 – 24ab2 + 9b4
c) m2 + 8mp2 + 16p4 + 9
a) rectángulo b) no c) rectángulo
d) no e) acutángulo f) obtusángulo
a) V b) F c) V d) F
a) si tienes algún amigo/a que te aconseje y ayude. a→b
b) Hay tener en cuenta las experiencias ajenas para que no nos
suceda lo mismo a nosotros. a→b
c) Que la persona que no sabe lo que sucede no sufre por algún
engaño o traición. a→b
d) Que no se debe repetir varias veces algo para una persona
inteligente. a→b
e) Según la dimensión de los problemas se debe tomar decisio-
nes para solucionarlos. a→b
f) No hay que perder el tiempo en realizar los trabajos ya puede
venir alguien que lo haga más rápido que nosotros. a→b
g) No hay que andar hablando mas de la cuenta. a→b
h) Que no se debe decir mentiras para que nos crean lo que
decimos siempre. a→b
i) Que debemos ser responsable de nuestros actos. a→b
j) Debemos valorar y agradecer lo que nos regalan
sin verle defectos. a→b
k) Que se debe levantarse temprano para que realizar las activi-
dades y que nos alcance el tiempo. a→b
l) b→a
Si no somos más saludables, no cuidamos el medio ambiente.
a) Si usted no fuera un siglo, entonces la belleza no llegaría a ser
un minuto.
b) Si un número no es par, entonces ese número no termina en
dos.
c) Si el cuadrilátero no es un paralelogramo, entonces los lados
opuestos de un cuadrilátero no son congruentes.
d) Si a no es un número entero, entonces a no es un número
natural.
e) Si un triángulo no es isósceles, entonces ese triángulo no es
equilátero
a) Si un número es cardinal, entonces es entero.
b) Si p es negativo, entonces p está a la izquierda de cero en la
recta numérica
c) Si un número es de 2 dígitos y las unidades terminan en 5,
entonces el cuadrado del número termina en 25
d) Si n es un número entero, entonces n es un número racional
e) Si n es un número natural, entonces n es un número positivo
11
13
12
8
10
9
a) F b) V c) F d) V
b
a) 12
a) F b) F c) F d) V
a
b
c
c
b
c
d
d
c
7/48
b
c
d
d
Ruta Saber. Pág 76 - 77
1
3
13
4
14
5
15
7
6
16
8
2
12
18
17
10
9
11
5
3
2
4
a: a buen entendedor
p: grandes males
p: camarón que se duerme
a: boca cerrada
a: en la boca del mentiroso
a: sarna con gusto
p: el que madruga
p: los de atrás corren bien
b: pocas palabras bastan
q: grandes remedios
q: la corriente se lo lleva
q: no entran moscas
q: lo cierto es dudoso
b: la sarna no pica
q: Dios le ayuda
q: van lejos los de adelante
Módulo 3Zona de aplicación. Pág. 84
1 p: el que a buen árbol
se arrima
p: ves cortar las barbas
de tu vecino
a: ojos que no ven
q: buena sombra cobija
q: pon tus barbas a remojar
b: corazón que no siente
Solucionario
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6
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2
2
10
9
11
12
Zona de aplicación. Pág. 87
Zona de aplicación. Pág. 93
Zona de aplicación. Pág. 93
Zona de aplicación. Pág. 106
a) 74,313 b) 252,96
a) 3,25 + 25,03 = 28,28
a) 4,0 → 4,4 → 4,8 b) 4,1 → 4,9 → 5,7
11,2
a) 5,12 b) 4,516 c) 1349,4 d) 26,38
Juan: 10,23 metros
3,2 + 20,5 = 23,5
a) 1 556,7 b) 0,5 c) 46 480
d) 3 160
a) 100 b) 1 000 c) 10 000
a) 1,562 6 b) 30,573 2 c) 0,008 64
9 litros
a) 191,23 b) 11,425 c) 2,14 d) 0,223 e) 206,9
f) 12,546 g) 71,567 h) 2,83 i) 530,5 j) 217,77
a) 5 b) (3/5)– 20 c) 220 d) 4 e) 6–10
f) 4/9 g) 3 h) 1/4 i) 91 j) 7/8
a) 23 . 20 . 24 = 27 b) 0 c) 0
d) (1 / 2)2(1/3)6 e) 2 8 f) √27 g) π, π
h) ÷
a) 72y3w4z b) (243x2)/y5
c) z3/48x6y d) xy2/64
e) (y5z3)/x5 f) 9/(x6y8)
a) 6 b) 12 2 c) 27 d) 3 e) 3
a) 7 3 – 9 2 b) 2(51/3) – 18(2(1/3)) o 2 53 – 18 2
3
c) 7a 3a – 8x( 2x) d) 6 (5x2yz)
a) 3 b) 161/–9
a) 3x4 (1 – 3x2 )
b) (0,5a2 – 0,4x3)(0,5a2 + 0,4x3)
c) 4(x + 2) (6 + x(x +2))
d) 5m(5a2b – 21n2)
e) 0,04a4mz2 (4 m4 z2 + a)
f) 5mn(m – 2n)2[5m2 + 3n2(m – 2n)]
g) 8(4p3n – mz2)
h) 0,08y3(x4 + 8z7)
i) b(2x + 5y)3 [77a + 10c(2x+5y)2]
j) 17m4 (5b3 – 3pm3)
k) 0,07 (7p8x3 – m2q)
a) (4a2 + 9b3)(4a2 – 9b3)
b) (1/2(a2)b – 3/5(x3)) (1/2(a2)b + 3/5(x3))
c) (0,5(z2) – 0, 2(y3)) (0,5(z2) + 0, 2(y3))
d) (w – 1/4a3) (w + 1/4a3)
e) 25m6(ab2 + 3mn)(ab2 – 3mn)
f) (15/7pm2 – 3/8x3z) (15/7pm2 + 3/8x3z)
g) (0,4x2m4z2 – 0,3 a3 z3) (0,4x2 m4z2 + 0,3a3z3)
h) (p2r2z2 – 2/5 m2x2) (p2r2z2 + 2/5m2x2)
i) (8p3 n – 11m4n) (8p3n + 11m4n)
j) 25(1/12 y4 – 1/14 z) (1/12y4 + 1/14 z)
k) (0,8x2y2 – 0,9 m3z6) (0,8 x2 y2 + 0,9 m3z6)
l) m4 (4/5 – 0,8 t4) (4/5 + 0,8 t4)
a) (4p – 9b) (16p2 + 36pb + 81b2)
b) (a/2 – 3x) (a4/16 + 3a3 x/8 + 9a2 x2 /4 + 27ax3 /2 + 81x4)
c) (1/3z – y2)(z2/9 + zy2/3+y4)
d) (7m + 2) (13m2 + 28m + 148)
e) (5m2 + 7n)(25m4 – 35m2n + 49n2)
f) (p3m2 + 2xz3) (p18m12 – 2p15m10xz3 + 4p12m8x2z6 – 8p9m6x3z9 +
16p6m4x4z12 – 32p3m2x5z15 + 64x6z18)
g) (x m3 + 1/2az3) [m18x6 – (am15x5z3) / 2 + (a2m12x4z6)/4 – (a3m9x3
z9)/8 + (a4z12m6x2)/16 – (a5m3xz15) / 32 + (a6z18)/64]
i) (6x2n4 – 8m6z) (36 x4n8 + 48m6n4x2z + 64m12z2)
j) (4y + z4) (256y4 – 64y3z4 + 16y2z8 – 4yz12 + z16)
k) [(xy – (m2z3)/3] [x4 y4 + (x3y3m2z3)/3 + (x2y2m4z6)/9 +
(xym6z9)/27 + (m8z12)/81]
m) (2b2w + pm3) (4b4w2 – 2b2m3pw + m6p2)
n) (p2 – 3m2y) (p12 + 3m2p10 + 9m4p8y2 + 27m6p6y3 + 81m8p4y4 +
243m10p2y5 + 729m12y6)
ñ) (1/2p2t – 1/5m) [(p4t2)/4 + (mp2t)/10 + m2/25]
a) 64 (m3 – 2p3)
b) 4a4 (1/3 + 4a)
c) (a3 + 3b) (a12 – 3a9b + 9a6b2 – 27a3b3 + 81 b4)
d) (x2 + 3yz3) (x12 – 3 x10yz3 + 9x8y2z6 – 27x6y3z9 + 81x4y4z12 – 243
x2y5z15 + 729y6z18)
e) (m2 – 5p7y4) (m2 + 5p7y4)
f) (32a2 – z10) (32a2 + z10)
g) (2bw + pm) (64b6w6 – 32b5w5pm + 16b4m2p2w4
– 8b3m3p3w3 + 4b2m4p4w2 – 2bm5p5w + p6m6)
h) (16x3n6 + 23m9z2) (16x3n6 – 23m9z2)
a) 4x2 – 1_2
x2
b) 15__16
x2
c) 25 – 5_2
x
a) F b) F c) V d) F e) V
f) F g) V h) F
a) Es cóncavo b) Es cóncavo
c) No cóncavo d) No cóncavo
a) 3/7 b) 6/7 c) 1/3 d) 2/5
6
(x – 0,6)2
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a) 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/2 b) π/2, π/3, π/4, π/5, e/6
c) −2, 4, 6, 1/5, 8 d) 4√5,5, 1/3, 8, –9, 0
e) −π, −2 π, −√5, −e f) 13
; 83
; 273
; 643
; 1253La persona que obtuvo mayor puntaje es Carlos.
Si un número entero es múltiplo de 3 enteros es divisible por 6.
a) 0 b) 1 c) 1 d) 1
22º C
120,45
4,35
Paola
a) 1/25 b) 1/27 c) 9(m2) d) (x20) / 256(y8)
a) (m2)(r12)(p9) b) ((p3)/(s8)(r6)
c) (m2 + 2)2 (m2 – 2) d) (a4)(b8) ((√625(z4))5)
a) 53( 2 ) + 23( 3 ) b) 13/4( 2 ) – 1/3( 3 )
c) 3 23
– 73 33 d) –8 5
3+ 2 1/4
3 e) – 2 5
6
7
1
3
4
5
7
6
8
2
10
1
2
3
4
5
9
Compruebo lo que sé. Pág. 107 - 108
Módulo 4
Zona de aplicación. Pág. 122
Zona de aplicación. Pág. 128
Zona de aplicación. Pág. 134
√_
6
0 1 2 3 4
1 1 1 1 1
√__
10 √__
13 √__
17 √__
19
5
a) V b) V c) F d) F e) F f) F
g) F h) V
a) V b) V c) V d) V e) F f) V
g) F h) F
N
ZQ
R
Q` Q
R
√__
19
R
– 8
1 __ 2
0 4
1
1
2
3
3
4
5
6
2
a) si b) no c) no d) no e) no
f) no g) si h) si
a) 9 b) 60mp c) 121x2 d) 36x2, 25 e) 169
f) 100 g) x2, 9 h) 16
a) (2x – 5y)2 b) (1 – 5a3)2 c) (a – 5)2
d) (r – 15)2 e) (7m2n + 8xy)2 f) (x – 13)2
g) (a + 4)2 h) (mx + 2)2
a) (x + 2)(x + 1) b) (m – 8)(m – 3)
c) (a – 2)(a + 1) d) (a – 13b)(a + 12b)
e) (a – b + 16)(a – b – 15) f) (x + 4)(x + 2)
g) (x – 8)(x + 3) h) (s – 5)(s + 3)
i) (r – 15)(r + 7) j) (m + n – 13)(m + n – 5)
k) (y + 8)(y + 3) l) (w + 8)(w – 3)
m) (a – 9b)(a + 4b) n) (m3n3 – 13)(m3n3 – 8)
o) (x + y + 31)(x + y – 30)
a) 6 b) 72 c) 17 d) 3 e) 15
f) 32 g) 1 h) 8 i) (a + b)2
a) x2 +9 x + 20 b) x2 – x – 12
c) x2 – 4x – 96 d) x2 +25 x + 84
e) x2 + 3x – 460
a) (1 + 3b)(1 + a) b) (3m – x)(5x – y + 2)
c) (p – 2m + 1)(p – 2m –1
d) (15m + 1 + x – 13y)( 15m + 1 – x + 13y)
e) (5m + 2p)3 f) (4a + 5b)3
g) (x – a)(x2 – x + ax + 2a) h) (1 – 8ab + x2)(1 – 8ab + x2)
i) (3x – 2a)(x – y2 – xy) j) (4a –b)(5x – 2y)
k) (m + a – 1)(m – a + 1) l) (5r + a + 1)(5r – a – 1)
m) (a + n – 2)(a – n – 2) n) (x6 + 1)(x12 + 2x6 +1)
ñ) (x + y)(2x – y +1) o) (x + a)(x – a – 2)
p) (3x + 5)3 q) (2 + 3p)3
a) TF x2 +sx + p b) DC
c) Potencias iguales d) FC agrupación
e) DC f) TF x2 +sx + p
g) TF x2 +sx + p h) DC
i) FC j) Combinación TCP–DC
k) TF x2 +sx + p l) TCP
m) TF x2 +sx + p n) FC agrupación
ñ) Potencias iguales o) TF x2 +sx + p
p) DC q) Cubo de binomio
r) cubo de binomio s) FC agrupación
t) FC agrupación u) TF x2 +sx + p
v) Combinación w) DC
a) 3m(m4 + m2 + 1)
b) (1 – mn)(1 + mn)(1 + m2n2 + m4n4)
c) 2(p + t)(p – t)(p2 – p – 2)
d) 2y(3x + 5y)(3x + 5y)
e) (p + m)(p – m)(p – m)(p2 + mp + m2)
N x x x x x x x x x S s s s X
Z s s x x x x s x x S s s s X
Solucionario
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a) (a + b – c)(a – b + 1)
b) (a + b – z)(a – b + z + 1)
e) 2(m + p)(m – p)(m2 – m – 2)
f) 2t(x – b)2
g) (c + 1)(c + 2)(c2 – 2c + 4)
h) (x – y – 1)2
i) (a + 2)(a – 2)(a – 2b + 1)
16
35
15
17
16
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
f) t(m + 1)(m – 1)(t + 1)(m4 + m2 + 1)
g) p(p – 7)(p + 1)
h) p(m + 1)(m2 – m + 1 + 3p)
i) m(m4 +p4)(m2 + p2)(m + p)(m – p)
b) 8 c)12 d) 11
a) 11 b) 4 c) 6 d) 21
a) 6 b) 12
a) 21 b) 62
a) x = 120; y = 60 5 b) x = 50; y = 5 51
c) x = 30; y = 40 5
a) 24 b) 8 7 c) 75 3 – 8________
212
80
a) Los racionales tienen un desarrollo decimal periódico y los
irracionales no.
b) Porque hay número, como que tienen un lugar en la recta
y no son racionales.
c) No, porque entre dos enteros hay siempre una cantidad de
finita de enteros.
d) No
a) 12 b) 9 c) 8(2a – 3b) d) 1
a) (8a – 5b)2 b) (9x + 2y)2 c) (11t + z)2 d) (7m2 +1)2
a) (m – 7)(m + 4 b) (y + 4)(8 – y)
c) (y + 9)(y – 7) d) (m + 8)(m – 5)
a) x2 + 2x – 15 b) x2 + 11x + 28
c) x2 + x – 56 d) x2 – 7x + 10
a) 15 b) 15 c) 56 d) 7
a) (m – 7)(m + 4) b) (y + 4)(8 – y)
c) (y + 9)(y – 7) d) (m + 8)(m – 5)
a) (y – 6a + 4x)(y + 6a – 4x) b) (a + 3x + y + 2)(a + 3x – y – 2)
c) (p +1)3 d) (1 – 2ab)3
a) (1 + 10x2)(1 – 10x2 + 100x4)
b) (p + x)2
c) (3m – 4)(5m + 1)
d) (a + c + d –n)(a – c – d – n)
e) (6a2 + 6ab – 7b2)(6a2 – 6ab – 7b2)
f) (x3 – 24)(x3 + 20)
g) (2a – 1)(4a2 – 4a +1)
h) (2a + 1)(3m – 2n )
i) (7ab – 1)2
j) (9a4 – 12a2b3 + 8b6) (9a4 + 12a2b3 + 8b6)
3
4
2
Zona de aplicación. Pág. 138
Compruebo lo que sé. Pág. 139 - 140
√_
8
0 1 2 3 4
1 1 1 1
√__
17 √__
21 √__
35
√_
7 5 6
Ruta Saber. Pág. 141 - 142
b
c
a
d
c
a
d
b
b
b
b
d
b
a
d
a
1
3
4
5
6
2
7
8
10
9
11
13
14
15
16
12
Módulo 5Zona de aplicación. Pág. 153
1
5
3
2
4
a) x = 10 b) x = 19 c) x= 1
d) x = 12 e) x = 1 f) x = – 4
h) x = – 3
a) m = – 2 b) p = 1 c) y = 1
d) m = 6 e) m = 4 f) y = 21/8
g) q = 18/31 h) x = 3 i) y = – 5/2
a) y = 2a b) x = m/3 c) x = r2 + p2_____2p
d) x = 1 e) x = l – a_____a
f) x = 0
a) k = 6 b) k= 8 c) k = 5
d) k = 6
a) b = 8 b) y = – 1 c) p = 6
d) r = 5 e) t = 1 f) y = 11
Zona de aplicación. Pág. 161
a) x = 15b – 2 _______ 12
b) n = Rm _______ 2p
3 – 5c
c) P1 = P2 x _____ P2 – x
d) a = 2(x – v0t)
_______ t2
1
Variable Independiente: Obreros Variable dependiente: Piezas
El gráfico representa un patrón de crecimiento lineal.
2
10 20 30 40 50 60 70 80 90
20
40
60
80
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Variable Independiente: Obreros
Variable dependiente: Piezas
El gráfico representa un patrón de crecimiento lineal.
Variable Independiente: Días
Variable dependiente: Contravenciones
El gráfico representa un patrón de decrecimiento lineal
3
5
2
10 20 30 40 50 60 70 80 90
20
40
60
80
10 20 30 40 50 60 70 80 90
20
40
60
80
a) y = x + 7
c) y = 9 – x
d) y = – x + 5
Rectas Paralelas
y = 9 – x ; y = – x + 5
y = x + 7 ; y = x – 3
– 8 – 6 – 4 – 2 2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
14
– 1
– 2
– 3
– 4
x y
–3 4
–2 5
–1 6
0 7
1 8
2 9
3 10
x y
– 3 12
– 2 11
– 1 10
0 9
1 8
2 7
3 6
x y
–3 8
–2 7
–1 6
0 5
1 4
2 3
3 2
– 8 – 6 – 4 – 2 2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
14
– 1
– 2
– 3
– 4
– 8 – 6 – 4 – 2 2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
14
– 1
– 2
– 3
– 4
– 8 – 6 – 4 – 2 2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
14
– 1
– 2
14
14
b) y = x – 3
– 8 – 6 – 4 – 2 2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
6
7
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
– 9
– 10
– 11
x y
–3 –6
–2 –5
–1 –4
0 –3
1 –2
2 –1
3 0
– 10 – 5 5 – 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
14
– 1
– 2
14
14
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
– 9
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������������
Ana 21 años; Bety 35
años
Libro � 90; Cuaderno � 65;
Uniforme � 170
Primer piso 16; Segundo
piso 32
Primera � 130; Segunda�� 110; Tercera � 70
Primero 24; Segundo 25;
Tercero 26
Mayor � 128; Menor � 96
Primero � 215; Segundo � 410
18 minutos
Largo 7 cm; Ancho 2,5 cm
Menores 3000, Mayores
8000
Resueltos 12; Sin resolver 58.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6 a) 311___900
b) 401____1 980
c) 22 793______990
d) 149___20
e) 29__40
f) 203___90
g) 181___4
h) 2 727_____100
– 10 – 5 5 – 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
14
– 1
– 2
14
14
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
– 9
Zona de aplicación. Pág. 168
Zona de aplicación. Pág. 172
Zona de aplicación. Pág. 176
1
1
3
7
114
8
125
9
2
6
10
a) 3 – 5x b) c = 5s – 3
c) 5 + x = x2__2
d) L = 2 (L – 10) + 3
e) 2p + 15 = 48
a) 22 4__5
b) 5__9
c) 7 3__8
d) 9__2
e) 9__8
f) – 8__5
3 4
21 221,6 cm2 55,42 cm2
r = 9 m D = 14 m
r = 3 dm D = 60 m; A = 900π m2
24π cm 6,15 m2
a) x = 0 b) x= 12 c) x = 5 d) x = 8
a) x = 11__13
b) z = 1__4
c) z = – 1__2
d) m = – 5__2
a) x= p(m + p)_______(p – m)
b) x= a2 + b2______4a
c) t= – m__p
d) x = 1
a) z = 8 b) y = 3 c) m = ¼ d) x = 5
a) g = s__πr
– r b) r = 3v + πh3______3πh2
c) x= yp____y – p
d) m= nm_____v – n
a) k = 12 b) y = 12/x
c)
a) K = 3 b) y = 3x
c)
a) 31__90
b) 47__20
c) 2 777____110
d) 101___4
Padre 48 años; Hijo 12 años
16H 00
Naranja � 0,5; Manzana � 0, 90; Tiene � 3,80
Largo 26,25 m; Ancho 21,25 m
– 1/ 5
a) 0,435 cm2 b) 12π cm2 c) 25π cm2
d) 0,16 m2 e) 9(π – 1) cm2
Compruebo lo que sé. Pág. 177 - 178
No-. de obreros 2 3 4 6 12
No. de días 6 4 3 2 1
Peso (kg)(x) 2 4 5 8 9
Precio (�)(y)
Módulo 6Zona de aplicación. Pág. 186
1 a) 1 > x > – 2 b) x < 1 c) – 2 > x ≥ 2
d) 1 ≥ x ≥ – 1 e) x ≥ – 3 f) 1≥ x > – 1
g) x> – 8
2
0– 3 8– ∞
+ ∞ 0 25 ___
4
– ∞
+ ∞
a) 8 > x ≥ – 3 b) x ≥ 25__4
0– ∞ 0– 7 2
– ∞ + ∞– 8 – 9 __
2
0 6– ∞ + ∞
c) θ d) –7 ≥ x ≥ – 8 � 2 > x ≥ – 9__2
5
7
6
8
a) 9,72 cm b) 9,12 cm c) 3,52 cm d) 9,12 cm
32π cm2 A = π(R2– r2)
P = 16π cm; A= 12π cm2 10,26 cm2
10 11
12 13
90
– ∞
+ ∞– 10 27
0– ∞ + ∞
– 1
e) x < – 10 f) x < – 10
0– ∞
– 4
+ ∞
5 a) 1 b) 4 c) 3 d) <
Solucionario
71
Pro
hib
ida
la r
ep
rod
ucc
ión
to
tal o
pa
rcia
l po
r cu
alq
uie
r m
ed
io s
in p
erm
iso
esc
rito
de
la E
dit
ori
al.
������������
b a d c a d
c d a d c b
c c d d a
1 AL = 13,75 cm2 ; AT = 27,75 cm2; V= 8,75 cm3
2 AL = 56 cm2 ; AT = 80 cm2; V= 48 cm3
3 AL = 42 cm2 ; AT = 62,78 cm2; V= 36,37 cm3
4 AL =188,4cm2 ; AT = 244,92 cm2; V= 282,6 cm3
5 AL = 339,12 cm2 ; AT = 466,29 cm2; V= 763,02 cm3
6 AL = 94,2 cm2 ; AT = 251,2 cm2; V= 235,5 cm3
V= 432 cm3 D = 18___
2n
v= 134,4 m3 V=720 π cm3
38,4 m2 de papel volumen y área de 2 a 3
1 AL = 139,36 cm2 ; AT = 211,36 cm2; V= 168 cm3
2 AL = 221,85 cm2 ; AT = 286,8 cm2; V= 306,13 cm3
3 AL = 67,10 cm2 ; AT = 94,62 cm2; V= 56,14 cm3
4 AL =91,44cm2 ; AT = 104 cm2; V= 29,3 cm3
5 AL = 251,2 cm2 ; AT = 301,44 cm2; V= 153,56 cm3
6 AL = 1004,8 cm2 ; AT = 1205,76 cm2; V= 1227,86 cm3
a) apotema: 10 m b) h = 8,54 cm c) 10,44 cm
AL= 312 π cm2 V= 235,7 cm3 D= 16 cm2
h=15,25 m h= 14,30 m p= 68 m2
g = 17 cm AT = 336 π cm2 V = 320 π cm3
c) 3 segmentos. d) infinitos puntos. e) Una sola recta.
1
1
1
1
2
2
3
6
9
4
7
5
8
4
6
3
5
7
8
1
2
a) 3(x – 8) > 4(x + 4)
3x – 24 > 4x + 16
3x – 24 + 24 > 4x + 16 + 24
3x > 4x + 40
–4x + 3x > 4x + 40 + 40 – 4x
–x > 40
(–1)(–x) < (–1)(40)
x < 40
Propiedad distributiva
Sumamos 24
Reducción de términos
Restamos 4
Reducción de términos
Multiplicamos por –1
Encontramos la solución
b) y__4
+ 2__3
≥ 1__6
12y__4
+ 2__3
≥ 121__6
12y__4
+ 122__3
≥ 121__6
3x + 8 ≥ 2
3x + 8 – 8 ≥ 2 – 8
3x ≥ – 6
y__4
(3x) ≥ 1__3
(–6)
x ≥ – 2
Multiplicamos por el mcm
Propiedad distributiva
Simplificamos
Restamos 8
Reducción de términos
Dividimos por 3
Encontramos la solución
Zona de aplicación. Pág. 191
Zona de aplicación. Pág. 205
Zona de aplicación. Pág. 210
Compruebo lo que sé. Pág. 212 - 213
a) x < 9__5
d) m ≤ –2
g) z ≥ 1,8
m) –20 ≤ x < 20
b) y < 61__28
e) x ≤ 0
h) x ≤ 2
n) 18 ≥ x ≥ 30
c) z ≤ 65__8
f) x < 9
i) x < –2,2
ñ) x < 3__
22
0– ∞ + ∞
– 2 0– ∞ + ∞
0– ∞ + ∞
9
0– ∞ + ∞
1,8 0– ∞ + ∞
2 0– ∞ + ∞
– 2,2
0– ∞ + ∞
65 ___ 16 0– ∞ + ∞
3 0– ∞ + ∞
– 9 9
0– ∞ + ∞
– 20 20 0– ∞ + ∞
18 30
j) y > 65__16
k) y > 3 l) –9 < y ≤ 9
1 2
2
3
3
13
El cuadrado tiene
4 ejes de simetría.
El hexágono
regular tiene 6
ejes de simetría.
Infinitos.
Zona de aplicación. Pág. 195
0– ∞
+ ∞3
o) y > –5__2
p) y ≥ –19__3
q) y < –3
5 a) A’ (–1; 5), B’ (–3; 0), C’ (–6; 2), D’ (–7; 3) y E’ (–4; 7).
b) A’ (1;– 5), B’ (3; 0), C’ (6;– 2), D´ (7;– 3) y E´ (4;– 7).
15
– ∞ + ∞
0
– ∞ + ∞
0 0
– ∞ + ∞ 15
___
2 0
– ∞ + ∞
20– 1
__
2
a) x ≥ 15 c) x ≤ 15__2
d) 20 ≥ x ≥ –1__2
b) R
2
3
4
5
6
6
17
6
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
a) – 40 b) 9 c) 10 d) 13
a) x > –11__4
b) x ≤ 27__13
c) –7__3
> x ≥ – 17__3
d) x ≤ –35__15
e) x ≤ –47__20
f ) 3 ≥ y ≥ –2,25
a)
No tiene eje de simetría pues no cumple el concepto.
a) Recta b) Recta c) plano d) Espacio.
a) Siempre b) Siempre c) Algunas veces d) algunas veces
a) Vcilindro = 16000 π cm3 b) Vcono = 16 000_____
3cm3 c) V =
32 000π_______3
cm3
A= 252 π cm2; V=639,45 cm3
AL = 2185,44 m2 ; AT = 2499,44 m2; V= 7745,3 cm3
540π cm3
b) c) d)
a) Infinitas rectas b) Solo una recta c) Infinitas
d) Infinitos planos e) Infinitos f) Ninguna
g) No siempre h) si se pueden i) si existen
j) si puede pasar k) si puede l) verdad.
1
Zona de aplicación. Pág. 199
Ruta saber. Pág. 214 - 215
0– ∞
+ ∞61__
280
– ∞
+ ∞65__8
0– ∞ + ∞3__
22
0– ∞
+ ∞–
5__2 0
– ∞
+ ∞19__3
–
0– ∞
+ ∞9__
5
una sola recta seis 4 planos dos
Si los tres puntos son colineales no determinan un triángulo.
2 4
4
1514
3 5
5
166
Pro
hib
ida
la re
pro
du
cción
tota
l o p
arcia
l po
r cua
lqu
ier m
ed
io sin
pe
rmiso
escrito
de
la E
dito
rial.
72
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