69467302-1º-seminario-de-Trigonometria-PREUNIVERSITARIO-2007-I-Sara

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01

TRIGONOMETRÍA

01. Si se sabe que 25 grados de un nuevo sistema P equivalen a 30º, determine una fórmula de conversión entre el sistema P y el sistema radial.

A) B)

C) D)

E)

02. Si A representa la 300ava parte de un grado centesimal y B la 100ava parte

de un radian. Halle .

A) B) C)

D) E)

03. Si S, C y R son los números que expresan la medida de un mismo ángulo en grados sexagesimales, centesimales y radianes respectivamente. Además se cumple: . Halle la medida de dicho ángulo en radianes.

A) B) C)

D) E)

04. Si S, C y R son los números que representan las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Además se cumple:

. Halle la medida de dicho ángulo en radianes

A) B) C)

D) E)

05. Si S, C y R son los números que indican la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente; y se verifica que , halle la medida de dicho ángulo en radianes.

A) B) C)

D) E)

06. Si S, C y R son los números que representan las medidas de un ángulo en los tres sistemas convencionales y

si cumple: ;

halle la medida del ángulo en radianes.

A) B) C)

D) E)

07. En la figura mostrada se cumple que: a + b + c = 950 + 2,5; siendo a, b y c las medidas del ángulo XOY. Halle el valor de a – b.

A) – 100 B) – 40 C) – 50D) – 80 E) – 20

CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 1

X

Y

Ocradbg

aº

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 0108. ¿Para qué valor de x se verifica la

igualdad:

A) 12 B) 17 C) 24D) 20 E)10

09. Si S, C y R representan la medida de un mismo ángulo en los 3 sistemas de medición angular. Y se cumple que : 3Cº – 2Sg = rad. Calcule la medida de dicho ángulo en radianes.

A) B) C)

D) E)

10. Si S y C son números que representan

la medida de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal, que cumple:

calcule el valor

aproximado de , ( ).

A) B) C)

D) E)

11. Se tiene un nuevo sistema de medida angular en el cual la unidad fundamental se denota por 1; y resulta de sumar las unidades fundamentales del sistema sexagesimal y centesimal. Calcule cuántas unidades del nuevo sistema

equivalen a 627 radianes .

A) 21700 B) 18900 C) 15300D) 12900 E) 18000

12. La suma del número de minutos centesimales y el número de segundos sexagesimales de la medida

de un ángulo es 33400. Halle la medida de dicho ángulo en radianes.

A) B) C)

D) E)

13. ¿Cuál es la medida del ángulo en radianes que verifica la igualdad:

A) B) C)

D) E)

14. Sabiendo que: = 2º + 4º + 6º + 8º +…. +20º

.

Halle la medida de – en el sistema radial.

A) – B) – C)

D) E)

15. En la figura mostrada, si la medida del ángulo y (en radianes) está dada por: y = 2 + + 1, halle el máximo valor de la medida del ángulo x (en radianes).


B

CA

yx


A) B) C)

D) E)

16. De la figura mostrada AOF, BOE y COD son sectores circulares, además; BC = DE = a, AB = EF = 2a,

Calcule: M = (2x + z) y–1

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

17. Se tiene el sector circular AOC, donde OA = OC = r y mAOC = . Si; r crece 10% y el ángulo central crece 20% ¿En qué porcentaje crece el área del sector circular?A) 15% B) 20% C) 30%D) 40% E) 45.2%

18. Las áreas de un sector circular y la región encerrada por un cuadrado son iguales y además de igual perímetro; determine el número de radianes del ángulo central de dicho sector.A) 0,5 B) 0,75 C) 1D) 1,5 E) 2

19. Halle el área máxima (en cm2) de un trapecio circular de 20 cm de perímetro.A) 40 B) 35 C) 30D) 25 E) 20

20. Un arreglo de flores debe tener la forma de un sector circular de radio r y un central . Si el área es (Am2) y además es constante y el perímetro es mínimo. Halle r (en m) y (en rad.)

A) A ; 2 B) C)

D) E)

21. En la figura mostrada,si mAOB=90º, DAC, EBC y AOB son sectores circulares y AO = OB = R. Calcule el área máxima de la región sombreada.

A) B)

C) D)

E)

22. De la figura mostrada, la rueda de radio r, gira sin resbalar sobre la superficie circular de radio 5r.¿Cuántos grados sexagesimales experimenta el giro de la rueda hasta que el punto B esté en contacto con la superficie curva?


C

0

BA

F

ED

A

BO E

D

C

r

01 r B

01

B


A) 18º B) 80º C) 84ºD) 90º E) 108º

23. Si en el sistema mostrado, el disco A gira 90º. ¿Cuánto gira el disco C?

A) 36º B) 54º C) 18ºD) 90º E) 27º

24. En el sistema mostrado, si la rueda A

da de vuelta, entonces la longitud

recorrida la por la rueda C es:

A) 3,6 B) 36 C) 1,8

D) 18 E)

25. Si sen(x+20º).sec(2x+40º) =1, x 0; 25º, calcule

A) B) C)

D) E)

26. Sisec(2x–18º)sen(28º) = 1, x 9º ; 54º, halle el valor deF = sen(x – 10º) + cos(x + 20º)

A) B) 1 C)

D) E)

27. Si13 sen() = 5, x 0;90º,

calcule:

A) 5 B) C) D) 2 E) 10

28. Se tiene un triángulo ABC, donde mCAB = 15º, mABC = 135º y BC= unidades. Calcule la longitud (en u) del segmento AC.A) B) C) D) E) 2

29. De la figura mostrada si BC = , AE = 2u, DC = 1u, además; mABE = 45º, mDBC = 30º. Calcule


5

C

B

A1

3

B

A CE D

0

5r

6

B

C

82

A


A) B) C)

D) 2 E)

30. De la figura adjunta, si AB = m, BC = n, DC = x, AE = y, BE = BD.

Determine en función de m, n, y

.

A) B)

C) D)

E)

31. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado, calcule

A) 8 B) 7 C) 6D) 5 E) 4

32. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD de lado 2 unidades, donde M y N son puntos medios de los lados AB y BC del cuadrado, respectivamente. Halle el área en u2

de la región triangular MND.

A) B) C)

D) E)

33. En la figura mostrada ABCE es un rectángulo, además: mACB = , mCED = , mADB = . Determine tan() en función de y .


B

CA E D

37º

A B

CD

B C

DA

M

N

A E


A) tan() – tan() B)

C) cot() – tan() D)

E) cot() – cot()34. En la figura mostrada AB = AD = BC,

mABC = 90º, mBAD = 32º, mBCD = . Calcule cot().

A) 0,75 B) 1,25 C) 2,95D) 3,45 E) 4,35

35. En la figura mostrada BD = DC, mBCA = , mBMD = , determine tan() en términos de .

A) 2cot() – tan() B) 2tan()+ cot()C) tan() + cot() D) 2tan()– cot()E) 2cot() + tan()

36. En la figura mostrada mABC =mAFE = 90º, mAEF = , mACB = 37º, BD = DC, calcule tan().

A) B) C

D) E)

37. De la figura mostrada si M es punto medio de AC, calcule

A) B) C)

D) E)

38. En la figura mostrada, si el área de la región triangular CDE es igual a la mitad del área de la región triangular ACD y ésta a su vez es igual a la tercera parte del área de la región triangular ABC, calcule tan().


DB C

B

C

A

D

CA

B

M

E

D

B

A CF

E

M

B

CA53º

E

C

B

D

A

D


A) B) C)

D) E)

39. En la figura adjunta AOB es un sector circular, tal que: y OD = DB, si mECD = , calcule cot().

A) B) 2 – C) 1 + D) 2 + E) 3 +

40. En la figura mostrada, O es el centro de la semicircunferencia, además AQ = 2QP, MOB = 90º y mMQP = , calcule sen().

A) B) C)

D) E)

41. En la figura mostrada, O es el centro de la circunferencia, mBAC = 2, mDGF = , determineE = 1 + cot(45º – ) en función de .

A) tan() B) 2 tan() C) cotD) 2cot() E) 4tan()

42. En el triángulo rectángulo ABC, mBAC = 60º, se traza la altura BH, relativa a la hipotenusa, y luego la ceviana BN (N entre H y C) tal que NH = 2NC. Si mHBN = y mNBC = , calcule P = cot() cot().A) 2,5 B) 3,5 C) 4,5D) 5,5 E) 6,5

43. Una hormiga observa la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación de medida . Si la hormiga se acerca hacia el árbol una distancia igual a L metros, el nuevo ángulo de elevación para el mismo punto es ahora de medida ; entonces la altura del árbol en términos de L, y es:

A) L [tan() – tan()]

B) L [cot() – cot()]

C) L [tan() – tan()]–1

D) L [cot() – cot()]–1

E) L tan() . tan

44. Un niño observa la parte mas alta de un muro con un ángulo de elevación , luego avanza hacia el muro una distancia igual a la diferencia de las alturas entre el muro y el niño y el ángulo de elevación es ahora el complemento del anterior, calcule tan() + cot()


C

BEO D

A

MP

B0A

Q

D

A FC

B

E

G

O


A) B) C)

D) E)

45. Una antena está ubicada en la parte más alta de un edificio. Desde un punto del suelo se observa los extremos de la antena con ángulos de elevación de 45º y 53º. Si la antena mide 6 metros; entonces la altura (en m) del edificio es:A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24

46. Un avión vuela horizontalmente a una altura constante y antes de pasar sobre dos puntos en tierra A y B los observa con ángulos de depresión de 45º y 37º respectivamente. Cuando está sobre B es visto desde A con un ángulo de elevación . Calcule tan().A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6

47. Desde la parte superior e inferior del segundo piso de un edificio de 4 pisos iguales se observa una piedra en el suelo, a una distancia de 9 m y con ángulos de depresión y respectivamente. Desde la parte más alta del edificio la depresión angular para la piedra es , si

. Calcule la

medida del ángulo de depresión con que se ve a la piedra desde la parte superior del tercer piso.A) 30º B) 45º C) 53ºD) 37º E) 60º

48. Dados los puntos A = (–2; – 3), B = (2; 1), C = (4; – 9) y M punto medio de . La distancia de M al segmento AC es:A) 2 B) 2 C) 4

D) 4 E) 6

49. Los puntos son

los puntos de trisección del segmento AB. Halle la longitud del segmento AB.A) 6 B) 7 C) 8D) E)

50. Dado los vértices A(–2; 4) y B(6; –2) de un triángulo ABC y el punto H(1;3) de intersección de sus alturas. Determine el vértice C.A) (– 4; 10) B) (2; 13) C) (13;19)D) (–10; 20) E) (7; 13)

51. Dados los puntos A(3; 4) y B(–5; 2). Determine la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los puntos A y B.A) y = 4x – 1 B) y = 4x + 1C) y = – 4x – 1 D) 4 = 4x + 3E) y = 4x –3

52. Determine el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano, que equidistan de los puntos A(–3; 5) y B(8; 2), dar como respuesta su ecuación.A) 11x +3y – 8 = 0B) 11x – 3y – 1 = 0C) 5x – 3y – 1 = 0D) 11x – 3y – 17 = 0E) 11x + 3y + 17 = 0

53. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (– 2; 2) y sea paralela a la recta L: x – y – 3 = 0.A) y = x + 4 B) y = – x + yC) y = 2x + 1 D) y = 2x – 1E) y = – x + 1


CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 0154. Determine la ecuación de una recta

que pasa por el punto (3;3) y sea perpendicular a la rectaL: x + y + 2 = 0A) y = x B) y = 2x C) y = 3yD) y = 4x E) y = x + 1

55. Dada la ecuación de la recta L: 2x – y – 2 = 0, determine la ecuación de la recta L1 que pasa por (8; 4) y es perpendicular a LA) x + 2y – 16 = 0B) 2x – 5y – 16 = 0C) x – 2y + 8 = 0D) 2x + 4y + 16 = 0E) x + 2y + 16 = 0

56. Determine la ecuación de la recta perpendicular a la recta L: 4x + y – 1 = 0 y que pasa por el punto de intersección de las rectas L1: 2x – 5y + 3 = 0 y L2: x –3y – 7 = 0A) 4x – y + 42 = 0B) x + 2y – 12 = 0C) 3x – 2y + 35 = 0D) 2x + y – 21 = 0E) x – 4y – 24 = 0

57. Si los puntos A(2, 3), B(4, 6) y C (6; 1) forman un triángulo ABC. Determine la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al lado .A) y = 3x + 1 B) y = 2x – 2C) y = x – 4 D) y = 2x + 1E) y = 2x – 3

58. Sean las rectas L1: 3x – 4y + 12 = 0 y L2: 3x + 4y – 12 = 0, determine la ecuación de la recta L que pasa por el origen de coordenadas y por el punto de intersección de las rectas L1 y L2. A) y = – 3 B) y = 0 C) x = 0D) x = 3 E) 4x + 3y – 12 = 0

59. Si los vértices de una región triangular son A (– 3; – 6), B(6; 9) y (3; 12); determine la ecuación de la recta paralela a y que pasa por el baricentro de la región triangular mencionada.A) 5x + 3y + 5 = 0B) 5x – 3y – 5 = 0C) 5x – 3y + 5 = 0D) 5x + 3y – 5 = 0E) 5x + 3y + 15 = 0

60. Un segmento de recta, forma con los semiejes positivo de la abscisa y ordenada un triángulo rectángulo cuya área es de 3m2, si la mediatriz de la hipotenusa pasa por el origen de coordenadas, determine la ecuación de la recta que contiene al segmento de recta.A) x + y – = 0B) x – y + = 0C) x + y + = 0D) x + y – 1 = 0E) x + y – 1 = 0

61. Sean la recta L: 3x – 4y + 7 = 0 y el punto P = (–1; – 1). Determine la ecuación de dos rectas paralelas a L y que equidisten del punto P, 2u.A) L1: 4x – 3y – 9 = 0

L2: 4x – 3y + 11 = 0

B) L1: 4x – 3y + 9 = 0 L2: 4x – 3y – 11 = 0

C) L1: 2x + y + 5 = 0 L2: 3x + 4y – 11 = 0

D) L1: 3x – 4y + 9 = 0 L2: 3x – 4y – 11 = 0

E) L1: 3x – 4y – 9 = 0 L2: 3x – 4 – 11 = 0


CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 0162. Un rayo de luz que parte de (5;5)

incide en un espejo plano que está sobre el eje Y. Si el rayo reflejado forma con los ejes coordenados en el

primer cuadrante un triángulo de

u2,de área, determine la ecuación del rayo reflejado.

A)

B)

C)

D)

E)

63. Determine la ecuación de la recta (de pendiente negativa) bisectriz del ángulo que forman las rectas

A) x + y = 39B) x – y = – 39C) 7x – 7y = – 41D) x = y + 2E) 2x + 3y + 41 = 0

64. Las rectas L1: x – y + 2 = 0, L2: x + 2y – 7 = 0 y L3: 2x + y –11= 0 se intersectan dos a dos y los tres puntos de intersección forman un triángulo. Halle la tangente del menor ángulo interior.

A) B) C)

D) 1 E)

65. La recta L1 es paralela a la recta L2 : 3y – x – 100 = 0

Si el área de la región triangular limitada por el eje y la recta y = 4, por la recta L1, es 27 u3, halle la ordenada de la intersección de L1 con el eje y A) 4 – 2 B) 4 – 3C) – 1 D) – 2 E)

– 3

66. Sean las rectas L1: y = 0 y L2: x + y – 1 = 0. Determine la ecuación de la recta bisectriz del ángulo obtuso formado por las rectas L1 y L2.

A)

B)

C)

D)

E)

67. Dos rectas L1 y L2 se intersectan en el punto (5, 12) además los interceptos de L1 con el eje X y L2 con el eje Y están contenidos en una recta cuya ecuación es y – 27x – 27 = 0. Calcule el menor ángulo formado con las rectas L1 y L2.A) 15º B) 30º C) 37ºD) 45º E) 60º

68. Se trazan las rectas L, L1 y L2

(como en la figura), tal que; L: x – 3y – 3 = 0; L2 : y = 2; L L1 y AB = 2 BC. Determine la abscisa del punto P.


L2

X

L

L1

0

P

CB

A

Y


A) B) 1 C)

D) E)

69. Halle el punto Q del gráfico para que la suma de las distancias d(A, Q) + d(Q, B) sea la mínima

A) (2, 0) B) C)

D) (3,0) E) (4, 0)70. Si sen() + 1 – sen() – 1 = – 1,

IIIC, calcule

A) – 2 B) – 1 C) 0D) 2 E) 3

71. Si sen() = , tan() = tan() y

sec() = – sec(), halle el valor de

A) – 2 B) – 1 C) 0D) 1 E) 2

72. Sabiendo que sen = , tan() < 0

y sen() < 0, halle el valor de

.

A) – B) – C) –D) – E) 4

73. Si csc(x) = – 3, x IVC. Halle el valor de m en la siguiente igualdad:

A) B) C)

D) E) 3

74. Si el punto P de coordenadas (a, – 2a) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal y además a < 0. Halle el valor de:W = –

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

75. En la figura mostrada si: A = (5; – 3), OA = AB, calcule tan()

A) – 5 B) – 4 C) – 3D) – 2 E) – 1

76. De la figura mostrada si: P = (5; – 4), calcule .


A(0; 9)

B(5; 6)

Q(x; 0)

Y

X0

B

A

0

P

Y

X

X

Y


A) – 9 B) – 8 C) 7D) 8 E) 9

77. En la figura mostrada, C es el centro de la circunferencia de coordenadas (–1; 3), además P y Q son puntos de tangencia, calculeF = tan() – tan()

A) – B) – C)

D) E)

78. En la figura mostrada se cumple que: PM = MQ, mQPA = 90º; mOAP = 18.5º y las coordenadas del punto P son (– 3, – 6), calcule E = tan() + cot().

A) B) – C)

D) E) –

79. En la figura mostrada, mRPO = 53º, mQOT = 90º, PQ = 2 QR. Halle el valor de R = 8tan() – 3cot()

A) – 5 B) – 3 C) 0D) 3 E) 5

80. Halle las medidas de 2 ángulos coterminales negativos que son proporcionales a los números 7 y 5. Además la diferencia de las medidas de dichos ángulos está comprendida entre 540º y 900º

CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 12Q

X

Y

P

M

0 A

Y

X

R

P

Q

T

0

Y

X

C

Q

P


A) –1800º, –2520º B) –900º, –1260ºC) –1700º, –2520º D) –3600º,–5040º E) –4500º, –6300º

81. Sean y la medida de dos ángulos coterminales ( > ) tal que el doble del menor es a la suma de ellos como 13 es a 23. Calcule la medida del mayor de ellos si está comprendido entre 1100º y 1300ºA) 988º B) 1088º C) 1188ºD) 1288º E) 1328º

82. Si y son ángulos coterminales tal

que ,

halle E = cos() tan().

A) B) – C)

D) – E)

83. Si los puntos P y Q con coordenadas (–1, a) y (b, – 9) pertenecen al lado final de un ángulo en posición normal

de medida y , halle la

distancia entre los puntos P y Q.A) B) 2 C) 3D) 4 E) 5

84. En la figura mostrada las coordenadas del punto M y B son (3; – 8) y (6; – 10) respectivamente, además AB = 4MB; calcule M = 3 cot()

A) 0 B) 1 C) – 1

D) E) –

85. Dada la recta L que pasa por el origen de coordenadas y dados los puntos P y Q que pertenecen a la recta L, halle

A) – B) – C)

D) E)

86. En un triángulo ABC se conocen los vértices A(2; 1) ; B(5; 3) y el punto G(3 y 4) que es la intersección de las medianas. Si el lado final de un ángulo normal pasa por el vértice C, calcule tan().

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6

87. La recta L corta a los ejes coordenados en x = 4, y = – 2. Sea B un punto perteneciente a la recta L, y sea la recta L1 perpendicular a la recta L, de tal manera que L1 pasa por el punto B y el punto (0,1).


BM

Y

X

A

Y

X

L

Q(6.- a)

P(a, –2)

0


Si es el lado final de un ángulo en posición normal, halle tan(). (O es el origen de coordenadas)

A) – 2 B) – C) –1

D) – E) –

88. Si P es un punto del lado terminal del ángulo , en posición normal y además es el punto de intersección de las gráficas de las rectas.L1 : y = 2, L2: y = – 2x + 4. Calcule .A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

89. De la figura mostrada NT = TM, además L: y = 2x + 3, halle 17sen().

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

90. La recta x – 2y + 4 = 0 intersecta al eje de abscisas en el punto A, y al eje de ordenadas en el punto B. Si M es punto medio del segmento AB, y a la vez M es un punto del lado final del

ángulo en posición normal , calcule cot().A) –2 B) – 1 C) 1D) 2 E) 3

91. En la figura mostrada, la ecuación de la recta es L: y = 3x. Halle el valor de

A) – 3 B) 0 C) 3D) 6 E) 9

92. De la figura mostrada, si PQ = QR = RS, Q = (4;3).Halle cot().

A) B) C)

D) E)

93. En la circunferencia trigonométrica si:

, indique la veracidad (V)

o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:


Y

X

N

T

M

0

L

Y

X

L

Y

X0

S

R

Q

P


I. sen(x1) > sen(x2)II. cos(x2) > cos(x1)III. tan(x1) < tan(x2)

A) FFF B) FFV C) FVFD) FVV E) VVV

94. En la figura mostrada se tiene la circunferencia trigonométrica, donde

. Halle la variación del área

de la región triangular BPQ si

.

A) B) C) 0;1

D) E) 0; 2

95. En la circunferencia trigonométrica de la figura mostrada: OM = AM, calcule E = tan() – sec().

A) 2 B) – 2 C) 1D) – 1 E) 0

96. Halle el valor máximo de a si:

A) B) C) 2

D) + 2 E) + 4

97. Determine el valor de en la circunferencia trigonométrica adjunta, si la medida del arco es .

A) 1 + sen() + cos()B) 1 – sen() + cos()C) 1 + sen() – cos()D) sen() + cos() – 1E) 1 – sen() – cos()

98. En la circunferencia trigonométrica mostrada; si tan() = 1, calcule el área de la región triangular OMA.

A) B) C) 1

D) E)

99. La circunferencia es trigonométrica, halle el área de la región triangular ABC si .


A’

Y

XA

B

M

B’

QB

AA’’

MB’

S

A

M

0

C

X

Q

Y

Y

XA

B

Q

O

P

Y

X

X

Y


A) tan() B) – 0,5 tan()C) 0,5 tan() D) 0,5E) – 0,5 +0,5 tan()

100. En la figura se tiene la circunferencia trigonométrica, halle el área de la región sombreada.

A) 0,5 B) 0,5

C) 0,5 D) E) 0,5


PB

S

A

A

0A’ X

B

Y

B’

Y

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69467302-1º-seminario-de-Trigonometria-PREUNIVERSITARIO-2007-I-Sara